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高校数学の質問スレPart408

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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/13(火) 22:56:42.03ID:IAG/QuOR
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart407
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1597160116/
0119イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/10/24(土) 13:48:24.27ID:ppZN3X44
前>>113
>>108訂正。
4.求積(2)
4・1(1)πa^2/2×(1/√2)=πa^2√2/4
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=∫[t=0→a/2]｛π(a-t)^2-t√(a-t)^2-t^2｝dt
=∫[t=0→a/2]｛πa^2-2πat+πt^2-(t^2/2)√(a^2-2t)+(t^2/2)/√(a^2-2t)｝dt
=∫[t=0→a/2][πa^2t-πat^2+πt^3/3-a^2t^2/2√(a^2-2t)+t^3/√(a^2-2t)+(t^2/2)√(a^2-2t)-t√(a^2-2t)]
=πa^2(a/2)-πa(a/2)^2+π(a/2)^3/3-a^2(a/2)^2/2√(a^2-a)+(a/2)^3/√(a^2-a)+(a^2/8)√(a^2-a)-a√(a^2-a)/2
=πa^3(1/2-1/4+1/24)
=7πa^3/24-(a^4-a^3+a^2)/8√(a^2-a)
0120イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/10/24(土) 14:11:23.02ID:ppZN3X44
前>>119訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/3-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/3-2/9)a^3
0121イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/10/24(土) 14:13:46.12ID:ppZN3X44
前>>120訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/6-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/6-2/9)a^3
0122１３２人目の素数さん
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2020/10/24(土) 15:16:01.48ID:FgQK/f/3
>>87
男子１：５　女子６：８とすると
男子１を選んで、残り７人から二人を２，６を選んだ場合と
男子２を選んで、残り７人から二人と１、６を選んだ場合で
重複して数えている。
0123１３２人目の素数さん
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2020/10/24(土) 15:33:03.21ID:FgQK/f/3
>>122
＞男子１：５　女子６：８とすると

男子を１，２，３，４，５、女子を６，７，８
と番号を付けるという意味
0124１３２人目の素数さん
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2020/10/24(土) 16:05:46.25ID:FgQK/f/3
>>122
プログラムに組み合わせを列挙させて最後の方を表示さえてみた。

> re=NULL # 格納する変数
> for(m in 1:5){ # m: 1~5から順に一人目を選ぶ
+ # mを除いた7人から二人を選んで３人を組み合わせる
+ re=rbind(re,cbind(m,combinations(7,2,(1:8)[-m])))
+ }
> tail(re) # この方法での組み合わせの数　105通り
m
[100,] 5 4 6
[101,] 5 4 7
[102,] 5 4 8
[103,] 5 6 7
[104,] 5 6 8
[105,] 5 7 8

> tail(unique(t(apply(re,1,sort)))) # その105通りから重複を除いてカウント
[,1] [,2] [,3]
[50,] 4 6 7
[51,] 4 6 8
[52,] 4 7 8
[53,] 5 6 7
[54,] 5 6 8
[55,] 5 7 8
0126１３２人目の素数さん
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2020/10/24(土) 19:13:28.35ID:t/JXD1S3
互いに素でない二つの自然数において、公約数で割って互いに素ならば、それが最大公約数となる。これを証明する方法はありますか?
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/24(土) 20:07:48.85ID:LMmLCFr8
a,bの最大公約数をdとするとa=dm, b=dn,でmとnは互いに素
これらを公約数eでわるとa/e=(d/e)m, b/e=(d/e)n
e<dとするとd/eは２以上の自然数なのでa/e とb/eは互いに素にならないのでe=dである
012881
垢版 |
2020/10/24(土) 21:40:40.06ID:2Pk4w+Tm
>>111
ありがとうございます。指摘部分を修正し復唱すると、

例えば、「１２で割れる」ならば「３で割れるかつ偶数である」
の「１２で割れる」「３で割れる」「偶数である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘは１２で割れる」ならば「ｘは３割でれるかつ偶数である」とするべき

例えば、「アリ」ならば「昆虫である」
の「アリ」「昆虫である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘがアリである」ならば「ｘは昆虫である」とするべき

主語が省略されている文はそのままでは意味が通じないのだから、主語を補って解釈するのは当然のこと
本来は主語が無いと文ではなくなるので命題でも条件でもないが、文意は誤解無く伝わると思われるので上記程度の主語の省略は許容されるだろう
ただし、当然数学的には一切何も省略しないことが一番正しい

覚えました。
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 00:58:22.29ID:2hlYWElQ
t>0 とする。
(1)　B = 1+t,　C = 1+1/t　のとき　A = B + C　を求めよ。
(2)　log(A) = log(B) + log(C)　を示せ。
0130１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 01:10:28.25ID:7eieyZMZ
>>90
重複カウントしているから>79の計算での105をで割った105/2通りにはならないんだな。
なんでだろ？
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 01:36:11.97ID:SvsiFpep
>>130
３人とも男子のときはA－BC、B-AC、C-ABの三重カウント
２人が男子、一人が女子のときはA-Bc、B-Acの二重カウント
１人が男子、二人が女子のときはA-bcでダブリなし
よって5C1*4C2/3+5C1*4C1*3C1/2+5C1*3C2=55
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 06:56:09.47ID:6HGEVv7n
>>131
解説ありがとうございました。納得できました。

朝飯前に練習がてらにプログラムでカウントさせてみました。

> print(head(res),q=F)
重複
[1,] A a b 1
[2,] A a B 2
[3,] A a c 1
[4,] A a C 2
[5,] A a D 2
[6,] A a E 2

,,,,,

> print(tail(res),q=F)
重複
[100,] E B c 2
[101,] E B C 3
[102,] E B D 3
[103,] E c C 2
[104,] E c D 2
[105,] E C D 3

> ans=0
> for(i in 1:3){
+ ans <- ans + nrow(res[res[,4]==i,])/i
+ }
> ans
[1] 55
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 07:16:06.59ID:T/xDoF2e
>>129
こんなんも見つけたぞー

t>0 とする。
B=1+t+t^2、C=1+t 、D=1/t、A=B+C+Dのとき

log(A)=log(B)+log(C)+log(D)
0135１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 10:38:14.22ID:2hlYWElQ
それでは…
t>0 とする。
B = 1 + 1/t + 1/t,　C = 1+t,　D = 1,　A = B+C+D のとき
log(A) = log(B) + log(C) + log(D).
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 10:57:41.48ID:T/xDoF2e
一般には
D=(B+C)/(BC-1)
でファイナルアンサー

4項以上のときもtと1/tの多項式的なパラメータで書けるものがあるんかな
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 11:10:24.38ID:T/xDoF2e
いや、一般にその方針でいけるのか・・・

B=1+(n-1)/t、C=1+t、D=E=…=1
か
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 11:37:06.38ID:T/xDoF2e
定数多項式は含まない条件下で、tと1/tの多項式パラメトライズはあるか？
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 12:16:44.00ID:TPOqs/ES
10n+1,10n+3,10n+7,10n+9

これらすべてが素数となるとき、
nの取り得る値が1しかないことを証明する方法はありますか?

素数は無数にあることは知られていますが、
nが1でない時は4つのうちのいずれかが素数でなくなるということも証明できれば良いのですが。
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 12:34:30.28ID:TPOqs/ES
3の倍数判定を使うと簡単かと思いましたが、
2,4,8,10
3,5,9,11
4,6,10,12
5,7,11,13
1ずつ足していくと3の倍数が引っかかる、、、
これでは49に限らず素数の自乗を見つけられません。
証明として成り立たないので、質問してみました。
0141１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 12:40:48.02ID:cx0U6oD/
>>139 >>140
そもそも予想が間違っている
n=1 の他にもたくさんある
n = 10, 19, 82, 148, 187, 208, 325, 346, ...

おそらく無限個あるのだろうけれど この手の問題は未解決です
0142１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 12:42:53.10ID:TPOqs/ES
3の倍数に引っかからない合成数が49であることを考えると、オイラー素数の意味も見えてくる。
0143１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 12:54:34.94ID:cx0U6oD/
>>139
>>141
無限個あるという結論(仮)は Schinzel's hypothesis H という予想から導かれる:

[準備]
整数係数多項式f(x)に対して,
D(f(x)) = max{m∈N ; ∀x∈N m|f(x)} とおく
つまり, 「どんな自然数xに対しても f(x)がmで割り切れる」
となるような最大の自然数mを D(f(x))で定義する

今, k個の既約整数係数多項式が与えられたとして,
それのk個の積で定まる多項式をQ(x)とかくことにする
もし, D(Q(x))=1 ならば k個の多項式が同時に素数値を取ることは無限に発生する
これを　Schinzel's hypothesis H という

これを用いるなら まず4つの整数係数多項式,
10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9 はどれも既約
(つまり1次有理数係数多項式の積に書けない)
そして Q(x)= (10x+1)(10x+3)(10x+7)(10x+9) とおくとき
gcd(Q(1),Q(2))=1 であるから D(Q(x))=1 であることがいえる
よって　 Schinzel's hypothesis H が正しいならば
問題の4つの式が同時に素数値を取ることは無限回発生する
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 12:58:23.99ID:cx0U6oD/
一部タイプミスの修正
最後から5行目

[誤] つまり1次有理数係数多項式の積に書けない
[正] つまり1次以上の有理数係数多項式の積に書けない

あとはたぶん大丈夫そう
0145１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 13:10:05.74ID:TPOqs/ES
>>141
ありがとうございます。数字和(3の倍数)で素数を追うには147,369には対応できても258には無力だということを思い知らされました。
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 13:38:32.20ID:MzU0UQdM
奇数mで次の条件を満たすものはありますか。
「m+2^n (n=1,2,3,…) がすべて合成数」
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 14:11:17.62ID:cx0U6oD/
>>146
基本的には その手の問題は 2^k-1 のprimitive prime divisors を考えるのが筋
それは 古くはSierpinskiの covering set という考え方に基づくもの

2^(2^k)-1 の形の数が持つ primitive prime divisors を考える

2^64 - 1 = 3*5*17*257*641*65537*6700417 に注意する

たとえば 以下の合同式を満たすようにmを設定すれば条件を満たす:
m≡1 (mod 2)
m≡2 (mod 3*5*17*257*65637)
m≡ 333 (mod 641)
m≡ 6700415 (mod 6700417)

具体的には m = 8233406372846257083
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 14:25:47.09ID:cx0U6oD/
(1) 9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1 が素数ならば nは36の倍数であることを証明せよ
†(2) nが36の倍数のとき, (1)の数が素数になることはあるか
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 16:47:01.89ID:2hlYWElQ
>>136
　A1 = 1 + t,
　A2 = 1 + 1/t,
　A3 = 1 + t/(tt+t+1),
X=Anの漸化式は
　A1 + A2 + ････ + A_{n-1} + X = A1･A2････A_{n-1}･X,
より
　X = (A1+A2+･････+A_{n-1})/(A1A2････A_{n-1} - 1),
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 17:47:31.15ID:T/xDoF2e
>>149
有理式でいいならそりゃそうだけどさ
そもそもA1～A(n-1)を好きな有理式(ただし積≠1)にしてもAnは有理式になるわけだし
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 18:12:32.17ID:cx0U6oD/
>>150
和と積が一致するパラメタ
A[1] = n
A[2] = 2
A[3] = ... = A[n] = 1

これで すべて整数係数多項式
"異なる"とかそういう条件が入ると難問だろう
0152１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 18:27:14.14ID:T/xDoF2e
>>151
だから>>138に定数多項式は含まない、と書いたんだけどな

でもtと1/tの整係数多項式で全て非定数で異なるのも簡単だった
A1=Σ[i=2,n]Ai、A2=2/t^((n-1)(n-2)/2)、 A3=t^1…= An=t^(n-2)
とかでいい
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 20:07:10.19ID:AdWq2Ww/
>>141
数字和で3の倍数フィルターが258になることを必要条件とすると、
n=3x+1が成り立つのは理解できますが、
それだけでは不十分なので、何か別の条件があるはずです。
そうでないと49,77,133,169が素数でないことを立証できないからです。
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 21:55:07.79ID:V72jBZRi
質問なんですが、六芒星をとがった部分から直線を

滑る感じで回転するときの軌跡ってどうなりますか？教えてください！
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/25(日) 21:58:02.90ID:V72jBZRi
回転というか1回転した時の軌跡です！
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 00:23:00.48ID:WM0yBFVu
>>136
n=3
ΔXYZ は直角三角形でないとする。
　B = tan(x),　C = tan(y),　D = tan(z)

----------------------------------------
sinの加法公式(*)は
sin(x+y+z)
　= cos(x)cos(y)sin(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + sin(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
　= cos(x)cos(y)cos(z) [ tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) ],
また、題意より
　x+y+z = π,　sin(x+y+z) =0,
　cos(x)cos(y)cos(z) ≠ 0,
したがって
　tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) = 0,

*)　exp の加法公式
　cos(x+y+z) +ｉsin(x+y+z) = e^{ｉ(x+y+z)}
　= e^{ｉx} e^{ｉy} e^{ｉz}
　= (cos(x)+ｉsin(x))(cos(y)+ｉsin(y))(cos(z)+ｉsin(z)),
の虚数部をとる。
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 00:50:57.24ID:CzRFy8fL
>>157
実は元の>>133はその形を特殊化して導いた

x=π/2-α+β、y=α-γ、z=π/2-β+γ
s=tanα、t=tanβ、u=tanγとおくと
B=(1+st)/(s-t)、C=(s-u)/(su+1)、D=(1+tu)/(t-u)
というパラメータ表示を得る
ここでs=1+t、u=0と特殊化すると>>133の式になる
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 00:59:18.72ID:WM0yBFVu
n=3,
ﾁｮﾄ追加
x+y+z = π とする。
B = tan(mx),　C = tan(my),　D = tan(mz),
B = cot(m'x),　C= cot(m'y),　D = cot(m'z),
ここに mは整数　m' = m + 1/2.
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 01:04:09.27ID:CzRFy8fL
対称的なパラメータ形としては
x=α-β、y=β-γ、z=γ-αとおいて
B=(s-t)/(1+st)、C=(t-u)/(1+tu)、D=(u-s)/(1+us)
が得られる
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 01:31:32.22ID:baGfFlni
>>161
意味わからないんですけど・・・・・・・・・・・
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 02:34:01.42ID:SJUVhnC9
>>154
何が回転したときの何の軌跡かを指定しないと意味不明な問題だぞ。
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 02:35:44.76ID:KYnQZda7
>>148
(1) F(n)=9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1
n≧1のとき F(n)≧27
3|F(n) if n≡1 (mod 2)
5|F(n) if n≡2 (mod 4)
13|F(n) if n≡4,8 (mod 12)
19|F(n) if n≡6,12 (mod 18)
nが36の倍数でなければF(n)は3,5,13,19のいずれかを約数にもつ合成数である

(2) 高校数学で解けるの？
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 05:47:11.67ID:WM0yBFVu
n=3m のとき
F(3m) = (9^3)^m + (8^3)^m + (4^3)^m + (3^3)^m + (2^3)^m + 1
　≡ 7^m + (-1)^m + 7^m + 8^m + 8^m + 1　　　(mod 19)
　≡ 0　　(mod 19)　　　　　　(if　n≡6,9,12 (mod18))
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/26(月) 06:45:28.70ID:WM0yBFVu
>>165
辺長がaの正六角形と考えたら
　y = √{aa - (x-a)^2}　　　　(0≦x≦a/2)
　y = √{3aa - (x-2a)^2}　　　(a/2≦x≦2a)
　y = √{4aa - (x-3a)^2}　　　(2a≦x≦4a)
　y = √{3aa - (x-4a)^2}　　　(4a≦x≦11a/2)
　y = √{aa - (x-5a)^2}　　　(11a/2≦x≦6a)

軌跡の長さ：
　L = (π/3)Σ(対角線)
　　= (π/3){a + (√3)a + 2a + (√3)a + a}
　　= (π/3)(4+2√3)a,
　　= 7.8163889 a,
　　6角形の周長 (6a) の 1.30273 倍
面積：
　S = (π/6)Σ(対角線)^2
　　= (π/6)(aa + 3aa + 4aa + 3aa +aa)
　　= 2πaa,
　　正六角形の面積 ((3√3)/2・aa) の 2.4184 倍
　　外接長方形の面積の 0.5236 倍

幅：　6a
高さ：　2a
外接長方形の面積　12aa,
0168１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 06:54:35.00ID:WM0yBFVu
半径rの円の場合 (サイクロイド)
　x = r(θ - sinθ),
　y = r(1 - cosθ),

軌跡の長さ：　L = 8r,
　円周(2πr) の 1.27324 倍
面積：　S = 3πrr,
　円の面積 (πrr) の 3.0 倍
　外接長方形の面積の 0.75 倍

幅：　2πr
高さ：　2r
外接長方形の面積　4πrr,
0169１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 07:30:43.71ID:WM0yBFVu
>>167　訂正ｽﾏｿ

面積：
　S = (π/6)Σ(対角線)^2 + (正六角形)
　　= (π/6)(aa + 3aa + 4aa + 3aa +aa) + (3√3)/2・aa
　　= {2π + (3√3)/2}aa,
　　正六角形の面積 ((3√3)/2・aa) の 3.4184 倍
　　外接長方形の面積 (12aa) の 0.740105 倍
0170１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 08:12:13.72ID:WM0yBFVu
正8角形の場合
　対角線：　a(辺),　√(2+√2)・a,　(1+√2)a,　√(4+2√2)・a,

軌跡の長さ：
　L = (π/4)Σ(対角線)
　　= (π/4) 13.13707 a
　　= 10.31783 a,
　　正8角形の周長 (8a) の 1.28973 倍

面積：
　S = (π/8)Σ(対角線)^2 + (正8角形)
　　= (π/8)・27.31371 aa + 2(1+√2)aa
　　= 15.55450 aa
　　正8角形の面積 (2(1+√2)aa) の 3.22144 倍
　　外接長方形の面積の 0.744056 倍

幅：　8a
高さ：　√(4+2√2)・a = 2.613126 a
外接長方形の面積　20.90501 aa,
0171１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 09:17:16.62ID:WM0yBFVu
正12角形の場合
　対角線：　a(辺), (√2 +√6)/2･a, (1+√3)a, (3√2 +√6)/2･a, (2+√3)a, (√2 +√6)･a,

軌跡の長さ：
　L = (π/6)Σ(対角線)
　　= (π/6) (2+√3)(4+(1+√3)√2) a
　　= (π/6) 29.34774 a
　　= 15.36644 a,
　　正12角形の周長 (12a) の 1.280537 倍

面積：
　S = (π/12)Σ(対角線)^2 + (正12角形)
　　= π(1+√3)^2 aa + 3(2+√3)aa
　　= 23.44917 aa + 11.19615 a
　　= 34.64532 aa
　　正12角形の面積 (3(2+√3)aa) の 3.09440 倍
　　外接長方形の面積の 0.74724 倍

幅：　12a
高さ：　(√2 +√6)・a = 3.86370 a
外接長方形の面積　46.36444 aa,
0172１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 10:36:58.98ID:WM0yBFVu
正n角形の場合
　対角線：　a･sin(kπ/n)/sin(π/n),　(1≦k≦n-1)

軌跡の長さ：
　L = (2π/n)Σ(対角線)
　　= (2π/n) a/(1-cos(π/n)),
　　正n角形の周長 (na) の 4/π = 1.27324 倍に近づく。

面積：
　S = (π/n)Σ(対角線)^2 + (正n角形)
　　= π/(1-cos(2π/n))･aa + n/(4tan(π/n))･aa
　　≒ (nn/2π) aa + (nn/4π) aa
　　= (3nn/4π) aa,
　　正n角形の面積 n/(4tan(π/n))･aa の 3倍に近づく。
　　外接長方形の面積の 3/4 倍に近づく。

幅：　na
高さ：　a/sin(π/n),
外接長方形の面積　n/sin(π/n)･aa ≒ (nn/π) aa,

n→∞ ではサイクロイドに近づく
0173１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 15:54:58.50ID:LJx6Jxx9
>>162
六芒星は三角形が2つだから乗り換えせずに
線を滑れば1つの三角形しか描けんだろ
0176イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/10/26(月) 20:52:01.72ID:COijmoNX
前>>121
>>154
動画によると、
軌跡の長さ=2π(√3/3)(60°/360°)×2+2π1(60°/360°)×2+2π(2√3/3)(60°/360°)
=2π√3/9+2π/3+2π√3/9
=(6+4√3)π/9
直線上の通過面積=π(√3/3)^2(60°/360°)×2+(√3/3)(1/2)(1/2)×2+π1^2(60°/360°)×2+(√3/3)1(1/2)×2+π(2√3/3)^2(60°/360°)
=π(1/3)(1/6)2+√3/6+π/3+√3/3+(4π/3)(1/6)
=π/9+√3/6+π/3+√3/3+2π/9
=2π/3+√3/2
0177１３２人目の素数さん
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2020/10/26(月) 23:23:47.57ID:6jHZY/IM
大人6人、子ども3人の計9人を3人ずつ3つのグループにわける
どのグループも大人2人と子ども1人からなる分け方は何通りあるか

解答を見て納得はしました
最初は
大人6人から2人選ぶ時と、子ども3人から1人選ぶときで　6C2×3C1
そして、残りの大人4人から2人、子ども2人から1人選ぶときで　4C2×2C1

これらを足せば良いと思ったのですがこの解答がおかしい理由を教えてください
そもそもの組み合わせの利用の仕方がおかしいのでしょうか
0178１３２人目の素数さん
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2020/10/27(火) 07:50:16.52ID:/9MkT2sb
>>172　の補足
　Σ (対角線) = (a/sin(π/n)) Σ[k=1,n-1] sin(kπ/n)
　= a/(2tan(π/2n)sin(π/n))
　　* Σ[k=1,n-1] 2sin(π/2n) sin(kπ/n) /(2cos(π/2n))
　= a/(2tan(π/2n)sin(π/n))
　　* Σ[k=1,n-1] {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)} /(2cos(π/2n))
　= a/(2tan(π/2n)sin(π/n))
　= a/(1-cos(π/n)),

　Σ (対角線)^2 = (a/sin(π/n))^2 Σ[k=1,n-1] sin(kπ/n)^2
　= aa/(1-cos(2π/n)) Σ[k=0,n-1] (1 - cos(2kπ/n))
　= aa/(1-cos(2π/n)) Σ[k=0,n-1] 1　　　(← 一周する)
　= n/(1-cos(2π/n)) aa,

底辺a/2, 頂角π/n の直角⊿の
底辺に直交する辺は a/(2tan(π/n)),
面積は 1/(8tan(π/n)) aa,
それが2n個あるから
正n角形の面積は 4n/tan(π/n)･aa,
0179１３２人目の素数さん
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2020/10/27(火) 08:11:31.46ID:5DIspiqp
>>177
大人をABCDEF、子どもをxyzとすると
最初にABxを選んで次にCDyを選ぶ場合と、最初にCDyを選んで次にABxを選ぶのは同じ組み合わせなのにダブって数えている
ってか、「これらを“足す”」ってまるっきりおかしいと思うんだけど
0180１３２人目の素数さん
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2020/10/27(火) 09:07:04.69ID:r8Jl3Mn7
>>177
足すんじゃなくて、掛け合わせる。
まず、１号室、２号室、３号室に収容するグループ分けを
考えればいい。１号室に入る大人２人、子ども１人の選び
方は6C2×3C1通りあり、そのそれぞれの場合について、
２号室に入る大人２人、子供１人の選び方は4C2×2C1通り
あるんだから、場合の数は掛け算でしょ。

で、>>179が言うように、同じ分け方でも部屋が違う組み
合わせがあるが、それは分け方１つにつき、3P3通りある
ので、部屋の番号を区別しないグループ分けの場合の数
は6C2×3C1×4C2×2C1/3P3となる。
0181１３２人目の素数さん
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2020/10/27(火) 09:12:21.15ID:GIMwZbYl
質問です
実数全体や空集合は閉区間でも開区間でも無いですか
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/27(火) 09:20:16.58ID:/9MkT2sb
n L/na　　　 S/正n角形 S/外接長方形
----------------------------------------------------
3 1.396263　 5.83680　 0.84247
4 1.34076　 4.14159　 0.732137
6 1.30273　 3.41840　 0.740105
8 1.28973　 3.22144　 0.744056
12 1.280537　 3.09440　 0.74724
16 1.27734　 3.052344　 0.748424
18 1.276477　 3.04120　 0.74875
24 1.27506　 3.02303　 0.74929
∞ 1.27324　 3.0　　 0.75
　　(4/π)
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/27(火) 13:47:56.03ID:6JKKAel/
f(x)=x^(1/x),g(x)=logf(x)
極限lim(x→+0){f(x)}の値とy=f(x)のグラフの概形を書くにはどうすればよいですか？
0187イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/10/27(火) 15:20:46.83ID:0/ovOpqY
前>>276
>>277
大人6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2
大人4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2
子供1人目をどの大人グループに入れるかは3通り
子供2人目をどの大人グループに入れるかは2通り
(6Ｃ2)(4Ｃ2)×3×2=(6×5/2)(4×3/2)×6=15×6×6=540(通り)
重複してなければ。
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/27(火) 16:41:23.40ID:UgDNxp8k
積分についてなんですけど、定積分はまぁ分かるんです、インテグラル記号は言ってしまえばsum、シグマの意味であって指定の範囲分の和を出すと。dxはΔxの極限取ったもんだって
んじゃ不定積分ってこれ実際どういう操作して何を求めてるんでしょう。面積の概念どこに消えたんでしょうか。
よろしくおねがいします。いやー現役の頃はこれ分かってたのかな俺
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/27(火) 16:47:51.06ID:VWPLd7XQ
フーリエ変換について質問です。
複雑な振幅、周波数の波形をフーリエ変換することで基本的な波形に分解できると学びました。
糞バカなんで自分なりに例えて聞きますが
例えば5という波形をフーリエ変換して構成する波形2と3が求められたとします。
このとき5のフーリエ変換の解はこれ以外にも1と4のようにいくつか存在するのか
それともたったひとつの組み合わせしか存在しないのかどっちなんでしょう
0190イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/10/27(火) 16:52:27.35ID:0/ovOpqY
前>>187アンカー訂正。前々>>176
>>177
大人6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2
大人4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2
子供1人目をどの大人グループに入れるかは3通り
子供2人目をどの大人グループに入れるかは2通り
(6Ｃ2)(4Ｃ2)×3×2=(6×5/2)(4×3/2)×6=15×6×6=540(通り)
重複してなければ。
>>186
24歳ぐらいかなぁ。10本1万円だったと思う。代引きで。
1本5分ぐらいのVHSで50歳ぐらいの老獪なおっさんと30歳ぐらいの女の人が全編室内。画像はモノクロに近い荒さで、となり同棲カップルでもう一方は大家さんちのベランダが隣接してたから音がほとんど出せなくて、順に観ていって4本目か5本目ぐらいにベッドシーンがあった気がする。ああもうこのあとはないかぁっていう7本目8本目9本目10本目だよね。これ1本で入るじゃん！　正味1時間切ってっじゃん！　ていう感じ。そんな感想。
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 07:31:38.47ID:QwqX9NFV
>>191
フーリエ変換の質問者です。
逆に言うとどんな波形をどのように組み合わせても
偶然同じ波形が出来てしまうことは絶対にあり得ないということ？
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 14:43:30.63ID:pMUVLWJP
>>188マジスレすると不定積分とはaからxまでの定積分
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 15:58:41.24ID:HUHbWRce
異なる四つの正の整数がある。これらのうちから二つを選んで和と差（大きい方の数から小さい方の数減じて得た数）を算出して、その全てを大きい順に左から並べたところ、次のとおりになった。

109　99　87　64　57　52　45　42　35　22　12　10

この時、四つの整数の和はいくらか。

121

144

151

154

173
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 16:45:49.66ID:Z3Ky8IUF
パズルの問題だな
15＋27＋37＋72＝151

体系的な解き方があるのか気になる
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 19:52:30.09ID:aHV2ojAc
F(a)=-C⇔∫[t=a,x]f(t)dt=F(t)[t=a,x]=F(x)-F(a)=F(x)+C=∫f(x)dx⇒定積分の積分始点が不定の場合が不定積分

説明割愛要素を無くしつつ間抜き書きで要約すると此んな感じでせうか？もっと濃ゆ～く出来れば御願い仕度候う｡
間抜き=理解渋滞を招くほど間抜け説明に成る事を厭わず間を抜く事。間を重んじる芸人業界や関西人が特に忌避する行為｡
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 20:04:16.24ID:dJQSH1Po
0<a<b<c<d とすると
　c + d = 109,
　b + d = 99,
　a+d または b+c = 87,
　2b + 4c + 6d = 109 + 99 + 87 + ･････ + 12 + 10 = 634,　(*)
　4文字で方程式4つ
・b+c=87 のとき
　(a, 77/2, 97/2, 121/2)　∴ 不適
・a+d=87 のとき
　(a, a+12, a+22, 87-a) ただし 0<a≦32,
これらのうち、和&差 が一致する組合せを探す。

*)
　(a+b) + |b-a| = 2b,
　(a+c) + |c-a| = (b+c) + |c-b| = 2c,
　(a+d) + |d-a| = (b+d) + |d-b| = (c+d) + |d-c| = 2d,
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 20:06:02.15ID:RX5Gz9Xa
質問です
コーシーの平均値の定理の証明はどのサイトを見ても細工した関数にロルの定理を使って示していますが
ノーマルな平均値の定理と媒介変数の微分法で明らかなことではないでしょうか
コーシーの平均値の定理の左辺は分子がf(x)の増分,分母がg(x)の増分
S=f(x),T=g(x)とすると局所的にSはTの関数で左辺はその平均変化率
右辺はある値T=αにおけるdS/dTの値
それは(dS/dx)/(dT/dx)のある値x=cにおける値→まさに定理の左辺
αとcの対応も中間値の定理で問題なし
この考え方のどこに穴がありますか？
0201１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 20:08:44.99ID:yHaiCuTZ
<n>　で　n番目の大きさの数を表すこととする。例えば、<1>=109,<2>=99,<3>=87,..,<12>=10

<1>-<2>=10=<12>
<1>-<3>=22=<10>
<1>-<4>=45=<7>
<1>-<5>=52=<6>
<1>-<6>=57=<5>
<1>-<7>=64=<4>
<1>-<8>=67=<->
<1>-<9>=74=<->
<1>-<10>=87=<3>
<1>-<11>=97=<->
<1>-<12>=99=<2>

４数を大きい順に、a,b,c,d　とすると、<1>=a+b、　は確定
a+b　から、　a±c,a±d,b±c,b±d　を減じると、再び、x±y　型の数が現れる　(x,y∈{a,b,c,d})
a+b　から、a-b,c+d,c-d　を減じると、x±y　型にはならない。（ただし、偶然なることは否定できない）
上の計算から、<8>=45,<9>=42,<11>=12　が　a-b,c+d,c-d　のいずれかに対応していることが確定
c+dとc-dの偶奇は一致するので、a-b=45、c+d=42、c-d=12が確定。
a+b=109なので、a+b+c+d=109+42=151
0202１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 20:11:29.03ID:QJpWLHx7
>>197
４数を大きい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとしたとき
１２個の数の最大のものはＡ＋Ｂだし、総和は６Ａ＋４Ｂ＋２ＣだからＡ＋ＣとＢ－Ｃも確定する
あとは和がＡ＋ＢやＡ＋Ｃの２数の組み合わせ、差がＢ－Ｃの２数の組み合わせを探し出してパズル的に解く
0203１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 20:45:00.33ID:oc0XT5fX
行列の転置について質問です！

xは列ベクトルの行列、Tは転置記号として

(
x1T
x2T
x3T
)T

↑x1,x2,x3が要素の列ベクトルの転置

これが
(x1 x2 x3)になるのがわかりません。。。

(
x1
x2
x3
)
にならないんですか！？
0205１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 21:24:12.17ID:oc0XT5fX
>>204
申し訳ございませんでした
0206１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 21:39:33.07ID:3BqdbK1h
>>197
機械的にするなら
リストの最大の数m、和f、2乗和g、3乗和hという4つ情報から4つの未知数(a>b>c>d)を決定できる

具体的には方程式
48X^3-24(f-2m)X^2+(6(f-3m)^2+18m^2-2g)X-f^3+12f^2m+fg-2mg-54fm^2+84m^3-h=0
の解からaを、順次b=m-a、c=f/2-2m-a、d=√(g/6-a^2-b^2-c^2)を決める
最初が3次式なので(a,b,c,d)は3通りあり、この中から正整数で大小が正しいものを選ぶ
0208１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 22:32:56.50ID:3BqdbK1h
しかし、このリストの作り方は隠れた対称性がありそうで気になる
例えば{1,2,3,4}と{0,1,2,5}だと同じリストを与える
0209１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 23:23:11.26ID:yHaiCuTZ
>>208
確かに同じリストができるようです。
201式で、復元できるか確かめてみました。

与えられるリストは、
7,6,5,5,4,3,3,2,2,1,1,1

最大数から、残りを引くと、
_,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6,6
_ + + + + + - + + + - -

対応が無い(元)メンバーの数は、3,1,1
a+b=7、で、a-b,c-d,c+d　のいずれかが、　1,1,3　に対応すると考えると、
確かに、{1,2,3,4}と{0,1,2,5}が復元できる
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/28(水) 23:41:20.58ID:3BqdbK1h
3次方程式の解から作る3パターンは
a,b,c,d
(a+b+c-d)/2, (a+b-c+d)/2, (a-b+c+d)/2, (-a+b+c+d)/2
(a+b+c+d)/2, (a+b-c-d)/2, (a-b+c-d)/2, (a-b-c+d)/2
になるようだね
これらのリストは一致する
0211１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 00:00:39.27ID:kB7lNWqX
例えば
(10 4 3 1)、(9 5 4 2)、(8 6 5 1)
は同じリストを与える

やはり総和a+b+c+dが対称性の鍵になってるから、もしかすると上手い計算で総和だけはすぐ求められるのかも
0213１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 01:29:53.52ID:o+Di++S9
>>211
与えられるリストは
14,13,11,9,7,7,6,5, 4, 3, 2, 1　　　・・・（１）
14との差をリストにすると
__, 1, 3,5,7,7,8,9,10,11,12,13　　　・・・（２）
(2)にはあるが、(1)にないものは、
8,10,12 で、それに対応する(1)の値は、6,4,2
この3数が、a-b,b+c,b-c　のどれかに対応
a-bが6の時は、b+cは4
a-bが4、あるいは、2の時は、いずれの場合でも　b+cは6

従って、a+b+c+dは、14+4=18　または、14+6=20
0214１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 02:11:54.40ID:kB7lNWqX
>>210-211
s=a+b+c+d
σ:(a,b,c,d)→(s/2-d, s/2-c, s/2-b, s/2-a)
τ:(a,b,c,d)→ (s/2, s/2-(c+d), s/2-(b+d), s/2-(b+c))
とおくと、関係式
σ^2=id、τ^2=id、στσ=τστ
より、これらは3次対称群の4次元表現Φとなる
指標を計算すると、既約分解が
Φ=(自明表現)+(自明表現)+(標準表現)
であることも分かる
例えば(a,b,c,d)=(3,2,1,0),(1,1,0,0)が各自明表現の基底である
0215１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 09:44:38.53ID:HeoTRr8A
2点A(0 ,1),B(0,-1)をとる。

点Pは∠APB=π/6を満たしながら動く。点Pの軌跡を求めよ。

点Pは∠AQB=5π/6を満たしながら動く。点Qの軌跡を求めよ。


ベクトルで計算していったのですが
｛x^(y^2-1)｝^2=3/4｛x^4+2(y^2+1)+(y-1)2^｝
となって円の方程式になりません、おねがいします
0216１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 09:57:39.80ID:JZmjW2qA
>>199
(x+y) + |x-y| = 2x,　　　　　　　(x>y)
(x+y)^2 + |x-y|^2 = 2(xx+yy),

a>b>c>d>0 とすると
　m = a+b = 109,
　n = a+c = 99,
　f = 6a+4b+2c = 634,　　(f=4m+2n だが)
　g = 6(aa+bb+cc+dd) = 6･7507,
よって
　(a,b,c,d) = (a, m-a, n-a, √{(g/6) -a^2 -(m-a)^2 -(n-a)^2})
整数条件から
　(a,b,c,d) = (72,37,27,15)　　　>>197
に絞る。

あるいは
　(x+y)^3 + |x-y|^3 = 2x^3 + 6xyy,　(x>y)
　h = (6a^3+4b^3+2c^3) + 6{abb+(a+b)cc+(a+b+c)dd}
　　= (6a^3+4b^3+2c^3) + 6{abb+mcc+(m+n-a)dd} = 3733240,
を使って3つに絞る。
　(a,b,c,d) = (72, 37, 27, 15)
　　　　　(121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
　　　　　(151/2, 67/2, 47/2, 23/2)
0217１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 10:20:08.56ID:YGCYELpd
×公式はミニプログラム　○公式はアルゴリズム

本当に内視鏡技師か怪しいなプログラム爺は
0218１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/29(木) 13:12:57.30ID:z2jmRItd
大人ABCDEF 子供xyz
x x y y z z x x y y z z
[1,] A B C D E F [46,] B E C D A F
[2,] A B C E D F [47,] B E C F A D
[3,] A B C F D E [48,] B E D F A C
[4,] A B D E C F [49,] B F A C D E
[5,] A B D F C E [50,] B F A D C E
[6,] A B E F C D [51,] B F A E C D
[7,] A C B D E F [52,] B F C D A E
[8,] A C B E D F [53,] B F C E A D
[9,] A C B F D E [54,] B F D E A C
[10,] A C D E B F [55,] C D A B E F
[11,] A C D F B E [56,] C D A E B F
[12,] A C E F B D [57,] C D A F B E
[13,] A D B C E F [58,] C D B E A F
[14,] A D B E C F [59,] C D B F A E
[15,] A D B F C E [60,] C D E F A B
[16,] A D C E B F [61,] C E A B D F
[17,] A D C F B E [62,] C E A D B F
[18,] A D E F B C [63,] C E A F B D
[19,] A E B C D F [64,] C E B D A F
[20,] A E B D C F [65,] C E B F A D
[21,] A E B F C D [66,] C E D F A B
[22,] A E C D B F [67,] C F A B D E
[23,] A E C F B D [68,] C F A D B E
[24,] A E D F B C [69,] C F A E B D
[25,] A F B C D E [70,] C F B D A E
[26,] A F B D C E [71,] C F B E A D
[27,] A F B E C D [72,] C F D E A B
[28,] A F C D B E [73,] D E A B C F
[29,] A F C E B D [74,] D E A C B F
[30,] A F D E B C [75,] D E A F B C
[31,] B C A D E F [76,] D E B C A F
[32,] B C A E D F [77,] D E B F A C
[33,] B C A F D E [78,] D E C F A B
[34,] B C D E A F [79,] D F A B C E
[35,] B C D F A E [80,] D F A C B E
[36,] B C E F A D [81,] D F A E B C
[37,] B D A C E F [82,] D F B C A E
[38,] B D A E C F [83,] D F B E A C
[39,] B D A F C E [84,] D F C E A B
[40,] B D C E A F [85,] E F A B C D
[41,] B D C F A E [86,] E F A C B D
[42,] B D E F A C [87,] E F A D B C
[43,] B E A C D F [88,] E F B C A D
[44,] B E A D C F [89,] E F B D A C
[45,] B E A F C D [90,] E F C D A B
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