面白い問題おしえて～な 33問目
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
過去ログ置き場(1-16問目)
//www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
//www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
01 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
02 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
03 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
08 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
09 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/ (前スレ) >>528
具体的な数値にしてPを探索させて面積を出すプログラム作ってみた。
⊿ABC (∠A＝50°, ∠B＝70°) の内部の点をPとしてPA=2 PB=3, PC=4 のとき、⊿ABCの面積を求めよ。
プログラム解（適当に選んだ数字なので厳密解はきれいな値にならないと思う）
> DV2A(50,70,2,3,4)
[1] 10.129
https://i.imgur.com/PFt8IBP.png
A=45, B=90°で a=3 ,b=4, c=5のとき長方形の面積は三角形の2倍なので
> DV2A(45,90,3,4,5)*2
[1] 31.966
これは>481と一致。 Excel解
s(50,70; 2,3,4) = 10.1292395794765
S' = S(2sin(50), 3sin(70), 2√3) = 2.1170290447659
s(45,90; 3,4,5) * 2 = 31.966629547096
S' = S(3/√2, 4, 5/√2) = 3.74165738677394 >>539
厳密解での検算ありがとうございます。
プログラムはバグなく動作している模様でほっとしました。 >>518
図示できないと気持ちが悪いので作図してみた。
https://i.imgur.com/rywGKMj.png
作図できたら計測できるので面積を計算。
> with(vtx,ABC2S(A,F,B)+ABC2S(C,D,B)+ABC2S(E,F,D)+ABC2S(B,D,F))
[1] 2.366025
>521を少数表示すると、
> 3/2+sqrt(3)/2
[1] 2.366025
御明算！ >>541
少し一般化しても、たいして面白くないな。
六角形AB,CD,EFの辺の長さをn,BC,DE,FAの長さをm、
∠A=degA° ∠C=degC° ∠E=degE°、とする。
m=1,n=2, degA=60,degC=90,degE=120のとき
この六角形の面積を求めなさい。
作図するプログラムを書くのが面白かっただけ。
https://i.imgur.com/m045k8H.png
> Hexagon(1,2,60,90,120)
[1] 4.652337 s(m,n; A,C,E) = ⊿FAB + ⊿BCD + ⊿DEF + ⊿BDF
= (1/2)mn{sin(A)+sin(C)+sin(E)} + ⊿BDF
第二余弦定理より
BD^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(C),
DF^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(E),
FB^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(A),
⊿BDF = S(BD,DF,FB)
= (1/4)√{4(mm+nn)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)] - (mm+nn + 2mn[cos(A)+cos(C)+cos(E)])^2}
cos(A)+cos(C)+cos(E)=0 のときは
⊿BDF = (1/4)√{3(mm+nn)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)]}
例)
mm+nn = 5, 2mn = 4,
cos(A) + cos(C) + cos(E) = 0,
FB = √3, BD = √5, DF = √7,
⊿FAB = ⊿DEF = (1/2)√3, ⊿BCD = 1, ⊿BDF = (1/4)√59,
s(1,2; 60,90,120) = 1 ⊹ √3 + (1/4)√59 = 4.652337244536 >>543
厳密解の計算ありがとうございました。
プログラムでの数値解と合致して安心できます。 むこうのスレで盛り上がってますね。（イナさん他）
ヘロンの公式までは高校数学ですかね >>546
投稿した図は、数値計算に基づいて作図したと記載したら
イナ大先生から、
即、
> 図よりc=4.9
> θ=11°
というレスが返ってきて笑ってしまった。
道楽が楽しめるイナ大先生のユーモアに脱帽。 >>517
某パズル本の解答によるヒントです
・まず任意の球面Sから任意の２点p,qを選ぶときS＼{p,q}は円周で分割できる事を示す
・よってr>0に対して原点中心、半径rの球面Srから２点pr,qrを選ぶとき、R^3＼∪{pr,qr}は円周で分割できる
・そこで∪{pr,qr}∪{0}がうまく円周で分割できるように{pr,qr}を選べないか？
著者によるとこれ以外にも方法はいくつか見つかっているそうな >>538-539 (上)
ついでながら、AB^2 = x とおくと
正弦定理より
BC^2 = pp x,
CA^2 = qq x,
ここに
p = sin(50)/sin(60) = sin(50)･2/√3,
q = sin(70)/sin(60) = sin(70)･2/√3,
x を求める式は (イナ氏)
sqrt((49-p*p*x)*(p*p*x-1)) + sqrt((36-q*q*x)*(q*q*x-4)) + sqrt((25-x)*(x-1)) - sqrt(3)*p*q*x = 0, where p= 0.884551930891917861607228426181188396289151, q=1.085063575132498257126257622997857631052135
計算結果
x = 24.372365795851178986638086448179657137312
AB = √x = 4.9368376311006197590325370488442433561053
[高校数学の質問スレ４０８．487,527,533,554] 正方形の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、切り口の長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？ とりあえず最小かどうか知らんけど
θ=1.32664437942827
のとき
一辺のcot(θ)倍したとこから半径1/sin(θ)の円で分割したら長さが1.367191623529913700になった とりあえず最小かどうか知らんけど、
正方形を2つ並べて長方形にする。〔シュタイナーの対称化〕
A(-1,0) B(1,0) C(1,1) D(-1,1)
2点 A, B を通り、x軸との間の面積が１となる、最短の閉曲線を求めよう。
x軸の下に∇形を追加しても同じであろう。
たとえば、半径 1/(sinα), 中心角 2α の円弧としてみよう。
面積条件から
α = 1.206005571956762671263241
弧の長さ(の半分)は
α/(sinα) = 1.290952256413885894632407 あれ？
同じ事やってんのに答え違う？
計算間違えたかな？ しまった
x(sin(x))^2-1/tan(x) = 1
解いてもらってた
x(1/sin(x))^2-1/tan(x) = 1
だorz 拘束条件付きの変分として解いてみたら円弧が必要条件として出るからそれで良さそう 自由端における横断性条件というやつか
ところで正方形の頂点から隣の頂点へのパスで面積を半分にする場合はどうだろう？
この場合、途中が円弧で最初と最後は辺上2線分ということになりそうだけど円の直径が決定できない
線分と円弧が接する場合つまり直径1の円弧で渡るときが最小になりそうな感じはあるが… >>560
あ、これは終点も決めた別問題としての疑問です >>529
計算しない方法
辺長が B'C'=a･sin(A), C'A'=b･sin(B), A'B'=c･sin(C) である三角形の
頂角を ∠A'=α, ∠B'=β, ∠C'=γ とする。
辺C'A'に
辺長が b･sin(A), b･sin(B), b･sin(C) である三角形を貼り付け、
⊿C'A'D'とすれば
A'D' = b･sin(C), B'A' = c･sin(C), ∠B'A'D' = α+A,
B'C' = a･sin(A), C'D' = b･sin(A), ∠B'C'D' = γ+C,
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は x = B'D'/sin(C),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は z = B'D'/sin(A),
よって
x/sin(A) = z/sin(C) (= 2R)
他も同様。 >>560
固定端の方での条件が変わるだけで端じゃないとこの極小条件変わんないんだからやはり円弧やね >>555
円弧であることを前提にして
作図して
https://i.imgur.com/bdmJfo2.png
θをOPの偏角として円弧OQの長さをプログラムで数値積分でグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/ju9BBb0.png
円弧の最小値を与える偏角(radian)
$minimum
[1] -0.3647908
円弧の最小値
$objective
[1] 1.290952
>555の値とほぼ一致した。 >>564
尚、最短の円弧をあたえる円の半径は
[1] 1.070436 >>565
円の中心Pの座標（rcosθ,rsinθ)を計算すると
c(r0*cos(opt$minimum),r0*sin(opt$minimum))
[1] 1.0000000 -0.3818823
Pは辺CAの延長上にある。 この問題、両側 or 片側固定の境界条件なら解分かるけど
例えば正方形の頂点からスタートして正方形の中心を通る曲線で分割とかの「途中の点を通る」拘束条件にするとどうなるんだろ
直感的には中心まで真っ直ぐで後は円弧っぽけど >>567
中心まで直線で行ったらその後も直線になりそうに思うんだが
それと両側固定もそんなに明らかなのか
隣り合う頂点を始点終点にした場合は結局どうするのが正解？ まぁ当たり前なわけはないがオイラーラグランジュ方程式はそこまで難しいわけではない
最小値が存在すれば円弧はまぁ素人でもできる
最小値が存在するのはかなりムズイ
昔類題やった時勉強したけどソボレフ空間とか使わないと難しい
同じ人の出題じゃないのかな >>568
勘で1/2辺に沿って進んで真横に切ってまた辺に沿って1/2降りる2とかかな？ >>570
それよりは円弧で橋架ける方が短いよ
少し計算してみたけど水平に架ける場合やはり円弧は直径1のときが最短っぽい
斜めに架けるとかもありえるからまだ正解が分からん 直径1の半円で2頂点をつなぐと面積が不足するから、その分を長方形で補う
つまりその分の高さ(1/2-π/8)だけ橋ゲタを履かす
全長は2×(1/2-π/8)+π/2=1+π/4となって2より少し短い >>573
おお、なるほど、
というか覚え間違えてた
何個か前の面白い問題スレだったと思うんだけど周を動くのも可だけどその場合は内点部分の長さをL1,周の部分の長さをL2とした時のL1+cL2の最小値を求める問題としたときの解は入射角θを”法線から測る時”sinθ=cになるんだった
今回の場合c=1だからθ=π/2、すなわち辺に接するように入射させるんだった 〔553 の類題〕
長方形（横1/2, 縦１) の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、
切る長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？ 長辺に着地するのか
短辺に着地するのか
どちらでもいいのか
それを問題にしてるんじゃないか まぁ結局
・辺との入射角は法線から測って0°、すなわち垂直にぶつかる
・途中は円弧
を満たす事が必要なのは変わらんからなぁ 前>>521
できるだけ早く対角線に折り目をつけ、
まっすぐに切ることだ。
∴示された。 すごく細長い長方形の場合、短編に着地するよりも長辺に着地した方が短くなるのは明らかだと思うけど、その場合、最小値無しにならないかな？
頂点から長辺のどこかを結ぶ線で最小となるのは長辺に沿って進んで途中から円弧を描いて反対側の頂点へ着地する場合だと思うけど、それは頂点から切り始めるという題意に合わない
頂点から長辺のすぐ近くに沿って切り進んで途中から円弧ということにすると、長辺に近ければ近いほど線長は短くなると思うけど最小値は無しとなる
長辺が短辺のπ/2倍より長くなるとこの状況になるのかな？
なので>>575は解無し？ >>580
確かに紙を切るという設定だとそういう可能性は出てくる
>>573で考えてたときはその設定はなしで考えてたからなぁ
紙を切る設定なら573も解なしか 動ける範囲が定められてるときの変分問題の一般論ってあるんかな
常に境界線上の線分と自由な場合の変分解を区分的につなげた形になるとも思えないし 多分最小値はある
でもそれはソボレフ空間の理論とか使わないと難しい
汎関数の凸性とか使う方法とかもあった >>575
長方形 (横a, 縦1) の紙の場合
・0<a≦2/π のとき
長さ (1/2 - πa/4) の線分と 半径a の(1/4)円
・2/π≦a≦1 のとき
半径 a/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = 1/a,
・1≦a≦π/2 のとき
半径 1/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = a,
・π/2≦a のとき
長さ (1/2a - π/4) の線分と 半径1の(1/4)円 前>>579
放物線で斜向かいの辺に、
零戦が空母の甲板の手前から3/4の位置に垂直にぶつかるように、
突っこめば真っ二つじゃないのか。
それか対数曲線とかか？ 前>>585
零戦の軌道を放物線として真横から見たとき、
正方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこんだ場合、
放物線の内側の面積は正方形の領空のうち2/3だから、
(3/4)(2/3)=1/2
∴あってる。
奥行きが高さの2倍ある領空を零戦が飛んで空母の甲板に垂直に突っこむ場合も同じく、
長方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこめば、
領空の面積は、軌道の上と下の面積がちょうど同じになる。 前>>586
y=1-ax^2
0=1-a(3/4)^2
9a/16=1
a=16/9
y=1-16x^2/9 前>>587
放物線じゃないのかな？
最短軌道だよね。
√2=1.41421356……
1.39ぐらいだろうか。 前>>588
y'=-32x/9
長さL=∫[t=0→3/4]√(1+1024t^2/81)dt
こうか？ >>589
それだと長さが1.308…で
変分解である>>555の円弧1.29…より少し長くなってしまう 平面上にN個の点がある
ちょうど2個の点を通る直線は3本だけ引けた
Nの値は3以外にもありえるだろうか？ >>591
訂正
なるべくNで大きいものを求めてください 0<a≦1 とする。
放物線を
y = (3/4aa)(a^2 - x^2),
とすれば
y ' = - (3/2aa)x,
L(a) = ∫[0,a] √{1 + (y ')^2} dx
= (3/4)√{1+(2a/3)^2} + (aa/3)arcsinh(3/2a)
= (3/4)√{1+(2a/3)^2} + (aa/3)log((3/2a) + √{1+(3/2a)^2})
=================================
a 放物線 円弧(+線分)
--------------------------------------------------------
0.0 0.75 0.50 + 50.0%
0.1 0.76301 0.57854 + 31.9%
0.2 0.79280 0.65708 + 20.7%
0.3 0.83423 0.73562 + 13.4%
0.4 0.88459 0.81416 + 8.65%
0.5 0.94211 0.89270 + 5.53%
0.6 1.00544 0.97124 + 3.52%
2/π 1.02989 1.00 + 2.99%
0.7 1.07359 1.04982 + 2.26%
0.8 1.14574 1.12899 + 1.48%
0.9 1.22127 1.20928 + 0.99%
1.0 1.29964 1.29095 + 0.67%
================================== 4点でもあり得ることはすぐにわかるな
5点以上って可能なんだろうか？ あかんわ、ゴメソ。
N=7
⊿の3頂点A,B,C、内部の点X、AXとBCの交点L、BXとCAの交点M、CXとABの交点N だね
3点 ABC (AB, BC, CA)
4点 ABCL (AB, AC, AL)
6点 ABCLMX (AB, LM, CX)
7点 ABCLMNX (LM, MN, NL)
これで全部かな 前>>589
>>553
円弧の中心を正方形の左下頂点の左方aの位置にとると、
円の半径は√(1+a^2)
扇形の中心角をθとすると、
正方形の面積の半分は扇形から直角三角形を引いて、
π(1+a^2)θ/2π-a/2=1/2
(1+a^2)θ=1+a
θ=(1+a)/(1+a^2)
sinθ=1/√(1+a^2)
cosθ=a/√(1+a^2) 前>>599
求める円弧の長さLは、
2π√(1+a^2)(θ/2π)=θ√(1+a^2)
a=1/tanθを代入しL=θ√(1+1/tan^2θ)
=θcosθ/tanθ
=θ(1-sin^2θ)/sinθ
微分して=0を与えるθが、
おそらくLに極値を与え、
それが最小値なんじゃないか？ >>593
0<a≦1 とする。
双曲線函数を
y = {cosh(ka) - cosh(kx)}/k,
(k は等面積条件で決める。)
とすれば
y '= - sinh(kx)
l(a) = ∫[0,a] √{1+(y')^2} dx = sinh(ka)/k,
=========================================
a 放物線 cosh 円弧(+線分)
-----------------------------------------
0.0 0.75 0.53 0.5 + 6.0 %
0.1 0.76301 0.667650 0.57854 +15.4 %
0.2 0.79280 0.730424 0.65708 +11.2 %
0.3 0.83423 0.791905 0.73562 + 7.65%
0.4 0.88459 0.855342 0.81416 + 5.06%
0.5 0.94211 0.921616 0.89270 + 3.24%
0.6 1.00544 0.990922 0.97124 + 2.03%
2/π 1.02989 1.017050 1.0 + 1.70%
0.7 1.07359 1.063184 1.04982 + 1.27%
0.8 1.14574 1.138208 1.12899 + 0.82%
0.9 1.22127 1.215752 1.20928 + 0.54%
1.0 1.29964 1.295561 1.29095 + 0.36%
========================================= 区間 (－1,1) で連続な関数全体で任意の自然数nにおいてx,x^2,…x^nは一次独立であることを示せ >>602
x,x^2,…x^nの線形和をf(x)として、
f(1/2n)=f(2/2n)=...=f(n/2n)=0
の解はヴァンデルモンドの行列式使えばf(x)=0しかない。 >>603
ヴァンデルモンドの行列式が出てくるとはおどろきでした。もう少し詳しく説明してほしいです。 >>604
> >>603
> ヴァンデルモンドの行列式が出てくるとはおどろきでした。もう少し詳しく説明してほしいです。
f(x)の係数を未知数とする方程式f(1/2n)=f(2/2n)=...=f(n/2n)=0
の係数行列を見れば良い。
1/2n,...,n/2nに意味はない。0でない相異なるn点で良い。 >>605
理解できました。ありがとうございます。 実ベクトル空間Vのベクトルuに対してW={au;a∈R}がVの部分空間であることを示せ >>598
５点のときに成立する配置が存在しないのが驚き >>598
しかしこれ証明ってどうやったらいいんだろうなあ >>613
7個の配置図で得られた交点上に点を選ぶとして
https://i.imgur.com/bk5dweB.png
P,Q,Rのいずれか１個、いずれか２個、 ３つ全部
のどの場合も条件を満たさないから、８個以上は無理なのではないだろうか？
でも、五個はだめでも６，７個は可能だったから根拠薄弱だろうな。 >>614-617
もういい、
このスレつまんない、
かえる >>614の正解は
「表面積 = 最も広い断面 4枚分」
が成立するという点でした。
頂点の数が4つの三角錐 と 頂点の数が非常に多い球体
この2つはまったく別物に見えますが
割と似ているんですねぇ
N角錐の頂点の数を無限大へ近づけているだけで 実際には、正N角形で錐の立体が
存在しえないのもあるんでしょうけど、
ここでは観念上で存在するとします。
三角錐から、Nを増やしていくと
Nを3,4,5,6,7,…
三角錐 → 球体 になるっていう。
表面積 = 断面 x 4 平面上のN個の点のうちちょうど二点を通る直線が一つも存在しない場合に
全ての点が同一直線上にある、ってことさえ、示すのはだいぶ難しそうな予感… 問題っていうか、ただの定義の
確認のデモンストレーションみたいでゴメンね。
一応確認したいんだけどさ。
「正N角形のみで構成される立体」 のうち、
その表面積が (最大の) 断面 x 4枚分
となるような立体で実在するのは
三角錐 および 球体 この2つだけ…
という考えは正しいよね？ 例外とか存在せんよな？ >>615-617
体積 → 漢字 → 日本語
と煽り方が上がっていくのが
くそムカつく… （ '‘ω‘）
球体でぶん殴ってあと、三角錐の頂点を突き刺したい 流れを戻します。
問題 1.
「正N角形のみで構成される立体」 のうち、
その表面積が (最大の) 断面 x 4枚分
となるような立体を考える。
この時、実在するのは 三角錐 および 球体 この2つだけである。
これは真であるか、偽であるか？証明せよ。(Aランク大 2020 前期) 三角錐ってだけじゃ最大の断面と表面積の比率は決定しないよなあ
正四面体と言うならそうかもしれんが >>630
それが言いたかった！
立体のうち、表面積が断面(のうちもっとも面積の大きいもの) の
4倍になるのは 球 と 正四面体だけ！！
>>629
言葉がおかしかったな、ごめん。
でも伝わるからいいだろ。
この反例があるなら、挙げてみそみそ。 >>632
全部ってなんやねん。
球 と 正四面体 しかないやろ。
それ以外の四面体を挙げてみろや。 辺の長さが全て等しい多角形において、隣り合う二つの角度が無理数° ならば、それらとは別の角度で少なくとも一つは無理数° であることを示せ. >>633
等面四面体
全ての面が合同なやつ
面積だけ一致させたいならもっとあるんじゃない？ 1+e^(iπq_1)+e^(iπq_2)+…+e^(iπq_n)=0 かつ
q_k(k=1,…,n-1)が有理数、q_nが実数であれば
e^(iπq_n) は代数的数。よってq_nも有理数。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
