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グロダンディークの夢－トポスと正多面体
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0001Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:28:31.60ID:GMz9Qgqz
本スレッドは、グロタンディークが上げた12テーマについて語る

１．位相的テンソル核と核型空間
２．"連続"と"離散"の双対性　(導来圏と六つの演算)
３．グロタンディーク‐リーマン・ロッホの定理の一般化 (K-理論、交叉理論との関係)
４．スキーム
５．トポス
６．l-進エタール・コホモロジー
７．モチーフとモチヴィック・ガロア群
８．クリスタルとクリスタリンヌ・コホモロジー
９．トポロジー代数、∞-園、"デリヴァトゥール"("dérivateurs") (新しいホモトピーによるトポスのコホモロジーによる定式化)
１０．穏和トポロジー
１１．遠アーベル幾何学、ガロア・タイヒミュラー理論
１２．正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究
0086１３２人目の素数さん
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2020/07/29(水) 12:03:05.58ID:sLS83PPA
10点満点でグロタンディークを5点とすると、ガウス、オイラー、リーマン、ポアンカレ、ニュートン、ヒルベルトは何点？
0087１３２人目の素数さん
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2020/07/30(木) 12:05:17.72ID:rDzaiNCX
>>1
先見性凄すぎるな。80年くらいの話？
グロタンディークなら単独でラングランズ解決できそうと思わせる
何気に多面体の数論に目を付けてるのが凄い。最先端
0089１３２人目の素数さん
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2020/07/30(木) 20:46:50.16ID:RZs5vg4P
多面体の数論って具体的になんなの？
0090グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
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2020/07/31(金) 22:18:19.38ID:5BfVHkgu
代数体上の非特異な射影代数多様体に対しては
L-関数に関するBeilinson-Bloch予想があるけども
これはチャウモチーフに対しても拡張されるし
l-進アーベルヤコビ写像というのを使ってやると
グロタンディークモチーフにも一般化できるらしい
0092１３２人目の素数さん
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2020/08/01(土) 11:50:18.49ID:5V07Lmo1
>>91
そもそも何が云えれば「モチーフが解けた」と云えるの？

>>87　>>89
数論的多面体、というのは通常の多面体とどう違うんですかね？
0093グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
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2020/08/01(土) 21:55:17.71ID:2sQgHHb0
「モチーフを解く」というのは標準予想のことかな？
標準予想は代数曲線とかアーベル多様体とかの場合には
証明されてるけど、一般の場合はあまり進展ないみたい
ラングランズプログラムと同じで誰かがいっぺんに全部
解決するというのはちょっと難しいんじゃないかと思う
0094１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:25:55.06ID:Gy6y7tWX
標準予想とはこのことか？

代数的サイクルの標準予想
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%A8%99%E6%BA%96%E4%BA%88%E6%83%B3

数学では、代数的サイクルについての標準予想(standard conjectures)とは、
代数的サイクルとヴェイユ・コホモロジー論の関係を記述する
一連の予想のことを言う。
これらの予想の応用のひとつは、
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)
が想定していたことであるが、彼のピュアモチーフの構成が
半単純なアーベル圏をもたらすことを証明するためであった。
さらに、彼が指摘したように、
標準予想はヴェイユ予想の最も困難な部分の証明をも意味する。
最も困難な部分とは、1960年代の終わりにまだ未解明であり、
後日、ピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)により証明されることとなった
「リーマン予想」の部分を言う。
ヴェイユ予想と標準予想のリンクの詳細はKleiman (1968) を参照。
標準予想は未解決のままであり、その応用は結果の条件付き証明
(conditional proof)を与えるだけでしかない。
ヴェィユ予想を含む非常にまれな場合には、
条件なしでそのような結果を証明することのできる
別の方法が見つかっている。
0095１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:29:42.75ID:Gy6y7tWX
レフシェッツタイプの標準予想 (予想 B)

ヴェイユ理論の公理の一つは、
いわゆる、強レフシェッツ定理（あるいは、公理）である。

固定された滑らかな超平面切断(hyperplane section)
W = H ∩ X
から始める。
ここに H は、周りの空間である P^ N の超平面で、
与えられた滑らかな多様体 X を含んでいるとすると、
i ≤ n = dim(X) に対し、
W を持つコホモロジー類との交叉により
定義されるレフシェッツ作用素
L : H i(X) → H i+2
が同型
Ln－i : H i(X) → H 2n－i(X)
を与える。

ここで、i ≤ n に対し、
Λ = (Ln－i+2)－1 ∘ L ∘ (Ln－i) : H i(X) → H i－2(X)
Λ = (Ln－i) ∘ L ∘ (Ln－i+2)－1 : H 2n－i+2(X) → H 2n－i(X)
と定義する。

この予想は、レフシェッツ作用素(Lefschetz operator) (Λ) が
代数的サイクルにより引き起こされることを意味している。
0096１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:30:50.46ID:Gy6y7tWX
キネットタイプの標準予想 (予想 C)

射影子
H ∗(X) ↠ Hi(X) ↣ H ∗(X)
は代数的であることが予想されている。

つまり、有理係数のサイクル π i ⊂ X × X で引き起こされる。
このことは、全ての純粋モチーフ M は
純粋ウェイトの次数付きピースへ分解することを意味する。

予想は曲線、曲面、アーベル多様体の場合について成り立つことが知られている。
0097１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:32:04.10ID:Gy6y7tWX
予想 D (数値的同値 vs. ホモロジカル同値)

予想 D は、数値的同値とホモロジカル同値が一致することを言っている。
（特に、ホモロジカル同値がヴェイユコホモロジー論の選択には依存しないことを意味する。）

この予想はレフシェッツの予想を含んでいる。
ホッジ標準予想が成り立てば、レフシェッツの予想と予想 D は同値である。
0098１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:33:55.22ID:Gy6y7tWX
ホッジ標準予想

ホッジ標準予想はホッジ指数定理(Hodge index theorem)上でモデル化された。
ホッジ標準予想は、原始的代数的コホモロジー類上のペアのカップ積の定値性
（正値性と負値性が次元に従い変化する）のことを言っている。
もし定値性が成り立つと、レフシェッツ予想が、予想 Dを意味する。
標数が 0 のときには、ホッジ理論の結果、ホッジ標準予想が成立する。
正の標数のとき、ホッジ標準予想は曲面の場合のみしか知られていない。

ホッジ標準予想は、
C 上の滑らかな射影多様体に対し、
全ての有理 (p, p)-クラスは代数的である
というホッジ予想とは異なるので、混乱しないでほしい。

ホッジ予想は標数が 0 の体の上の多様体の予想 D と
レフシェッツの定理とを含んでいる。

テイト予想は、すべての体上のℓ-進コホモロジーの
レフシェッツの定理、キネットの公式、予想 D を含んでいる。
0099１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:41:17.71ID:aKPsic6C
モチーフの理論は標準予想だけでは終わらない
コンヌやコンツェビッチが思想を広げて射程すらよくわからなくなってきてるな
0100１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:57:49.13ID:Gy6y7tWX
>>99
それは結構　ぜひコンヌやコンツェビッチの仕事も紹介して下さい
0101１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 16:36:33.99ID:VG4P6TQc
正多面体ってたしか5種類しかないよね
ここになんか豊かな理論があるの？
誰か3行で説明してくれ
0102１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 16:39:46.04ID:Gy6y7tWX
実際には、正多面体以外の正規配位図形も含まれるらしい

双曲平面上の配置まで考えれば無限に存在するのではないでしょうか？
0103１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 17:19:57.40ID:RLajRtsd
>>96
Kunnethのことをキネットって呼ぶ人初めて見た
と思ったらwikiはそう呼んでるのね
キュネスとかクヌースとかが多い印象
0105１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 19:10:38.24ID:LVI82pAD
>>102
正規配位図形が何かわからん
定義教えて
0107１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 21:36:40.05ID:f8+4u2Up
球面にランダムにドット振ってもけっきょく不動点できちゃうのと関係ある？。
0108１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 16:33:05.80ID:oNzb06v/
滑らかな無限小解析

滑らかな無限小解析（英: Smooth infinitesimal analysis、SIA）は
無限小の言葉を用いた微分積分学の現代的な再定式化（のひとつ）である。

ウィリアム・ローヴェアのアイデアに基づき、また圏論の手法を用いることで、
SIAは全ての関数は連続であって、離散的実体を用いて表現することができないものと見做す。
SIAは理論としては総合微分幾何の一部である。
0109１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 16:43:01.94ID:oNzb06v/
総合微分幾何学
https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_differential_geometry

数学では、総合微分幾何学は、微分幾何学の理論を
トポス理論の言語で形式化したものである。
このような再構成を可能にするいくつかの洞察がある。
第一に、滑らかな多様体のクラスを記述するための解析データのほとんどは、
多様体上の特定のファイバー束、すなわちジェット束に符号化できる
ということである。
第二の洞察は、滑らかな多様体にジェット束を割り当てる操作は、
本質的に汎関数であるということです。
第三の洞察は、ある圏上では、これらは表現可能な関手であるということである。
さらに、それらの代表は二重数の代数に関連しているので、
滑らかな無限小解析が使用される可能性があります。

総合微分幾何学は、微分幾何学の概念を定式化するための
プラットフォームとして機能します。
例えば、自然（不変）であることの意味は、
古典的な微分幾何学での定式化は非常に難しいかもしれませんが、
特に簡単な表現を持っています。
0110１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 16:48:47.62ID:oNzb06v/
ジェット束
https://en.wikipedia.org/wiki/Jet_bundle

微分位相幾何において、ジェット束は、与えられた平滑なファイバー束から
新たな平滑なファイバー束を作るある種の構造である。
これにより、ファイバー束の断面上の微分方程式を
不変形で書くことが可能になります。
ジェットはまた、テイラー展開の座標自由版として見られることもある。

歴史的には、ジェット束はシャルル・エレスマンによるものであり、
新たに導入された形式変数に微分形式の条件を課すことで、
高次導関数を幾何学的に扱うというエリー・カルタンの方法（延長）を
発展させたものである。
ジェット束は、時にはスプレーと呼ばれていますが、
スプレーは通常、より具体的には、対応するバンドルに誘導された
関連するベクトル場を参照してください
（例えば、フィンスラー多様体上の測地線スプレー）。

1980年代初頭から、ジェット束は写像の導関数に関連する現象、
特に変分法に関連する現象を簡潔に記述する方法として登場した。
その結果、ジェット束は現在、幾何学的共変場理論のための
正しい領域として認識されており、このアプローチを用いた
場の一般相対論的定式化では多くの研究が行われている。
0111１３２人目の素数さん
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2020/08/05(水) 14:55:29.84ID:6GfY4HqW
SKETCH OF A PROGRAMME　by Alexandre Grothendieck
https://webusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/EsquisseEng.pdf

Summary:
1. Preface.
2. A game of “Lego-Teichm¨uller” and the Galois group Q over Q.
3. Number fields associated to a child’s drawing.
4. Regular polyhedra over finite fields.
5. Denunciation of so-called “general” topology, and heuristic reflections
towards a so-called “tame” topology.
6. “Differentiable theories” (`a la Nash) and “tame theories”.
7. Pursuing Stacks.
8. Digressions on 2-dimensional geometry.
9. Assessment of a teaching activity.
10. Epilogue.
0112グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
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2020/08/05(水) 21:15:33.95ID:I3QeyycA
保型形式に対しモチーフを対応させることができる
ラングランズは保型表現の全体からなる圏を考えて
ある群の表現圏と同値になるようなものを想定した
その群はラングランズ・ガロア群と呼ばれているけど
話を逆にたどって、ラングランズ・ガロア群の表現
こそがモチーフなのだ、と考えたらどうだろうか
というわけで、ラングランズ・ガロア群の正体を
まずは明らかにする必要があるな、という妄想です
0114１３２人目の素数さん
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2020/08/06(木) 17:22:48.74ID:/k6YYsYk
＞１２．正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究

これって「マッカイ対応」に関係した話？
0115グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
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2020/08/09(日) 17:31:12.86ID:cCoAmGOX
そもそもモチーフなどというものは、グロタンの空想から湧き
出たもので、実際にはそんなものは存在しないのかもしれない
例えば、一元体上の絶対数学などが研究されてるわけだけども
実際には一元からなる体など存在しないし、一元体上定義された
代数多様体やらスキームなどの圏があるというわけでもない
数値的同値とホモロジカル同値が一致するといったような標準
予想も成り立っていない可能性があるし、そこに存在するのは
ガロア加群とL関数だけだよという、そんな妄想を抱いています
0116１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 18:09:43.85ID:s2uMTfpj
モチーフとはようするにヴェイユ予想の普遍性なんだろ?
一例だけでも証明されてるからその範囲では成立してるが
より広範囲ってことなんだろ?
0117１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 18:12:45.19ID:k7ukMcet
>>115
創造的な（誤ってるかもしれない）仮説ってのもいいんじゃないか？
0118１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 18:15:08.40ID:k7ukMcet
望月新一も「ＡＢＣ予想解いた！」とかいうんじゃなくて
あくまで創造的な仮説としてＩＵＴを提案できたらよかった

ただ、グロタンディクやティッツほどのセンスはなかったようだが
0119１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 18:20:24.87ID:s2uMTfpj
とりあえず広範囲、あらゆる場合ではなくて
実数のリーマン予想でモチーフ理論(の証明)が成り立つということでいいのかと
0120１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 18:24:48.70ID:s2uMTfpj
>>116
普遍性といっときながら、自分をそれを無視してるが
普遍性は証明されてないが、ヴェイユ予想は証明されてる状態か
現行構成が理想的なやつかどうかをわからないし
0121１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 18:30:24.02ID:s2uMTfpj
モチーフがなんなのか、なにが嬉しいのかがよく分かってはいないが
ダイレクトサム、プロダクトみたいな極限的な考えで、
コホモロジー論の親玉みたいのがつねに存在しヴェイユ予想が成立しているというやつでいいのか
0122１３２人目の素数さん
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2020/08/09(日) 23:04:04.47ID:zEVAP8F3
>>121
何が嬉しいかははっきりしている
代数多様体を全て「すっきり」計算できることだ
単にヴェイユ予想が成り立つかどうかではなく、良いコホモロジー理論があるからヴェイユ予想が
すっきり特徴付けされるとも言える
一つのポイントは、代数体のl進コホモロジーがどう理解されるかだろう
有限体と違い一般のエタールコホモロジーは良いモチーフの性質を必ずしも満たさないように見られるので、
むしろはなからモチーフ理論的な観点を利用し、数論的なコホモロジーをはっきり捉えることが期待される
0123１３２人目の素数さん
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2020/08/10(月) 22:49:05.30ID:Z3rXuZr1
Motivic cohomologyとモチーフって直接関係あるの？
0124１３２人目の素数さん
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2020/08/11(火) 22:08:53.28ID:fzdmd2kK
Ext部分とウィキペディアに書いてあるじゃん
K理論やチャウ群を使って代数的サイクルの拡大を定式化する場合に該当するのがモチーフ的コホモロジーだから
モチーフ理論の本質的な要素ということ
0125１３２人目の素数さん
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2020/08/12(水) 00:00:49.02ID:6mD0J3Fj
コホモロジーとホモロジーの関係が
Ext 依存なのなんとなくわかった気がするんだが、これ射影空間だと、ねじれ部分は無視できるということ？
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 07:07:40.29ID:IKWN0ZI7
ホモロジー、コホモロジーではないとおもうぞ
ざっくり調べてみたところ
ざっくりいってモチーフが全体で、モチビックコホモロジーが個々で等式等で必要なものでは?
ざっくりいって圏と射の関係では
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 07:09:35.42ID:IKWN0ZI7
ちがってて射はfunctorかもしらない
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/22(土) 00:19:12.13ID:PIye8TW8
スキームは好きか
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/09(水) 23:07:25.98ID:IR7822fG
スキームは空きー無
0130盗聴盗撮犯罪者・色川高志が嫌がらせをしつこく継続
垢版 |
2021/03/17(水) 13:55:25.86ID:KkUI8XzM
色川高志（葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６－２６－６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/27(土) 13:13:07.45ID:HxEDg/nu
〔問題〕
ある4面体は、どの2面も同じ角度(二面角)で交わっています。
これはどんな4面体でしょうか。
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/03(月) 06:43:41.27ID:yDIDmN/Q
>>L-関数に関するBeilinson-Bloch予想

デデキントのζ関数のs=0における主要項の記述を
一般化したもの
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