フェルマーの最終定理の簡単な証明
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。 >247
二項展開しろは前にも聞いた。でも最後まで証明できなかったじゃないか。
二項展開した式を示してください。 >248
x=αs,y=αt,z=αuを代入したr^(p-1)=pが成り立つとき、
r^(p-1)=pは、rが無理数でないと、成り立ちません。 >254
x=αs,y=αt,z=αuをz=x+rに代入したらrは無理数です。 >>251 日高
> >245
> >>241 日高
> 無理数になることはありますよ。
>
> 示してください。
思い出しておくと：
>>241 日高
> >232
> 君が示す必要べき命題はそれじゃない。x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p の無理数解が整数比になることはない、だ。
>
> x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p の解x,y,zが有理数となることはないので、解x,y,zが、
> 無理数となることは、ありません。
p=3のときx^3+y^3=(x+√3)^3。x^3+y^3=x^3+3x^2√3+9x+3√3、y^3=3x^2√3+9x+3√3。
y=πとおくとxは無理数になると思うよ。 >>252 日高
> >246
> フェルマーの最終定理の場合には君の論法が通用することを示すのは君の責務だ。
> さあ、示してくれたまえ。
>
> 249を読んでください。
そんなに言うなら>>249に習って次の証明：
【定理】pが奇素数のとき、x^p+7y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+7y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+7y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){7(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+7y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){7(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+7y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+7y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
反例はx=y=1,z=2。
これが間違いで君のが正しいと言うのなら、そのことを証明してくれたまえ。 >>253 日高
> >247
> 二項展開しろは前にも聞いた。でも最後まで証明できなかったじゃないか。
>
> 二項展開した式を示してください。
君が証明できたと言うんだから、君が示すのが当然だろ。お前、常識ないな。 >255
x=αs,y=αt,z=αuをz=x+rに代入したらrは無理数です。
そうなりますね。 >>259
では
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589674835/の>>236のとおりなので
「x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)に無理数で整数比の解x=αs,y=αt,z=αuがあるとき、
(3)に有理数で整数比の解はある」は間違いです。
同時に、「(3)に有理数で整数比の解がなければ、(3)に無理数で整数比の解がない」も間違いです。
無理数で整数比の解を調べていない>>249は間違っています。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >>261って>>249と本文はまったく同じだけど何のためにまた書き込むの？ >256
p=3のときx^3+y^3=(x+√3)^3。x^3+y^3=x^3+3x^2√3+9x+3√3、y^3=3x^2√3+9x+3√3。
y=πとおくとxは無理数になると思うよ。
そう思います。 >260
無理数で整数比の解を調べていない>>249は間違っています。
有理数で、整数比の解がないので、無理数で整数比の解は、ありません。 >>266
それは間違いであることを>>236で証明済みです。
>>261は間違っています。 >>265 日高
> >256
> p=3のときx^3+y^3=(x+√3)^3。x^3+y^3=x^3+3x^2√3+9x+3√3、y^3=3x^2√3+9x+3√3。
> y=πとおくとxは無理数になると思うよ。
>
> そう思います。
さっきはぼんやりしていましたが、わかりました。
もしもxが有理数だとすると、左辺は有理数体上超越的、右辺は代数的なので、矛盾します。 >238
p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。
このとき、x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3がx^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。
これで、日高の言ってることと矛盾はありません。だから証明になっていません。
まとめると、
A^3+B^3=(A+1)^3となります。 >>269 日高
> >238
> p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。
> このとき、x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3がx^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。
> これで、日高の言ってることと矛盾はありません。だから証明になっていません。
>
> まとめると、
> A^3+B^3=(A+1)^3となります。
そうだとするとA^3+B^3=(A+3)^3と矛盾します。 >264
>>261って>>249と本文はまったく同じだけど何のためにまた書き込むの？
掲示板で、見るためです。最新50に返る必要をなくすためです。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >267
それは間違いであることを>>236で証明済みです。
>>261は間違っています。
236は、理解できません。 >268
> p=3のときx^3+y^3=(x+√3)^3。x^3+y^3=x^3+3x^2√3+9x+3√3、y^3=3x^2√3+9x+3√3。
> y=πとおくとxは無理数になると思うよ。
>
> そう思います。
さっきはぼんやりしていましたが、わかりました。
もしもxが有理数だとすると、左辺は有理数体上超越的、右辺は代数的なので、矛盾します。
「左辺は有理数体上超越的、右辺は代数的なので、」
言葉の意味が、わかりません。 実数xが有理数体上代数的とは、xが、方程式「有理数を係数とする多項式=0」の解になること。
超越的とは、代数的でないことを言います。 >271
> A^3+B^3=(A+1)^3となります。
そうだとするとA^3+B^3=(A+3)^3と矛盾します。
x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。とすると、
x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3
(A/√3)^3+(B/√3)^3=((A/√3)+√3)^3
両辺を、(√3)^3で割ると、
A^3+B^3=(A+1)^3となります。 >277
実数xが有理数体上代数的とは、xが、方程式「有理数を係数とする多項式=0」の解になること。
超越的とは、代数的でないことを言います。
よくわかりません。 >>279
十分に明確に、かつわかりやすく述べたつもりです。 >>278 日高
> (A/√3)^3+(B/√3)^3=((A/√3)+√3)^3
> 両辺を、(√3)^3で割ると、
> A^3+B^3=(A+1)^3となります。
(A/3)^3+(B/3)^3=(A/3+1)^3になりませんか？ z-xが無理数であるとき、xとzの少なくとも一方が無理数である。
x:zが整数比ならば、xとzの両方が無理数であるし、
x:y:zが整数比ならば、xとyとzがすべて無理数である。
よって「z-xが無理数、かつ、yが有理数のとき、x:y:zは整数比にならない」はxyzが満たす式とはまったく関わりなく成立する。 「z-xが無理数」であるときに「x:y:zが整数比となりうるか否か」を考えるのであれば、「xとyとzがすべて無理数」の場合を考えなければならない。
yが有理数の場合を考えても意味はない。 もしフェルマーがABC予想を本の隅に書き残してたら、歴史はどう変わったかな？ >283
「z-xが無理数」であるときに「x:y:zが整数比となりうるか否か」を考えるのであれば、「xとyとzがすべて無理数」の場合を考えなければならない。
「x:y:zが整数比となりうるか否か」を考えるとき、
「xとyとzがすべて無理数」の場合を考えるのと、
「xとyとzがすべて有理数」の場合を考えるのは、同じことです。
理由は、
「xとyとzがすべて無理数」の場合のx,y,zを、共通の無理数で割ると
有理数となるからです。 >>285 日高
それは、考えている式が斉次式ならば、の話です。 >282
x:y:zが整数比ならば、xとyとzがすべて無理数である。
この、x,y,zを共通の無理数で割ると、商は、有理数となります。 >281
> (A/√3)^3+(B/√3)^3=((A/√3)+√3)^3
> 両辺を、(√3)^3で割ると、
> A^3+B^3=(A+1)^3となります。
すみません。計算間違いでした。
「 両辺を、(√3)^3で割ると、」を
「 両辺に、(√3)^3をかけると、」に訂正します。
A^3+B^3=(A+3)^3となります。 >286
それは、考えている式が斉次式ならば、の話です。
考えている式は、
x^p+y^p=z^pではないのでしょうか？ > >286
> それは、考えている式が斉次式ならば、の話です。
>
> 考えている式は、
> x^p+y^p=z^pではないのでしょうか？
ここで考えているのは、r=z-x、r^(p-1)=pのとき。
つまり
> x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
です。
rは定数なので、右辺は斉次式ではありません。 > x^p+y^p=z^pではないのでしょうか？
こちらで考えることもできなくはないかもしれませんが、
その場合はrも共通の無理数で割られて有理数になります。
「rは無理数」という前提が崩壊するため、意味はないでしょう。 >291
「rは無理数」という前提が崩壊するため、意味はないでしょう。
意味が、よく理解できないのですが？ >290
> x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
です。
rは定数なので、右辺は斉次式ではありません。
x+p^{1/(p-1)}=zなので、斉次式ではないでしょうか？ p=3 のときは r=√3 で、
y^3 = 3√3 x^2 + 9 x + 3√3
となりますが、これを斉次式とよぶのですか？ >294
p=3 のときは r=√3 で、
y^3 = 3√3 x^2 + 9 x + 3√3
となりますが、これを斉次式とよぶのですか？
展開すると、斉次式となりません。
x^2+y^2=z^2
z=x+1
x^2+y^2=(x+1)^2
y^2=2x+1
r=1であっても、展開すると、斉次式となりません。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 展開したら斉次式でないことがわかるのなら、その式は元から斉次式ではなかったのです。 >>293
> x+p^{1/(p-1)}=zなので、斉次式ではないでしょうか？
x、zは1次の項、p^{1/(p-1)} は 0次の項。 >>288
結局>>238氏の指摘に>>1氏は反論失敗ってことでおｋ？ >298
展開したら斉次式でないことがわかるのなら、その式は元から斉次式ではなかったのです。
斉次式であるか、否かは、この証明に対して、どういう意味があるのでしょうか？ >>301
反論どころか、わかりませんといって以降無視することですら、彼が納得しているなら彼にとっては成功じゃないのかな。
私は、彼以外にとって、彼が間違っていると納得させられないことは失敗だと考えている。 >299
x、zは1次の項、p^{1/(p-1)} は 0次の項。
x^p+y^p=z^pを考えるので、全てp次の項と思います。 >>303
> >>301
>
> 反論どころか、わかりませんといって以降無視することですら、彼が納得しているなら彼にとっては成功じゃないのかな。
>>275とか>>279とかかな。 >300
結局>>238氏の指摘に>>1氏は反論失敗ってことでおｋ？
p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。
このとき、x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3がx^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。
x^3+y^3=(x+√3)^3に、x=A/√3,y=B/√3を代入すると、
A^3+B^3=(A+3)^3となります。この式は、
「反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。」
このことを、言ってることにな
これで、日高の言ってることと矛盾はありません。だから証明になっていません。 >>302
>>285 の
> 「xとyとzがすべて無理数」の場合のx,y,zを、共通の無理数で割ると
> 有理数となるからです。
ここで「x,y,zを共通の無理数で割」ったもので置き換えて考えている。
これが許されるのは「x^p+y^p=z^p」が斉次式であり「x,y,zを共通の無理数で割」ったものもまた解になるからだが、
問題となるのは「r=z-x=p^(1/(p-1))」という斉次式でない条件が「x,y,zを共通の無理数で割」ったことで崩れていること。
「x,y,zを共通の無理数で割」ったのなら、崩れてしまっている「r=z-x=p^(1/(p-1))」を前提として導かれたことは使ってはいけない。 >306
>300
結局>>238氏の指摘に>>1氏は反論失敗ってことでおｋ？
p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。
このとき、x=A/√3,y=B/√3,z=C/√3がx^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解です。
x^3+y^3=(x+√3)^3に、x=A/√3,y=B/√3を代入すると、
A^3+B^3=(A+3)^3となります。この式は、
「反例A^3+B^3=C^3があったとします。A,B,Cは自然数でC-A=3です。」
このことを、言ってることになります。
「これで、日高の言ってることと矛盾はありません。だから証明になっていません。」の意味がわかりません。 >307
問題となるのは「r=z-x=p^(1/(p-1))」という斉次式でない条件が「x,y,zを共通の無理数で割」ったことで崩れていること。
よく、理解できないので、もう少し詳しく説明していただけないでしょうか。 >>308 日高
「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するかどうか日高さんは論じていないので、
この状態が起こることを否定できないわけです。だから日高さんの証明は間違っています。 >>1
定理の意味は、
pが奇素数のとき、
x^p+y^p=z^p
が成り立つような、
”どんなx,y,zの組をもってきても”
このx,y,zは0以外の有理数とならない。
ということです。
しかし、あなたの答えは、
たった一つ、
x, y, (x+p^{1/(p-1)}
を、式にあてはめて、確かめただけです。
間違いです。 >310
「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するかどうか日高さんは論じていないので、
この状態が起こることを否定できないわけです。だから日高さんの証明は間違っています。
「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。 >311
x, y, (x+p^{1/(p-1)}
を、式にあてはめて、確かめただけです。
間違いです。
x, y, (x+(ap)^{1/(p-1)}
も、式にあてはめて、確かめています。
両方とも、整数比になりません。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >>312
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
x^3+y^3=(x+√3)^3の整数比の無理数解 x=A/√3,y=B/√3 の共通の無理数を落とした
(A, B)
は、x^3+y^3=(x+3)^3 の解なので、
x^3+y^3=(x+√3)^3の解ではありません。 >>312 日高
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
証明してください。 >>313
ほかにもいっぱいあるでしょう
考えられるもの全部あてはめても
どんなx,y,zの組をもってきても
0以外の有理数とならない
これを示さないといけないのです >316
(A, B)
は、x^3+y^3=(x+3)^3 の解なので、
x^3+y^3=(x+√3)^3の解ではありません。
(A, B)はどういう意味でしょうか？ >>319
(A, B)は
x=A/√3,y=B/√3 の共通の無理数を落とした
有理数の組です。 >>320
(A, B)は
を
AとBは
に読み替えても良いです。 >317
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
証明してください。
x+√3=zとおくと、
「x^3+y^3=z^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
「x^3+y^3=z^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
となります。 >318
ほかにもいっぱいあるでしょう
考えられるもの全部あてはめても
どんなx,y,zの組をもってきても
0以外の有理数とならない
これを示さないといけないのです
aは、実数なので、(ap)^{1/(p-1)}は、
無限にあります。 >>322 日高
> >317
> > 「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> > 「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
>
> 証明してください。
>
> x+√3=zとおくと、
> 「x^3+y^3=z^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=z^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
> となります。
それは私が証明を求めた命題の証明ではありません。ごまかさないでください。 >321
(A, B)は
を
AとBは
に読み替えても良いです。
すみませんが、最初から、書いてもらえないでしょうか？ >324
それは私が証明を求めた命題の証明ではありません。ごまかさないでください。
x+√3=zではないのでしょうか？ >>325
>>312
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
x^3+y^3=(x+√3)^3の整数比の無理数解 x=A/√3,y=B/√3 の共通の無理数を落とした
AとBは、x^3+y^3=(x+3)^3 の解なので、
x^3+y^3=(x+√3)^3の解ではありません。 >327
x^3+y^3=(x+√3)^3の整数比の無理数解 x=A/√3,y=B/√3 の共通の無理数を落とした
AとBは、x^3+y^3=(x+3)^3 の解なので、
x^3+y^3=(x+√3)^3の解ではありません。
「AとBは、x^3+y^3=(x+3)^3 の解なので、」
AとBは、A^3+B^3=(A+3)^3の解となるでしょうか？ 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >>328
貴方が>>308で
> x^3+y^3=(x+√3)^3に、x=A/√3,y=B/√3を代入すると、
> A^3+B^3=(A+3)^3となります。
と書いているじゃないですか。 >331
> A^3+B^3=(A+3)^3となります。
と書いているじゃないですか。
A,Bは、自然数ですが、両辺が等しくなるかどうかは、わかりません。 >>332
> >331
> > A^3+B^3=(A+3)^3となります。
> と書いているじゃないですか。
>
> A,Bは、自然数ですが、両辺が等しくなるかどうかは、わかりません。
いいえ、等しくなります。
なぜならそれが、「=」の定義だからです。 >>322
> x+√3=zとおくと、
> 「x^3+y^3=z^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=z^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
> となります。
有理数で整数比をなす数は x+√3=zとおけません。 このスレでは
「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」は
「『x^3+y^3=z^3かつz=x+√3』の無理数だが整数比をなす解x,y,z」の意味です。
それに気をつけると>>312 日高
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
は
「『x^3+y^3=z^3かつz=x+√3』の無理数だが整数比をなす解x,y,z」が存在するならば、
「『x^3+y^3=z^3かつz=x+√3』の有理数で、整数比をなす解x,y,z」が存在します。
の意味になって二行目の命題は偽ですから一行目の命題が偽にならないと全体が真になりません。
一行目はフェルマーの最終定理のp=3の場合ですからその証明がなければなりません。
>>322 日高は
> x+√3=zとおくと、
> 「x^3+y^3=z^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=z^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
> となります。
とすることで連立方程式の片方の式z=x+√3を消してしまっています。 >333
いいえ、等しくなります。
なぜならそれが、「=」の定義だからです
等しくなるとすると、フェルマーの最終定理が、否定されます。 >334
有理数で整数比をなす数は x+√3=zとおけません。
よって、有理数で整数比をなす数はないという結論になります。 >>336
> >333
> いいえ、等しくなります。
> なぜならそれが、「=」の定義だからです
>
> 等しくなるとすると、フェルマーの最終定理が、否定されます。
なぜでしょうか？
出来れば数式を使って説明して欲しいです。 >335
> x+√3=zとおくと、
> 「x^3+y^3=z^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
> 「x^3+y^3=z^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。
> となります。
とすることで連立方程式の片方の式z=x+√3を消してしまっています。
z=x+√3なので、消していません。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。 >>336
失礼しました。
>>238氏の指摘は
> p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。
から始まっているので、
フェルマーの最終定理が否定された時を論じています。
よって何の問題もありません。 >338
なぜでしょうか？
出来れば数式を使って説明して欲しいです。
あなたが、最初に、A^3+B^3=C^3を、仮定したからです。 >342
> p=r=3の場合に反例A^3+B^3=C^3があったとします。
から始まっているので、
フェルマーの最終定理が否定された時を論じています。
その結果、A^3+B^3=(A+3)になるということですね。 >>345
A^3+B^3=(A+3)^3 ですね。
なので、AとBは、
x^3+y^3=(x+√3)^3の解ではありません。 >346
なので、AとBは、
x^3+y^3=(x+√3)^3の解ではありません。
x=A,y=Bとしたら、x^3+y^3=(x+√3)^3は、成り立ちません。 >348
ええ、だからそう言っています。
x=A/√3,y=B/√3としたら、x^3+y^3=(x+√3)^3は、
A^3+B^3=(A+3)^3となります。
A^3+B^3=(A+3)^3は、成り立つかどうかは、この式からは、わかりません。
(実際には定理により、成り立ちません） >>349 日高
> A^3+B^3=(A+3)^3は、成り立つかどうかは、この式からは、わかりません。
> (実際には定理により、成り立ちません）
君はその定理を証明したんでしょう？
この式が成り立たないことを示せるんですよね？
示してください。 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。 >350
> A^3+B^3=(A+3)^3は、成り立つかどうかは、この式からは、わかりません。
> (実際には定理により、成り立ちません）
君はその定理を証明したんでしょう？
この式が成り立たないことを示せるんですよね？
351により、
x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)
(3)は、yを有理数とすると、xは、無理数となる。
αを、無理数、A,Bを有理数とする。
(3)は、(αA)^3+B^3=(αA+√3)^3…(4)となる。
(4)の両辺に、(√3)^3をかけると、
(α√3A)^3+(√3B)^3=(α√3A+3)^3…(5)となる。
α=√3とおくと、(5)は、
(3A)^3+(√3B)^3=(3A+3)^3…(6)となる。
(6)は、Bが無理数でないと、成り立たない。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
