純粋・応用数学

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/25(火) 11:58:05.45

クレレ誌
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。

現代の純粋・応用数学を目指して

2020/04/02(木) 22:27:47.19

>>31
追加

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1200-4.pdf
数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 39-47
Weight-monodromy conjecture over positive
characteristic local fields
東大数理・修士課程伊藤哲史 (Tetsushi Ito)
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo
1. INTRODUCTION
本稿ではウェイト・モノドロミー予想について, 筆者が修士論文 [It] で得た結果を紹
介する. ウェイト・モノドロミー予想は, 局所体上の固有かつ滑らかな代数多様体の $l$
進コホモロジーに定まるウェイト・フィルトレーションとモノドロミー. フィルトレー
ションが, 次数のずれを除いて一致するという予想であり, 一般には未解決の難問であ
る. [It] の主定理は, ウェイト・モノドロミー予想が正標数の局所体上で成り立つ, とい
うことである.
細かな定義は後で述べることにして, まずはウェイト・モノドロミー予想の定式化を
与えよう. $K$ を局所体 (本稿では局所体とは完備離散付値体を意味するものとする), $F$
を剰余体,
$l$ を $F$ の標数と異なる素数とする. $X$ を $K$ 上の固有かつ滑らかな代数多様体
とする.

ウェイト・モノドロミー予想と
はこれらの 2 つのフィルトレーションが次数のずれを除いて一致するという予想である.
予想 Ll (ウエイト. \yen $\text{ノ}$ ドロミー予想, [De2]). $M$ をモノドロミー. フィルトレーショ
ン, $W$ をウェイト・フィルトレーションとする. このとき $M_{i}V=W_{w+i}V$ が全ての $i$ で
成り立つ.
さて, 主結果を述べよう.
定理 12([It]). $K$ が正標数ならばウエイト・モノドロミー予想は正しい.
系として, モデルをとって標数 $p$ に還元することで, $K,$ $F$ が両方とも標数 0 の場合も
正しいことも分かる.
系 L3. $K$ と $F$ の標数が等しければウェイト・モノドロミー予想は正しい.

つづく

2020/04/02(木) 22:28:17.08

>>87

つづき

したがって, ウェイト・モノドロミー予想は, $K$ が混標数の場合が残されたことに
なる. Langlands 対応などへの応用上は, 残された混標数の場合が重要であると考えら
れる. しかし, この場合は, 様々な部分的な結果はあるものの, 一般には未解決である
$([\mathrm{I}\mathrm{I}],[\mathrm{R}\mathrm{Z}],[\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{A}7- \mathrm{I}])$.
なお, エタールコホモロジーの比較定理を用いることで, 系 13 から $\mathbb{C}$ 上の Hodge 理論
におけるウェイト・モノドロミー予想の対応物が得られる. すなわち, 複素単位円板上の
代数的な Hodge 構造の退化に対して, Schmid のフィルトレーション ([Sc]) と Steenbrink
のフィルトレーション ([St]) の一致を示すことができる. これはすでに Steenbrink, 斎藤
盛彦氏らによる証明があるが ([St], 510, [Sal], 425), [It] により有限体上に帰着する別
証明が与えられたことになる.
(引用終り)
以上

2020/04/02(木) 22:32:48.80

>>87
追加

http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/cgi-bin/gazo.cgi?no=118434
学位論文要旨
伊藤,哲史
P進一意化を持つ多様体に対するウェイト・モノドロミー予想 2003.03.28
(抜粋)
　ウェイト・モノドロミー予想(weight-monodromy conjecture)とは,Deligneにより1970年の国際数学者会議において提出された予想である([D1]).これは,完備離散付値体上の固有かつ滑らかな代数多様体のl進コホモロジーに定義されたモノドロミー・フィルトレーションの重み(weight)が純であるという予想として定式化されており,
"Deligneによるモノドロミー・フィルトレーションの純性予想"とも呼ばれている.本論文の主結果は,Drinfeld上半空間によるp進一意化を持つ代数多様体に対し,ウェイト・モノドロミー予想が成り立つ,ということである.

　ウェイト・モノドロミー予想は,代数多様体が有限体上の曲線上の族から来ているときは,Deligne自身によってWeil予想の証明の中で解かれており([D2]),一般の正標数の場合はこれから従う.また,複素数体C上では,Hodge理論における対応物が単位円板上のHodge構造の退化の理論として研究され,Steenbrink,斎藤盛彦氏によって示されている([Sa]).
Kが混標数の場合も,曲線またはアーベル多様体の場合はGrothendieckにより([SGA7-I]),曲面の場合はRapoport-Zink,de Jongらにより示されている([RZ]).また,ある種の3次元代数多様体に対する結果もある(参考論文[1]).しかし,予想の提出から30年以上経った今日でも,3次元以上では一般には未解決である.

つづく

2020/04/02(木) 22:34:11.52

>>89

つづく

　まず,ウェイト・モノドロミー予想について簡単に復習しよう.混標数の場合が問題なので,Kをp進体Qpの有限次拡大体とし,Fqをその剰余体とする.
lをpと異なる素数とする.XをK上の固有かつ滑らかな代数多様体とすると,l進コホモロジー〓にはKの絶対Galois群〓が連続的に作用する.完全系列によって惰性群IKを定める.IKの副l部分は,によってZl(1)と同形である(πはKの素元,(1)はTate捻り).Grothendieckのモノドロミー定理により,IKのVへの作用は準巾単である.
これよりIKの開部分群J⊂IKと,モノドロミー作用素と呼ばれる巾零写像N:V(1)→Vが存在し,各σ∈Jに対してp(σ)=exp(tl(σ)N)となることが分かる.
NからVのモノドロミー・フィルトレーションM.が次の条件をみたす唯一のフィルトレーションとして定まる.M.は〓の作用で安定なVの増大フィルトレーションであり,十分大きなkに関してM-kV=0,MkV=V,全てのkに対してN(MkV(1))⊂Mk-2Vを満たし,さらに,これから誘導される写像Nk:GrMkV(k)→GrM-kVは同形である(GrMkV:=MkV/Mk-1V).〓の〓における像が〓となるとき,σを幾何学的Frobeniusの持ち上げという.

　予想(ウェイト・モノドロミー予想).〓を幾何学的Frobeniusの持ち上げとすると,全てのkに対して,σのGrMkVへの作用の固有値は代数的整数であり,その全ての複素共役の複素絶対値はq(k+w)/2である.

http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/data/h14data/118434/118434a.pdf
(引用終り)
以上

2020/04/02(木) 22:44:03.37

>>87
追加

http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/YoshidaTeruyoshi.pdf
第 50 回代数学シンポジウム・徳島大学，2005 年 8 月 2 日
GLn の大域・局所 Langlands 対応
吉田輝義1
(京都大学大学院理学研究科 / Harvard University)
(抜粋)
3 類体論と Langlands 対応

P14
Harris-Taylor は
藤原の跡公式 ([Fu1]) および Berkovich 解析空間の理論を用いて，この方法を一般次元の特殊な
unitary 型志村多様体に拡張することで，定理 24 の（Weil-Deligne 表現の）N に関する部分を
除く整合性および定理 22 を証明した．[TY] では，さらに半安定還元の場合の重さスペクトル系
列 ([RZ], [Sai]) の各項を計算することで N に関する整合性を示した（これは，この志村多様体
に関するウェイト・モノドロミー予想の特殊な場合にあたる）．その証明では，まず [HT] の結果
からこの場合の一般 Ramanujan 予想（全ての有限素点での局所成分 Πv が tempered であるこ
と）が従うことが本質的に使われる8．

謝辞今回代数学シンポジウムで講演させていただく貴重な機会を下さったオーガナイザーの先
生方に厚く感謝します．また，本稿を詳しく読んで頂いた伊藤哲史氏（京大理）に感謝します．
(引用終り)
以上

2020/04/02(木) 22:54:21.23

>>87
追加
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf
2009年サマースクール
保型表現とGalois表現
?初学者のために?
吉田輝義（よしだ・てるよし／ケンブリッジ大学数学科）

目次
1 表現論の諸相 (1) 1
2 Q 上の L 進指標の類体論（GL1/Q の Langlands 対応） 5
3 表現論の諸相 (2) 8
4 Langlands 対応入門 13

P20
(iii) は不分岐な v では Weil 予想（Deligne
の定理），一般には未解決のウェイト・モノドロミー予想の帰結であり，(iv) は (i) と同様の制限下でL 進エター
ルコホモロジーの構成の帰結である．

これらの予想は主に代数幾何学における重さの哲学を反映するものであるから，代数幾何学を通して証明され
るものが多いが，保型表現の解析的理論がもっとも強力に定性的な結果をもたらすものとしては，有限性がある．
代数的な Π, R の導手を，すべての有限素点における Πv,WD(Rv) の導手 pmv の積 ?vpmv で定めると，これは有
限積で OF のイデアルとなり，Π と R が対応すれば互いの導手は等しい．Π の導手は Hecke 指標のモジュラス・
保型形式のレベルにあたるものである．

2020/04/02(木) 23:01:01.92

以上、”ウェイト・モノドロミー予想”とは？　について、調べたむずいｗｗ（＾＾；

2020/04/03(金) 00:16:16.17

https://en.wikipedia.org/wiki/Perfectoid_space
Perfectoid space
(抜粋)
In mathematics, perfectoid spaces are adic spaces of special kind, which occur in the study of problems of "mixed characteristic", such as local fields of characteristic zero which have residue fields of characteristic prime p.

A perfectoid field is a complete topological field K whose topology is induced by a nondiscrete valuation of rank 1, such that the Frobenius endomorphism Φ is surjective on K°/p where K° denotes the ring of power-bounded elements.

Perfectoid spaces may be used to (and were invented in order to) compare mixed characteristic situations with purely finite characteristic ones. Technical tools for making this precise are the tilting equivalence and the almost purity theorem. The notions were introduced in 2012 by Peter Scholze.[1]

Contents
1 Tilting equivalence
1.1 Almost purity theorem
2 See also

2020/04/03(金) 00:43:32.96

＜ウェイト・モノドロミー予想＞

１．伊藤哲史先生>>87-88
「Langlands 対応などへの応用上は, 残された混標数の場合が重要であると考えら
　れる. しかし, この場合は, 様々な部分的な結果はあるものの, 一般には未解決である」
２．Perfectoid space >>94
「In mathematics, perfectoid spaces are adic spaces of special kind, which occur in the study of problems of "mixed characteristic"」
　で、"mixed characteristic"混標数の性質の良い空間を作って
　そこで、ウェイト・モノドロミー予想を部分解決したってことかな？（>>31）
３．「ウェイト・モノドロミー予想(weight-monodromy conjecture)とは,Deligneにより1970年の国際数学者会議において提出された予想である([D1]).」
「これは,完備離散付値体上の固有かつ滑らかな代数多様体のl進コホモロジーに定義されたモノドロミー・フィルトレーションの重み(weight)が純であるという予想として定式化されており,」
「"Deligneによるモノドロミー・フィルトレーションの純性予想"とも呼ばれている.」
　か。さっぱり分からんが、下記 Kirti Joshi先生のPDFとの関連はついたかな（＾＾

（参考）
https://arxiv.org/pdf/2003.01890.pdf
On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and its applications Kirti Joshi 20200305
(抜粋)
P61
26 Perfectoid algebraic geometry as an example of anabelomorphy
A detailed treatment of assertions of this section will be provided in [DJ] where we establish many results in parallel with classical anabelian geometry.
In particular this suggests that the filtered absolute Galois group of a perfectoid field of characteristic zero has non-trivial outer automorphisms which does not respect the ring structure of K.

つづく

2020/04/03(金) 00:43:59.28

>>95

つづき
This is the perfectoid analog of the fact that the absolute Galois group GK of a p-adic field K has autormorphisms which do not preserve the ring structure of K.
Now let me explain that the main theorem of [Sch12b] provides the perfectoid analog of anabelomorphy (in all dimensions).
Suppose that K is a complete perfectoid field of characteristic zero.
Let X/K be a perfectoid variety over K, which I assume to be reasonable, to avoid inane pathologies. Let π1(X/K) be its ´etale site. Let Xb/Kb be its tilt.
Then the main theorem of [Sch12b] asserts that
Theorem 26.1. The tilting functor provides an equivalence of categories π1(X/K) → π1(Xb/Kb).
If L is any untilt of Kb and Y/L is any perfectoid variety with tilt Yb/Lb =～ Xb/Kb.
Then one has π1(X/K) =～ π1(Y/L) and in particular X/K and Y/L are perfectoid anabelomorphs of each other.
In particular one says that X/K and Y/L are anabelomorphic perfectoid varieties over anabelomorphic perfectoid fields K ←→ L.
Thus one can envisage proving theorems about X/K by picking an anabelomorphic variety in the anabelomorphism class which is better adapted to the properties (of X/K) which one wishes to study.
In some sense Scholze’s proof of the weight monodromy conjecture does precisely this: Scholze replaces the original hypersurface by a (perfectoid) anabelomorphic hypersurface for which the conjecture can be established by other means.
(引用終り)
以上