極限操作が雑に見えなくもないので少し書き直しておく (実際は同内容)

0 < ε < 1 とする.
Σ[k=1..∞] (1-ε)^k/k = -ln(1-(1-ε)) = -ln(ε) ・・・(1)

N を n < N, (1-ε)^N/ε < ε となるようにとる.
Σ[k=n+1..N] (1-ε)^k/k = ∫[x=0,1-ε]dx Σ[k=n+1..N] x^{k-1}
= ∫[x=0,1-ε]dx (x^n　-　x^N)/(1-x)
= ∫[x=ε,1]dx (1-x)^n/x　-　α(N)
= -ln(ε) + Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k} (1-ε^k)/k　-　α(N) ・・・(2)
Nの条件より 0 < α(N) < ε

(1)-(2) より
Σ[k=1..n] (1-ε)^k/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} (1-ε^k)/k + α(N)
ε → +0 の極限をとって
Σ[k=1..n] 1/k = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1} 1/k
を得る.