高校数学の質問スレPart403
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart402
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571854647/ △OABと点A'が与えられたときに△OAB∽△OA'B'となるような点B'を
定規とコンパスで作図する方法はどうすればいいのでしょうか？ >>851
例えば、直線OA'上にOA''=OAとなる点A''をとり、△OAB≡△OA''B''を作る
点A'を通りA''B''と平行な直線を引いて直線OB''との交点をB'とすれば△OA'B'は△OABと相似になるんでないか？ 数aの問題です。
【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】 という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。 pだけいった、qだけ行った、どっちも行った、どっちも行ってない
の4つのどれかに必ず分類される
と考えたらすぐ分かるんじゃない？ 実数x,y,zに対し
x^3+y^3+z^3-3xyz ≧ 2{ (x+y)/2-z }^3
が成り立つことを示すにはどうしましょう。
展開sるとぐちゃぐちゃでとても整理できないです僕には x=-1, y=z=0 のとき
左辺は-1
右辺は-1/4 正の実数x,y,zに対し
x^3+y^3+z^3-3xyz ≧ 2{ (x+y)/2-z }^3
でした。すみみせん。 >>860
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～ >>861
馬鹿丸出しｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ >>857が「反例」になってることが理解できない馬鹿ガイジがドヤ顔で
必要条件十分条件を指摘してるスレはここですか？ もしかして>>857が>>855の反例ではなく成り立つことの証明だと勘違いしたとか……？
そんで「具体例ひとつ挙げただけで証明になるわけねーだろｗｗｗｗ」と言いたかったのかな？ そんなこと言い愛してるのつまらないですよ。
それより
正の実数x,y,zに対し
x^3+y^3+z^3-3xyz ≧ 2{ (x+y)/2-z }^3
の証明の仕方をお願いです。 x=(p+q)/2、y=(p-q)/2、z=tp/2 と置き換えると
左辺-右辺=(3/8)(p^3(t-1)^2+pq^2(t+2))≧0 ミス
×：左辺-右辺=(3/8)(p^3(t-1)^2+pq^2(t+2))≧0
○：左辺-右辺=(3/8)(p^3 t(t-1)^2+pq^2(t+2))≧0
元に戻すと
左辺-右辺=(3/4)(z(2z-x-y)^2 +(x-y)^2(x+y+z))≧0 >>854 そう考えましたがなかなかできません。
図（長方形内に円を複数個描いて部分集合などを表すもの）で考えても全くわかりませんでした…。
青チャートの問題なのですが、やっぱ白チャートからの方がいいでしょうか？（今、中三で四月から高校生なので予習として勉強しています。青チャート以外に学校の教科書ガイドを使って予習しています。） 前>>592
>>853
ベン図を描いて、
(1)PとQのダブリがある人数は、
147+86=233(人)
PとQのダブリがない人数は300-131=169(人)
∴PとQの両方に行った人数は、
233-169=64(人)
(2)Pのみ行った人数は、
147-64=83(人)
Qのみ行った人数は、
86-64=22(人)
∴PとQのどちらか一方のみ行った人数は、
83+22=105(人) それわからないなら先取りなんてしている場合じゃないよ
pに行ったことがある人＝両方に行ったことがある人+pだけに行ったことがある人
qに行ったことがある人＝両方に行ったことがある人+qだけに行ったことがある人
300人=pだけに行ったことがある人+qだけに行ったことがある人+両方行ったことがある人+どちらにも行ったことがない人
などを考えればわかるはずだが >>870
その程度の分類なら
田の字みたいな表のほうが
わかりやすいよ ベン図という言葉は習わないのかな
それにしても特に習っていなくても中学受験する小学生にも解けるくらいの問題だと思うのだが
小中の算数、数学を復習した方がいいと思う ヴェン図だけど
3つまでなら対称な図だけど
4つ5つで対称な図の書き方ってあるかな？ >>873
田の字に十字は図として対称だけど4つの位置関係で対称じゃ無いのでイマイチ >>876
4つなら空間の球4個で、5つなら4次元空間の３次元球で表すことができる。6、7、…個でも同様に >>877
田の字は2種類の分類限定
2種類ならVenn図よりも田の字のほうが
初心者にもわかりやすい
4種類で対称な図形は
3次元空間ないの4つの球 必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～
必要条件と十分条件から学び直しましょうね～ すいません 16の解答が48になってるんですが間違ってないですか？
https://i.imgur.com/UNYOjm6.jpg (15-1)+2*(10-1)+3*(6-1)+4*(3-1)
=14+18+15+8=55 じゃないか？ >>887
問題のほうの図が間違っているとしか思えないな
しかしそうだとしても面積1の個数のほうが面積2の個数より少ないなんてことあるんかな？
わけがわからないね >>888 やっぱり誤植ですよね？出版社HPにも誤植掲載ないので自分が間違ってるかと悩んでました ありがとうございます ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
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＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>884かぞえたら47個だった。前>>871だから４だね。かぞえる人の体調にもよるかな。＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ 面積５のものとか、面積８のものの個数が１個というのが、明らかにおかしい。
問題図の対称性からして、二個になるはず。
従って問題図が改変されていると思われるが、そのほかにも、
「組み合わせてできる」と書かれているのだから、
単独でできている面積１の正方形を加えるているのもおかしい。 前>>890
正方形1個を「組み合わせてできる」とみなすかどうか。
正方形1個で正方形も長方形とみなすなら長方形15個(おそらく除外)
正方形2個で長方形20個
正方形3個で長方形12個
正方形4個で長いの6個と四角いの6個=12個 正方形5個で長方形2個
正方形6個で長方形6個
正方形8個で長方形2個
正方形9個で長方形1個
20+12+12+2+6+2+1=55
∴55個
(ただし、正方形1個を組み合わせてできるとみなすなら70個)
正方形を長方形とみなさないなら、7個減って48個。 面積1の個数のほうが面積2の個数より少ないってことは図によってはあり得るのか >>887
左右逆転してるけど、下のように正方形が並んでいた場合なら、
あの解答は、正当な解説になる
□
□□
□□□□
□□□□□ ごめん。
オレ>>884の問題の意味からわからないんだけどコレ何を聞いてるの？
誰か問題の意味を解説してもらえませんか？ >>888
2×3の長方形では
面積1は6個だけど面積2は7個ですよ >>814 への解答として >>829 は正しいのでしょうか。
異なる奇素数p,qに対して
U_1=「pで割ると余りがaになる整数の集合」、U_2=「pで割ると余りがbになる整数の集合」
V_1=「qで割ると余りがcになる整数の集合」、V_2=「qで割ると余りがdになる整数の集合」
とするとき、U_1,U_2,V_1,V_2 の合併が整数全体になりうるか？
というのが>>814ですが、
一方>>829 で示されたのは
「4つの集合 (U_i)∩(V_j) (i=1,2 ; j=1,2) の合併は整数全体になれない」
ということのように思えるのですが。 >>901 さんの指摘は正当なもの。
ただし、問題の意図がどちらなのかは不明。
意図が>>829さんが解釈した通りなら、もちろんそのままでokだが、そうじゃない方の意図だと、
解答としてちょっと足りないことになるが、その場合でも、少々の修正で対応可能。
題意のような事を成立させることができたとする。つまり、
「うまくp,q,・・・,s そして a,b,c,d,・・・,h,iを選ぶ(a～iの方は異なってなくていいです)と
これらの集合で整数全体を覆うこと」ができたとする。
このとき、pで割ったときの余りが、aでもbでもない、別の値で、
残りの素数で割ったときの余りが、上で想定したものだった場合、どうなるかを考えればよい。 http://uploader.sakura.ne.jp/src/up172838.png
この問題ですが、解き方が分かりません。
AC>DAを前半の条件を使って証明するように思うのですが、一体どうやって・・・？ >>904
△ABDと△CBDは1辺（BD）とその両端の角が等しいので合同
対角線の交点をEとすると△AEDと△CEDは2辺とその間の角が等しいので合同
∠AEDと∠CEDは等しく、また足すと180°なのでそれぞれ90°
条件から∠ADEは30°より大きいのでAEはADの半分よりも長い
なのでACはADより長い
以下はわかっているようなので略 >>867
愛し合うのは良いことですが、スレチですね。
まづ
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz
= (x+y+z){(xx+yy+zz) - (xy+yz+zx)}
= (x+y+z){(x-z)^2 + (y-z)^2 + (x-y)^2}／2
と因数分解し、次に
x+y+z ≧ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z},
と
(x-z)^2 + (y-z)^2 = 2{(x+y)/2 - z}^2 + (1/2)(x-y)^2,
を使う。
(右辺) ≧ 2{(x+y)/2 - z}^3 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2. 4(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=(x+y+z)(4x^2+4y^2+4z^2-4xy-4yz-4zx)
=(x+y+z)(x^2+y^2+4z^2+2xy-4yz-4zx+3x^3+3y^3-6xy)
=(x+y-2z+3z)((x+y-2z)^2+3(x-y)^2)
=(x+y-2z)^3+3(x+y-2z)(x-y)^2+3z((x+y-2z)^2+3(x-y)^2)
従って x^3+y^3+z^3-3xyz-2((x+y)/2-z)^3=(3/4)((x+y+z)(x-y)^2+z((x+y-2z)^2))≧0
等号は x-y=0 かつ x+y-2z=0 つまり、x=y=z の時
>>906 等号条件出せます？ 大、中、小の３個のサイコロを投げるとき、その目の積が６の倍数になる場合の数を求めよ。
よろしくお願いします。 ①6が含まれる場合 6^3-5^3=(6-5)納k=1,3]6^(3-k)5^(k-1)=6*6+6*5+5*5=36+30+25=91
②1か5のどれかと2と4のどれかと3が出る場合 3!*2*2=24
③2と4と3が出る場合 3!=6
④2と4のどちらか二つと3が出る場合 3!/2!*2=6
⑤2と4のどれかと3が二つ出る場合 3!/2!*2=6 ６が３個 1
６が２個 3C2*5=15
６が１個 3C1*5*5=75
以下６が０個
３が２個 3C2*2=6
３が１個 3C1*(4*4-2*2)=36
1+15+75+6+36=133 別解1
1:2の倍数でも3の倍数でもない目
x:2の倍数の目
y:3の倍数の目
とすると、サイコロの目は、１から順に 1,x,y,x,1,xy となる
(1+x+y+x+1+xy)^3=(2+2x+y+xy)^3=(1+x)^3(2+y)^3
=(1+7X)(8+19Y)=1+56X+19Y+133XY （X,Yはそれぞれ、2の倍数、3の倍数となっている目を表している）
2の倍数かつ3の倍数になっているのは、XYの係数に表れるので 133が答
別解2（別解1の解釈改変版）
サイコロの目は2の倍数が2,4,6、3の倍数が3,6と周期的に、かつ独立に存在する。
そこでサイコロを、０と１だけが出る２値ルーレットと、０と１と２がでる３値ルーレットの
二つが組み合わさったものと見なし、それぞれ三回ずつ回すこととする。
二値ルーレットの０は２の倍数、３値ルーレットの０は３の倍数に対応させると、
二値ルーレットで少なくとも一回０が出て、３値ルーレットでも少なくとも一回０がでる場合の数はと
問題を読み替えることができ、前者は 1-(1/2)^3 の確率で起こり、後者は 1-(2/3)^3の確率で起こる
6^3*(1-(1/2)^3)*(1-(2/3)^3)=(2^3-1^3)*(3^3-2^3)=(8-1)*(27-8)=7*19=133 >>908
サイコロがn個の場合
・6が1個はある。
#{1～6} - #{1～5} = 6^n - 5^n,
・6がなく、3があり、かつ偶数がある。
#{1～5} - #{1,2,4,5} - #{1,3,5} + #{1,5}
= 5^n - 4^n - 3^n + 2^n,
・合わせて 6^n - 4^n - 3^n + 2^n. ﾁｮﾄ改良････
・3の倍数があり、かつ偶数がある。
#{1～6} - #{1,2,4,5} - #{1,3,5} + #{1,5}
= 6^n - 4^n - 3^n + 2^n,
{1,5} = (Z/6Z) ’ ････ 正則元全体の集合
#{1,5} = φ(6) = 2 ････ Euler totient function >>910
3が1個のところで4^2-2^2を使っているのに6のところで6^3-5^3を使っていないのがちょっと謎 >>901
そうですね。正当な指摘ですね。
ちょっと足りないので、少々の修正をします。
pで割った余りは 0～p-1 のpとおり
qで割った余りは 0～q-1 のqとおり
････
sで割った余りは 0～s-1 のsとおり。
したがって、これらの組合せは pq･･･s = N とおりある。
一つの組合せをみたす自然数は {1,2,････,N} 中に高々１個しかない。 >>829
∴ 任意の組合せの自然数が {1,2,････,N} 中に存在する。
その中に
「pで割った余りがa,b以外で、 qで割った余りがc,d以外で、･････、
sで割った余りが h,i以外のもの」
も存在する。(p,q,･･･,sは奇素数だったから) >>907
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x+y+z){(x-z)^2 + (y-z)^2 + (x-y)^2}/2
= (x+y+z){(x+y)/2 - z}^2 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2
≧ (x+y-2z){(x+y)/2 - z}^2 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2 (← x+y-2z=0)
= 2{(x+y)/2 - z}^3 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2
≧ 2{(x+y)/2 - z}^3 (← x-y=0)
かな >>914
m面サイコロがn個で
m = pq･･･s (相異なる素数)
のときは
Σ[i=0,1][j=0,1]････[L=0,1] (-1)^(i+j+････+L) {(p-i)(q-j)････(s-L)}^n
とおり かな >>917
>> = (x+y+z){(x+y)/2 - z}^2 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2
>> ≧ (x+y-2z){(x+y)/2 - z}^2 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2 (← x+y-2z=0)
この変形ならok
しかし、>>906では
>> x+y+z ≧ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z}
と使われていた。こちらは間違い。
これでは、不等式が、 x+y+z ≧ x+y-2z つまり、z ≧ -2z 由来となり、
等号がz=0(偽の条件式)の時、成立となる。
一方、上の式の両辺に、{(x+y)/2 - z}^2 がかけられた形
(x+y+z){(x+y)/2 - z}^2 ≧2{(x+y)/2 - z}^3
なら、等号は、x+y+z=x+y-2z または、(x+y)/2 - z=0 のときに成立することになり、
自動的に後者が成立条件となる >>906
の式は
x+y+z ＞ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z}
と訂正します。
ところで･･･
⊿ = (x-y)(y-z)(z-x),
とおくと
〔楠瀬の不等式〕
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz ≧ k･｜⊿｜,
k = √(9+6√3) = 4.403669475
等号は (x,y,z) = (0.69666，0.30334，0) のとき。
数学セミナー、1992年7月号、p.59-60 エレ問、優秀賞2
これに倣って
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz -2{(x+y)/2 - z}^3 ≧ 4.401355557｜⊿｜,
等号は (x,y,z) = (0.6978192，0，0.3021808) のとき。 >>828
久しぶりぶりに見たら、やっぱりキチガイがレスつけてたか
相変わらずスレ荒らすだけが生きがいなんだな
早く死ね >>916
>その中に
>「pで割った余りがa,b以外で、 qで割った余りがc,d以外で、･････、
>sで割った余りが h,i以外のもの」
>も存在する。(p,q,･･･,sは奇素数だったから)
最後のこの部分が議論に飛躍があるような気がしなくもないのは
気のせいか。 x=-x
両辺をxで割ると1=-1となり矛盾
この矛盾は0で割ったことによって生じたのでx=0
これって数学的に正しいんですか? いや違うわ、「0で割ったことによって生じたので」がおかしい
xで割ってる時点で0でないと仮定してる、その仮定がおかしかったと表現すべき ですよね
自称進のクソ教師が作った背理法のプリントに書いてありました xy座標で定点a,b,cが与えられているとき
a,b,cを頂点とする平行四辺形の第四頂点が3個あることの証明を教えてください 中点三角形が abc となるような大三角形 ABC をとる。
つまり、重心Gのまわりに -2倍に拡大する。
↑OG = (↑Oa + ↑Ob + ↑Oc)/3,
↑OA = ↑Ob + ↑Oc - ↑Oa,
↑OB = ↑Oa + ↑Oc - ↑Ob,
↑OC = ↑Oa + ↑Ob - ↑Oc,
第四頂点dは上のA,B,Cのいずれかである。 >>924
背理法の表現方法とは別に、0で成り立つことを言う必要があるんじゃないんかな
背理法の部分は0以外では成り立たないことを示したに過ぎない 前>>892
>>929
四点目をd,d',d''とする。
abの中点をoとすると、
→ad=→ac+2→co
=→ac+2(→ao-→ac)
=2→ao-2→ac
=→ab-→ac
=→cb──①
acの中点をpとすると、
→ad'=→ab+2→bp
=→ab+2(→ap-→ab)
=2→ap-→ab
=→ac-→ab
=→bc──②
bcの中点をqとすると、
→ad''=2→aq
=2(→ao+→ap)
=2→(→ab/2+→ac/2) =→ab+aac②─③
∴②③より、、
示された。。 前>>934
文字化けして終盤が書けないけど、点d,d',d''が異なることがベクトルで示せると思う。 >>924
x=-x → x=0
は正しいしそれはその背理法で示されているよ
>>932
逆向きはこの際必要ないのでは？ >>924
背理法以前の問題
日本語がゴミすぎて証明になってない もし背理法を用いたいのであれば
背理法で示す
～を仮定する
～は～である ①
一方～は～である ②
①と②は両立し得ないので不合理である
ゆえに背理法により～である
これくらいの日本語を使って欲しい どうせバカガキが教師の作ったプリントの
自分に都合のいい一部をぬきだして改変して書いてるんだろ
ガキは馬鹿だからいちいち真に受ける必要なし >>933 は >>929 の答
異なる4玉の数珠順列 >>936
「この矛盾は0「でない数」で割ったことによって生じたのでx=0」
と言いたかった単純ミスなのは明らかだが、抜けた言葉が悪く
「×この矛盾は0で割ったことによって生じたのでx=0」
となって意味が逆になってしまっている 前>>935
>>929
四点目をd,d',d''とし、
abの中点をoとすると、
→ad=→ac+2→co
=→ac+2(→ao-→ac)
=2→ao-2→ac
=→ab-→ac
=→cb──①
acの中点をpとすると、
→ad'=→ab+2→bp
=→ab+2(→ap-→ab)
=2→ap-→ab
=→ac-→ab
=→bc──②
bcの中点をqとすると、
→ad''=2→aq
=2(→ao+→ap)
=2→(→ab/2+→ac/2)=→ab+→ac──③
①②よりd,d'はaについて対称な点であり、
かつad=ad'=bc
図を描くとadbcおよびabcd'はともに平行四辺形だとわかる。
③よりabd''cは平行四辺形。
∴示された。 方べきの定理で点Pが円外にある場合にPA・PB=PT^2（Tは接点） となりますが
Pが円内にある場合に同じようにPA・PB=PT^2となるような点Tを選べないのでしょうか？ ああ。中心とPを結んだ線に垂直な弦の交点をTとすればいいのか。 >>944
↑OA = a, ↑OB = b, ↑OP = p とおく。
|a| = |b| = R.
↑AP = p-a と ↑PB = b-p は弦ABに平行で、 (↑OA+↑OB) = a+b に垂直。
より
AP･BP = (↑AP,↑PB)
= (p-a, b-p)
= (a+b, p) - (p, p) - (a, b)
= (a+b, (p-a)/2)) + (a+b, (p-b)/2) - (p, p) + (a, a)/2 + (b, b)/2
= - (p, p) + (a, a)/2 + (b, b)/2
= - OP^2 + RR (一定) >>935
d = a + b - c,
d' = c + a - b,
d" = b + c - a,
から
d - d' = 2(b-c) ≠ 0,
d' - d" = 2(a-b) ≠ 0,
d" - d = 2(c-a) ≠ 0,
よって異なる。 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
