分からない問題はここに書いてね456

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 14:27:29.75

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね454
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562421561/

(使用済です: 478)

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 09:56:18.80

>>841で証明できてない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 10:18:10.17

>>850
>Mが円の中心とは限らないのでは？
円の中心

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 10:22:18.20

>>841でMが元の円Oの中心と示せてない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 10:22:29.99

>>850
勘違いしてた。すまぬ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 12:02:19.45

>>849
△ABEと△AECが合同になることを言えばいいんでないかい？

まず直角三角形ABHから∠ABC+∠BAH=∠R 　
円周角の定理と題意から∠EBC=∠EAC=∠BAH
ゆえに、∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠R
△ABEは円に内接する直角三角形なのでAEは円の直径。
したがって、∠ACE=∠Rで△AECも直角三角形。
一方、三角形の面積を考えると、BM=MCより、△ABM=△AMC,△EBM=△EMC
なので、△ABE(=△ABM+△EBM)=△AEC=△AMC+△EMC)
△ABEと△AECは面積が同じで斜辺を共有する直角三角形なので、
△ABE≡△AEC（ここ、さらに証明がいる？）
ってことで、∠A=∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠BEA=∠Rとなり、
△ABCは円に内接する直角三角形なので、BCは円の直径である。
故にBCの中点は円の中心。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 12:30:17.71

AEからみてBと同じ高さになる点はAEに関して線対称の点と中心に対して対称の点と二つあってCが後者になる事は示さないとダメでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 14:08:59.79

結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説

B(-1,0),M(0,0),C(1,0),A(x,y),H(x,0),Z(1000,0)
∠ABZ=α、∠AMZ=β、∠ACZ=γ
と置くと、∠BAH=∠CAM　という条件は、tan(π/2-α)=tan(γ-β)になるが、
tanα=y/(x+1),tanβ=y/x,tanγ=y/(x-1)
を使って、条件式を整理すると　x(x^2+y^2-1)=0　が出てくる。

Aは単位円上の点で無ければならない。つまり、BCの中点Mは、三点A,B,Cを通る円の中心で無ければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 14:12:18.08

>>841
> Fはその直径に関する対称点
これってどうしてそう言えるん？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/22(火) 14:14:32.16

前>>779
>>827
題意より、a＜b
∠BAH=xとおくと、
BH=Asinx
HM=AMsin3x
HC=bsin4x
AH=acosx=bcos4x
BH+HM=asinx+AMsin3x=BC/2
正弦定理より、
BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC
(BH+HM+MC)/sin5x=b/cosx
(asinx+AMsin3x+BM)/sin(2x+3x)=b/cosx
2(asinx+AMsin3x)/(sin2xcos3x+cos2xsin3x)=b/cosx
AH^2=AB^2-BH^2=AM^2-HM^2
a^2-(asinx)^2=AM^2-(AMsin3x)^2
acosx=AMcos3x
=AM(4cos^3x-3cosx)
難しいな。
図を描きなおすと、
3x+2x=90°でいい気がする。
∠BAC=x=18°

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/22(火) 14:18:04.16

前>>859訂正。
∠BAH=x=18°

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 15:08:43.46

>>858
直径に対して直線AE対称になる点をFと置いてる。
MはAE上なので論を待たずBM=FM。
もしC=FとなってしまったらコレでCはBの直径対称点になり、その場合BCとAEは垂直になってH=Mになる。
この場合には確かにMが円の中心でない場合にはなるけど図が与えられててM=Hにはなってないからそのケースは抜いていいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 15:21:49.35

>>861
酷い日本語。
直線AEに対するBの線対称点がFね。
暗黙にCとFが一致しないと仮定してるけどC=Fのケースは問題文のAB<ACに反するから図無関係に排除されるね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 15:35:53.03

数式5chで綺麗かつ簡単ににかけるようにならないかな

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 16:27:26.28

>>862
？
AEが直径かどうかはわかっていないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 16:45:35.62

>>862
B=CおよびB=Fも排除で

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 17:24:27.59

>>864
それは前の方で誰かやってる。

**855** · 2019/10/22(火) 18:06:35.38

>>856
そうでした！△ABE≡△AECで裏返しの場合も考慮すべきでした。

△ABEと△AECが裏返しの場合にはAB=ACとなってしまうので、AB<ACという題意に
反するので除外できる。

**855** · 2019/10/22(火) 18:11:17.27

>>857
中学生向けではありませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 20:32:47.25

>>868

>>結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説
と書いたように、最初から、中学生相手の模範解答を書いたつもりはありません。
「必ずMは円の中心になる」に疑問を持っている人に、「結論は正しい」ことを
納得してもらう手段として、呈しました。

もし、中学生相手なら、
BCが対角線で、四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り、角度を調べていくと、
四角形ABDCは長方形で無ければならないことになるという方法はどうでしょう。
これなら、問題ないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 21:52:45.65

そんなのそもそも成立しないのでは？
AB≠ACの場合ですよ？

**855** · 2019/10/22(火) 21:54:50.46

>>869
中学生向けには拘らない解説とのこと、失礼いたしました。

>四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り

ABDCが平行四辺形になるような点Dを円周上に取れるという保証は
ないので、その方針では駄目なのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 21:59:00.47

あ、長方形になるか。読み間違えた。>>870は無視でおながいします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 22:16:17.47

やっぱりかなり回りくどいことになるんかな
記述問題で出されたらかなわんな
答えだけでいいならMが円の中心なら条件を満たすからそれで計算して答え出すけど
受験問題としては悪問の気がする

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/22(火) 22:36:33.38

前>>860
>>827(1)BH=asinx
AMの延長線上にCD=bsinxかつCD⊥ADとなるDをとると、
AD=bcosx
AH=acosx
BM=CMを使ってxを消せってことだと思う。
△AHM∽△CDMで、
相似比はacosx:bsinx

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 00:02:10.99

>>839
>４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
Aを通る直径に関してB,Cが同じ側ではどう？

【吉】 · 2019/10/23(水) 00:40:01.44

前>>874
Mが円の中心なのかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 04:40:58.26

>>845
バカなの？
>>832 >>841 をよく読め

Mを通りBCに垂直な直線をFGとする。
ただしF, Gは円周上の点。
MはBCの中点だから、FGは円の直径。
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとする。
∠BAD=∠CAEだから、弧BD=弧CE。
D, Eはlに関して線対称だから、DE⊥FG。
AD//FGだから、∠ADE=90°。
よってAEは円の直径。
MはAE, FGの交点であり、
AE, FGともに円の直径だから、
Mは円の中心である。

でたらめかね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 06:16:02.14

>>875
この場合明らかにMは円の中心ではないけど
これを排除できるのは図からというのも
元々Mが円の中心と推測できないように描いたある意味正しくない図であるし
問題文を少々変更して
Hの定義を直線BCに下ろしたではなく線分BCに下ろしたとすればよいかな
でもその場合線分BCには下ろせないから問題に不備とか言われそう

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 06:40:36.73

>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例

　r = 1/√θ,　　　　(θ>1)

　s > ∫r dθ = ∫(1/√θ)dθ = [ 2√θ ](1,∞) = ∞

**855** · 2019/10/23(水) 09:36:23.44

>>875,878
ほんとだね。
問題文だけからだと、Hは「線分BC」上ではなく「直線BC上」にあるので、
円の外でもいいことになっちゃう。その場合、解けるんかねぇ？
円の中心をOとして、AM//OCとなるような三角形になるはずだけど、
そこで手詰まり。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/23(水) 13:33:25.15

前>>876
直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
BH=a^2/√(a^2+b^2)
=a^2√(a^2+b^2)/(a^2+b^2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 15:55:39.64

20bitの値をランダムに選んだ時、1のbitが16個以上存在している確率はどう計算したらいい？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 16:29:01.76

(20C0+20C1+20C2+20C3+20C4)/(2^20)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 17:10:56.11

>>883
ありがと。
やっぱりそれでよかったのか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 17:35:20.62

いつもお世話になっております　質問させて下さい

https://i.imgur.com/jzfzC9K.jpg

これを求めるのに
t=tanθとおいて、0<θ≦π/4として
t=tanθの時のA,BをAθ、Bθとして
△OAθBθはxz平面となす角がθなので

△OAθBθをz軸中心に微小角⊿θ回転させた微小体積⊿Vを寄せ集めると考えて、
その微小体積⊿Vは(⊿θ/2π)*π*(tanθ^6+tanθ^4)*(2/3)で与えられるので(問題の直角三角形をz軸中心に一周させると円柱から円錐をくり抜いた形になるため)、これをθで積分する、

とやったら全然違う答えになりました。
前も対数螺旋っぽい回転体の問題でこういうことやって全然違う答えが出たのですが

こういう手法はどういう理由で成り立たないのでしょうか？
この求積はどんな形の立体を求積していることになるんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 17:42:14.99

平面の極座標の積分はなんかこんな感じでやってるしいけるかなあ？と思ったらいけなかったのですが
逆にどういう時なら行けますかね？
（そもそも計算ミスしてたら申し訳ありません）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 18:06:48.66

答えは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 18:12:47.95

底面が1/2 (sinθ/cos^2θ)^2dθ、高さがtan^2θなので微小体積は
dV=1/2 tan^4θ/cos^2θdθ
でないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 18:16:12.45

すいません、よく考えたら
微小部分のハサミうちの原理考えればこの求積はうまくいくに決まってるんだから多分計算ミスですね
スレ汚し失礼しました

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 21:48:30.23

変な事書いた。
微小体積は柱じゃないね。
底面が(tanθ/cosθ)dθ×(tanθ)^2で高さが(tanθ/cosθ)の四角錐ですな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 21:50:35.04

すみません、次の確率を教えて貰ってもいいですか？

・１から30までの30個の数値うち、１・２・３が当たりとします
・30個の中から３つ、ランダムで引きます
・１つでも当たりを引く確率

私が求めた計算式は以下の通り
1回目で当たる確率・・・30分の3
2回目で当たる確率・・・30分の27（1回目ハズレの確率）×29分の3
3回目で当たる確率・・・｛30分の27×29分の26｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の3
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＝これが解
……だと考えたのですが、間違ってますよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 21:51:09.83

訂正一箇所
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋3回目で当たる確率＝これが解

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 21:59:38.38

あってんじゃね？
答えないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:02:57.44

おっ　マジか
良かったこの計算式でいいんですね

いや、計算するだけしといて間違ってたら悲しいので再確認してしまいました
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:17:36.58

「812分の227」になったので、約28％ですね。

ちなみに、「１」が2回連続で当たる確率は、
812分の227を2乗すればいいのでしょうか？御指南お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:34:35.35

1が2回連続ってどういう意味？
1～30までの30個の札から1枚引くということを2回行う（1回目が終わったら引いた札は元にも戻す）ってこと？
それなら(1/30)^2だよ
なぜ227/812が関係してくると思うのか

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:36:31.34

いや、違いますね・・・「１」に限定するのだから
1回目で当たる確率・・・30分の1
2回目で当たる確率・・・30分の29（1回目ハズレの確率）×29分の1＝30分の1
3回目で当たる確率・・・｛30分の29×29分の28｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の1＝30分の1
30個のうち3回引いて「１」が出る確率＝10分の1

「１」を2回連続で引いて当たる確率＝（10分の1）＾2＝100分の1＝1％
これで合ってますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:37:40.29

>>896
ごめんなさい！3回引けるんです！
3回引いて30個のうちの「１」を、"2回連続で"引ける確率を求めたかったんです

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 22:38:36.87

引いたくじは戻さないで、30個のうち3個抽出する、という意味です。
そして2回目は一旦くじを全部戻して、また30個のうちから3個引きます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 23:02:32.40

>>885
D=∪[0<t≦1]OA : 0≦x≦1, x^2≦y≦x
V : (x,y)∈D 0≦z≦y^2/x
Sx=∫[x^2,x]y^2/x dy=[y^3/3x][x^2,x]=(x^2-x^5)/3
V=∫[0,1]Sx dx=[x^3/9-x^6/18][0,1]=1/18

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 23:09:03.19

>>891
1-27C3/30C3=1-27*26*25/30*29*28=1-2*3^3*5^2*13/2^3*3*5*7*29=1-3^2*5*13/2^2*7*29=227/812

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 23:14:45.54

>>899
29C2/30C3=29*28*3/30*29*28=1/10
(1/10)^2=1/100

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 23:15:03.04

何が「当たり」で何を「回」と言っているのかがあいまいで回答しづらい

>>891は「1～30までの30個から3個引いて、その中に1、2、3が一つでもある確率」
>>895は「『1～30までの30個から3個引いて、その中に1があれば当たり』を2回やって2回とも当たる確率」
ってことでいい？
それなら>>891も>>897も合っている

こういう計算でよく使われるのは>>891の場合だと「1から『1、2、3が一つも入っていない確率』を引く」というもの

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/23(水) 23:24:27.61

>>902-903
ありがとうございます
説明不足もあってすみませんでした

>>902の回答で間違いなさそうです
助かりました！

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 00:37:30.57

>>885
　　　　　　第　４　問
実数tは 0<t≦1 の範囲を動くものとする。
このとき，座標空間の3点
　Ｏ(0,0,0)　Ａ(t,tt,0)　B(t,tt,tt)
を頂点とする△OABの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ。

>>890
　おっしゃる通りです。
　底面が OA･dθ×AB で高さが OA の四角錐。
　OA = t√(1+tt),
　AB = tt,
　dθ = dt/(1+tt),
∴　V = ∫[0,1] (t^4)/3 dt
　= [ (t^5)/15 ](t=0,1)
　= 1/15.

>>900
　V:　0≦z≦y,
　Sx = ∫[xx,x] ydy = [yy/2](xx→x) = (x^2 -x^4)/2,
　V = ∫[0,1] Sx dx = [ (x^3)/6 - (x^5)/10](0→1) = 1/15.

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 00:44:42.99

>>879
　リチュース(Lituus) と云うらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 00:54:16.36

>>905
>V:　0≦z≦y,
なんで？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 00:56:23.95

ああ(t,t^2,t^3)のねじれ3次曲線かと思った
(t,t^2,t^2)か

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 01:14:52.27

>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
　r = 1/θ,　　　　(θ>1)

　s = ∫√{(r')^2 + r^2} dθ
　= ∫ √(1/θ^4 + 1/θ^2) dθ
　= ∫ (1/θ^2) √(1+θ^2) dθ
　= ∫ {1/sinh(t)^2 + 1} dt　　(θ=sinh(t)とおく)
　= -1/tanh(t) + t
　= -(1/θ) √(1+θ^2) + log{θ+√(1+θ^2)}　→　∞

双曲らせんと云うらしい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/24(木) 08:40:22.81

前>>881
>>827(1)直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
∴BH=a^2/√(a^2+b^2)
(2)∠BAH+3∠BAH+∠BAH=90°
5∠BAH=90°
∴∠BAH=18°

270°/7ってなんや？
思て脅威やったんやが、角度が1/3倍のとこ3倍にした誤答やないんか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 14:16:04.25

確率の問題です。どなたかよろしくお願いします。

A、Bの2名の前にスイッチがあります。2人はゲームがスタート時(0(s))から100(s)経過までにそれぞれ合計X(s)、Y(s)の間スイッチを押さなければならないとします(なお、X>=Y)。
また、途中のスイッチの押し離しは自由にできる。
この条件で、
「Cさんが0(s)~100(s)に一度だけスイッチを押したとき、AとBのうち少なくとも1人がスイッチを押している」確率は幾らでしょうか？
(なお、ABCは互いに別の部屋にいるため干渉出来ないものとする)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 14:32:12.42

確率の問題になっていないと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 14:38:54.96

>>911
スイッチを押してる分布が与えられてないから問題としてそもそも成立してないけど、

∀a 0≦t,u≦100
P(時刻tにAがボタンを押してる)=P(時刻uにAがボタンを押してる) かつ
P(時刻tにBがボタンを押してる)=P(時刻uにBがボタンを押してる)

を仮定出来るなら
1-(1-X)(1-Y)

なんだろう。
しかし大学以降の確率の問題で標本空間もその測度も与えないで確率求めよなんて問題ありえないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 14:45:11.57

A君「（(X+1)秒経過後）やべえｗｗｗｗｗ間に合わねえｗｗｗｗｗ」
とならないように、十分にプレッシャーが与えられた状態ですか？
間に合わなかったA君はどうなるんでしょう？殺されるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 14:55:20.74

>>913
1-(1-X)(1-Y)この部分もう少し詳しく教えてください><

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 14:58:37.83

>>911
ある時点で押したら離す時点までずっと押し続け離す時点から次の押す時点まではずっと離し続けるのね？
その区間は可算個でも良いの？
カントールセットに含まれる時刻ではスイッチを押しておりそれ以外の中から可算個の区間幅の合計X押すというのは許されないのね？
問題を解く上で問題にはならないことだけれど
問題の設定がハッキリしない問題は問題として問題だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 15:14:48.99

>>915
間違えた。
一様性が成り立つならある時刻tにAがボタンを押してる確率は全ての0≦t≦100に対してX/100だけどそうでない問題文に適合するモデルなんかいくらでもあるし。
当然違うモデル使ったら答えも変わる。
そんな理系の人間なら誰が見ても問題として成立してないとわかるクソ問なんか無視で桶。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 15:24:23.67

>>917
確率のなんて分野ですか？
勉強しなおします

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 15:34:18.39

測度論的確率論ですね
調べました
ども

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 15:35:19.66

なんて分野とかいう以前の確率論の話。
測度空間も測度も与えないで確率の計算なんかできるわけないというお話。
この問題が問題として成立するような測度空間をどうやったら構成できるかとかならカラテオドリ測度の理論とかチェボタレフ測度とかラドン測度とかの理論を勉強し終わるまで無理。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/24(木) 19:56:47.97

複素平面上に適当な積分路をとることにより、
∫[0→∞] {sin(x)}^2/{(1+x)^2} dx
を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 08:55:47.90

∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = -sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)) - {sin(x)}^2 /(1+x),

∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = sin(2)Ci(2) + cos(2){π/2 - Si(2)} = 0.399021

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 09:51:10.14

F(Y_1, ..., Y_n)をZ[x](整数係数１変数多項式環)係数の, Y_1,...,Y_nに関する斉次2次式とせよ. 任意の素数pと任意の自然数mに対しF(Y_1,...,Y_n)=0 mod p^mを満たす整数係数1変数多項式Y_1,...,Y_nが存在すると仮定せよ.
此の時, 整数係数1変数多項式Y_1(x),...,Y_n(x)であってF(Y_1(x),...,Y_n(x))=0
を満たす物は存在するか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/25(金) 10:54:47.73

前>>910
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 11:53:51.63

>>923
no

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 12:36:28.75

あ、任意の素数か、ならyes

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 12:37:29.45

あ、いや実素点が抜けてるからやっぱりno

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 13:08:57.51

すいません、(3)の解説が全然わからないのですが
なぜこの形式でABを通る全ての円を表示できるのでしょうか？
バカですみません

https://i.imgur.com/MNZHAg7.jpg
https://i.imgur.com/KKr3lU7.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 13:50:26.42

>>928
その式（※）は円を表している
Aの座標、Bの座標はC1の式とLの式の両方を成り立たせるので※も成り立たせる
従って※はA、Bを円周上に持つ円

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 14:22:22.74

>>929
なーーるほど
納得です
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 14:24:38.78

>>929
すいませんもう一つお願いします
この式でABをとおる全ての円を網羅できることはどうやって言えるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 14:47:13.17

>>931
※の円は直線L上の2点A、Bを通るのでこの2点以外ではLとの共有点は存在しない
A、Bとさらにもう1点L上にはない点Cを用意すればそれらを円周上に持つ円が存在し、
CをL上を除く全ての点を取り得るとすればA、Bを通る全ての円を網羅出来る
Cの座標はL上にはないのでLを表す式を成り立たせることがない
従って、Cの座標を※の式に代入すれば必ずtの一次式になるのでtには解が存在する
つまり、A、Bを通る全ての円に対してtが存在するので※の式はtを実数全体で動かせばA、Bを通る全ての円を網羅している

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 14:55:17.68

>>932
なるほど！！！
ありがとうございます

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/25(金) 15:55:25.48

前>>924
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2dt
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)dt
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
関数の積の積分はどうやってやるんだったか。
sin^3x√(sin^2x+1)を微分すると、
sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^3x･2sinxcosx/2√(sin^2x+1)
=sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^4xcosx√(sin^2x+1)/(sin^2x+1)
だれも解かないみたいだけど、sin^3xと√(sin^2x+1)の積の積分どうやってやるんだったか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 16:31:27.12

もう答え出てんのに何言ってんの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 17:29:02.52

松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。

以下の事実が証明抜きで使われています。

D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？

I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。

Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。

Φ は C^1 級関数である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 17:37:37.90

>>922
部分積分と△加法公式により
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫sin(2x)/(1+x) dx
　= - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫{sin(-2)cos(2(1+x)) + cos(-2)sin(2(1+x))}/(1+x) dx
　= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)∫cos(2(1+x))/(1+x) dx + cos(2)∫sin(2(1+x))/(1+x) dx
　= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)),
ここに
　Si(x) = ∫[0,x] sin(t)/t dt,
　Ci(x) = ∫[0,x] {cos(t)-1}/t + log(x) + γ,

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 18:42:34.74

>>936
久々にスレ覗いたけど
相変わらずだねー

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 19:08:48.88

>>936

他の本（英語の教科書）やWikipediaも見てみたのですが、 Φ が C^1 であることには触れずに、

d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/25(金) 22:54:48.31

自然数k=1,2,...に対して、方程式
x^k-kx-1=0
の解のうち最大のものをM(k)とおく。
lim[k→∞] M(k+1)/M(k)を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 04:29:59.22

k=1 は解なしのようだけど････

与式は
　x^(k-1) = k + (1/x),
kが大きいときも、左辺は有限値に留まるから
　x = M(k) ≒ 1
与式から
　M(k)^(k-1) ≒ k+1,
　M(k) ≒ (k+1)^{1/(k-1)} → 1　　(k→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 09:25:42.45

>>921 を改作････
　1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[不等式スレ１０．243-245]

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 20:56:03.56

m^2 - n^3 = 6 となる整数組 (m, n) が存在しないことを示してください

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 08:27:44.13

楕円曲線
　m^2 - n^3 = k (k≠0)
の整数解 (m,n) については
任意のε>0 に対して、定数 c(k,ε) が存在して
　max{|m|,|n|} < exp(c･k^(1+ε))
H.M.Stark: Acta Arith. ２４, p.251-259 (1973)

(例)
m^2 - n^3 = 17,　m>0 は 8個の整数解を持つ。
　(m,n) = (4,-1), (3,-2), (5,2), (9,4), (23,8), (282,43), (375,52), (378661,5234).
T.Nagell: (1929)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 11:06:52.87

>>940
なんか、>>941のロジックがよく分かんなかったので別解考えてみた。

k≧2で、関数f_k(x):=x^k-kx-1 はx=1で極小値-kもち、x>1で単調増加かつf(∞)=∞
なので、M(k)はx>1におけるf_k(x)=0の唯一の解であることが言える。

ここでまず、M(k)>1+1/kを示す。
　f_k(1+1/k)=(1+1/k)^k- k(1+1/k) -1 =Σ[i=2 to k]{C(k,i)(1/k)^i} -k
　において、C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)…(k-i+1)/i!/k^i < 1 なので、Σ… < k-1 となり、
　f_k(1+1/k) < -1　ゆえに M(k) >1+1/k

これを利用して、M(k)がkとともに減少する単調数列であることが示せる
　f_k(M(k))=M(k)^k -kM(k) -1 =0 より、M(k)^k=kM(k) +1
　f_(k+1)(M(k))=M(k)^(k+1)-(k+1)M(k) -1 =M(k)(kM(x) +1) -(k+1)M(x) -1
　 =kM(k)(M(x) -1) -1 >kM(k)(1/k) -1 = M(k) -1 >1/k >0
したがって、f_(k+1)(x)=0となる最大の解は (1, M(k))の区間内にあるので、
　M(k+1) < M(k)

以上よりM(k)は下に有界な単調減少数列なので、単調収束定理より収束値α(≧1)を持つ。
よって、lim[k→∞]M(k+1)/M(k) =α/α=1
　

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 12:01:45.78

あ！
M(k) < k^(2/k) と上から抑えられることが示せるので、
1≦lim[k→∞]M(K) ≦ lim[k→∞]k^(2/k) =1　だね。
こっちのほうが簡単か。　

　f_k(k^(2/k))=k^2 -k^(1+2/k) -1 =k(k-k^(2/k)) -1 >0
　∵ {x^(2/x)} = - 2x^(2/x -2)(log x - 1) より、x^(2/x)はx > e で
　単調減少なので、k≧4 では、k^(2/k) ≦4^(2/4) =2 → k(k-k(2/k))≧8

　ゆえに、1<M(K)<k^(2/k)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 16:58:32.46

長方形の向かい合った辺を一回ひねってくっつけるとメビウスの帯になるけど
二回ひねってくっつけたものはひねらないでくっつけた帯と位相同型なんですか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/10/27(日) 17:17:04.34

前>>934
もう一回、題意を把握してしっかり図を描いたほうがよさそうだ。
OAが二回出てきて√が消えて、積分がシンプルになるのか。
四角錘か。1/3と1/5で1/15はありうる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 17:44:29.16

>>947
はい

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 18:13:52.67

恥ずかしいんですが以下の意味が全く分かりません。
小学生に教えるレベルで解説してもらえないでしょうか？

長さ＝√（ 1700の２乗＋2700の２乗）＝3191

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/27(日) 19:15:36.89

>>940
M(k) は x>1 における
　x^(k-1) = k + 1/x
の唯一の実解だから　　　　>>945
　1 < M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) < k+1,
　1 < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
ところで
　log(k+1) < 2log(1+√k) ≦ 2√k,
　log(k+1)/(k-1) →　0　(k→∞)
より
　M(k) → 1　(k→∞)　　　　>>946