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分からない問題はここに書いてね456
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0570１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 15:59:51.51ID:MRKD0xG4
B=(√2-s)(√2-c)
ただしs,cは0以上でss+cc=1
Bの最大最小を求めよ

これってどうときますか？
そのまま微分、c=√1-ssと置いて二乗してなんとかルート消すとか色々やってみましたが自分の実力では泥沼になってしまいました
0573１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 16:46:27.95ID:MRKD0xG4
>>571
あのね、そんなの見りゃわかりますよ
解けないなら話し掛けなくていいスよ
結局解けたので、撤回します
0574１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 16:57:41.47ID:VFCQZuB+
>>536>>537
b1=a2-a1+(1/1)-(1/2)
b2=a3-a2+(1/2)-(1/3)-(1/1)+(1/2)
b3=a4-a3+(1/3)-(1/4)-(1/2)+(1/3)
bn=a[n+1]+(1/n)-(1/n+1)
bn=an+(1/n)-(1/n+1)+(1/n)-(1/n+1)←bnにanが含まれている

次の式で定義される数列｛a[n]}の一般項を求めよ。

(1)　a[1]=2，a[n+1]=a[n]+1/{n(n+1)}
0577１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 17:27:21.33ID:y7aCYuR+
>>574
何をやっているのかまるでわからない
君はbnを階差数列だって言っていなかったか？
0578１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 17:45:23.70ID:DcV00EMt
>>574
ごめん、何を言いたいか分からないんだけど
b1=a2-a1+(1/1)-(1/2)
って
b1=a2-a1=(1/1)-(1/2)
の誤植だったりする？
0579１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 19:15:12.72ID:VFCQZuB+
誤植の間違いで合っています。実際は階差というものが何なのか理解していませんでした。
0580１３２人目の素数さん
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2019/11/29(金) 19:36:14.10ID:VFCQZuB+
なんと！答えまでたどり着きました！

a1+b1の残り+b[n-1]の残り=2+(1/1)+{-(1/n)}=(答)

先生、気付けました。お騒がせしました。大変ありがとうございました。
0581１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 00:06:00.48ID:4s3BBnlt
因数分解で
Aｘ^2+Bｘ+C=(ax+b)(cx+d) と考えるのが正解で
Aｘ^2+Bｘ+C=(a'x+b')(c'x+d')+e のような答えを考えないは何で？
0582１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 00:14:44.54ID:lbe/ELFr
因数分解とは、より小さい物の積で表すこと
整数の因数分解で20=4*5と考え、3*6+2としないことと同じ
0584１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 10:53:27.67ID:kXI40RLJ
xyz空間の平面z=0上に、点A_i(i=1,2,...,n)を頂点とする正n角形がある。

これらの頂点から異なる2点を選ぶ。
それらの座標をP(a,b,0),Q(c,d,0)と表し、また2点X(a,b,1),Y(c,d,1)をとる。

A_i(i=1,2,...,n)からPともQとも異なる2つの頂点を無作為に選び、それらをA_kとA_mとする。
直線XA_kと直線YA_mが交点を持つ確率をX(n)、直線PA_kと直線QA_mが交点を持つ確率をP(n)とするとき、
X(n)とP(n)の大小を比較せよ。
0587１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 13:43:31.08ID:XYunrNrA
>>581
>Aｘ^2+Bｘ+C=(a'x+b')(c'x+d')+e のような答えを考えないは何で？
和じゃん
0588１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 14:30:14.91ID:slEA0Uds
定義を知る前に問題を解く技を鍛錬している人なのでしょう
0589１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 16:27:17.23ID:uBpTHkZU
a[n]が定積分で定義されていてa[1],a[2]などの値は計算できるのですが、
a[n+1]＝e-(n+1)a[n] の関係式を導き、（ここまではよくある問題）
次に、a[n]を求めよという問題ですが、これはΣをつかって表すか、
・・・などの記号をつかって表すしかないですよね。
0590589
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2019/12/01(日) 16:34:55.77ID:uBpTHkZU
a[n]＝∫(1→e){(log)^n}dx となっています。
0591１３２人目の素数さん
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2019/12/01(日) 17:25:16.92ID:7DO8BvIj
曲率円の方程式を求める

　曲線 y = f(x) の曲率円の半径を R とすると
　　1/R = ( 1/(1+(dy/dx)^2)^(3/2) )(d^2y/dx^2)
なので y = x^2 の曲率は
　　f'(x) = dy/dx = 2x
　　d^2y/dx^2 = 2
　　(dy/dx)^2 = 4x^2
より
　　1/R = 2/(1+4x^2)^(3/2)
　　R = (1+4x^2)^(3/2)/2
　したがって x = 1 のとき
　　R = 5^(3/2)/2
　　f'(1) = 2
　よって y = x^2 の (1,1) における接線の傾きは 2、法線の傾きは -1/2 なので曲率円の中心(x0,y0)は
　　x0 = 1 - (5^(3/2)/2)(2/√5) = 1 - 5^(3/2)・5^(-1/2) = -4
　　y0 = 1 + (5^(3/2)/2)(1/√5) = 1 + (5^(3/2)/2)・5^(-1/2) = 1 + 5/2 = 7/2
　また
　　R^2 = 5^3/4 = 125/4
なので x = 1 における y = x^2 の曲率円の方程式は
　　(x+4)^2 + (y-7/2)^2 = 125/4
　図を描いたらいい線いってると思ったのですが、正しくないようです。
　どこがおかしいのでしょうか。
0592589
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2019/12/01(日) 20:48:04.38ID:uBpTHkZU
自己解決しました。
0594１３２人目の素数さん
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2019/12/02(月) 01:44:21.53ID:Kr9ku+H8
f_n(x)=x/nとする。
不等式
f_n(x) < π < f_n+1(y)
を満たす自然数x,yのうち、|x-y|を最小にするものを(x,y)=(a[n],b[n])とおく。
|a[n]-b[n]|を最大にする自然数nを求めよ。
0595591
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2019/12/02(月) 07:11:11.22ID:ljHVrsIS
自己解決しました。正しかったようです（笑）。
0596１３２人目の素数さん
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2019/12/02(月) 19:55:45.85ID:Kr9ku+H8
各項が1または2のいずれかの値のみをとる無限数列のうち、周期を持たないもの全体からなる集合をSとする。

ただし数列{a[n]}が周期を持つとは、「ある自然数の定数Kとpが存在して、K以上のすべての自然数iについてa[i+p]=a[i]が成立する」
ことを指す。

（1）Sの要素のうち、「ある項から2020項連続して同じ数が続くことはない」ような数列の例を1つ挙げ、その一般項を述べよ。

（2）Sの要素のうち、「2020以下の任意の自然数jについて、ある項からちょうどj項連続して同じ数が続く部分がある。一方、2021以上の任意の自然数kについて、ある項からちょうどk項連続して同じ数が続くことは決してない」ような数列の例を1つ挙げ、その一般項を述べよ。
0597１３２人目の素数さん
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2019/12/03(火) 17:43:40.23ID:LZHB9q0E
0<p<1/2なる有理数pを1つ自由に選び、そのpに対し以下の定積分を計算せよ。
∫[0→pπ] xln(sin(x)) dx
0598１３２人目の素数さん
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2019/12/04(水) 17:41:25.12ID:Y6beWzZs
次の数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。

(2)1/3，1/6，1/10，1/15，・・・・・・

先生、bn=1/(n+2)、あとわかりません。お教えください。誠によろしくお願い致します。
0599１３２人目の素数さん
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2019/12/04(水) 18:44:07.05ID:KlQoN5fe
1+1/3+1/6+1/10+1/15=Σ[k=1,n]2/(k(k+1))
Σ[k=1,n]2/(k(k+1))=2Σ[k=1,n](1/k-1/(k+1))=2n/(n+1)
1/3+1/6+1/10+1/15=2n/(n+1)-1=(n-1)/(n+1)
nをずらして1/3+1/6+1/10+1/15=2n/(n+1)-1=n/(n+2)
0601１３２人目の素数さん
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2019/12/05(木) 01:49:00.21ID:g/xUy6Rb
xyz空間の3点O(0,0,0),A(2,0,0),B(2cosθ,2sinθ,0)を頂点とする△ABCを底面とする三角柱Tがある。
Tは領域0≦z≦kの部分に含まれ、kは十分大きい。

T内に点P(cosα,sinα,p)をとり、∠OPA=π/3、∠APB=π/4となるようにする。

このような実数α、pをθの式で表せ。
0602１３２人目の素数さん
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2019/12/05(木) 13:37:52.67ID:4zgD7nuM
へんな問題
0603１３２人目の素数さん
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2019/12/05(木) 19:39:35.72ID:3Kjl+Ehp
xe^x=1の解αが
-(3+√17)/2<α<1/√3
を満たすのってどうやったら示せますか？
0604１３２人目の素数さん
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2019/12/05(木) 19:40:13.59ID:3Kjl+Ehp
間違えました
(-3+√17)/2<α<1/√3 です
0605１３２人目の素数さん
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2019/12/05(木) 20:05:00.34ID:3Kjl+Ehp
後、m,n∈ℕ
Im,n=∫[0→1]x^m・(logx)^ndx
=1/(m+1)∫[0,1](x^(m+1))'・(logx)^ndx
=1/(m+1)[x^(m+1)・(logx)^n][0→1]
-n/(m+1)∫[0,1]x^m・(logx)^(n-1)dx
=-n/(m+1)・Im,n-1
={-n/(m+1)}・{-(n-1)/(m+1)}・…・{-1/(m+1)}Im,0
={(-1)^n・n!}/(m+1)^(n+1)
∴1/(m+1)^(n+1)=(-1)^n/n!・Im,n
∴Σ[k=1,m]1/(k+1)^(n+1)
=(-1)^n/n!・Σ[k=1,m]Ik,n
=(-1)^n/n!・∫[0,1]x(1-x^m)(logx)^n/(1-x)dx

∴Σ[k=1,∞]1/(k+1)^(n+1)
=(-1)^n/n!∫[0,1]x(logx)^n/(1-x)dx

は合ってますか？
0607１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 01:14:43.96ID:sPB1n2Xg
>>601
定まるわけ無いやン
0608１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 01:17:42.67ID:sPB1n2Xg
>>601
>∠OPA=π/3
Pはとある球面上の点
>∠APB=π/4
Pはまた別のとある球面上の点
2球面の交線の円上の点は無数にある
0609１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 01:18:28.96ID:sPB1n2Xg
>>601
>ID:g/xUy6Rb
適当な出題をしてもしょうも無いだけだよ
0610１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 05:12:39.35ID:vGhbHWKK
>>603
e > 2.7 = (3/2) * 1.8 > (3√3)/2,
　e^(2/√3) > (2/√3)e > 3,
　e^(1/√3) > √3,
　ｆ(1/√3) = (1/√3)e^(1/√3) > 1 = f(α),
f(x) = x･e^x　は単調増加だから
　α < 1/√3,

>>606
(L,m,n) = (1,1,1) (4,2,2)
0613１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 12:29:20.42ID:fhqc4qJe
Xを位相空間として、f:X→C(R^n,R^m) x→f_xを連続写像とします。
ここでC(R^n,R^m)はR^nからR^mへの線形写像全体とします。
C(R^n,R^m)の位相はR^nとR^mの基底を適当にとってR^nmから定まるものとします。

このとき、g:X×R^n→R^mを(x,y)→f_x(y)で定めると連続写像になりますか？

なるなら証明を、ならないなら反例をお願いします。
0615１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 13:42:34.05ID:b7GC2q2H
ああ、意味わかった。
C(R^n,R^m)なんてただの行列の空間やん。
C(R^n,R^m)×R^n→R^nなんてただの行列の積の写像なだから連続なの当たり前。
0616１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 13:55:48.95ID:1Nlu71Qy
わかってない予感
0617１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 14:13:22.03ID:a81dp8ZB
xyz空間に4点
O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0)がある。

四角形OACBを直線ABを軸として一回転させてできる立体をV1, 四角形OACBを直線OCを軸として一回転させてできる立体をV2とするとき、V1とV2の共通部分の体積Tを求めよ。

円錐面の方程式出して、z=t平面でやろうとしたら上手くいかないです。
0622１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 16:03:11.48ID:4nXDP5CI
>>612
これの(1)って、有名な水汲みパズルの応用だね。
Aを出発して、川に着いたら川から水を汲んでBに向かうとき、
歩く距離を最短にするには川に向かってどう歩けばよいか、というやつ。

この問では川は　y=pで表される直線で、川幅は0と見なす。

p≦2 或いは　p≧4 のときは、A、B は同じ側の川岸の2点、
2＜p＜4のときは、A、Bは川の対岸同士にある2点。
ただこの問ではPHが加わるので、　p の正負による場合分けも生じる。
0623１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 17:00:25.29ID:fw9UG0Kd
>>622
ありがとうございます。
なぜ距離の和dをxで微分し、d'が定義できないか0になる点が最小値を与える、という考えでは正答が出なかったのでしょうか？
0626１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 18:16:43.58ID:fw9UG0Kd
ん？と思ったけど符号変化関係あるんですかね
x→±∞でd=∞はわかっているのだから
d'=0かd'が計算できない(±∞になる)xを全て調べればそこに必ず最小値が含まれている、と思ったのですが
0627１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 19:31:12.30ID:u4LjGQnh
>>618
4つだと思います。一応、対称性から楽しようとしたのですが、領域がなぜかうまく絞り込めません…
0628１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 20:28:00.54ID:/GA8bJMY
x+y=1との共通面をA、x=yとの共通面をBとする。
(0,0)とAの凸包X、
(1,1)とAの凸包Y、
(1,0)とBの凸包Z、
(0,1)とBの凸包W
とする。
XとZの共通域のうちy≦x、x≦1/2の部分を求める。
x=1/2,y≦1/2と領域の共通部分の面をCとして
(0,0)、CはX,Zの両方に含まれるからその凸包はX、Zの両方に含まれる。
逆に領域のy≦x、x≦1/2の部分はこの凸包に含まれる。
以上により該当部分は(0,0)とCの凸包。
0629１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 20:38:12.19ID:5yJQhmHx
>>440
最後にx=a(p-2)/2(p-3), (p-2)/2のどちらを取るかで不等式解き間違えてるだけでは？
冷静に考えれば0<(p-2)/(p-3)<2が有り得ない訳ないでしょ
0630１３２人目の素数さん
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2019/12/06(金) 21:32:41.32ID:JL7GznQx
整式P(x)をx^(2)+1で割れば-5x-10余り、x-2で割れば-5余る。P(x)を(x^(2)+1)(x-2)で割った余りを求めよ。

P(x) = (x^(2)+1)*A(x)-5x-10 = (x^(2)+1)*A(x)-5(x-2)-20 = (x^(2)+1)(x-2)*B(x)-5(x-2)-5 = (x^(2)+1)(x-2)*B(x)-5x+5
ゆえに余りは-5x+5

これは間違いですが具体的にどこが間違いなのでしょうか？
0632１３２人目の素数さん
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2019/12/07(土) 00:30:03.24ID:uyA7rt4S
>>612
(1)
0≦p≦4のときp+√(a^2-4a+20)
p≧4のときp+√{(2p-4)^2+(a-2^2)}
p≦0のとき-p+√{(2p-4)^2+(a-2^2)}
(2)
√(a^2-4a+20)

でいいのかな？
0634１３２人目の素数さん
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2019/12/07(土) 03:43:49.83ID:YKmiJP8B
>>620
直感的には分かるのですが、積を与える写像が連続であることの証明がわからないです
0635１３２人目の素数さん
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2019/12/07(土) 07:31:52.91ID:qIKSSiPZ
>>634
成分個別にR^mnで考えるって書いてるやン
それらの積と和で書かれるんだから連続になるの当たり前
それともR×R→Rの(a,b)→abと(a,b)→a+bの連続性から証明したいということ？
0636１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/07(土) 12:10:52.99ID:/GHyGODE
一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHがある。
その面上または内部に含まれる長さ1の線分Lを考え、その両端点をP,Qとする。
Lが色々動くとき、以下の長さの和の最大値と最小値を求めよ。

(AP+PG)+(BQ+QH)
0638１３２人目の素数さん
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2019/12/07(土) 15:47:00.24ID:8M7oXPTh
おっぱいに三角形を書くと内角の和が180度にならないと聞いたのですが本当ですか？
0639１３２人目の素数さん
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2019/12/08(日) 01:06:04.30ID:nrFfxmSw
直積環R*Rに対して
(R*R)[T]の可逆元全体とR*R可逆元全体は一致するか
また一致しない場合(R*R)[T]の可逆元全体はどんな集合か
0641１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 15:17:06.47ID:nrFfxmSw
不定元ですのでXと書いた方が良かったですね
R[X]でR上の一変数多項式環です
0642１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 15:45:41.57ID:AKQ+qoBm
なんで直積で考えるのか
任意の環R上の多項式環R[X]の可逆元はRの可逆元でしょ
逆は明らかだし
0643１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 19:52:53.91ID:1RPIXi6U
それは言えないのでは
簡単な例だとa∈R,a^k=0を満たすとき
1=1-(aX)^kより1-aXはR[X]の可逆元だけどRの可逆元とは限らない
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 20:00:10.35ID:1RPIXi6U
一致するのは整域のときだけでR×Rは聖域ではないから反例が出てくる
具体的な反例は知らん
0645１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 20:01:54.67ID:GND5Qdtj
とりあえず

R×R　→　R

(a,b)　→　　a+b

で考えようか
0646１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 23:34:04.66ID:IF2loAVY
一般に
R[X]上の元が可逆
⇔定数項が可逆かつ一次以上の係数が全てベキ零元
は言える。

←は明らか。
ある係数が冪令でないが、可逆なものが取れたとする。
その元と逆元の係数だけから生成される部分環に制限してよいからネーター環として良い。
n次の係数aが冪零でないとする。
R[1/a]の素イデアルの引き戻しPをとるとa+PはR/Pの非冪零元でR/P[X]の可逆元の係数となるからRは整域として良い。
しかし整域の場合はR[X]の可逆元は定数項が可逆元で一次以上の係数が全て0である場合に限られるから矛盾。

でもこれが答えといっていいのかは疑問。
こんなもん必要十分条件なんかいくらでもあるだろうし。
大学数学以上のテーマでこの手の問題は成立しないと思う。
本来受験数学でも必要十分条件求めよ系は危ないけど、それはこの手の問題の答えはこの形という暗黙の了解があるからギリギリ許されてるだけで、大学の数学以上ではそんなもん存在しないと思う。
0647１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/08(日) 23:54:34.29ID:GND5Qdtj
R⊆R[X]より

Rで言えることはR[X]ですべて言える
というのもR[X]の元定数多項式をRの元と看做せばよいから
0649１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/09(月) 01:17:25.23ID:jWKKnttG
[x]でxを超えない最大の整数を表す。
Nを自然数の定数とし、数列a(n)を以下のように定める。

a(0)=N
a(n+1)=a(n)+1-[a(n)/2]

（1）lim[n→∞] a(n)　は収束することを示せ。

（2）Nの値により、n→∞でのa(n)の極限値が変化するかを判定せよ。
（変化する場合、各極限値に対応するNを具体的に記述しなくてよい）
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/12/09(月) 02:03:30.33ID:aToMvgjC
>>647
Sを実数体とするとき
・Sの0ではない元は単数である

これと
>Rで言えることはR[X]ですべて言える
という壮大な理論の系として、
・S[X]の0ではない元は単数である
という定理が得られる
0652１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 02:44:50.73ID:E2WZGv9A
そうですね
体上の多項式環の例として実数体の多項式です

R×R　　→　(同型)R^2[X]

　↓　　　　　　　↑

　R　　　→　(包含写像)
0653１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 02:47:18.16ID:E2WZGv9A
>>652
間違えたｗ
0655１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 02:54:12.04ID:E2WZGv9A
R×R　　→　(同型写像)R^2　→　(包含写像)R^2[X]

　↓　　　　　　　↑

　R　　　→　(包含写像)

それなので
実数体Rで成り立つことは
R^2係数多項式全体R^2[X]
でも成立します
0656１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 07:00:52.62ID:JdEMhXhJ
Excelでsum ifって3d参照使えないんらしいんですが、3d参照っぽく使う方法って何かありますか？
0659１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 20:33:30.33ID:RtADCnwt
x,yが自然数で，(x^2+1)/y も (y^2+1)/x も自然数なら
(x^2+y^2+1)/(xy) も自然数といえますか？
0661１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 21:07:48.61ID:jWKKnttG
（ア）l≦mとする。
l!+m!=n!を満たす自然数l,m,nをすべて求めよ。

（イ）k≦lかつm≦nとする。
k!+l!=m!+n!が成り立つような自然数k,l,m,nで、k≠mかつl≠nを満たすものは存在しないことを証明せよ。
0662659
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2019/12/09(月) 21:18:25.96ID:RtADCnwt
ええっ？
そんなに即答が返ってくるくらい簡単なことなのですか。
有名な事実なんでしょうか。
0664659
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2019/12/09(月) 22:17:13.36ID:RtADCnwt
・・・あら、ほんまですわ。
いやお恥ずかしい　(〃∀〃)ゞ
0665１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 23:51:56.46ID:qsm3npU8
定積分∫[-π/2,π/2]tan^3x/(cosx^sinx+1)dxを求めよ。
どうやってとけば良いですか？
0666１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 23:54:41.30ID:qsm3npU8
間違えました
cos^3x/(cosx^sinx+1)です
0667１３２人目の素数さん
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2019/12/09(月) 23:57:00.39ID:WPDpIZNQ
>>666
おまえ、なんで便所行ったときに手を洗わないの？
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