>>522
題意より
　BC = 5,　CA = x,
第二余弦定理より
　2↑CA・↑CB = CA^2 + BC^2 - AB^2 = xx +25 -16 = xx +9,
また
　↑CP_k = (1-t)↑CA + t↑CB,
ここに　t = k/(n+1),
よって
CP_k = √(↑CP_k・↑CP_k)
　= √{(1-t)^2･xx + (1-t)t(xx+9) + (5t)^2}
　= √{(1-t)xx + (9+16t)t},
tについて下に凸 (双曲線) だから、上限は
　f_n(x) = (1/n)Σ[k=1,n] CP_k
　< ∫[0,1] √{(1-t)xx + (9+16t)t} dt
　= (1/64)(x+5)(xx-10x+41) + (1/512)(81-xx)(xx-1)log{(x+9)/(x+1)},
下限は
　f_n(x) > f_1(x) = CP_1 = √{(xx+17)/2},　　(1<x<9)

f_n(1+0) = 3,　　(nによらず)
f_n(9-0) = 7,　　(nによらず)