分からない問題はここに書いてね455

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/18(日) 22:46:47.75

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね454
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562421561/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/19(月) 15:22:04.14

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/19(月) 16:53:59.24

　
　　　△　　￥　▲
　　（　㊤　皿　㊤）　　がしゃーん
　　（　　　　　　　　）　　　　　　
　／│　　肉　　│＼　　　　　　　　　がしゃーん
＜　　＼＿＿__／　　＞
　　　　┃　　　┃
　　　　＝　　　＝
3ゲットロボだよ
自動で3ゲットしてくれるすごいやつだよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/20(火) 02:29:31.38

　
　　　△　　￥　▲
　　（　㊤　皿　㊤）　　がしゃーん
　　（　　　　　　　　）　　　　　　
　／│　　肉　　│＼　　　　　　　　　がしゃーん
＜　　＼＿＿__／　　＞
　　　　┃　　　┃
　　　　＝　　　＝
4ゲットロボだよ
自動で4ゲットしてくれるすごいやつだよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/20(火) 19:33:23.83

aを集合とするとき，
aの濃度(aと一対一に対応する順序数の中で最小のもの)を#aと書きます。

αが極限順序数であるとき
α=∪_{β∊α}#β
は成り立ちますか？
もしくは
#α=∪_{β∊α}#β
は成り立ちますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 11:09:09.37

https://imgur.com/s58hc60

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 11:36:43.15

>>5
どちらも成り立たない
1.
α=ω2(=ω+ω)の時
∪_{β∈α}#β=ω≠α=ω2
順序数αが極限基数でないならば成り立たない？

2.
α=ω_1(最小の非可算順序数)の時
任意のβ∈αに対して#β≦ωであり、
∪_{β∈α}#β=ω≠#α=ω_1
順序数αが極限基数でなく、かつ基数であるならば成り立たない？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 18:30:22.30

>>7
早い回答をありがとうございます！
わかりやすい例です。しかしネガティブな結果で残念です。

以下で一応>>5の背景を書いておきます。
お読みくだされば幸いですが、長いのでお読みにならなくても構いません。

私はいま竹内外史先生のZornの補題A(現代集合論入門第3章 5節)の証明で悩んでいて、
そこにはON(順序数の全体)上の写像Fで
・任意の順序数αに対して F(α)⊊F(α+1)
・αが極限順序数ならば F(α)=∪_{β∊α} F(β)
を満たすものが与えられていて、
任意の順序数αに対して
#α≦#F(α)
が成り立つことが超限帰納法で示されると書いてあります。

∀β∊α[#β≦#F(β)] ⇒ #α≦#F(α)
が示せればよいのですが、αが極限順序数である場合、
・αは極限順序数なので α=∪_{β∊α} β
・∀β∊α[#β≦#F(β)]が成り立っている下では ∪_{β∊α} #β≦∪_{β∊α} #F(β)
・βがαの要素ならば F(β)⊂F(α) なので #F(β)≦#F(α)、すなわち ∪_{β∊α} #F(β)≦#F(α)
までは判明します。あとは
#α=∪_{β∊α} #β
が成り立って #α≦#F(α) がしたがうという寸法かなと思っていたのですが、違うのですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 20:38:09.20

f(x) = x / (1 - x^2)

とする。

この関数は (-1, 1) で連続かつ狭義単調増加で、その値域は (-∞, +∞) であることを示せ。

解答：

f が (-1, 1) で連続かつ狭義単調増加であることは明らか。

lim_{x → 1-0} f(x) = +∞
lim_{x → -1+0} f(x) = -∞

であるから、中間値の定理から、値域が (-∞, +∞) であることも明らか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 20:39:04.33

>>9

この問題を a を任意の実数として、直接 f(x) = a を解くことで示すのは簡単でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 22:58:21.50

で、どうなったんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 23:44:16.21

平方数でない自然数全体からなる集合をSとする。
このとき、Sの任意の元aに対して以下が成り立つことを示せ。

ax^2+1を平方数とする自然数xが存在する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 23:47:44.49

どうにもなってません

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 00:19:44.75

>>8
F(α+1)＼F(α)≠φ
F(α)=∪_{β∈α}F(β)
から、α={β∈α}からF(α)への単射の存在を示せれば
|α|≦|F(α)|
を示せるんじゃないかな？
ここで選択公理を使うのかな

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 00:21:31.43

a,b,cは自然数とする。
数字1を左からa個並べ、その後に数字2をb個並べ、さらにその後に数字5をc個並べてできる(a+b+c)桁の整数N[a,b,c]を考える。

例えばa=2,b=5,c=4のとき、
N[a,b,c]=N[2,5,4]=11222225555
である。

問題:N[a,b,c]が平方数となる自然数の組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 00:42:03.81

>>14
ありがとうございます！
その通りですね。私の視野が狭かった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 00:42:30.85

高3理系に解かせるとしたらこれはどれくらいの難易度でしょうか？

・関数 f(x)={x/(1-x)}exp((1-2x)/x) (0<x<1)
の最小値を求めよ

・t>0として次の定積分F(t)を考える
F(t)=∫[t, t+√(t²+1)] (x-t)/(x²+1) dx

(1)2次導関数 d²/dt² F(t) を求めよ
(2) t>0 で F(t) が単調減少であることを示せ
(3) F(t) の取りうる範囲を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 11:28:52.46

(上)　0<x<1 より
　log(f(x)) = log(x) - log(1-x) + 1/x -2,
　f '(x)/f(x) = 1/x + 1/(1-x) - 1/xx = (2x-1)/{xx(1-x)} = 0,
∴　x=1/2,　f(1/2) = 1,

(下)
(1)
∫(x-t)/(xx+1) dx = ∫x/(xx+1) dx - t∫1/(xx+1) dx
　= (1/2)log(xx+1) - t･arctan(x),

F (t) = (1/2)log[(t+√(tt+1))^2 +1] -(1/2)log(tt+1) - t･arctan(t+√(tt+1)) + t･arctan(t),
F '(t) = 1/{2√(tt+1)} - arctan(t+√(tt+1)) + arctan(t),
F "(t) = 1/{(tt+1)[(t+√(tt+1))^2+1]} = 1/{2(tt+1)^(3/2) [t+√(tt+1)]},

(2)
F "(t) >0,
F '(t) → 0　　(t→∞)
F '(t) < 0,

(3)
F(t) ≒ log(2)/2 + (1/2-π/4)t - tt/4 - t^3/12 + ････
　　→ log(2)/2 = 0.34657359　(t→0)
F(t) → log(2) - 1/2 = 0.19314718　(t→∞)

(上)は良問だが　(下)は糞問だろうね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 11:31:10.68

高専３年
微分方程式の問題です。
xy平面で曲線y=y(x)>=0上の点(0,y(0))から点P(x,y)までの弧長と点Pを通る縦線とx軸y軸で囲まれた部分の面積がつねにその弧長に比例しているときその曲線の方程式を求めよ。ただし比例定数をk>0としy(0)=kとする。
答えはカテナリーになると思います。解説お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 11:37:37.99

>>10
逆関数
　f^(-1)(a) = 2a/{1+√(1+4aa)},
が存在するから。

あるいは、連続函数 tan と arctan を使えば
　f^(-1)(a) = tan{(1/2)arctan(a/2)},

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 11:54:54.89

>>19

題意より
∫[0,x] y(t)dt = k∫[0,x] √{1 + (y '(t))^2} dt,
xで微分して
　y(x) = k √{1 + (y '(x))^2},
　y(x)^2 = kk {1 + (y '(x))^2},
y(0) = k　より y '(0) = 0,
　y(x) = k･cosh(x/k),
たしかに　カテナリー

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 14:45:38.06

曲線って書いてあるから y(x)=k は無しでいいのかなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 18:19:59.15

>>15

N[a,a+1,1] = 100N[a,a,0] + 25　を使うと

N[a,a,0] = 1････12････2 = (10^a +2)(10^a -1)/9 = (A+1)A,
　　　　　　　a個　　a個

ここに、A = (10^a -1)/3 とおいた。

N[a,a+1,1] = 100N[a,a,0] + 25 = 100(A+1)A + 25 = 25(2A+1)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 18:24:56.83

>>23
N[a,b+1,1] = 100N[a,b,0] + 25　を使うべきか・・・・

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 19:17:16.21

https://i.imgur.com/fv9ZHGO.jpg
https://i.imgur.com/61IOdUs.jpg

上が問題で下が解答なのですが、4の(3)の解答で「3つの合同な図形に分けることができる」とアッサリ流されているのですが、何故3つの三角形が合同になるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 19:50:04.80

正方形の４頂点が (0,0),(6,0),(6,6),(0,6)、そして、(0,6)の頂点部分を折り曲げて、
内部の点(a,b)に移ると言うように、座標を設定する。
P(4,0)、Q(0,2)、R(2,6)とすると、∠PQRが直角で有ることにさえ気づけば、
斜線部分が合同な図形三つに分解可能なことは難しくないはず。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 19:51:54.17

>>25
左下の直角三角形と真ん中の直角三角形は、斜辺と1つの鋭角が等しい。
鋭角が等しい理由は
・左上の折り曲げる前の直角三角形で、小さい方の鋭角Aを○とおく
・左上の折り曲げた後の直角三角形でも、当然小さい方の鋭角Bは○
・斜線部の直角三角形（左下）について。これは先の折り曲げた直角三角形と相似。だから大きい方の鋭角Cは90°-○。
・斜線部の直角三角形（真ん中）の大きい方の鋭角Dを△とすると、A,B,C,Dは一点に集まっていて180°だから
○+○+(90°-○)+△=180°
計算して△=90°-○
つまり鋭角Dと鋭角Cは同じ角度
・だから、斜線部の直角三角形（左下）と（真ん中）は「斜辺の長さと一鋭角が等しい」ので合同

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 19:57:29.67

>>23
ありがとうございます。
漸化式を作るN(a,b,c)からb,cを消してしまえるんですね。シンプルにaだけにできてしまう発想に思い至りませんでした。
教えていただいた通りに解き直してみます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 20:17:21.68

>>26
>>27
わかりました、ありがとうございます。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/08/22(木) 21:15:48.76

>>25合同という言葉は危険な匂いがする。使わないほうがいい。
折り返した谷折り線の長さはピタゴラスの定理より、
√(4^2+2^2)=2√5
折り返した直角三角形の直角を挟む2辺は、4㎝と2㎝。
4㎝の辺の中点と斜線部分の四角形の右下の頂点とを結び、四角形の左上の頂点と四角形の右下の頂点も結ぶ。
四角形内部の直角三角形の辺の比はいずれも2:4:2√5となり、斜辺の長さ2√5は、さっき求めた折り返した直角三角形の斜辺と一致するから、
五つの直角三角形の辺の比はいずれも2:4:2√5。
斜線部分の四角形の面積は、
{(4･2)/2}･3=12(c㎡)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/08/22(木) 23:03:42.93

前>>30
>>25(4)
(1/3)π･6^2･12=π･4^2･h
h=36･12/48
=9(㎝)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/08/22(木) 23:17:26.09

前>>31
>>25(1)
(πr^2/4)･3+(1/8)4πr^2=45π
3r^2+2r^2=180
r^2=36
r=6(㎝)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 23:20:19.23

まためちゃくちゃ言っとる

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/22(木) 23:22:57.37

前スレでRからR^2への連続全単射は存在するか質問した者です
Rではなく閉区間を考えれば、コンパクトハウスドルフ空間の連続全単射は同相であることと1点除いて連結かをみることで連続全単射は存在しないことが分かるのですが、Rの場合はどのように示すことができるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 01:30:45.11

>>24 の右辺が
　　100(A+1)A + 25 = 25(2A+1)^2
の形になる条件は、ある自然数Aについて
　N[a,b,0] = (A+1)A
ってことです････

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 02:07:36.17

>>25

４　次の問いに答えなさい。

(3)　右に図は、1辺6 cm の正方形の折り紙のひとすみを折り曲げたところを示したものである。
斜線部分の面積を求めよ。

(解説)

(3)　右の図のように、3つの合同な三角形に分けることができるから、
　求める面積は、
　　(1/2)×2×4×3 = 12 (cm^2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 03:20:52.55

△ABC と △A'B'C' があり
　∠A = ∠A'
　AB = A'B'
　BC = B'C'
を満たすとする。(2辺1角相等)

正弦定理より
　sin(C) = (AB/BC) sin(A),
　C　⇔　180ﾟ - C
としても成立。
ただし ∠A=90ﾟの場合は
　C < 90ﾟ
なので合同である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:39:49.40

以下が成り立つのはなぜですか？

多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れるが、 (x-a)^(k+1) では割り切れない。

⇔

f(x) = (x-a)^k*g(x), g(a) ≠ 0 と表される。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:42:07.09

f(x) = (x-a)^k*g(x), g(a) ≠ 0 と表される。

⇒

多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れるが、 (x-a)^(k+1) では割り切れない。

が分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:43:22.41

多項式の素因数分解の一意性を使えばいいのは分かりますが、

>>39

が書かれている本には素因数分解の一意性についての記述はありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:45:14.11

k+1回割れるならg(x)=(x-a)h(x)の形をしてるはずですね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:46:41.94

松阪くんって代数がものすごく苦手だよね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:50:22.66

>>41

それはなぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:53:13.98

k+1回割り算できるんですよね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:53:26.89

>>41

素因数分解の一意性を使わずに説明してください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:54:48.75

逆にgに(x-a)入ってないならどこから(x-a)出てくるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:55:57.97

>>46

証明を書いてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 10:57:14.45

明らかですよね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 11:47:10.71

実際、一意分解環じゃなくても成り立つしな

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 12:51:51.71

>>43
　(x-a)^k･g(x) = (x-a)^(k+1)･h(x)
ならば
　g(x) = (x-a)h(x)
か？

a以外のすべてのxについて成り立つから、多項式として等しい。（恒等式）

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 13:07:10.12

>>15
c≧1 より N[a,b,c] の下1桁は5
平方根の下1桁も5
(10A+5)^2 = 100(A+1)A + 25　の下2桁は25
∴ c=1
>>24

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 13:28:44.86

f(x) = (x - a)^k * g(x), g(a) ≠ 0 と表されると仮定する。

f(x) が (x - a)^(k + 1) で割り切れると仮定する。

f(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x) と書ける。

∴ (x - a)^k * g(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x)

(x - a)^k * (g(x) - (x - a) * h(x)) = 0

b ≠ a ならば、 (b - a)^k ≠ 0 だから、 g(b) - (b - a) * h(b) = 0

よって、多項式 g(x) - (x - a) * h(x) は無数の異なる零点をもつ。

よって、 g(x) - (x - a) * h(x) = 0 でなければならない。

∴ g(x) = (x - a) * h(x)

よって、 g(a) = 0 となるがこれは矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 13:29:05.83

>>50

ありがとうございました。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/08/23(金) 13:53:11.72

前>>32めちゃくちゃでも答えがあえばええんでね。
気にせんと。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 15:05:21.92

>>52

以下でもOKですね。

f(x) = (x - a)^k * g(x), g(a) ≠ 0 と表されると仮定する。

f(x) が (x - a)^(k + 1) で割り切れると仮定する。

f(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x) と書ける。

∴ (x - a)^k * g(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x)

(x - a)^k * (g(x) - (x - a) * h(x)) = 0

(x - a)^k ≠ 0 だから、 g(x) - (x - a) * h(x) = 0 でなければならない。

∴ g(x) = (x - a) * h(x)

よって、 g(a) = 0 となるがこれは矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 15:38:02.47

https://i.imgur.com/drYjpiN.jpg
https://i.imgur.com/RcITiOl.jpg
すいません、これの(2)なんですが
0からnまでのシグマと積分記号の入れ替えってなにも条件なしで成立するんですか？

このルートで解くんだろうなとは解いてて思ったんですが
入れ替えてよい説明がうまく記述できず、解答見たら何も説明なかったんですが
①無条件で入れ替えられますか？
②なぜ入れ替えられるのですか？

可能であればなるべく高校数学まででお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 15:38:38.33

２枚目の下から３行目、４行目の式です

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 15:56:47.51

有限ならいつでもできますよね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 16:58:37.16

二乗根は正でなければならないのに、三乗根は負でもいい理由を教えてください
例を挙げると
√4=2　で-2は不適とするのに
3√(-1)=-1としてもいい理由を教えてください

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/08/23(金) 17:05:36.06

前>>54
>>59マイナスとマイナスを掛けるとプラスになりますが、マイナスを3回掛けるとマイナスになります。
だからです。
それだけのことだと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 17:19:55.96

f＋gの積分はfの積分＋gの積分ですね
f＋g＋hの積分はfの積分＋gの積分＋hの積分ですね

n個になっても同じです

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 17:25:57.09

a > 0 とします。

x^(2*n) = a

は正と負の二つの実数解をもちます。

x^2 = 4 は +2, -2 の二つの実数解をもちます。

√4 はこのうち正の実数解のほうである +2 を表すと約束しただけです。
すると -2 = -√4　です。

単なる約束です。もし、 √4 は二つある実数解の -2 を表すと約束していたとしたら、
+2 = -√4 です。

a を任意の実数とします。

x^(2*n+1) = a

は1つの実数解をもちます。

x^3 = -1 は -1 のみを実数解としてもちます。

これを 3√(-1) と書くというのも約束です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 17:28:39.40

二乗根はどうしてもプラスのものとマイナスのものと二つ出てきてしまって
関数として使いづらいので√はプラスの方とする、と決めているだけです
何かの角度を求めたときに、370度とは書かずに10度と書くのと同じ理由
とりあえず一つに決めておこうってだけ

3乗根の場合は、x3乗のグラフ書いてみればわかるけど
一つの数字の3乗根がプラスマイナス両方出てくることは無くて、絶対マイナスのものかプラスのもの一つだけなので特にプラスだけ、とかこだわる必要がないのです

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 17:59:12.10

>>62
>>63
ありがとうございます、納得できました

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 18:19:54.62

p(x) を多項式とする。

a ≠ b とする。
p(a) = 0, a の重複度を m とする。
p(b) = 0, b の重複度を n とする。

このとき、

p(x) = (x-a)^m * (x-b)^n * q(x)
q(a) ≠0
q(b) ≠0

と書けることを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 18:27:59.55

>>65
糖質ガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 18:32:39.23

a < b とし、 n を任意の正の整数として、

f(x) = (d^n / dx^n ) (x - a)^n * (x - b)^n

とおく。方程式 f(x) = 0 は開区間 (a, b) に n 個の単解をもつことを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 18:39:35.28

うっわガイジにレスしちゃった
ガイジとは知らず触れてしまい申し訳ないです

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 18:48:18.78

>>67

の松坂和夫さんの証明がすっきりとしません。

↓こんな証明です：

F(x) = (x - a)^n * (x - b)^n は 2*n 次の多項式だから、 f(x) は n 次の多項式。

F(x) は a, b をそれぞれ n 重解としてもつから、 F'(x) は a, b を (n - 1) 重解としてもつ。

さらに F(a) = F(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'(x) は区間 (a, b) に少なくとも1つの
解をもつ。次数を考えれば、その解 c_1 はただ1つで、しかも F'(x) の単解である。

同様に考えると、 F''(x) は a, b をそれぞれ (n - 2) 重解としてもち、さらに区間 (a, c_1), (c_1, b) に
それぞれ1つずつ単解 c_2, c_2' をもつ。

以下同様に続けていけば、 f = F^(n) は区間 (a, b) に n 個の単解をもつことがわかる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 18:58:48.11

F'(x) は a, b を (n - 1) 重解としてもつから、

F'(x) = (x - a)^(n - 1) * (x - b)^(n - 1) * (x - c)

と書ける。

F(a) = F(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'(x) は区間 (a, b) に少なくとも1つの
解をもつ。

この解は c と一致しなければならない。

F''(x) は a, b を (n - 2) 重解としてもつから、

F''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x^2 + d*x + e)

と書ける。

F'(a) = F'(c) = 0 であるから、ロルの定理によって F''(x) は区間 (a, c) に少なくとも1つの
解 f をもつ。

F'(c) = F'(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F''(x) は区間 (c, b) に少なくとも1つの
解 g をもつ。

#{a, b, f, g} = 4 だから、

F''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x - f) * (x - g)

と書ける。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 19:03:54.10

F'''(x) は a, b を (n - 3) 重解としてもつから、

F'''(x) = (x - a)^(n - 3) * (x - b)^(n - 3) * (x^3 + h*x^2 + i*x + j)

と書ける。

F''(a) = F''(f) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (a, f) に少なくとも1つの
解 k をもつ。

F''(f) = F''(g) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (f, g) に少なくとも1つの
解 l をもつ。

F''(g) = F''(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (g, b) に少なくとも1つの
解 m をもつ。

#{a, b, k, l, m} = 5 だから、

F'''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x - k) * (x - l) * (x - m)

と書ける。

…

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 19:04:46.16

>>70
>>71

松坂和夫さんの証明は分かりやすく書き直したものです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 19:05:08.84

訂正します：

>>70
>>71

は、松坂和夫さんの証明を分かりやすく書き直したものです

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 19:16:26.05

面倒ですが、きちんと証明するには、帰納法で証明するしかないですかね。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/08/23(金) 19:30:41.78

前>>60
ぁぃのことばぉろ～る～♪

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 22:37:19.58

>>59
3√(-1)=-1としちゃダメだよ…

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 23:05:01.44

良いですよね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 23:13:01.06

ところで、

√(-2) は √2 * i のことですよね。

c を 0 でない複素数とするとき、

x^2 = c は二つの異なる複素数解をもちます。

√c はそのどちらを表すのでしょうか？

何かスタンダードな約束はありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 23:59:20.76

主値を適当に決めればいいんでしょうけどその分枝の選び方にばらつきあるでしょうからないんじゃないですかね

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 00:10:47.43

先にあった記号に寄り掛かって数学があるわけじゃない。
合理的に記号を使い回そうという試みはあったにしてもね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 02:36:08.50

そもそも虚数単位i自体が一意じゃないし

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 05:15:47.84

一意ではないとはどういうことですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 06:09:38.72

>>67 >>69

つ[参考書]

高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.119～122
　第３章、§36. Legendreの球函数
　(5ﾟ) がスツルムの分離定理

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 12:47:31.23

>>83

ありがとうございます。

ちょっと見てみましたが、詳細を省略しまくりですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 13:19:32.34

[チコノフの定理] " 位相空間: S_λ (λ∈Λ) はコンパクト " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ はコンパクト "
[? の定理] " 位相空間: S_λ (λ∈Λ) は連結 " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は連結 "

" 位相空間: S_λ (λ∈Λ) は P " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は P "
このタイプで他に面白い定理ありませんか？それと P=連結の場合の定理に何か名前付いてたら教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 13:34:47.69

>>84
そのひと高木ガイジだからスルーしといて

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 14:01:03.62

>>82
i と -i を交換しても何の問題もないって事さ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 14:11:06.16

交換するとはどういうことですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 14:14:06.25

>>81
>>87

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)
(0, -1) * (0, -1) = (-1, 0)

だから、

i := (0, 1) と定義しても
i := (0, -1) と定義しても

どちらでも良いということですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 14:21:00.13

i := (0, 1) と定義した場合には、

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) * (0, 1) = a + b * i

i := (0, -1) と定義した場合には、

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (-b, 0) * (0, -1) = a - b * i

となりますね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 14:39:49.20

j=-i を i のかわりに虚数単位として複素数を構築しても
違いはでないってことでないの？
多項式の解の形は変わらないとか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 15:03:25.88

代数が大の苦手な松坂くんは、同型の概念を未修なようです

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 16:41:43.01

j=-i、iは虚数単位とする。
このとき、以下の定積分の値を求めよ。
∫[j to i] xcos(x)/(1+x^2) dx

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 16:57:25.90

Z[x]/(x^2+1)において4+x+(x^2+1)で生成されるイデアルの計算の仕方を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 17:13:26.16

わざわざ括弧つきで書かれてるのに像がわからないとは言わせない
とりあえず剰余環の定義(どういう同値関係で割ってるのか)を確認してきて

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 17:21:26.73

すいません環論の話で剰余環です
Rを環 I⊂R をイデアルとしてa,b ⊂R -a+b⊂I←→ a～b

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 17:35:53.23

これ凹凸の性質使えばあっさり示せるのは知ってるんですが
そういうのを用いずabを変数と見なした大小比較のみで示すことは可能ですか？
https://i.imgur.com/bdMOohZ.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 17:47:12.63

Z[√ー１]/(4+√-1) ～＝Z/17Z を示せ。という問題で
I=(x^2+1) J=(x^2+1, x+4) （イデアル）としたとき
Z[x]/I において４+x+I で生成されるイデアルはJ/Iとなると本に書いてあるのですが、
独学なので剰余環のなかのイデアルというのがイマイチ理解できません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 17:57:53.75

解決しましたすいませんｎ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/24(土) 23:46:52.17

群Gの任意の部分群Hについて、包含写像f:H→Gは準同型である
これって何でですか？