前>>846鼓部分を増改修。
xyz空間に点(a,b,c)をa≦b≦cとなるようにとり、点(0,0,0)と結んだ直線を対角線とする直方体をこの直線を軸に一回転させると、直方体の通過部分は、
側面が双曲面の鼓の両面に円錐をてれこにして底面を張りあわせた形。
点(0,0,0)も点(a,b,c)もわりと鈍角にとがった頂点。
オリオン座を天地対称にして側面をなめらかにした形。
直方体を対角線とz軸がなす平面で二等分した断面を、縦c横√(a^2+b^2)の長方形で描くと、対角線の長さは題意より、
√(a^2+b^2+c^2)=1
直角三角形の3辺の比はおっきいほうから、
1:c:√(a^2+b^2)
=1:c:√(1-c^2)
円錐=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}(1-c^2)
=πc^2/3
鼓形物体の最大半径
=c/√(1-c^2)
直角三角形の合同とピタゴラスの定理より、
円錐の底面の半径は、
c/√(1-c^2)
円錐の高さは、
1-c^2
双曲面の高さは、
1-2(1-c^2)=2c^2-1
双曲面間の円盤の半径を鼓の底面からの距離t(0≦t≦c^2-1/2)で表すと、

積分する。
∴直方体の通過部分の体積
=2(円錐+側面が双曲面の円台)
=2πc^2/3
+2π∫[t=0→c^2-1/2](双曲面と対角線の距離)^2dt
=
双曲面と対角線の距離すなわち双曲線と直線の距離がtの関数で表せれば積分関数がわかるはず。