>>824
xyz空間に点(a,b,c)をa＜b＜cとなるようにとり、点(0,0,0)と結んだ直線を対角線とする直方体をこの直線を軸に一回転させると、直方体の通過部分は、
円錐と円錐台をてれこにして円錐台のちっさい側の底面で張りあわせた鼓のような形。
点(0,0,0)も点(a,b,c)もわりと鈍角にとがった頂点。
オリオン座を天地対称にした形。
直方体をz軸に平行に二等分した断面を、縦c横√(a^2+b^2)の長方形で描くと、対角線の長さは題意より、
√(a^2+b^2+c^2)=1
直角三角形の合同とピタゴラスの定理より、円錐および円錐台の半径と高さを特定する。3辺の比はおっきいほうから、
1:c:√(a^2+b^2)
=1:c:√(1-c^2)
円錐=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}(1-c^2)
=πc^2/3
鼓形物体の最大半径
=c/√(1-c^2)
対角線中央の底面積(鼓形物体のくびれてる部分の最小断面)
=(1/2){c/√(1-c^2)}(1/c^2)
=1/2c√(1-c^2)
円錐台=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}-(1/3)π{1/4c^2(1-c^2)}(1/2)
∴直方体の通過部分の体積
=2(円錐+円錐台)
=2πc^2/3
+2(1/3)π{c^2/(1-c^2)}-2(1/3)π{1/4c^2(1-c^2)}(1/2)
=2πc^2/(1-c^2)-π/12c^2(1-c^2)
=(8c^2-1)π/12c^2(1-c^2)
