なんだ発狂して消えたのか
せっかく書いたので投下しておきます

Mをm次元多様体とします
今の場合は単にM=R^nと考えても構いません

微分1形式の定義は「余接束T*Mの切断」です
微分n形式はΛ^n(T*M)の切断です
Mの局所座標(U,x_i)を取ると、微分1形式はU上dx_iで生成されます

一方、接束TMの切断はベクトル場と呼びますが、こちらはU上∂/∂x_iで生成されます

ベクトル場はC^∞(M)に作用します
局所座標で書くと
∂/∂x:f→∂f/∂x
です

座標を(x_i)→(y_i)と変換すると
dy_i=Σ(∂y_i/∂x_j)dx_j
よって
dy_1...dy_m=∂(y_i)/∂(x_i)•dx_1...dx_m
となります

一変数の場合は
dy=(∂y/∂x)dx (＊)
ですね

以上のように、「関数の微分」と「微分形式」はそもそも独立した概念であり、一方から他方を導くといった関係ではありません
さて、一変数の微分は慣例的に∂/∂xの代わりにd/dxを使うことがありますが、(＊)は形式的に
「dy÷dx=dy/dx」
と見ることができるので、一変数の場合は混乱しないねってだけです
大学の数学では一変数であっても微分は∂/∂xで表すことがよくあります