現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む61
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた） N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
より、
0 := {}∈N
が言え、
∀n∈N に対して、n∈/{}
だから、Nは整楚である。 >>951
おまえ、スレ主だろｗ
今度は、正則性公理が必要、とか弁護しないのか？ ＞N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
ちなみに「0を含む帰納的集合」の存在は無限公理により保証される。
スレ主は「数学的帰納法成立には無限公理が必要」とでもカマせばよかったんだよｗ
それなら「当たり前だろ？」と言われることはあっても「間違えんなバカ」と言われることは無かったｗ しかし酷いもんだな。
スレ主は数学的帰納法も選択公理も正則性公理も分かっていなかった。
分からないなら黙ってればいいのになんで天下に赤っ恥を晒したがるのか、そこが謎であるｗ >>955
スレ主は
「帰納法が公理でないなら、
集合論の公理から導かれなければならない」
という狂った思い込みがある
実際は自然数やら順序数やらの定義に基づく推論なんで
集合論の公理がどうこうとかいうことではないのだが
スレ主は馬鹿のくせに自分が賢いと自惚れる悪癖があるから
自分の誤りを決して認められない
正真正銘の負け犬なんだな >>933
>空集合はZFにおいて「原子」みたいなもの
確かに
それはそうかもね（＾＾ >>936
これ書いた人が、どんなレベルの人かは、知らないが
”定理 8 (自然数の正則性).ω に属する x について、x not ∈ x。
(注: これは正則性の公理を使えばすぐにわかることであるが、この記事では正則性の公理について説明しないので、代わりに数学的帰納法を用いて証明する。
数学的帰納法が機能すること自体が正則性の公理に依存しているので、本来ならば数学的帰納法を使わずに直接正則性の公理を使うべきである。)”
だってよ （＾＾
https://unaguna.jp/article/archives/15#theorem_basis_n
U-naguna
(抜粋)
集合論の言葉による自然数の表現
定理 8 (自然数の正則性).ω に属する x について、x not ∈ x。
(注: これは正則性の公理を使えばすぐにわかることであるが、この記事では正則性の公理について説明しないので、代わりに数学的帰納法を用いて証明する。
数学的帰納法が機能すること自体が正則性の公理に依存しているので、本来ならば数学的帰納法を使わずに直接正則性の公理を使うべきである。)
(証明)
x について数学的帰納法を用いる。
まず 0 not ∈ 0 は明らか。
次に x not ∈ x とする。このとき x∪{x}∈x∪{x} とすると矛盾することを示す。
この仮定より
x∪{x}∈x か x∪{x}=x
のいずれかが成立する。
前者の場合は自然数の推移性と x∈x∪{x} より x∈x となって数学的帰納法の仮定に矛盾する。
後者の場合は x∈x∪{x} より x∈x となってやはり数学的帰納法の仮定に矛盾する。
いずれにしても矛盾するので x∪{x} not ∈ x∪{x}。
(引用終わり)
つづく >>959
つづき
自然数が、全順序関係を持つことを証明しているのだが
背理法「正則性の公理に矛盾」って書いてあるよ（＾＾
https://unaguna.jp/article/archives/27
U-naguna
(抜粋)
13.全順序関係
定義 2 (自然数の大小関係).
定理 3.上で定義した関係 R は全順序関係である。
(証明) 全順序関係の定義に則って確かめる。まず a=<a を示す。a=a より、a=<a。
次に a=<b, b=<c から a=<c を導く。a=<b より a∈b と a=b のいずれかが成立し、b=<c より c∈d と c=d のいずれかが成立する。もし a=b, b=c であれば a=c であるので a=<c。
もし a=b, b∈c であれば a∈c であるので a=<c。もし a∈b, b=c であれば a∈c であるので a=<c。
もし a∈b, b∈c であれば自然数の推移性より a∈c であるので a=<c。
次に a=<b, b=<a から a=b を背理法で導く。
a≠b とすると a=<b, b=<a より a∈b, b∈a
(注: この時点で正則性の公理に矛盾しているがこの記事シリーズでは正則性の公理を詳しく説明していないので、正則性の公理に依存する別の定理を使う)。
このとき自然数の推移性より a∈a であるが、これは自然数の正則性に矛盾する。したがって a=b。
最後に a=<b, b=<a のいずれかが成立することを a についての数学的帰納法で示す。
まず命題より 0∈b と 0=b のいずれかが成立するので 0=<b。
次に固定された a について a=<b, b=<a のいずれかが成立すると仮定する。
このとき a=b, b∈a, a∈b のいずれかが成立している。もし a=b なら a∈a∪{a} より b∈a∪{a} であるので b=<a∪{a}。
もし b∈a なら a∈a∪{a} と自然数の推移性より b∈a∪{a} であるので b=<a∪{a}。もし a∈b であるなら、命題より a∪{a}=<b。
以上よりいずれにしても a∪{a}=<b, b=<a∪{a} のいずれかが成立する。
(引用終わり)
以上 >>960 追加
下記の証明で
「実数Rの部分集合として下に有界です」のところは、（任意の部分集合に対する）正則性公理を使っていると思うがどう？（＾＾
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1194834851
(抜粋)
anj********さん2012/9/2903:18:07 yahoo 知恵袋
あなたは自然数の集合Nが整列集合であることを証明できますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
tok********さん 2012/10/512:00:09
はい。実際に証明してみます。
まず整列集合の定義から。
整列集合Sとは、整列順序、
すなわちS上の全順序関係 「＜'」 であって、Sの空でない任意の部分集合が必ず＜'に関する最小元をもつもの、
を備えた集合のことをいいます。
つまり、自然数の集合Nに整列順序＜'を定義できればいいわけです。
自然数の場合、通常の順序「=<」が整列順序となります。
以下でこれを証明します。
まず「=<」が全順序、すなわち任意の自然数a,bに対し、
a=<bまたはb=<aが必ず成り立ち、両方が成り立つならばa=b、
であるということは明らかです。
次に、Nの空でない任意の部分集合Xが必ず=<に関する最小元をもつ
ということを示します。
Xは0未満の元を持たないので、
実数Rの部分集合として下に有界です。
従って実数の性質から、Xは実数R上に下限infXが存在します。
さて、infXを中心とした開区間(infX-1/2,infX+1/2)を考えると、
この区間の内部に自然数は高々1個しか存在しません。
また、下限の定義より、この区間内にXの元が存在します。
よって、(infX-1/2,infX+1/2)∩X={x}を満たすx∈Xがあります。
infX≠xならば、上の開区間上にx以外のXの元があることになり矛盾。
よってinfX=xとなり、xはXの最小元。
ゆえに任意のNの部分集合Xに最小元が存在することが示せました。
以上でNが=<を整列順序とする整列集合であることが証明できました。
(引用終わり) >>960 補足
>最後に a=<b, b=<a のいずれかが成立することを a についての数学的帰納法で示す。
「数学的帰納法で示す」ってところも、アウトだね
∵数学的帰納法と自然数が整列集合であることは、公理として同値だからね（＾＾； >>956
パトロール隊長、どうもありがとう
そいつは、キチガイ サイコパスだから、適当にあしらっておきな
まともに相手する必要なし！（＾＾； >>960 補足
念のため、全順序の定義下記な
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
(抜粋)
目次
1 定義
1.1 前順序・半順序・全順序
定義
全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。
ここで P は集合であり、「=<」を P 上で定義された二項関係とする。
・反射律：P の任意の元 a に対し、a =< a が成り立つ。
・推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a =< b かつ b =< c ならば a =< c が成り立つ。
・反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a =< b かつ b =< a ならば a = b が成り立つ。
・全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a =< b または b =< a が成り立つ。
「=<」が全順序律を満たさない場合、「a =< b」でも「b =< a」でもないケースがある。このようなケースにあるとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
前順序・半順序・全順序
P を集合とし、=< を P 上で定義された二項関係 とする。
・=< が反射律と推移律を満たすとき、=< を P 上の前順序（英語版）という。
・=< が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、=< を P 上の半順序という。
・=< が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、=< を P 上の全順序という。
=< が前順序であるとき (P, =<) を前順序集合という。
同様に =< が半順序なら (P, =<) は半順序集合、全順序なら (P, =<) は全順序集合という。
また集合 P は (P, =<) の台集合 (underlying set) あるいは台 (support) と呼ばれる。
紛れがなければ =< を省略し、P の事を（いずれかの意味で）順序集合という。
(引用終わり) 全くもうスレ主は理解出来ないから、要約が出来ない。
丸写しの引用しか出来ないんだろうな。 >>959
＞数学的帰納法が機能すること自体が正則性の公理に依存しているので、
＞本来ならば数学的帰納法を使わずに直接正則性の公理を使うべきである。
これ誤り
数学的帰納法が成立することは、自然数が整礎であることに依存している
これは正則性の公理より真に弱い条件である >>965
スレ主はそもそも論理が分かってない
だから丸ごと引用の馬鹿丸出しなことしかできない
中身は彼自身全然理解できてないんだろう
数学する意味がない スレ主の人生は無意味 >>968
ぐだぐだ言っても、証明無ければ、それ数学じゃないよね
落ちこぼれさん（＾＾；
ピエロちゃん、あんたの負けだなｗ（＾＾ >>969
間違い連発のお前が「あんたの負けだな ｷﾘｯ」ってｗ
お前面の皮の厚さなら超一流だなｗ >>969
証明の必要がないと認識できない時点で
スレ主には数学を学ぶ能力がない
死ね 畜生 スレ主は馬鹿のくせに自惚れが強い
生きる価値もない畜生 死ね >>972
それお前ｗ バレてないと思ってた？ｗ
自分の悪癖が他人にもあると疑う気持ちは分からないでもないが っぷ >>972
他人はお前ほど卑劣な嘘つきじゃない
死ね サイコパス！ スレ主は以前自分で自分をアホバカと言ってたよな？
なのになんでそんなに上から目線なん？
バカならバカなりに教えを乞うたらええやん
仕方ないやん、バカなんだから >>977
＞なんでそんなに上から目線なん？
スレ主は自惚れがないと生きていけないチキンなんだろ
負け犬の証拠 勝者は自惚れない >>972
スレ主が自演してるのなんて皆とっくに気付いてるんだよｗ
気付いてて心の中でｸｽｸｽ笑ってるだけｗ
なのに自分から言ってどうするｗ ホントバカだねｗ >>914
よくぞ、フォン・ノイマンの正則性公理につっかかってくれましたね（＾＾
今度は完全にこちらが一本取ったぜ（＾＾；
(>>920-921より)
じゃ、ＺＦで、正則性公理抜きで、ペアノ公理を導いてみなよｗ（＾＾；
(引用終り)
証明まだぁ〜ｗ（＾＾
（>>929より）
・おれは、あんたの証明は信用できないので、典拠を要求します。証明できるなら、当然すでにだれかがやっていると思うから。典拠をよろしく
(引用終り)
がんばれ、サイコパスピエロ〜！ｗ（＾＾
サイコパスのいじりネタができたな〜（＾＾ 次スレもしばらく、ＺＦＣネタで遊べそうだな〜ｗ（＾＾ みんな、新スレへ
ここは、適当に埋めますから
おっと、サイコパスは残って、ＺＦからペアノ公理を導く証明を考えなさい（＾＾ >>980
>今度は完全にこちらが一本取ったぜ
馬鹿丸出し
>ＺＦからペアノ公理を導く証明
自然数の定義から「ペアノの公理」は導かれる
ＺＦは自然数論と違って、自然数以外の対象もあるから
自然数論における「ペアノの公理」がそのまま
集合論の公理になるわけではない 馬鹿はそこに気づけない スレ主はZFではNが正則でないモデルがあると思ってるのか
アホか？ｗ Nのモデルを
…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
となるように作ろう！ >>988
バカが嘘と正しいと喚いてるな
フチノ氏もいってるように
α∈β≣α＜β
向きを逆にすればいいとか
馬鹿丸出しなこといってんじゃねえ
この白痴が！ >>989
この件についてはお前さんもスレ主と同類。
てか、この馬鹿さはスレ主の自演かw
Nの順序が順序数のそれと一致する必要は微塵も無い。
通常はその方が便利で自然だからそうしてるだけだ。
ノイマンの構成は自然数を順序数の特殊な物ωとして扱うわけだが。 >>990
＞Nの順序が順序数のそれと一致する必要は微塵も無い。
わかってないね
∈をつかって順序を定義したとしても
正則性公理は必要ない、といってるんだよ 場外バトルか
こっちの方が、新スレよりレベル高そう（＾＾； それ未だに俺をスレ主と混同して自演認定してるガイジにも言ってやれよ スレ主の自演癖は目に余る
バレてないと思ってるのがイタイ このスレッドは１０００を超えました。
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