不等式への招待第10章

**不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)** · 2018/12/18(火) 21:47:07.65

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/16(日) 07:07:43.58

>>110 (下)

〔問題〕 2019-03
・最大は a_1 = ････ = a_(n-1) = 0,　a_n = s のときで　　(s>1)
　最大値 s^(n+1).
・極小点では
　(k+1)(a_k)^k = 2t　　(未定乗数)
より
　a_1 = t,　a_k = {2t/(k+1)}^(1/k),
このとき
　f(t) = t + Σ[k=2,n] {2t/(k+1)}^(1/k)
は単調増加で f(0)=0, f(s) > s だから
f(t)=s は 0<t<s にただ一つの解をもつ。

n=2のとき　t = s - {√(1+6s) - 1}/3,

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/16(日) 10:38:35.53

〔補題554〕
0<k<1 のとき
(1)　√{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(2)　E(k) = ∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
　　　　　E(k)は第二種の完全楕円積分

分かスレ４５３－554,555

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/16(日) 20:46:24.95

〔補題559〕
0<k<1 のとき
(1')　　2√(1-kk/2) ≧ √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 - (k･cosφ)^2} ≧ 1 + √(1-kk),
(2')　　(π/2)√(1-kk/2) ≧ Ｅ(k) ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 06:37:15.80

〔問題541〕
長半径a, 短半径a√(1-kk) である楕円の周長を K,
半径 a の円周の長さを L,
半径 a√(1-kk) の円周の長さを M とする。すなわち
　K = 4a E(k),
　L = 2πa,
　M = 2πa√(1-kk),
とするとき
　√{(LL+MM)/2} ≧ K ≧ (L+M)/2,
　等号成立は K=L=M (k=0) のとき。
分かスレ４５３-541

〔問題537〕
zは複素数で |z|≦1 のとき
　|(1+z)exp(-z) - 1| ≦ |z|^2
　等号成立は z=-1 のとき。
分かスレ４５３-537

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/18(火) 07:17:42.66

>>109

〔問題〕 2018-07改
任意の実数 x,y に対して
　F(2xx,2yy) = F((x+y)^2,(x-y)^2)
が成立するような、実数係数のxとyの多項式 F(x,y) は
ある実数係数のuとvの多項式G(u,v)により
　F(x,y) = G(x+y, xy(x-y)^2),
と表わされることを示せ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180620.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/20(木) 01:05:37.07

>>152 (下)

(左辺) = |∫[0,z] (-z') exp(-z') dz'|
≦ ∫(0,|z|) |z'| exp(|z'|) |dz'|
= ∫(0,|z|) r exp(r) dr　　　　(r=|z'|)
= 1 - (1-|z|) exp(|z|)
≦ 1 - (1-|z|) (1+|z|)　　　　　(|z|≦1)
= |z|^2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/20(木) 03:01:03.41

>>141 >>142
(左辺) - (右辺) = 9abc + (1/a+1/b+1/c) -7 - 7(ab+bc+ca)
　≧ 9abc + 9/(a+b+c) -7 - 7(ab+bc+ca)　　　　(AM-HM)
　= 9abc + 2(a+b+c)^3 - 7(a+b+c)(ab+bc+ca)
　= (a+b+c){(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)} + {(a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc}
　= (a+b+c)F_0(a,b,c) + F_1(a,b,c)
　≧ 0,

〔Schurの不等式〕
a,b,c≧0 または n:偶数のとき
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,
(略証)
bはaとcの中間にあるとして
　(a-b)(b-c) ≧ 0,　　a^n - b^n + c^n ≧ 0,
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n - b^n + c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2 ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/20(木) 04:06:49.82

>>143

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /{a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}　　　(コーシー)
　= 1 + (1/2) (aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)
　= 1 + (1/2)XX
　≧ (1/2) + X,

∴　(左辺) ≧ (1/2) + X + 1/X ≧ 5/2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/25(火) 08:56:15.44

>>118
4408.　　a,b & c がベクトルのとき

α=2
　Sq．= |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2 = 0,　　　(← 内積)

α=1　　(Hlawka)
　 |a| + |b| + |c| + |a+b+c| - |a+b| - |b+c| - |c+a| ≧ 0,
(略証)
　(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|) (左辺)
　= Sq. + (|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|) + (|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|) + (|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)
　≧ 0.
　[初代スレ.354-360, 364]
　[第８章.388 (5), 450, 708, 795]
　文献[3]　大関、p.33-34 例題8.

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/26(水) 07:40:18.60

>>70 >>140
コーシーで
　(a+b)^2 / {(a+c)^2 + (b+c)^2} ≦ aa/(a+c)^2 + bb/(b+c)^2,
よって
(左辺) ≦ (aa+bb)/(a+b)^2 + cyclic
　= 3/2 + (1/2){(a-b)/(a+b)}^2 + cyclic
　≦ 3/2 + (a-b)^2 /(8ab) + cyclic
　= 3/2 + {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/(8abc)
　= 1/2 + (a+b)(b+c)(c+a)/(8abc),

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 10:49:31.64

〔問題3078〕
Let a,b,c be nonzero real numbers such that 1/a + 1/b + 1/c = -4.
Prove that:
　32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 24(aa + bb + cc + a + b + c) + 4 -(a+b+c)/abc ≧ 0,

When does equality hold ?　　　　(K.Chikaya / Apr.29, 2019)

http://suseum.jp/gq/question/3078
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 352

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 13:49:42.14

Wirtinger型不等式に関する一考察
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1253-14.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 15:50:01.53

>>160
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 17:05:59.72

>>160
これ論文？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 22:49:17.62

ASU 128 All Soviet Union MO 1969 https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1862011p12597664

正の実数a_1,…,a_nに対して次の不等式が成立
a_1/(a_2+a_3)+a_2/(a_3+a_4)+…+a_n/(a_1+a_2)>n/4

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 23:03:38.04

>>159

〔類題〕
　a,b,c は0でない実数で　1/a + 1/b + 1/c = -2 を満たす。次を示せ。
　32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 8(8k-1)･(aa + bb + cc) - 64k･(a+b+c) + 16k(4k-3) - 16kk･(a+b+c)/abc ≧ 0,

　k≧0 とする。等号が成立するのはいつか ?

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 00:07:26.17

>>163

左辺をSとおく。
　a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
　3 S > 2Σ[k=1,n] {a_k + a_(k+1)}/{a_(k+1) + a_(k+2)} - n > 2n - n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ S ≧ n/3.

[初代.497, 501-502] [第２章.284]

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 02:15:12.85

>>163

S > (√2 -1)n

(略証)
　(a+b+c)(b+c+d) > (b+c)(a+b+c+d),
より
　{a/(b+c) + 1}{b/(c+d) + 1} > (a+b+c+d)/(c+d) = (a+b)/(c+d) + 1 ≧ 2√{(a+b)/(c+d)},
AM-GM より
　{a/(b+c) + b/(c+d)}/2 > (√2){(a+b)/(c+d)}^(1/4) - 1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
　S > (√2 -1)n,
　　(mahanmath および abch42 による。2011/May/08)

http://artofproblemsolving.com/community/c6h271096p1468831

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 12:04:07.65

>>163

S_n > (γ/2)n = 0.494566817223496526 n
　　γ は Drinfel'd 定数。

(文献)
・V. G. Drinfel'd: Math. Zametki, ９ (2), p.113-119 (1971) "A cyclic inequality"
・安藤哲哉：「不等式」数学書房 (2012) §5.2.8

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 04:01:49.63

>>164

(略解)
　(与式) = 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2 - (1/2)(1/a+1/b+1/c +2)^2
　　= 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2
　　≧ 0,
　等号成立は k>0　かつ　{a,b,c} = { -1/2, -√k, √k}　のとき。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 18:48:35.43

>>167

f(x) = e^(-x),
g(x) = 2/{exp(x) + exp(x/2)},
は下に凸である。
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共通接線は1本だけ存在する。それを
　y = m･x + γ
とおく。、
　m = -0.8562482144492661168
　γ = (-m){1 - log(-m)},

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 02:35:03.06

>>167
nを固定して考える。
　S_n < (λ_n)･n,

n≦13　または　n=15,17,19,21,23 のとき　λ_n = 1/2,

一方、n=14　｛0, 1+4δ, 2δ, 1+4δ, 4δ, 1+3δ, 5δ, 1+δ, 4δ, 1, 2δ, 1, 0, 1+2δ}
　　δ=1/60　のとき　0.4999880721 n

λ_14 < 0.4999880721

λ_24 < 0.499197
　　A.Zulauf: Math. Gazette, ４３, p.182-184 (1959) "On a conjecture of L.J.Mordell II!

λ_111 < 0.49656
　　D.E.Daykin: J. London Math. Soc.(2), ３, p.453-462 (1971) "Inequalities for functions of cyclic nature"

γ/2 = 0.4945668172235
　　V.G.Drinfel'd: Math Notes, ９, p.68-71 (1971) "A cyclic inequality" (>>167 の英訳)

λ_{n+2} ≦ λ_n　(?)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 22:57:04.96

|ａ| = √{(a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2}　とおく。

〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0　のとき
　Σ[k=1,n] {√(n+1-k) - √(n-k)} a_k ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-357

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 23:39:12.04

↑を修正....

〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0　のとき
　( a_1 + a_2 + ････ + a_n) / √n ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-358

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 15:04:25.43

>>84

4353.
　S(j) = (1/j)Σ[k=1,∞] 1/{k･C(j+k-1,j)}
　　= (j-1)!Σ[k=1,∞] (k-1)!/{(k+j-1)!･k},
とおくと階差は
　S(j) - S(j+1) = 1/jj,
また
　S(1) = Σ[k=1,∞] 1/kk = ζ(2),
より
　S(j) = ζ(2) - Σ[k=1,j-1] 1/kk ～ 1/(j - 1/2),
　lim[n→∞] (1/n)Σ[j=1,n] j･S(j) = lim[n→∞] n･S(n) = 1,

4359.
　log(x) は上に凸だから Jensen で
　3log((a^b+b^c+c^a)/3) ≧ b･log(a) + c･log(b) + a･log(c),

　log(x) は上に凸だから
　log(x) = - log(1/x) ≧ - (1/x - 1) = 1 - 1/x,

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 15:09:52.59

〔問題〕
　f(x) = e^(-x)　とおくとき次を示せ。
　f(f(f(1))) > 1/2,

( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/　casphy!-高校数学-不等式２-359)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 12:26:35.29

π ≒ 22/7　　　　(約率)

7π/2 = 11 - 0.0044257124

nが奇数のとき
　|sin(11n)| > 1 - (1/2)(0.0044257124 n)^2 = 1 - 0.0000098nn,

nが偶数のとき
　|sin(11n)| < 0.0044257124 n,

　(分かスレ４５４-178,188)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:09:50.76

1000
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 17:29:12.98

(1)
a,b,c≧0 に対して、
√(1+aa+bb+cc-ab-bc-ca) ≧ (a+b+c-abc)/2.

(2)
a,b,c>0 に対して、
{(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3) + (a+b+c)/9 ≧ 4/3.

(3)
a,b,c>0 に対して、
5(a/b + b/c + c/a)^2 ≧ 2(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) + 27.

(4)
a,b,c>0, a+b+c=3 に対して、
(a^3+b^3)/(1+a) + (b^3+c^3)/(1+b) + (c^3+a^3)/(1+c) ≧ a^(5/2) + b^(5/2) + c^(5/2).

　　　　 /////
　　　　/////＿＿＿＿＿＿＿＿_
　　　 ///// ￣￣￣￣￣￣|￣￣
　　　/////　　＿＿＿　　 (~)　ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
　　 /////　　／　　≧　＼　ﾉ,,
　　/////　　|::::: (●　(● |　　　　
　 /////　　　ヽ::::... .ワ.....ノ　お久しぶりです
　///// 　　　 (　つ且 ~　つ　　不等式の夏ですね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 05:49:41.51

>>175
π ≒ 355/113　　　(密率)
355 = 113π + 0.00003014435

|sin(355n)| < 0.00003014435･n

|cos(355n)| > 1 - (1/2)(0.00003014435･n)^2 = 1 - 4.5434102×10^(-10) nn

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 06:49:52.30

>>177

(2)
　A = (a+b+c)/3,
　Q = √{(aa+bb+cc)/3},
　T = {(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3),
とおく。
　T + (1/3)A
　= (T+T+T+A)/3
　≧ (4/3)(TTTA)^(1/4)　　(AM-GM)
　≧ (4/3)Q,　　　　　(コーシー)

(3)
　(a/b+b/c+c/a)^2 = 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9 + (a/b-1)^2 + (b/c-1)^2 ＋ (c/a-1)^2
　　≧ 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9,
　両辺に 36 をたす。
　等号は a=b=c

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 05:15:00.06

>>177
(1)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc　とおく。
(右辺) = (s-u)/2 ≦ 1 のときは明らか。
よって s > 2+u とする。

(左辺)^2 = 1 + ss -3t
　= 1 + ss/4 + (3/4s)(F_1 - 9u)
　≧ 1 + ss/4 - 27u/(4s)
　≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + su/2 -uu/4 - 27u/(4s)　　(← sに関して単調増加)
　≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + (2+u)u/2 -uu/4 -27u/[4(2+u)]　　　(← s>2+u)
　= {(s-u)/2}^2 + (8+u)(1-u)^2 /[4(2+u)]
　≧ {(s-u)/2}^2,

F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　　　　　(Schur-1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/10(土) 09:59:49.00

a,bは固定された正の実数であり、数列x_1,…,x_nは0<a≦x_1≦…≦x_n≦bであるものとする。
このとき次の不等式が成立する
Σx_k*Σ1/x_k≦(a+b)^2/(4ab)*n^2

出典　1978年度ソ連数学オリンピック
https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1869922p12680406

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/10(土) 13:54:11.69

>>181
ウホッ！いい不等式。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/10(土) 15:56:05.98

[Reverse triangle inequality]
If x,y,z >0 & y is between x and z, then
(x/y + y/x -2) + (y/z + z/y -2) ≦ (x/z + z/x -2),

(short proof)
(x-y)(y-z) ≧ 0,
RHS - LHS = (x-y)(y-z) (x+z)/(xyz) ≧ 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/11(日) 23:03:44.95

>>181

　d(x,y) := x/y + y/x -2 ≧ 0,
とおくと、
　LHS(n) = nn + Σ(i<j) d(x_i,x_j)
　RHS(n) = nn + [nn/4] d(a,b),
また、a≦y≦b ならば
　d(a,y) + d(y,b) ≦ d(a,b)　　>>183

(略証)
nについての帰納法による。
n=2 のとき
　d(x_1, x_2) ≦ d(a,b).
ゆえ成立する。

n>2 のとき
　m := [n/2]
とおく。メジアン y := x_{m+1} を除く n-1 変数に対しては、帰納法の仮定より
　LHS(n-1) ≦ RHS(n-1) = (n-1)^2 + [(n-1)^2 /4] d(a,b).
また
　LHS(n) - LHS(n-1) = (2n-1) + Σ(i=1,m) d(x_i,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,x_j)
　≦ (2n-1) + Σ(i=1,m) d(a,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,b)
　≦ (2n-1) + m (d(a,y) + d(y,b))
　≦ (2n-1) + m d(a,b).
したがって
　LHS(n) ≦ nn + ([(n-1)^2 /4] + [n/2])d(a,b) = nn + [nn/4]d(a,b) = RHS(n).

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/12(月) 16:47:05.09

[ (n-1)^2 /4 ] + [ n/2 ] = [ nn/4 ]

(short proof)
δ = mod(n, 2)
δ = 0　　(n：even)
δ = 1　　(n：odd)
then
[ (n-1)^2 /4 ] = ((n-1)^2 -1+δ)/4,
[ n/2 ] = (n-δ)/2,
[ nn/4 ] = (nn-δ)/4,

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/13(火) 11:27:05.56

任意の実数xに対して次の不等式が成立
sinx+sin(√2x)≦2-1/(100(1+xx))

出典　ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人でも解けない問題集代数編

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/13(火) 14:08:52.58

〔リウヴィルの定理〕
　無理数αが整数係数のn次方程式の根（n次の代数的数）ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
　p/q ∈ Q　　⇒　　|α - p/q| > c(α)/q^n.

(例)
　|√2 - p/q| > c(√2) / q^2,
　c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.3431457505

http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5641.html
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/2007.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/15(木) 00:49:47.21

　y = x - (π/2) - 2π[ (x+π/2) / 2π ],
とおくと
　-π ≦ y < π,
　1 - sin(x) = 1 - cos(y) ≧ 2(y/π)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/16(金) 01:59:00.40

　1 - cos(y) ≧ (2y/π)^2 = 0.4052847 yy,　(|y|≦π/2)
　1 - cos(y) ≧ 1,　　　　　　(|y|≧π/2)

　1 - cos(y) ≧ (1/2)(3y/π)^2 = 0.45594533 yy,　(|y|≦π/3)
　1 - cos(y) ≧ 1/2,　　　　　(|y|≧π/3)

　1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/6)}(6y/π)^2 = 0.4886807 yy,　(|y|≦π/6)
　1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/6) = (2-√3)/2 = 0.1339746,　　(|y|≧π/6)

　1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/12)}(12y/π)^2 = 0.4971507 yy,　　(|y|≦π/12)
　1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/12) = 1 - (1+√3)/(2√2) = 0.0340742　　(|y|≧π/12)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 19:59:33.25

△ABCの辺長 a,b,c、外接円、内接円、傍接円の半径 R, r, r[a], r[b], r[c] に対して、
1/(2R^3) ≦ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4) + ≦ 1/(16r^3).

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/26(月) 23:23:29.14

>>190
Aに対する傍接円の中心をOとすると、
　　△ABC = △OAB + △OAC - △OBC.
　　∴ r[a] = 2S/(b+c-a).

示すべき不等式は a,b,c のみで表せるから、伝家の宝刀 "ぬるぽ変換"でなんとかなりそう。
※ ぬるぽ変換とは、x = (b+c-a)/2、y = (c+a-b)/2、z = (a+b-c)/2.

傍接円の半径なんて初めて求めたでござるよ。( ﾟ∀ﾟ) ｽﾘｽﾘｽﾘｯﾄｫ！

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/27(火) 21:03:14.32

右側は楽勝だが、左側が分からぬ…

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/28(水) 03:47:25.31

C1552
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201905&t=mat&l=en
C1532, B5017
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201903&t=mat&l=en

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/28(水) 10:14:07.85

B.5017.
　Is there a function f：Ｒ→Ｒ with the following properties:
　(1)　if x1≠x2　then　f(x1)≠f(x2),
　(2)　there exist appropriate constants a,b > 0 such that
　　　　　f(xx) - {f(ax+b))}^2 > 1/4.
　for all x∈Ｒ ?

C.1532
　Show that if a,b,c are positive numbers and
　　　a+b+c ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca,
　then one of them is at least 1.

C.1552.
　Show that if 0<a<1 and 0<b<1 then
　log_a{2ab/(a+b)}･log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1.

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/28(水) 10:31:15.35

B.5017.
a,b > 0 とする。
2次方程式 xx = ax+b は相異なる2実根 x_1≠x_2 をもつ。
　f(x_i^2) = f(a･x_i+b) = y_i
とおくと、性質(2)から
　y_i - (y_i)^2 ≧ 1/4.
∴　0 ≧ (y_i - 1/2)^2
∴　y_i = 1/2,
∴　f(a･x_1+b) = 1/2 = f(a･x_2+b),
性質(1) (fは単射) から
　a･x_1 + b = a･x_2 + b,
a>0 から
　x1 = x2　　　(矛盾)

C.1532.
　a+b+c ≧ 1/ab + 1/ca + 1/ab = (a+b+c)/abc,
　a+b+c>0 で両辺を割ると
　1 ≧ 1/abc,
　abc ≧ 1.

C.1552.
　log(a) < 0,　log(b) < 0　より　log(a)･log(b) > 0,
HM-GM より
　2ab/(a+b) ≦ √(ab),
　log(2ab/(a+b)) ≦ (1/2){log(a)+log(b)} < 0,
したがって
　(左辺)･log(a)･log(b) = {log(2ab/(a+b))}^2
　　≧ (1/4){log(a)+log(b)}^2
　　≧ log(a)･log(b),
これを log(a)･log(b) >0 で割る。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/28(水) 14:17:25.93

>>192
　同感でござる。
(右)は
　aa ≧ aa - (b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c),
　16SS = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c),　　… ヘロン
　1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
　r[a]/aa = 2S/{(-a+b+c)aa} ≦ 2S/{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
　= (a+b+c)/8S = 1/(4r),

∴　r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
　　≦ (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])/(4r)^2 = 1/{r(4r)^2},

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/29(木) 12:56:45.26

>>190 >>192

(左)は
　a+b+c = 2S/r,
　abc = ab･2R sin(C) = 4SR,
　1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
　1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
　= (a+b+c)/abc = (2S/r)/(4RS) = 1/(2Rr),

∴　コーシーで
　r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
　≧ (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2 / (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])
　= r (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2
　≧ r/(2Rr)^2
　= 1/(4RRr),

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/29(木) 19:49:05.56

うひょっ！自力では解ける気がしないなぁ…

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/29(木) 20:28:20.84

絶対値がらみの不等式

x,y,z ∈R に対して、

(1) District Olympiad 1993,Ion Bursuc.
　1 ≦ |x+y|/(|x|+|y|) + |y+z|/(|y|+|z|) + |z+x|/(|z|+|x|) ≦ 3.

(2) Gillis Olympiad 5778 (Israel National '17-'18).
　2/3 ≦ (|x+y| + |y+z| + |z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2.

(1)(2)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1793790p11880112

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/30(金) 08:39:13.74

お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 200get していいの？😜
　(分かスレ４５５-200)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/30(金) 08:53:58.84

>>199
　|x+y| ≦ |x|+|y|　等号成立は xy≧0　(同符号)

(1)
証：依題、x,y,z 中必有２↑同号。
　不妨設 x,y 同号,　則 |x+y|/(|x|+|y|) = 1.
　又　0≦|y+z|/(|y|+|z|)≦1, 0≦|z+x|/(|z|+|x|)≦1, 故～～

(2)　Let x,y & z are arbitrary real numbers (not all zero)．
Prove that
　　2/3 ≦ (|x+y|+|y+z|+|z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2,

(証) 題意より、x,y,z の中に必ず同符号の２つがある。
　xy≧0 と置くことを妨げないから
　(分子) = |x+y| + |y+z| + |z+x|
　　= |x| + |y| + (2Max{|y|,|z|} -|y| -|z|) + (2Max{|x|,|z|} -|z| -|x|)
　　= 2 Max{|y|,|z|} + 2 Max{|x|,|z|} -2|z|
　　= 2 Max{M,|z|} + 2(Max{m,|z|} -|z|)
　　≧ 2 Max{|x|,|y|,|z|}
　　≧ (2/3)(|x|+|y|+|z|),
　ここに　M = Max{|x|,|y|}, m = min{|x|,|y|} とおいた。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/31(土) 06:25:54.80

〔補題〕
|ｘ+z| + |ｘ-z| = 2 Max{|x|, |z|},
|y+z| + |y-z| = 2 Max{|y|, |z|},

…とやるより、場合分けした方が簡単かな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 05:19:16.22

ジュニア数檻から。

(1) x,y∈R に対して、(xy+x+y-1)^2 / {(x^2+1)(y^2+1)} の取りうる値の範囲。

(2) a,b,c,d∈R に対して、(aa+ac+cc)(bb+bd+dd) の取りうる値の範囲。

(3) a,b∈N に対して、min{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≦{√(4a+4b+5) - 1}/2

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 15:16:47.18

(1)
　(x+i)(y+i) = (xy-1) + (x+y)i,
∴　{(xy-1) + (x+y)}^2 + {(xy-1) - (x+y)}^2 = 2{(xy-1)^2 + (x+y)^2}
　= 2 |(xy-1) + (x+y)i|^2
　= 2 |(x+i)(y+i)|^2
　= 2 (xx+1)(yy+1),
　より [0,2]
　等号成立は (x-1)(y-1)=2　 (直角双曲線)
(2)
　aa+ac+cc = (3/4)(a+c)^2 + (1/4)(a-c)^2 ≧ 0,
　bb+bd+dd = (3/4)(b+d)^2 + (1/4)(b-d)^2 ≧ 0,
　より [0,∞)
　等号成立は a=b=c=d=0
(3)
左辺をLとおく。
　Max{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≧ L+1,　　(← 互いに素)
　L(L+1) ≦ gcd((a+1)(b+1), ab) = gcd(a+b+1, ab) ≦ a+b+1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 15:54:03.88

訂正ｽﾏｿ
(2)
　等号成立は a=c=0 または b=d=0,

(3)
　gcd(a,b+1)･gcd(a+1,b) = gcd((a+1)(b+1), ab)　を使った。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 18:20:55.90

2016 IMO Shortliset, A1, A8
https://artofproblemsolving.com/community/c482986_2016_imo_shortlist

個人的には関数方程式も好物なんですがね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/11(水) 03:41:17.00

A1.
Let a,b,c be positive real numbers such that min(ab,bc,ca)≧1.
Prove that
　{(aa+1)(bb+1)(cc+1)}^(1/3) ≦ {(a+b+c)/3}^2 ＋ 1.

A8.
Find the largest real constant a_n such that
for all positive real numbers x_1, x_2, ････, x_n　satisfying 0 < x_1 < x_2 < ････ < x_n,
we have
　Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ a_n･{Σ[k=0,n-1] k / x_(k+1) },
(x_0 = 0.)

答だけ書くと
a_1 = 1/2 = 0.5
a_2 = 12/25 = 0.48
a_3 = 0.4701514765959817784543884････
　　(190t^4 - 6561t^3 + 574t^2 + 329t + 391 = 0 の正根 )
a_4 = 0.4643963253583455727840309････
　　(489t^5 + 1965t^4 - 71t^3 + 602t^2 - 613t + 60 = 0 の正根 )
　　・・・・・・
a_n → 4/9 = 0.44444････　　(n→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/11(水) 03:52:19.18

A8.
(略解)
　3/{x_(j+1) - x_j}　…　3個
　j / x_j　　　　　　…　j個
の(j+3)個で AM-HM すると
　9/{x_(j+1) - x_j} + jj/x_j ≧ (j+3)^2 /x_(j+1)
　9/{x_(j+1) - x_j} ≧ (j+3)^2 /x_(j+1) - jj/x_j,
j=0…n-1 でたして 9で割る。
　Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ (4/9)Σ[k=0,n-1] (k+2) / x_(k+1),

A8. の右辺は (k＋２）/ x_(k+1)　と訂正....orz　>>207

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/11(水) 04:55:06.64

>>206-208
あちこちに在るからKoMaL

KoMaL N.189 (1998/Nov)
http://www.komal.hu/verseny/1998-11/mat.e.shtml

KoMaL A.709 (2017/Nov)
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;l=en&h=201711&t=201711

American Math. Monthly, Problem 11145 (2005)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/11(水) 23:38:19.31

>>207
A1.
　0≦k≦1,
　a ' = (1-k)a + kb,
　b ' = ka + (1-k)b,
とする。
　(a 'a '+1)(b 'b '+1) - (aa+1)(bb+1)
　= (D+ab)^2 + (-2D+aa+bb) +1 - (aa+1)(bb+1)
　= D{D + 2(ab-1)}
　≧ 0　　　(← ab≧1)
ここに　D = k(1-k)(a-b)^2　とおいた。

∴ F(a,b,c) = (aa+1)(bb+1)(cc+1)
は (a,b,c) について上に凸。
　F(a,b,c) ≦ F(a',b',c')
　≦　･････
　≦ F((a+b+c)/3, (a+b+c)/3, (a+b+c)/3)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/12(木) 00:38:37.35

>>206
A4.
Find all functions f：(0,∞) → (0,∞) such that
　for any x,y ∈ (0,∞),
　　x･f(xx)･f(f(y)) + f(y･f(x)) = f(xy)･{f(f(xx)) + f(f(yy))}.

A7.
Find all functions f：R→R such that f(0)≠0 and
　for all x,y∈R,
　　f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + max{f(xx+yy), f(xx)+f(yy)}.

例　　f(x) = -1, f(x) = x-1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/12(木) 01:07:17.91

>>210 (補足)
　0≦k≦1 より
　D = k(1-k)(a-b)^2 ≧ 0,
∴　a'b' = D + ab ≧ ab ≧ 1

〔別法〕
　d = (a+b+c)/3　とおく。
(aa+1)(bb+1) ≦ {[(a+b)/2]^2 + 1}^2,
(cc+1)(dd+1) ≦ {[(c+d)/2]^2 + 1}^2,
辺々掛けて
(aa+1)(bb+1)(cc+1)(dd+1) ≦ {[(a+b+c+d)/4]^2 + 1}^4
　= (dd+1)^4,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 09:13:16.60

昔の入試問題
https://i.imgur.com/xKwu9QK.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 01:34:11.70

>>213
すべての実数xに対して定義された関数
　f(x) = cos(x) + cos((√2)x)
について、

(1)　f(x) = 2 を満たすxの値をすべて求めよ。
また、f(x) は周期関数ではないことを証明せよ。

(2)　t = 6726π のとき、すべてのxに対して不等式
　　| f(x+t) - f(x)| < 0.002
が成り立つことを証明せよ。
ただし、√2 = 1.41421356…… とする。
　（1986 山梨医科大)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 01:44:55.63

>>214
(1)
f(x) = 2　⇔
　cos(x) = cos((√2)x) = 1,　⇔
　x = 2mπ,　(√2)x = 2nπ,　(m,n∈Z) ⇒
　m√2 = n　(m,n∈Z)　⇔
　m = n = 0,
よって x=0 のみ。
f(x)=2 となるxは0以外にないから、周期関数ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 02:00:54.51

>>214
(2)
t は 2π の整数倍だから
　cos(x+t) - cos(x) = 0,
また和積公式から
　|cos((√2)(x+t) - cos((√2)x)| = 2|sin((√2)(x+t/2) sin(t/√2)|
　　≦ 2|sin(t/√2)|
　　= 0.001321107

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 02:03:03.70

>>187
p,q が自然数のとき　 |√2 - (p/q)| ≧ (6-4√2)/qq,

(略証)
・q=1 のとき
　(左辺) ≧ √2 -1 = 0.41421356… > 0.34314575… = 6-4√2,
・q≧2, p/q ≧ 3/2 のとき
　(左辺) ≧ 3/2 - √2 = (6-4√2)/4 ≧ (6-4√2)/qq,
・p/q < 3/2 のとき
　1/qq ≦ |2qq - pp| = (√2 + p/q)|√2 - (p/q)| < (√2 + 3/2)|√2 - (p/q)|
　(左辺) > (6-4√2)/qq,

　ピーター・フランクルすれ-039

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 16:29:27.78

>>187
αは整数係数のn次方程式 f(x)=0 の根だから
　f(α) = 0,
因数定理より
　f(x) = f(x) - f(α) = (x-α)g(x,α)
p,q を整数(q≠0) とすれば
　(q^n)f(p/q) は0でない整数。
　1 ≦ |(q^n)f(p/q)| = |q|^n･|f(p/q)|
　= |q|^n･|p/q - α| g(p/q,α)
　≦ |q|^n･|p/q - α| / c(α),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 16:49:30.42

>>187
・n=2 の例
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575　　(3/2)
c(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.26794919　(2/1)
c(√5) = 4(√5 -2)^2 = 0.22291236　　(9/4)
c(√6) = (√6 -2)^2 = 0.20204103　　　(5/2)
c(√7) = (3/2)(3-√7)^2 = 0.18823820　(8/3)
c(√8) = (1/4)(√8 -2)^2 = 0.17157288　(3/1)
c(√10) = 6(√10 -3)^2 = 0.15800423　　(19/6)
c(√11) = (3/2)(√11 -3)^2 = 0.15037689　(10/3)
c(√12) = (1/2)(4-√12)^2 = 0.14359354　(7/2)
c(√13) = 180(5√13 -18)^2 = 0.13867497　(649/180)
c(√14) = 2(4-√14)^2 = 0.13348181　　　(15/4)
c(√15) = (1/6)(√15 -3)^2 = 0.12701665　(4/1)
c(√17) = 8(√17 -4)^2 = 0.12123996　　(33/8)
c(√18) = (4/9)(9-2√18)^2 = 0.117749006 (9/2)
c(√19) = (39/2)(3√19 -13)^2 = 0.11470688　(170/39)
c(√20) = (√20 -4)^2 = 0.11145618　　　(9/2)
c(√50) = 14(√50 -7)^2 = 0.070708874　　(99/14)
c(√99) = (1/18)(√99 -9)^2 = 0.050125629 (10/1)
c(√200) = (7/4)(√200 -14)^2　= 0.35354437　(99/7)

c(√n) ≦ 1/(2√n),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 17:37:47.01

>>218
ここに 1/c(α) は α-1≦x≦α+1 における |g(x,α)| の最大値。
（なお、　|(p/q) - α| >1 のときは明らか。)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 13:27:55.61

2800
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 12:07:10.78

[NKSΣ@nkswtr][2019/9/23 10:58:45]
x_kが全て正のとき、不等式がなりたつ
https://pbs.twimg.com/media/EFHSqW1VUAAxAt3.jpg
[Tweet URL: https://twitter.com/nkswtr/status/1175952611234566146 ]
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 18:13:40.99

　x_k >0, Σ[k=1,n] x_k = S のとき
　(S/n)^S ≦ Π[k=1,n] (x^k)^(x_k),
(略証)
　{x･log(x)}" = 1/x > 0,　(下に凸)
Jensenより
　S･log(S/n) ≦ Σ[k=1,n] (x_k)log(x_k),
　等号成立は x_1=x_2=…=x_n

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 06:33:10.11

〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.

次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
　i≠j　⇒　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,

IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 06:37:31.33

>>224
　x_j = k { j √m - 1/2 }，　k=1+2√m,
ここに　m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 12:46:05.02

https://i.imgur.com/cdAdjkJ.jpg

昔どっかで拾ったやつ。パソコン内の画像ファイルを整理していて見つけた。詳細不明。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 08:01:36.36

〔問題〕
Prove that, for a,b,c,････ > 0,
Σ[cycl] (ab)^3 /c^5 ≧ Σ[cycl] ab/c,

コーシーで
　(c+d+････+a+b)^2 (左辺) ≧ (右辺)^3,
は出るけど、
　(右辺) ≧ (a+b+c+ ････)
は成り立つのかな？？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 23:50:54.84

3文字のときはコーシーで簡単だが････
(右辺)^2 = (ab/c+bc/a+ca/b) (ca/b+ab/c+bc/a) ≧ (a+b+c)^2,

文献[8]　安藤(2012) p.124 例題3.1.3(1) および p.144 例題3.2.2(1)

・3文字の別解
　ab/c + bc/a + ca/b ≧ √{3(aa+bb+cc)}　を使う。
(右辺)^2 ≧ 3{(ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b)} = 3(aa+bb+cc),

アイルランドMO (2007)
文献[8]　安藤(2012) p.162 例題3.3.5(2)
文献[9]　佐藤(2013) p.56　演習問題 1.113

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 00:00:31.56

>>222
　東京工大 (1990) かな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 17:30:14.59

>>227
4文字以上では不成立かな。

a,b,c,d >0
　ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≧ a+b+c+d,
の凡例
a,b,cを固定する。
(左辺) - (右辺) = (ab/c -a-b-c) + (bc/d) + (c/a + a/b -1)d,
c/a + a/b <1 ならば d→∞ で負になる。
a=m, b=(m+1)m, c=1, d≧(m+1)m^3 のとき負。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 09:05:52.04

>>225
i≠j とする。
　|i-j| ≧ 1,
　| {i√m} - {j√m} | < 1,
さて、
　(i-j)√m - {i√m} + {j√m} = [ i√m ] - [ j√m ] = n,
の両辺を２乗して移行すれば
　(i-j)^2･m - nn = ({i√m}-{j√m})(2|i-j|√m -{i√m} +{j√m})
m≠平方数ゆえ、左辺は0でない整数。
　1 ≦ |(i-j)^2･m - nn| ≦ |{i√m}-{j√m}|(1+2√m)|i-j| = |x_i-x_j||i-j|

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 21:12:53.88

ここの住人は積分不等式とかは興味ないかな？

f,gを[0,1]上滑らか、かつ(f(0),g(0))=(f(1),g(1))となる関数としたとき

2π∫_0^1 {f(x)g’(x)-f’(x)g(x)}dx≦[∫_0^1 √{(f’(x))^2+(g’(x))^2} dx]^2

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 00:45:39.69

(u, v) = (f(x), g(x)) とおく。
x∈[0,1] で (u, v) は閉曲線Cを描く。
∫[0,1] {f(x)g’(x)- f’(x)g(x)}dx = ∫_C (udv-vdu) = {Cの内部の有向面積(反時計周り→正)},
∫[0,1] √{(f’(x))^2 + (g’(x))^2}dx = ∫_C √{(du)^2 + (dv)^2} = (Cの長さ),
2π(面積) ≦ (長さ)^2
等号はCが円周　f(x)^2 + g(x)^2 = c^2 のとき。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 01:20:58.22

訂正
4π(面積) ≦ (長さ)^2

・参考書
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)
　「等周問題」 p.176-177
　香具師が変分法を作り、シャボン玉がコンパクト概念
を生んだ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（森毅）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 02:06:55.09

>>233
>>234
正解です
いわゆる等周不等式

想定していた解法はfとgをフーリエ級数展開する方法でした

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/17(木) 05:36:05.11

>>234
参考書の方法の概要

長さが一定(L=2π)で面積Sが最大の閉曲線をCとする。
もしCが凹ならば、鏡映により凸に変更すればもっと広くなる。(矛盾)
∴ Cは凸閉曲線である。
Cの二等分点をA,Bとする。
Cの内部を線分ABによって分割し、面積をS1, S2とする。
もし S1>S2 ならば S1を２つ接いだ方が広くなる。(矛盾)
∴ S1=S2
よって S1を最大にすればよい。
C上に一点Pをとる。
APより外側の部分はAPに固定し、BPより外側の部分はBPに固定し、∠APBを変える。
ΔAPBの面積だけが変わり、∠APB=90ﾟのとき最大になる。
(A,B以外の) C上の任意の点Pについても同様だから、
CはABを直径とする円周である。(S=π)　　　　　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/17(木) 07:08:12.82

>>236
　シュタイナー (J. Steiner) の対称化

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/17(木) 21:33:31.34

>>237
実は曲線が極座標表示可能だとしたらイェンゼン使えばすぐ分かります

曲線をr=r(θ) (0≦θ≦2π)とすれば

4π×面積=2π∫_0^(2π) r^2 dθ=4π^2(1/(2π)) ∫_0^(2π) r^2 dθ
≦ 4π^2{(1/(2π)) ∫_0^(2π) |r| dθ}^2 (∵イェンゼン)
≦ {∫_0^(2π) √(r^2+(r’)^2) dθ}^2
=周長^2

さらに等号成立はr’≡0からrは定数⇒曲線は円
ということもすぐにわかります

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 08:22:53.35

4π(面積) = 2π∫[0,2π] r^2 dθ
　= ∫[0,2π] dθ ∫[0,2π] r^2 dθ
　≧ {∫[0,2π] r dθ}^2　　　(←シュワルツ)

う～む。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 14:30:07.06

(例) 辺の長さ L/4 の正方形

∫[0,2π] r dθ = 8∫[0, π/4] L/(8cosθ) dθ
　= ∫[0, π/4] L/cosθ dθ
　= ∫[0, π/4] L/(cosθ)^2 cosθdθ
　= ∫[0, 1/√2] L/(1-ss) ds
　= ∫[0, 1/√2] (L/2){1/(1+s) + 1/(1-s)} ds
　= [ (L/2)log{(1+s)/(1-s)} ](s：0→1/√2)
　= L log(1+√2)
　= 0.881373587 L
よって
4π×(面積) = 4π(L/4)^2
　= (π/4)L^2
　= 0.785398163 L^2
　> 0.77681940 L^2
　= (0.881373587 L)^2
　= (∫[0,2π] r dθ)^2

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 15:04:58.66

∫rdθが周長より長いならいいんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 01:59:47.67

>>239 や >>240 を考えると、
{∫[0,2π] r dθ}^2 を経由するのは無理筋かも。
>>241 だと、ますます無理っぽい････

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 07:51:32.79

〔問題921〕
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。

[分かスレ４５６脇-921]

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 09:07:33.72

I_k = ∫[kπ,(k+1)π] {sin(x)/(1+x)}^2 dx
　　= ∫[0,π] {sin(t)/(1+kπ+t)}^2 dt　とおく。
I = Σ[k=0,∞] I_k,

(下限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
　　> ∫[0,π] sin(t)^2 dt /(1+(k+1/2)π)^2
　　= 2π/(2+(2k+1)π)^2,

I_0 = 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 = 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
k≧2 のとき
I_k > 2π/(2+(2k+1)π)^2
　　> 2π/{(2+(2k+1)π)(2+(2k+3)π)}
　　= 1/(2+(2k+1)π) - 1/(2+(2k+3)π),
Σ[k=2,∞] I_k > 1/(2+5π) = 0.056471768
これらより、I > 0.342284922 > 1/3,

(上限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
　　< ∫[0,π] sin(t)^2 dt {1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}/2 dt
　　= (π/4){1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}
　　= π{1/(2+2kπ)^2 + 1/(2+(2k+2)π)^2},

∴　Σ[k=1,∞] I_k = π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/(2+2kπ)^2
　　< π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/{(2+(2k-1)π)(2+(2k+1)π)}
　　= π/{4(1+π)^2} + Σ[k=2,∞] {1/(2+(2k-1)π) - 1/(2+(2k+1)π)}
　　= π/{4(1+π)^2} + 1/(2+3π)
　　= 0.04578836 + 0.087529053
　　= 0.133317413
　　< 2/15,

0<x<π　では　sin(x) < (4/ππ)x(π-x),
I_0 < (2/π)^4 ∫[0,π] {x(π-x)/(1+x)}^2 dx
　　= (2/π)^4 ･ 1.8581544248371
　　= 0.30521248563
　　< 1/3,
∴　I < 7/15

なお、実際の値は
　I_0 = 0.28136039736534
　I_1 = 0.0496240021299
　I = 0.3990209885942

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 09:18:45.67

>>244
I_0 ＞ 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 ＞ 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732

∫{x(π-x)/(1+x)}^2 dx = (1/3)(1+x)^3 - (2+π)(1+x)^2 + (6+6π+π^2)(1+x) - (1+π)^2/(1+x) - 2(2+3π+π^2)log(1+x),

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/28(月) 13:09:51.57

>>244

|y| ≦ π/2　のとき
　((√2)/π) |y| ≦ |sin(y/2)| ≦ |y/2|, 　････ Jordanの不等式
　1 - (1/2)yy ≦ cos(y) = 1- 2sin(y/2)^2 ≦ 1 - (2y/π)^2,

π/2 ずらすと
0≦x≦π のとき　　sin(x) ≦ (4/π^2)･x(π-x),

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 01:05:02.45

a,b,c>0 に対して、
1/a + 1/b + 1/c ≦ (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3 b^3 c^3).

IMO 1967 らしい

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 23:31:55.51

　a^8 (2個), b^8 (3個), c^8 (3個) の8個で AM-GM する。
　(2a^8 + 3b^8 + 3c^8) /8 ≧ a^2･b^3･c^3 = (abc)^3 /a,
循環的にたす。