分からない問題はここに書いてね449

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 00:00:54.72

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね448
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 14:50:21.98

m、nを自然数とする。
xについての方程式
x^m(1-x^n)=1
が正の有理数解を持つような(m,n)の組をすべて求めよ。
なお無数に存在する場合はそれらの組の規則性について述べ、存在しない場合は「ない」と記しその理由を簡潔に書け。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 14:58:50.48

>>423
横レスだが、現実的に不可能な設定とはどういうことだ？
額面通りに「無限個の封筒」を用意する必要はないでしょ？

たとえば、(2^n,2^{n＋1}) (n≧0) の封筒が (1/3)(2/3)^n の確率で
出現するとき、交換すれば常に得をする(はず)。

現実世界で (2^n,2^{n＋1}) (n≧0) の封筒を (1/2)(2/3)^{n＋1} の確率で
用意するためには、表が 2/3 の確率で出るコインを1枚用意して、
お客さんには見えないようにそのコインを裏が出るまで何度も投げ続けて、
裏が出た時点で、そのときまでに出た表の合計回数をnとして、2つのメモ用紙に
エンピツで2^nと2^{n＋1}を書いて、この2つのメモ用紙を金額2^n, 2^{n＋1}の
お金に見立てて、これらを封筒の中に入れて、これをお客さんに渡せばいい。

つまり、この設定を実現させるために用意すべき封筒は1枚だけでよくて、
大事なのは確率 (1/3)(2/3)^n を実現することであり、
この確率を実現するにはコイントスするだけでいい。
全て有限の手順で現実世界で実現可能。

**415** · 2018/12/09(日) 15:35:57.39

>>427
>額面通りに「無限個の封筒」を用意する必要はないでしょ？

おっしゃられた例では、nが限りなく大きいケースではコイン投げを延々と
続けなければならず、現実的にはどこかに上限ができてしまいますよね。

とはいえ、nを十分大きくすればまず間違いなく交換したほうが得になるはず
なのは確か。でも、期待値としては最大額があることで同じになってしまうん
ですよね。

もっとシンプルに、宝くじ的なものを考えればいいかと。n個の封筒に一つだけ
100n円の当たりくじが入ってて、あとは空っぽ。この封筒をランダムに一つだけ
100円払って選んで買うという状況を考えれば似たようなものかと。ハズレて損
する確率は(n-1)/nなので、n->∞では絶対に損するはずなんですけど、期待値は
100円のまま。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 17:44:05.13

>>426
これお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 18:45:46.24

子供だましかもしれんが、以下の説明に納得してしまった

＞まず最初に１万円ゲット。
＞次に、５千円払えばそれを３倍の１万５千円にするチャンスに挑戦できる。
＞挑戦すべきか？
＞チャンスの大きさによりけり。（確率1/3以上なら平均的に得）

**415** · 2018/12/09(日) 20:08:23.33

>>418
>a_k=(1/2)*(2/3)^k
それだと最初にゲットできる金額の期待値が収束しないのでは？
期待値はΣa_k(3/2)2^kですから、a_kは(1/2)^kより小さくないとだめですよね。

そうすると、2^kが出た時に、封筒を替えたら何倍になると期待されるかというと
{a_k*(1/2)+a_(k+1)*2}/{a_k+a_(k+1)}
ですから、a_kがkによらない定数だと当然5/4で、替えると得。
a_k∝r^k だとすると　(1+4r)/2(1+r)になるので、r=1/2 で1になり、rがこれより
小さくなると封筒を替えると損をすることになる。

**415** · 2018/12/09(日) 20:28:23.28

>>429
xが正の有理数であるとすれば、0<x<1のはずなので、
x=b/a （b<aでa,bは公約数を持たない）
とおいて式変形すればよいのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 21:01:59.25

>>432
0<x<1なんですか？

**415** · 2018/12/09(日) 21:36:21.89

でなきゃ(1-x^n)が負になっちゃうでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 22:04:55.83

>>428
＞おっしゃられた例では、nが限りなく大きいケースではコイン投げを延々と
＞続けなければならず、現実的にはどこかに上限ができてしまいますよね。

問題　A君とB君がジャンケンをする。ただし、どちらかが1勝するまで
ジャンケンし続けるとする。このとき、A君が1勝する確率を求めよ。

この問題の解答は「1/2」だが、あなたは

「永遠にあいこになるパターンでは勝負がつかないから、1/2にならない」

とか

「現実世界ではどこかに上限ができてしまい、1/2にならない」

とか言うつもりかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 22:17:45.71

dy/dx=cの左辺をdy割るdxと考えてdy=cdxとするのは結局許されるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 22:32:32.14

>>426
m、nを自然数、 xを正の有理数とする.
0 < x < 1 ならば 0 < x^m(1-x^n) < 1
1 ≦ x ならば x^m(1-x^n) ≦ 0
よって x^m(1-x^n) = 1 が正の有理数解を持つような(m,n)の組は存在しない.

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 23:34:26.64

>>431
(1/2)*(2/3)^kの例は私が書き方をま間違えていました、すみません
(k,2k)となる確率が(1/2)*(2/3)^kとしていましたが、正しくは
(2^k,2^(k+1))となる確率が(1/2)*(2/3)^k、その他の組み合わせの時は0
という分布を出すつもりでした

期待値が発散する件についてはすでに触れた通り
私は最初から一貫して条件付期待値の話をしてるだけです

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 23:38:08.48

>>436
許されます

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/09(日) 23:42:35.22

>>436
許す、の意味合いによる
1変数の場合はそのやり方で変数変換を求めても間違うことはないし、解答用紙に書かないなら問題はないが、数学的な正当化は普通はされないと思う

**415** · 2018/12/10(月) 00:36:35.72

>>435
実際、現実世界では厳密に1/2にはならないでしょうね。
二人がジャンケンを続けることができる回数の上限をN回とすると、
最後まで引き分けで終わる可能性があるので1/2より(1/3)^Nだけ
小さくなるはず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 00:46:00.44

>>436
微分形式の話なら多様体の形によるとしか
とりあえずR^nならポアンカレの補題からおｋ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 00:48:46.93

>>317

zの複素共役をZとする。与式と a∈R より、
(Z^{n-1} + Z) (z^n + 1) = -a (Z^{n-1} + Z) (z^{n-1} + z) = (Z^n + 1) (z^{n-1} +z),

0 = (Z^{n-1} + Z) (z^n + 1) - (Z^n + 1) (z^{n-1} + z)
　= [(zZ)^{n-1} - 1] (z-Z) + (zZ-1) [z^{n-1) - Z^{n-1}]
　= (zZ-1) (z-Z)Σ[k=0,n-2] ((zZ)^k - (1/2)z^k Z^{n-2-k} - (1/2)z^{n-2-k} Z^k)
　= (zZ-1) (z-Z)Σ[k=0,n-2] (1/2) (z^k - z^{n-2-k}) (Z^k - Z^{n-2-k})
　= (1/2) (|z|^2 -1) (z-Z)Σ[k=0,n-2] | z^k - z^{n-2-k} |^2

Σ[k=0,n-2] | z^k - z^{n-2-k} |^2 = 0 のとき
　|z|^2 -1 = 0 も成り立つ。
z-Z=0，z∈R のとき
　(z^n + 1)^2 - (z^{n-1} + z)^2 = (zz-1) [z^{2n-2} - 1]
　= (zz-1)^2 [z^{2n-4} + z^{2n-6} + …… + zz + 1]
　≧ 0,
　等号成立は zz-1 = 0 のとき。それ以外の場合は
　| z^n + 1 | > | z^{n-1} + 1 | > | az^{n-1} + az |
より不成立。

**415** · 2018/12/10(月) 00:55:24.37

>>431
>正しくは(2^k,2^(k+1))となる確率が(1/2)*(2/3)^k

私も脳内で勝手にそう読み変えていたので、そこはまったく問題ありません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 01:02:27.06

もう>>438は自分で納得行くまでほっといていいんじゃない？
自分なりに納得行くまで考えたいんでしょ？
わけのわからん途中経過報告してくるタイプでもなさそうだし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 01:09:54.49

封筒は二つしかないのに無限が云々言ってるようなレベルの低い人は無視でいいですよー

**415** · 2018/12/10(月) 01:14:34.45

封筒は二つしかなくても、出てくる金額の可能性は無限にあるからね。
金額の可能性を有限に限ってしまえば、パラドックスは生じない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 01:14:50.70

ただ１つの例を見て、任意の値で成り立つはずだ、という思考パターンは、
奇数芸人に通じるところがある

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 01:53:40.27

>>445
あなたはただ煽りたいだけでちゃんと読んでないようですね
私は一貫して
「(獲得金の期待値は発散してるけど)条件付期待値が常に元より大きくなる分布」
を構成できると言ってるだけ
元々は>>404の疑問に対する話ね

それに対し何故か的外れなツッコミをされてる
「(>>417)常に期待値1.25倍は無理」
…私は大きくできると書いただけで、1.25倍にできるとは一言も書いてない

「(>>431)最初にゲットできる金額の期待値が収束しないのでは？」、その他計算
…>>424で私がすでに書いたことを少し具体的な計算を追加して繰り返してるだけ

初めからよく知られている正しい事実を書いてるだけです
基本的な話なので調べれば同じ内容はいくらでも出てきますよ

どうしても私が間違っていることにしたいようですが、>>431は>>424と等価な内容を含んでいるので、それだとこの人も間違ってることになりますよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 02:06:31.98

>>446
封筒の枚数の有限性と、取りうる値の可能性の有限性をごっちゃにしてるだけ
現実の問題ではなく数学上のモデルで考えるならばいくらでも可能です
封筒の枚数は確率変数が値を取る空間の次元に対応してるだけ
確率変数の像の有限性とは何ら関係ありません

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 02:59:00.40

m、nを自然数とする。
xについての方程式
x^m(1+x^n)=3
が正の有理数解を持つような(m,n)の組が存在するかどうか判定し、その理由を述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 05:51:59.96

>>441
なぜ現実世界だとジャンケンの回数に上限があるのですか？

人間には寿命があるので、寿命を超える回数までのジャンケンは
肉体的に不可能、みたいな話ですか？
この宇宙の時間はどうせ有限であり、いずれ崩壊して
宇宙そのものが消滅するから上限がある、みたいな話ですか？

ジャンケンの確率を考えるときの「現実世界」に、
どうしてそんなナンセンスな観点を持ち込むのですか？
あなたが使っている「現実世界では不可能」という批判の仕方は、
そんなナンセンスな観点からの批判なのですか？
だったら、あなたの言っていることは的外れで、>>425の指摘が的確ですね↓

＞完璧な乱数を用意することは無理ですし
＞細かいことをいえば、有限な場合でも完璧に無作為にすることは原理上不可能なので、実行可能かを気にする意味はないと思っていますが
＞もともと、確率や期待値の計算は問題を数学の言葉に置き換えて初めて意味を持つものなので

**>>422です** · 2018/12/10(月) 06:51:45.95

質問がわかりにくかったかもしれません。

要するに
｢位相空間の列(X_i)について、各X_iが連結であるならば、それらの直積Π_i X_i は連結である｣
は選択公理を使わずして証明出来るか
という質問です

**415** · 2018/12/10(月) 09:05:23.40

>>449
＞条件付期待値が常に元より大きくなる分布

確かにそういう分布を考えることはできますが、現実には作り得ないですよね。

無限大ホテルのパラドックスを想起させますね。そういうホテルを考えることは
できるけど、現実には作れない。
ならばパラドックスも現実には起こらない。肝心な点はそこなんじゃないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 09:23:02.13

もういいんじゃない？
必ず封筒交換したほうの条件付き期待値の方が大きくなる分布ある、作れるってんだから納得いくまで探してもらったらいいじゃん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 09:28:11.43

別スレ立ててやれば？

**415** · 2018/12/10(月) 09:29:21.31

>>452
現実世界での常識と数理的推論との乖離をパラドックスと呼ぶのであれば、
やはり現実世界で実現可能なモデルかどうかも考えるべきなのでは？

＞＞完璧な乱数を用意することは無理ですし
完璧な乱数という言葉の意味が曖昧だったのでレスしませんでしたが、たとえ
ランダム性が完璧に保証されたとしても、実際の計算では乱数値をきめる有効
桁数に上限があるので、やはり実現可能な上限額がそこで決まってしまいますね。

いずれにせよ、あなたの議論が基本的に間違っているとは思いません（という
私の結論が間違ってる可能性は認めますがｗ）。
期待値が収束するようなケースでは、条件付き期待値としては交換した方が
期待値が小さくなるので、数理的なパラドックスは残りますね。どう解決する
のか今はそこが気になります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 09:49:30.61

中学の面積比の問題
AF:EFを求めよ

BE:EC＝3:2なので△BEF:△CEF＝3:2
△BCFを5とし△AFCをXとする
AD:BDが1:3なのでX:5＝1:3、X＝5/3
△AFC＝5/3で△CEFが2なので5/3:2＝5:6

答えAE:EF＝5:6

以上はわかります。でもAD:BDから始めるとおかしくなります。
AD:BD＝1:3なので△ADF:△BDF＝1:3
△ABFを4とし△AFCをXとする
BE:ECが3:2なのでX:4＝2:3、X＝8/3
△AFC＝8/3で△CEFが2なので8/3:2＝4:3

AF:EF＝4:3になってしまいます
どこが間違ってるのか教えて下さい
https://i.imgur.com/wrGpQDc.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 10:00:40.35

>>458
下のところでは「△CEFが2」っていったいどこから出てきたの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 10:09:22.41

>>459
あっ言われてみれば変ですね
少し考えてみます

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 10:16:57.64

謎は解けました
でも同じ間違いなんどもやってしまいそう

面積比ってコツとかあります？
補助線をたくさん引かなくちゃいけない問題だとごちゃごちゃして尚更わからなくなる
たくさんやって慣れるしかないのかな

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 12:27:15.66

>>451
解が存在したとして x = a/b (a, b は互いに素な自然数) と置く.
x^m (1 + x^n ) = 3 より
a^m ( b^n + a^n ) = 3 b^{n+m}
a, b は互いに素なので a=3, m=1 である.
( b^n + 3^n ) = b^{n+1}
( 1 + (3/b)^n ) = b
左辺が自然数となりえるのは b=1 または b=3 の時である.
しかし等式を満たす n は存在しない.

よって解は存在しない.

**462** · 2018/12/10(月) 13:28:16.75

ちょっと訂正

a^m ( b^n + a^n ) = 3 b^{n+m}
a, b は互いに素なので ( a=1 ) または (a=3, m=1 ) である.
・a=1 の場合
b^n + 1 = 3 b^{n+m}
(1/b)^m + (1/b)^{n+m} = 3
1/b ≦ 1 より等式を満たす事はありえない.
・a=3, m=1 の場合 (以下略)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 19:17:57.42

>>455
既に具体的に与えてるんですが･･････
>>454の方も分布の存在自体は認めています
あなただけ話についてこれてませんね
ただ煽りたいだけかもしれませんが

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 19:19:40.09

>>454>>457
別に私はパラドックスが現実に起こるなんて一度も書いてない
>>404の疑問を見て、上限を無くす方法を提示しただけ(もちろん現実では実行不可能な思考実験)
何回書けば分かってもらえるんですかね
あなたが勝手に妄想して私の主張を捻じ曲げて、架空の私に反論しひとり悦に入ってるだけ

私の解釈を書いておきますと、この分布の存在が示すことは
「(獲得金の期待値が発散するなどの)無限が絡む状況では、期待値という指標は(少なくともそのまま使うのでは)当てにならない」
ということだと考えます

それから、実行可能か不可能かを検証するだけでは根本的な解決にはなっていないと思っています
(これはあくまで個人の感想です)
一つ目の理由としては、思考実験あるいは数理モデルとしては考えられるからですね
二つ目は、そもそも殆ど全ての数理モデルは現実と一致しないと考えているからです
二枚並べられた封筒から一方を選ぶ確率はふつう1/2として計算しますが、厳密には一致しないでしょう
N個のものから１つ選ぶ場合も同様です
その配置の仕方や照明の具合、選ぶ人の感覚等に左右されるものです
どちらの封筒を選ぶ確率も同様に確からしいとしているのは、確率論を走らせるために
理想化した状況に置き換えているにすぎません
現実の問題を数理モデルに置き換えて説明しようという試みは数学的だと思いますが、数理モデルを
現実の問題に置き換える(ものに限定する)必要はないと考えています
繰り返しますが、これらは個人的な感想です
実行不可能だからこんなモデルで期待値計算をする意味はないという考え方も飲めますし、強要するつもりはありません

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 19:20:14.02

上記の考えにより、実行可能性に興味がなかったのでスルーしてたのですが、気になっていたことを聞いておきます
>>431等をみると、獲得金の期待値が発散するから実行不可能と判断しているようですが、それは何故ですか？
一回当たりのゲームでは封筒の中身は常に有限であり、期待値の収束性は直接関係無いように思います
理想的な乱数装置がないと実行不可能なのでどっちみち実行はできませんが

ちなみに、パラドックスの解消のさせ方の一つとしては上に有界な効用関数を使うという方法があるようですよ
コイントスのパラドックスと同様ですね
効用関数の選択は恣意的なので、どれほどの意味があるのかは微妙ですが
おそらくコイントスの例と同様に考え方次第で様々な解消の方法があり得るのでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 19:26:49.86

パラドックスが正しくないことなんて当然の共通認識だと思って言及してなかったのですが、それが不味かったのかもしれないですね
その点は勘違いさせていたとしたらすみませんでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 19:45:51.39

>>422

おっしゃる通りで、問題の直積集合が空であるかないかに応じて場合分けして
証明すれば良いのですから、『空集合も位相空間として認める』という立場であれば、
選択公理は必要ありません。

(X, O) が位相空間であるための条件に、X が空集合であることを要請する立場だと、
問題の積集合が空でないことを証明するために、選択公理が必要です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 19:52:27.82

誤 : X が空集合であることを要請する立場
正 : X が空集合でないことを要請する立場

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 20:02:56.10

2008年　12808万人　＋ 5万　△
2009年　12803万人　－ 5万　▼
2010年　12806万人　＋ 3万　△
2011年　12780万人　－26万　▼▼▼ ▼▼▼▼▼▼
2012年　12752万人　－28万　▼▼▼ ▼▼▼▼▼▼
2013年　12730万人　－22万　▼▼▼ ▼▼▼▼
2014年　12709万人　－21万　▼▼▼ ▼▼▼▼
https://blog.goo.ne.jp/jpnx05/e/a618afaa0113f2a33fbc495f48a2b8c4
移民政策の本当の本音は、原発事故が原因による人口減少を隠して、
「原発事故では被害がなかった」と正当化するための統計的整合性を確保したいのだと私は考えている。
東海アマブログentry-376.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 20:18:14.88

>>464
へぇ？最初の封筒の金額をA,あとの方をBとして(英語版Wikipediaの設定)
任意の k に対して

E(B | A = k) > k

が成立する分布あった？
ということは

E(B | A=k) > E(A | A=k)

が任意の k について成り立つんだ。
ということは

E(B) > E(A)

なんだ。その分布だと。なるほど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 20:43:15.71

>>471
すでに書いた通りその条件が満たされる場合はE(θ)が発散してしまいます
(θ=少ない方の金額)
当然E(A),E(B)も発散していますから、この２つの大小比較は意味がありません
条件付期待値は有限値なので計算できますが
これくらいのことWikipediaにも書いていると思いますが

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 20:59:29.09

さよですか？θがＬ^1 でなくてもいいならどうぞご自由に。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 21:14:24.46

aを1でない実数とし、
f(x)=1（xが有理数のとき）
f(x)=a（xが無理数のとき）
と関数f(x)を定める。
aをどのように定めても、f(x)はいたるところ不連続であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 21:15:51.21

>>473
きみ適当に突っ込んでるだけでしょ
Wikipedia引用しときながらろくに読んでないし、すでに何度も説明済みのことをまた突っ込んできたり
期待値は発散するって何度も書いてるのに、何で今更「L^1でなくていいなら」とかトンチンカンなこと書いてるの？？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 21:19:01.37

>>474
有理数の稠密性

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 21:19:25.06

２つの封筒問題(two envelopes problem)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544444323/

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 21:34:24.53

>>475
すまん、読んでなかった。
謝ります。
収束性についてなんか言ってるのは見たけどてっきり収束しないような病的な例は考えてませんといってるんだと思った。
その例も読んでないけど測度論の内部でおさまってるんなら病的というつもりはないよ。
確かにl^1性の制限無ければ存在しても不思議はないと思う。

**>>422です** · 2018/12/10(月) 21:56:01.43

>>468
ですよね
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 23:02:15.17

>>478
私も言い過ぎたかもしれませんね、謝っておきます

Wikipediaの記事は長いので読む気にならないと思いますが、ちゃんと読むと具体例を構成して、計算も詳しく書いてありました
測度論の言葉を避けて書かれてはいますが、もちろんすぐに正当化は可能です
(特別に選んだ測度を備えた離散的な確率空間からRへの可積分ではない可測関数となるはずです)

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 23:04:58.94

身の丈に合わない難しいことをやろうとするから、本質からどんどん遠ざかってるんですよ

封筒は2つしかないんです

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/10(月) 23:36:04.79

>>480
いえいえ。こちらこそ。
l^1でなくていいなら条件は任意の x に対して

E( B | A = x)
=P(θ=x)/(P(θ=x) + P(θ=x/2)) × 2x 　　　(Aの封筒が x 円のときの B の封筒が 2x)
+ P(θ=x/2)/(P(θ=x) + P(θ=x/2)) × x/2 (Aの封筒が x 円のときの B の封筒が x/2)
> x

⇔ 2P(θ=x) + 1/2 P(θ=x/2) > P(θ=x) + P(θ=x/2)

⇔ P(θ=x) > 1/2 P(θ=x/2)

が成立するとき。
だから
P(θ=2^n) = (1/3)(2/3)^n (n=0,1,2,3,…) =0 (otherwise)
とでもすれば条件は確かに満たすね。
もちろんxが2倍になるごとに確率のほうは1/2倍より大きくなることが条件なので必然的にl^1には入らないけど。

**415** · 2018/12/11(火) 00:18:31.07

>>466
＞獲得金の期待値が発散するから実行不可能と判断しているようですが、それは何故ですか？

私はそんなこと言ってません。
実行不能なのは無限大が絡むからであって、期待値が発散するからというわけではありません。
期待値が収束しても、実現不可能な設定であるのは同じかと。

期待値が収束しないと困るのは、交換しない場合とした場合の期待値が比較できないからという
だけの話です。

**415** · 2018/12/11(火) 00:42:47.97

>>465
＞あなたが勝手に妄想して私の主張を捻じ曲げて、架空の私に反論しひとり悦に入ってるだけ

そんなことをした覚えは毛頭ないんですが、、、、。
他の人がいれてる単発ツッコミと混同しておられるのでは？　私は一貫して415を名乗ってます。

無限を導入すれば上限額がなくせることも>>423で書いたように（読みかえしてみるといま
ひとつ不明瞭ですがｗ）>>415を書いた時点ですでに了解済みです。

ということで、とくにあなたと大きな意見の相違はないと思ってますので、あしからず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 00:57:23.44

2a^2+2a+1が平方数となる自然数aのうちk番目に小さいものをa_kとおく。
a_(n+2)=6a_(n+1)-a_n+2が成り立つことを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 01:47:46.17

二組の連立方程式

あ
2x+y=-1
ax+3y=2

い
2x-3y=b
4x+5y=-2

において、あの解のxとyを入れ替えるといの解になっている。この時aとbの値を求めろ
という問題があるのですが

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 01:52:37.54

>>485
(2a_n+1,√(2a_n^2+2a_n+1))はpell方程式
x^2 - 2y^2 = 1
の解。
これをといて
x= ((1+√2)^m + (1-√2)^m)/2, y=…
x が奇数となるのはmが偶数のとき。
よって
2a_n + 1 = ((3+√8)^n + (3-√8)^2)/2。
よってb_n = 2a_n +1は漸化式
b_(n+2) = 6 b_(n+1) - b_n
をみたす。以下ry

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 01:58:15.33

>>483
条件付期待値を見るだけならばE(θ)の収束性は関係ないでしょう
獲得金の期待値が発散しているケースでも条件付期待値は計算可能であり、数理モデルの上では"パラドックス"が生じています
>>482の方が詳細な計算を書かれているので読んでみてはどうでしょうか
すでに言及した通り、様々な考え方により解消することは可能とされているものですが
>>423やその他のレスを読む限り、どうやら獲得金の期待値が収束しないと数理モデルとして成立しないという思い込みがあるようにみえます
確率変数の定義に可積分は含めなくてもよいはずです

E(θ)が発散する場合と収束する場合をやたらと区別してますよね
>>454において、前者は実行不可能だからパラドックスは生じていないとしている
また>>457では、後者の場合"のみ"数理的なパラドックスが残ると述べている
(私やあなたが例に用いていた最低額が設定されている状況では発生しないのでここもよく意味が分かっていないのですが)

この辺りから、そういう風に考えているのだろうと推察したのですが違いましたか
ますます意味が分からなくなりました

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 02:05:21.19

>>484
確かに、他の人のよく分からない指摘もごっちゃにしておりました
あなたのレスで言えば、>>454等における「現実で実行できないから～」論ですね
私は始めから抽象的な数理モデルで考えればいいと書いているのに、
勝手に現実の問題と脳内変換して何度も同様の反論しております

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 02:16:22.30

>>485 >>487
訂正
(2a_n+1,√(2a_n^2+2a_n+1))はpell方程式
x^2 - 2y^2 = -1
の解。
これをといて
x= ((1+√2)(3+√8)^m + (1-√2)(3-√8)^m)/2, y=…
よって
2a_n + 1 = (1+√2)(3+√8)^n + (1-√2)(3-√8)^n)/2。
以下同様。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 02:18:31.23

>>486

あ)
2x+y=-1
ax+3y=2

い)
2x-3y=b
4x+5y=-2
い）のx,yを入れ替えて

う)
2y-3x=b
4y+5x=-2

にして
あ)の 2x+y=-1と
う)の 4y+5x=-2の
連立方程式を解くだけじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 02:24:46.17

>>491
夜分にすいません、ありがとうございました
そうなんですけど、それの理屈が分からなくて
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 03:35:32.51

https://blog.goo.ne.jp/nichikon1/e/da81f66fa7c437e7ca19667c2bf35065
↑これおもろいｗ、コメント読んでみて。

出来たらみんなに広げていってほしいな。

**415** · 2018/12/11(火) 09:20:07.54

>>488
＞どうやら獲得金の期待値が収束しないと数理モデルとして成立しない

そんなこと思ってもいませんし、言ってもいません。あなたの勝手な思い込みです。
あくまでも無限大を含むから「現実には作り得ない」設定だということです。

獲得金の期待値収束に拘るのは数理モデルとして成立するかどうかではなく、そっちだと
交換するしないにかかわらず期待値は同じなのに、条件付き確率で期待値をみると交換し
たほうが得をするから、「数理的パラドックス」として成立するということなんですが。

**415** · 2018/12/11(火) 09:23:39.49

>>494
訂正です。

＞条件付き確率で期待値をみると交換したほうが得をするから

ではなく、獲得期待値が収束する場合は「交換したほうが損をする」でしたね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 14:05:47.37

大学数学の質問です

距離空間(X,d)、U⊆Xに対して、Uの直径をdiam(U) := sup{d(x,y)|x,y∈U}
と定義している本は良く見かけます。
でも、これってU=φのケースってどうなるんですか？
diam(φ)=0　にしたいんですか？
でも、supの定義を考えたら supφ=-∞　の方がまだしっくりきます

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 14:09:09.81

普通はφは距離空間ではないとすると思います

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 14:57:25.55

>>485
(a+1)^2+a^2=m^2だからピタゴラス数の性質を使えば容易

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 15:06:49.56

>>494
>>495
都合良く切り取っていますが、「あるように見える」と書いたんですよ
これは思い込みではなくあなたのレスのおかしさから自然に推察されたことです

同じことを繰り返してるだけですね
あなたがしているであろう勘違いを指摘しておきます

まず、期待値が発散する場合でもある種のパラドックスは発生しています
本来は優劣のないはずの二枚の封筒なのに、選んだ途端にA<Bになってしまう
獲得金額が収束していなくても、2枚の封筒に優劣がないことは成立しているはずです

次に、期待値が収束する場合は常に損をするパラドックスが発生すると書いていますね
これはどういう状況ですか？
(2^k,2^(k+1))の確率を与える方法では、(1,2)で1を引いたときは交換により得をするので、常に損することにはなりません
もちろん、負の値を許すなど封筒の中身の組み合わせの取り方を変えれば作ることはできます
但し、常に損をする状況は(-1)倍をすることで常に得をする状況にできるので、これらは本質的に等価です
なぜ常に損をする状況だけ考えられると書いているのかは本当に全く意味が分かりません

また、前者の場合を「現実に起こり得ないから」と一蹴し、後者の場合は「パラドックスがある」としていますね
もし「現実で実行不可能だからこのパラドックスは考える意味がない」という立場なら、獲得金額の収束に関係なく常に実行不可能だから、そもそも考える意味はないでしょう
あるいは、獲得金額が発散していると思考実験でも実行できないと考えているのかもしれませんが、一回あたりの獲得金額は有限値なので全く関係ありません
もっといえば、仮に獲得金額が∞となる場合が含まれていたとしても、R∪{±∞}に値をとると思えばやはり問題なく定まります

これらのうちどれか１つは当てはまると信じているのですが

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 15:10:39.77

>>496
ふつう空集合に対してはあまり定義しないと思います
あえて定めるなら-∞か0でしょうね
diamの終域をRとみなすか[0,∞)とみなすかの違い程度でしょう

ちなみに空集合の記号∅はφと似ていますが別の記号です
知ってる上で入力が面倒くさいから使っただけかもしれませんが念のため

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 15:16:29.30

>>500
成る程

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 15:45:55.99

係数と定数項が0ではない座標空間内の平面の式を作り、それを表す方程式が重回帰式になるようにその平面上にない点を含む4点を決めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 21:15:20.13

自然数全体のなす集合NからNへの写像全体の集合Map(N,N)に
ｆ≦g ⇔ ∀n f(n) ≦ g(n)
で順序を入れる。

M := { m ∈ Map(N,N) | mは狭義単調増加 }
として部分順序集合と考える。

Mは整列集合ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 21:16:59.36

>>503
反例存在しますね
却下します

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 21:25:06.79

>>498
具体的にお教え願いたい

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 22:27:38.70

(p-q)^3=p+qを満たす素数p,qを求めよ。
自然数k,l,m,nがk!+l!+m!=2^nを満たすとき、(k,l,m,n)を求めよ。
高一なのですが全然わかりませんでした。ご教授お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 23:27:30.68

>>506
http://27.110.35.148/univsrch/ex/data/2015/1n/m01/m1n1514.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 23:32:30.28

>>506
1問目
p-q=nとおく(nは自然数)
p+q=n^3,p-q=nより
p=n(n^2+1)/2
n≧3のとき、n>2,1+n^2>2より右辺は素数とならない
n=1のとき
(p,q)=(1,0) (素数でないので不適)
n=2のとき
(p,q)=(5,3)
よって、条件を満たすのは(p,q)=(5,3)のときのみ

2問目
k≦l≦mとしてよい
l!及びm!はk!の倍数となるので、左辺はk!の倍数
一方、右辺は素因数として2しかもたないので、k!も2のベキ乗で書かなければならない
よってk=1またはk=2

・k=1
右辺は偶数なので左辺も偶数
l!が偶数(⇔l≧2)の時、l≦mからm!も偶数なので左辺は奇数となってしまう
よってl=1でなければならない
このとき
m! = 2^n - 2 = 2(2^(n-1)-1)
n=1のとき右辺は0となり、これを満たすmは存在しない
n>1のとき、2^(n-1)-1は奇数なので、右辺の素因数分解を考えたとき、2を1つしかもたない
m!がそのようになるのはm=2,3のときのみ
m=2のときn=2,m=3のときn=3

・k=2
両辺2で割って
1+(l!/2)+(m!/2)=2^(n-1)
先ほどと同様の考察により、l!/2は奇数でなければならないのでl=2またはl=3

l=2のとき
m! = 2^n - 4 = 4(2^(n-2)-1)
n=1,2のときこれを満たすmは存在しない
n>2のとき、2^(n-2)-1は奇数なので、右辺の素因数分解を考えたとき、2を2つしかもたない
しかし、m!がそのようになるmは存在しない

l=3のとき
m! = 2^n - 8 = 8(2^(n-3)-1)
n=1,2,3のときこれを満たすmは存在しない
n>3のとき、2^(n-3)-1は奇数なので、右辺の素因数分解を考えたとき、2を3つしかもたない
m!がそのようになるのはm=4,5のとき
m=4のときn=5
m=5のときn=7

以上より条件を満たす組は
(k,l,m,n)=(1,1,2,2),(1,1,3,3),(2,3,4,5),(2,3,5,7)
及びこれらのk,l,mに関する並び替え

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 23:48:35.09

>>508
とても丁寧な解説ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/11(火) 23:54:35.58

質問です。
zを複素数として、z→0のとき|z|/zの極限ってどうなりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 00:02:13.34

ありません

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 00:28:07.59

>>510
wolfram先生もlimit dies not exist.の答
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit(x-%3E0,y-%3E0,abs(x%2Biy)%2F(x%2Biy))

**415** · 2018/12/12(水) 00:40:57.21

>>499
>「あるように見える」と書いたんですよ
だから、そう見えてしまうのはあなたの間違った思いこみからだということです。
本人がきっぱり否定していることを、「自然に推察された」などと正当化するよう
なお言葉はいかがなものかと思いますよ。

あとに続く文章も相変わらず誤読というか、思い違いによるご指摘ばかりです。
同じ事の繰り返しになるのでお返事しませんが、冷静になって素直に読み返して
いただければご理解いただける能力をお持ちだと信じております。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 00:54:31.33

>>502
誰かこれわかる方いらっしゃいませんでしょうか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 01:18:22.36

>>514
そもそも問題の意味がわかりません。
ググってもらしいの出てこないし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 01:19:01.18

>>513
あなたの表現ではそう考えているように私には見える、と言っているんです
これは私がそう感じたということであり、あなたはこう考えていると断定しているのではありません
あなたの考えと違うとしても、表現に問題がある以上、そう感じることを非難されても困ります
>>499の続きを読めばどうしてそのように推察したのかも分かるでしょうから、反論したいならそちらの内容に具体的に答えたら如何ですか？

具体的な言及を避けて誤読・思い違いによる指摘と書いていますが、具体的にどこが誤読なのですか？
>>494-495を読む限り、
「期待値が収束する場合は2枚の封筒は等価だが、発散する場合はそうではない」
「発散する場合は無限大を含むため現実で実行できないからパラドックスは生じていない」
「収束する場合は常に得をする状況はつくれないが、常に損をする状況をつくることができるので、パラドックスが生じる」
とあなたは考えているとしか読み取れません
その仮定に従ってそれぞれに反論をしています
「」が誤りなのか、私が書いた数学的な記述に誤りがあるのか、具体的に指摘して頂けるとありがたいです

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 01:21:09.56

>>514
同じく
重回帰式の意味を知らないです
座標空間というのは3次元空間のこと？

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 01:23:16.59

>>510
極形式 z = r exp(iθ) で書けば、|z|/z = exp(-iθ)
なので z の 0 への近づき方により収束は変わる。
偏角θ がある値 α に収束するように近づけば exp(-iα) に収束するし
θが収束しないように近づけば収束しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 09:43:30.78

f(n,a,x)=x^n+ax
I[k]=∫ [k to k+1] f(n,a,x) dx
に対して以下の等式(*)を考える。
I[k-1]=I[k]=I[k+1] ... (*)

等式(*)を成立させる実数kが存在するように、自然数nと実数aを定めたい。

このようなn,aは存在するか。
存在する場合、そのようなn,aの例を1つ挙げよ。また任意のnに対して、あるaをとれば、等式(*)を満たすkが存在するようにできるかをのべよ。
存在しない場合、その理由を述べよ。

**415** · 2018/12/12(水) 10:07:58.54

>>515
>表現に問題がある以上
だから、これがあなたの主観的判断なんだということをまずもって認識すべきでしょう。
それを世の中では「思いこみ」というのです。

それはそれとして、>>499の中段についてはまったくもってあなたのおっしゃる通りで、
>>513の後段で述べたことについては、お詫びして撤回いたします。すみませんでした。
冷静にならないといけないのは私のほうでしたね。

獲得金額の期待値が収束するケースでは、交換した方が損をするが、下限額を取る場合に
はそうならないということを見逃しておりました。したがって、その場合を考慮にいれて
期待値計算を見直せば、条件付き期待値と、無条件交換した場合の期待値は一致するので
期待値のパラドックスなど生じませんね。無条件に交換したほうが損をするということも
当然ありません。ご指摘に感謝です。

＞「期待値が収束する場合は2枚の封筒は等価だが、発散する場合はそうではない」
これはその通り。発散する場合については常に交換したほうが得になってしまうので等価
ではないと思っています。

＞「発散する場合は無限大を含むため現実で実行できないからパラドックスは生じていない」
現実に実行できないという点でパラドックスとは呼べないという立場です。言い換えれば、
その仮定の下では論理的になんの矛盾もない。

＞「収束する場合は常に得をする状況はつくれないが、常に損をする状況をつくることができるので、パラドックスが生じる」
これについては、上で述べた通り、私の間違いで、常に損をする状況はつくれないので、条件
付き期待値の期待値をとれば、どちらの封筒にも差がないので、有限の分布の場合と同じで、
２枚の封筒は期待値的には等価になる。

有限の場合もそうですが、期待値的には等価であっても、交換した方が得をする（あるいは
損をする）確率が圧倒的に高いという状況はもちろんつくれますが、しかし、宝くじを買った
方が損をする確率が圧倒的に高いのと同じで、これをもってパラドックスとは言えない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 13:37:37.02

シュレッド会社の大勢の行員が一列に並んでいる。工場長がシュレッドすべき一枚の紙を受け取った時彼はそれを5枚の断片に破り一番の行員に渡す。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 13:39:34.89

以後 n 番の社員が断片を受け取った時、彼はその中から n 枚の断片を選んでそれらを各々5枚の断片に破ってから n +1番の行員に渡す。2006枚未満の断片を受け取り2006枚以上の断片を次に工員に渡すのは何番の工員か。

細かく丁寧に教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 13:40:46.40

1から1999を2乗したものの中で十の位が奇数であるものは何個あるか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 13:44:29.48

https://i.imgur.com/4fBrR1t.jpg
と
https://i.imgur.com/AoH4Sgo.jpg
高校数学ですがお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/12/12(水) 14:53:16.61

>>523

> sum((1:1999)^2%/%10%%2)
[1] 400