なぜeやπは様々な性質を持つのか?
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無理数なんて他にも沢山あるのになぜこの二つだけ登場回数が多いのか? >>61
なるほど。
(e^{2π√190} + 744) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)^3
= 1 - 1.168664×10^{-70}
(e^{(2π√190)/3} + 248 e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)
= 1 - 2.447924×10^{-72} >>54
e^{(π√163)/3) - 248/(640320^2) = 640320 - 1.1810534×10^{-24},
e^{(π√163)/3} - 248 e^{-2(π√163)/3} = 640320 - 3.83118675×10^{-26}, >>63
>P = ln(640320^3 + 744)/√163
それを手持ちの関数電卓(fx-JP900)で計算したら"π"って表示された。。。 exp(iπ)=1
のほうがキレイじゃないですか? >>53 >>64
(e^{10π/3} + 248・e^{-20π/3}) / (2927+1323√5) = 6 - 1.2762708×10^{-23},
(e^{20π/3} + 248・e^{-40π/3}) / (2+9[1201+537√5 + 5^{1/4}・(1607+719√5)/2]^2)
= 6 - 6.5828772×10^{-51},
>>56
(e^{40π/3} + 248・e^{-80π/3})・4・(√5 -2)^13 / (869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)・(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))
= 6 - 1.7513042421×10^{-105},
>>54
e^{(√163)π/3} -248・e^{-2(√163)π/3} = 640320 - 3.8311867×10^{-26},
>>61
(e^{(2√190)π/3} +248・e^{-2(2√190)π/3}) / (12+108(1+√2)^12・[154+210√2+144√5+41√10]^2 )
= 1 - 1.168664×10^{-70},
>>56
(e^{(4√58)π/3} +248・e^{-2(4√58)π/3}) / (2+9(1+√2)^3・(5+√29)^7・[-47+340√2+98√29]^2 /128)
= 6 - 1.850222×10^{-79},
(e^{(√1435)π/3} -248・e^{-2(√1435)π/3}) / (-2 +18(2+√5)^10・[79(121+28√5)+5*(263+85√5)√41]^2 )
= 6 - 1.0580687×10^{-99}, >>72
まちがえた。
(e^{(2π√190)/3} + 248・e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12・[154+210√2+144√5+41√10]^2)
= 1 - 2.447924×10^{-72} 10!/((10!)!)^(1/10!) = 2.7182754...
((10!)!*2^(10!))^4/(10!*((2*10!)!)^2) = 3.141592870... 関数列f_nを次のように定める
f_1(x)=x^x
f_(n+1)=(x^x)^f_n(x))
このとき極限lim[n→∞]f_n(x)はe^(-1/e)<x<1の範囲で収束する。
また、
lim[n→∞]∫[1,0]f_n (x)dx=π^2/12
が成立する >>75
a>0とするとき「a^a^a^a^…が収束 ⇔ e^(-e)≦a≦e^(1/e)」が成り立つ(L.Euler)
収束するときの収束値はW(-ln a)/(-ln a)ここでW(z)はLambertのW関数
0<x<1のとき1/e<x^x<1でありf_n(x)はW(-ln(x^x))/(-ln(x^x))に収束し
lim[n→∞]∫[0,1] f_n(x) dx
= ∫[0,1] W(-ln(x^x))/(-ln(x^x)) dx
= ∫[0,∞] W(te^(-t))/t dt
= ∫[0,∞]Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)(te^(-t))^n/t dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)∫[0,∞] t^(n-1)e^(-nt) dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)Γ(n)/n^n
= Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/n^2
= (1-2/2^2)ζ(2)
= (π^2)/12 1+1/(3+1/(5+1/(7+1/(9+…)))) = (e^2+1)/(e^2-1)
1+1^2/(3+2^2/(5+3^2/(7+4^2/(9+…)))) = 4/π >>70
e^iπ+1=0
この形式が最も美しい
今の円周率の決め方で良かったわ ほんと汚い式だな
単位元とかゼロ元とか、後付けもいいとこ >>79
おれもこの式が美しいと思う
何が美しいかは主観なので争ってもしかたないが なにこのとってつけたような+1は・・・
というのが大抵の反応
美しくもなんともない 演算的にも和・積・累乗と揃う
数学で5つの最も重要な数が揃う
まあ数学を知ってる人ほど>>79の表し方が美しいと感じるんじゃないかな e,πに比べると極端に出てくる場面が少ないから仕方ない >>79
それが最高だよな
〜の方がきれいなら理解できるが、汚いとか美しくもなんともないとか、どういう感性をしているんだ? ∫(-∞,∞) log(x^2) e^(-x^2/4) dx = -2γ√π
∫(-∞,∞) log^2(x^2) e^(-x^2/4) dx = (2γ^2+π^2)√π 〔問題202〕
次の□の中に +, -, ×, ÷, ^ のどれかを入れて完成させよ。
(1) e□π□π = 9.001・・・・
(2) e□π□π = 19.9990999・・・・
(3) e□π□π□e = 29.0005・・・・
(4) e□e□π□e = 13.998・・・・
(あと4, 5問あった)
円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/202, 218, 235 >>89
e□e□e□e□e = 6.9994…
e□π□e□π□e = 48.9996…
e□e□γ□γ = 13.9998…
e□π□e□γ = 20.9996…
e□e□e□π□γ = 15.0003…
e□e□e□π□γ = 28.00004…
e□π□π□π□e□γ = 71.999996…
π□π□γ□π□γ□e = 9.000001… >>90
e^π + e^π + e = 48.999667094 >>46
日本人女性が、πを31兆桁まで計算?
【祝】Google社員の日本人女性、岩尾エマはるかさんが円周率計算で世界新記録達成!
http://hayabusa9.2ch.net/test/read.cgi/news/1552576769/ >>61
高橋秀俊:「”163”の不思議」
数学セミナー,Vol.14,No.10、日本評論社(1975/Oct)
数セミ増刊「数の世界」日本評論社,p.157-161 (1982/Sep) >>91
TAN(3π/11) + 4SIN(2π/11) = ?
sin(2θ) = sinθ U_1(cosθ) = sinθ{2cosθ},
sin(3θ) = sinθ U_2(cosθ) = sinθ{1+2cos(2θ)},
cos(3θ) = T_3(cosθ) = cosθ{2cos(2θ)-1},
I = tan(3θ) + 4sin(2θ)
= {sin(3θ) + 4sin(2θ)cos(3θ)}/cos(3θ)
= (sinθ){8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}/cos(3θ),
(I^2 - 11){cos(3θ)}^2 = (sinθ)^2・{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - 11{cos(3θ)}^2
= (1/2){1-cos(2θ)}{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - (11/2){1+cos(2θ)}{2cos(2θ) -1}^2
= - U_10(cosθ)
= - sin(11θ)/sinθ,
http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/ >>8 >>9
π中間子の電荷がeであることを主張するのが例のオイラーの公式。 まとめ
eの性質
 ̄ ̄ ̄ ̄
種 類 レプトン
スピン 1/2 (フェルミオン)
電 荷 -e -1.602176621×10^(-19) [C]
質 量 m 9.10938356×10^(-31) [kg] = 510998.946 [eV]
寿 命 ∞ (安定)
磁気モーメント -9.28476462×10^(-24) [J/T] = -1.0011596521809 μB (自由電子)
g因子 -2.0023193043618 (自由電子)
ESR周波数 2.802495164×10^10 [Hz/T] (自由電子)
(参考)
ボーア磁子 μB = eh/(4πm) = 9.2740100×10^(-24) [J/T]
πの性質
 ̄ ̄ ̄ ̄
種 類 ゲージボゾン(強い相互作用)
π± π゚
---------------------------------------------------------------
電 荷 ±e 0
クォーク組成 π+ = ud~, π- = u~d, π゚ = (uu~-dd~)/√2,
質 量 139.5700×10^6 [eV] 134.9764×10^6 [eV]
寿 命 2.603×10^(-8) [s] 8.4×10^(-17) [s]
スピン 0 0 (ボゾン)
アイソスピン 1 1 >>89
(1) e+π+π = 9.0014671356386
(2) e^π−π = 19.9990999791895
(3) e^π+π+e = 29.0005671148281 = (1)+(2)
(4) e^e−π/e = 13.9985348916883
* 円周率について語り合おう【π】−202,218,235
>>90
(5) e^e−e−e−e = 6.9994167561021
(6) e^π+e^π+e = 48.9996670940176 >>92
なお、 e^π = 23.140692632779269… をゲルフォントの定数とか云うらしい。 x^x -3x -7 = 0 の根 e' = 2.71830318548264 はたぶん超越数・・・・ e^x -x -20 = 0 の正根 π' = -W_(-1/(e^20)) -20 = 3.1416333028・・・・ もたぶん超越数・・・・
W_( ) はLambertのW関数の(-)分枝 >>90
(5) e^e - e - e - e = 6.9994167561021
(6) e^π + e^π + e = 48.9996670940176 >>92
(7) e^e - γ - γ = 13.99983091167620
(8) e^π - e + γ = 20.99962646922175
(9) e^e - e + π - γ = 15.00035740170848
(10) e + e + e^π - γ = 28.00004062479582
(11)
(12)
(13) π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255 >>90
>>90
(11) e/π + π * (π^e) + γ = 71.999996538151361
(12) π + (π^γ) * π - (γ^e) = 9.00000187503
π * (π^γ) + π - (γ^e) = 9.00000187503
・追加
(13) π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255
(14) π - (π^γ) + (π/γ) * e = 16.000039835677
(15) π * (π^π) * (γ^e) - e = 23.000001617056
(π^π) * π * (γ^e) - e = 23.000001617056 e ≒ 19/7, π ≒ 22/7, γ ≒ 4/7
らしいです。 >>19
∴ 1次の関係式
e + π + π = 9.0014671356 = (1)
3e - 2γ = 7.000414156
3π + γ = 10.00199363
π - e + γ = 1.00052649 e + e + e - π/e = 6.999118135586 = (4) - (5)
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997 = 5・(5) - 2・(4)
3γγ = 0.999533771 >>104
e + π + π = 9.0014671356 = (1)
3e -γ -γ = 7.00041415557407 = 2・(7) - 2・(9) + (1)
3π + γ = 10.001993625671 = (9) - (7) + (1)
π - e + γ = 1.00052649 = (9) - (7) >>100
9{exp(1/e) - (1/e)exp(-ee)} = 12.999964673
9{exp(1/x) - (1/x)exp(-xx)} = 13 の正根は e" = 2.718261616 >>104 >>106
・応用例
平面グラフの頂点の数をγ、辺の数をe、面の数をπとすると、
γ - e + π = 1 (Euler) >>104 >>106
-π + 4e - 3γ = 5.999887665542 = 3[(7)-(9)] + (1)
-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522 = 11[(7)-(9)] + 4・(1)
-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177 = 14[(7)-(9)] + 5・(1) 1/α
= ππ{(π+e)/(π-e) + (π-e)/(π+e)} - 1/{(π+e)(π-e)} + 1/(ππ)
= ππ{2(ππ+ee)/(ππ-ee)} - 1/(ππ-ee) + 1/(ππ)
= 137.0356848322791
アティヤ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537516085/134 >>98
πは(芳香族)有機化合物中の電子軌道です。
・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。
・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。(エチレン)
∵ 電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりSが小さい。
・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため(超高圧でない場合)エネルギー的に有利。
例:グラフェン、グラファイト
・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
クーロン積分・交換積分など低次の積分は0である。
また、内殻軌道(1s,2s)とのエネルギー差もかなり大きい。
このため孤立しており、π電子だけを考慮する近似が可能。(ヒュッケル法)
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/181 >>104
e ≒ 193/71, π ≒ 223/71,γ ≒ 41/71
らしいです。 π/3 - 1 + 4/π ≒ 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1),
不等式スレ10 109-112 >>98
電子スピンのg因子
-2.0023193043618 ≒ -π/(eγ) >>98
質量比
m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ・・・・ = exp(α) - 1,
m(e-) / m(π゚) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ・・・・ = {exp(4α) -1}/4, >>98
質量比
2m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ・・・・ = exp(α) - 1,
2m(e-) / m(π゚) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ・・・・ = {exp(4α) -1}/4, π - e = 69/163
円周率スレ【π】 - 326 exp(i*pi) +1 = 0
eとπと虚数単位と実数全てが入った式かつ見た目がシンプルだから
人はそれを美しいと感じていると思われるが、同時に、で?っていう
思いも生まれるのもまた事実 >>104
e = 19/7, π = 22/7
とすると
π+e = 41/7, π-e = 3/7,
>>112
e = 193/71, π = 223/71
とすると
π+e = 416/71 π-e = 30/71, ππ = 701/71,
>>118
e = 443/163, π = 512/163
とすると
π+e = 955/163, π-e = 69/163, ππ = 1609/163, オイラの公式 (e')^(iπ’) = -1,
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
ここに
e' = 2.71940175612508383454746・・・
π' = 3.14029912193745808272627・・・ e < e' < 3 < π' < π,
(e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923
(π')^e < π^e < (π')^(e')< π^(e') < e^(π')<(e')^(π')= e^π < (e')^π, >>99
(4) e^e−π/e = 4(150)^(1/4),
>>102
(7) e^e - γ - γ = (3803000/99)^(1/4) 黄金比 φ = √(π/1.2) = 1.6180215938
φ + 1/φ = 2.23606031703
富士山麓オウムは災難さ e = Σ[k=0,10] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/5! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/60 + 1/6! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 - 1/(11・6!) + 1/7! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 4/(11・7!) + 1/8! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 43/(11・8!) + 1/9! + 1/10!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 398/(11・9!) + 1/10!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3991/11! (11!=39916800)
≒ 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3991/39906009
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
エジプト分数表示 e = Σ[k=0,11] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ・・・・
= ・・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 398/(11・9!) + 1/10! + 1/11!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + (3980+11+1)/11!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3992/11! (11!=39916800)
≒ 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3992/39916008
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
エジプト分数表示 e = Σ[k=0,12] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/5! + …… + 1/12!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/60 + 1/6! + …… + 1/12!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + ,
= -1/660 + 1/6! + 1/7! + …… + 1/12!
= -1/(11・6!) + 1/7! + 1/8! + …… + 1/12!
= 4/(11・7!) + 1/8! + 1/9! + …… + 1/12!
= 43/(11・8!) + 1/9! + 1/10! + 1/11! + 1/12!
= 398/(11・9!) + 1/10! + 1/11! + 1/12!
= 3991/11! + 1/11! + 1/12!
= 3992/11! + 1/12!
= 47905/12! (12!=479001600)
≒ 47905/479002095
= 1/9999
エジプト分数表示 >>57
x = e^{-π} とおくと
(左辺) = x/(1+x) + 3(x^3)/(1+x^3) + 5(x^5)/(1+x^5) + ・・・・・
= x {1/(1+x) + (3x^2)/(1+x^3) + (5x^4)/(1+x^5) + ・・・・・ }
= x (d/dx) log[(1+x)(1+x^3)(1+x^5)・・・・]
= x (d/dx){ log[(1+x)(1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)(1+x^5)・・・・]
- log[(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)・・・・] }
= x (d/dx){ -log(G(-x)) + log(G(x^2)) },
ここに
G(x) = Σ[n=0,∞] p(n)・x^n,
は分割数p(n)の生成関数。
1/G(x) = (1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・
= Σ[m=-∞,∞] (-1)^m x^{m(3m-1)/2}, >>17, 89(2), 99(2)
e^π - π = 19.99909997919
e^π - π + e/π^7 = 19.999999985
e^π - π + e/π^7 + 1/(eπ^7)^2 = 19.999999999960 |r|<1 とする。
k = 1, 5, 9 について
Σ[n=0,∞] (2n+1)・r^{2n+1} = r(1+r^2)/(1-rr)^2,
Σ[n=0,∞] (2n+1)^5・r^{2n+1} = r{(1+r^10) + 237(r^2+r^8) + 1682(r^4+r^6)}/(1-rr)^10,
Σ[n=0,∞] (2n+1)^9・r^{2n+1} = r{(1+r^18) + 19673(r^2+r^16) + 1756340(r^4+r^14) + 21707972(r^6+r^12) + 69413294(r^8+r^10)}/(1-rr)^18, x>0 のとき
x^{1/x} ≦ e^{1/e},
log(x) / x ≦ 1/e,
等号成立は x=e,
e' = π / log(π) = 2.74439646630
e" = (8/3) e / e' = 2.641291676176
とおくと
e" < 8/3 < e < e',
(e")^{1/e"} = 13/9 = 1.444444… 訂正…
Σ[n=0,∞] (2n+1)^5・r^{2n+1} = r{(1+r^10) + 237(r^2+r^8) + 1682(r^4+r^6)}/(1-rr)^6,
Σ[n=0,∞] (2n+1)^9・r^{2n+1} = r{(1+r^18) + 19673(r^2+r^16) + 1756340(r^4+r^14) + 21707972(r^6+r^12) + 69413294(r^8+r^10)}/(1-rr)^10, π = 10.1010020200 0211112002 0101120001 0102020001 0210111200 0101200011 0011111020 1000001101 111 (e進法)
e = 2.2021201002 1111220011 0120100020 1002021112 0111211200 0101222201 0210212200 2220012010 203 (π進法)
小数点下 83, 89, 95, 104, 143, 162, … 桁目に「3」 [eとπの微妙な関係どこまでも]
(e^(10π)+744)/(2927+1323√5)^3
= 216 - 2.1*10^(-20)
(e^(20π)+744)/(2+9*(1201+537√5+5^(1/4)*(1607+719√5)/2)^2)^3
= 216 - 1.1*10^(-47)
(e^(40π)+744)/(2+(9/(4√2))*((1+√5)/2)^38*(7485+762√2+1479√5+3072√10+5^(1/4)*(178+2221√2+3148√5+1289√10))^2)^3
= 216 - 3.0*10^(-102)
(e^(80π)+744)/(2+(9/8)*2^(1/4)*(1+√2)^41*(530935136+314649157√2+190007592√5+174256156√10+2^(1/4)*(325653723+350011313√2+198603775√5+119076491√10)+5^(1/4)*(299448042+249740557√2+165588382√5+89292490√10)+10^(1/4)*(218798503+233344905√2+120016115√5+88680967√10))^2)^3
= 216 - 2.1*10^(-211)
… >>140 の続き(j-invariantの値)をもう少し計算してみた
(e^(π√6307)-744)/(-12+27*(4+√17)^16*(1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2)^3
= 1 - 3.85*10^(-212)
(e^(8π√253)+744)/(12+(27/7744)*(1+√23)*(24+5√23)^15*(6+√(18+4√23))*(2613958503994042+1847473729040467√2+837790178036772√11+598717160351847√22+576161649364756√23+407590062365343√46+163366108645406√253+114201548059645√506+(434941809989079+320542233994301√2+130489158670679√11+97268953915700√22+93179143624603√23+63178599498586√46+28230255730793√253+18919403141609√506)√(18+4√23))^2)^3
= 1 - 1.16*10^(-342)
(e^(π√16555)-744)/(-12+(27/4)*((1+√5)/2)^118*((9+√77)/2)^2*(320894813655339+61569131404011√5+35639907052399√77+17940001062501√301+7432116783367√385+14837611163117√473+3797467132539√1505+2793899176811√2365+(11140446493226+12450127844626√5+1468410957272√77+685802367263√301+1329900128960√385+563707277735√473+698080174717√1505+549439850645√2365)√(69+4√301))^2)^3
= 1 - 1.56*10^(-346)
最後の2式の分母は16次方程式の解なのですが、
予想ではガロア理論の壁を乗り越えてこの先ずっと計算できると思われる πに他の無理数が濃縮されてるから。
オイラーの公式と
一般相対性理論の測地線式を
ジッと見比べると
空間を表す部分は対数の加法。
時間を表す部分は対数を取って
-1がふと思い浮かぶ。
幾ら頑張って時間空間を一点に縮めようとしても
考えてる点がπなら
時空間に無限小の広がりを持つ。
時空間が何次元持つかは知らんけど
π^?が現れるだろう。
私は素人なのでこの手の話は色々面白く本を読ませてもらってる。
玄人は苦労して貰って
ナンボな世界の住人。
気張ってくださいね。 なぜ0や1や2やマイナス1は様々な性質を持つのか?他にも整数はたくさんあるのに
と言ってるのと同じ。くだらない >>134
>>62 の割と初等的な導出:
f(z) = (2z)^k πtan(πz)tanh(πz),
C1:(1+i)N→(-1+i)N, C2:(-1+i)N→(-1-i)N, C3:(-1-i)N→(1-i)N, C4:(1-i)N→(1+i)N
と置くと、留数定理より
(1/(2πi))∫[C1+C2+C3+C4]f(z)dz = -4Σ[n=1,N](2n-1)^k tanh((2n-1)π/2)
そしてf(z)の対称性から
k≡1(mod 4)のとき ∫[C1]f(z)dz=∫[C2]f(z)dz=∫[C3]f(z)dz=∫[C4]f(z)dz
が成り立ち
(1/(2πi))∫[C1]f(z)dz = -Σ[n=1,N](2n-1)^k tanh((2n-1)π/2) --------(1)
g(z) = -(2z)^k πi tanh(πz),
C2':(-1+i)N→-N, C3':-N→N, C4':N→(1+i)N
と置くと、留数定理より
(1/(2πi))∫[C1+C2'+C3'+C4']g(z)dz = Σ[n=1,N](2n-1)^k --------(2)
(1)+(2)より
(1/(2πi))∫[C1](f(z)+g(z))dz + (1/(2πi))∫[C2'+C3'+C4']g(z)dz
= 2Σ[n=1,N](2n-1)^k/(e^((2n-1)π)+1)
この積分は
∫[C1]|f(z)+g(z)| |dz| = O(N^(k+1) e^(-2πN))→0 (N→∞),
∫[C2'+C4']g(z)dz = π∫[0,N]((2N+2iy)^k-(2N-2iy)^k)dy + O(N^(k+1) e^(-2πN)),
∫[C3']g(z)dz = -2πi∫[0,N](2x)^k dx + 4πi∫[0,N](2x)^k/(e^(2πx)+1)dx
特に
k≡1(mod 4)のとき ∫[0,1]((1+iy)^k-(1-iy)^k)dy = 2i∫[0,1]x^k dx
であることを考慮すると
∫[0,∞](2x)^k/(e^(2πx)+1)dx = Σ[n=1,∞](2n-1)^k/(e^((2n-1)π)+1) k=1,5,9,13…≡1(mod 4)における類似の関係式
Σ[n=1,∞]n^k/(e^(2nπ)-1)
=∫[0,∞]x^k/(e^(2πx)-1)dx + R_k
=k!ζ(k+1)/(2π)^(k+1) + R_k
ただしR_kは原点の留数補正でR_1=-1/(8π), R_5=R_9=R_13=…=0
この式の導出も>>144 で
f(z) = z^k πcot(πz)coth(πz), g(z) = z^k πi coth(πz)
と置きなおせば同様にして得られる。 [eとπの微妙な関係?]
e^(10π/3)・(5^(1/4) - 1)^8 = 2^7 + 2.32560749396411×10^(-11)
(e^(10π) - 24)・(5^(1/4) - 1)^24 = 2^21 - 2.9854645192226×10^(-19) {5^(1/4) - 1} * 2^(1/8) * e^(5π/12) * {1/[1 + e^(-10π)] - e^(-20π)} = 2 - 1.415538508…×10^(-109) [eとπの微妙な関係 - η関数系補完リスト]
(e^(2π)-24)^(1/9) = 2 - 2.2073*10^(-4)
e^(2π/9) (1/(1+e^(-2π)) - e^(-4π))^(8/3) = 2 - 7.8882*10^(-22)
(e^(3π)+24)^(1/6) (2-√3)^(2/3) = 2 - 5.9834*10^(-7)
(2-√3)^(1/6) 2^(3/4) e^(π/8) (1/(1-e^(-3π)) - e^(-6π)) = 2 - 3.5974*10^(-33)
(e^(4π)-24)^(2/3) (√2-1)^4 = 2^7 - 2.8644*10^(-7)
(√2-1)^(1/4) 2^(9/16) e^(π/6) (1/(1+e^(-4π)) - e^(-8π)) = 2 - 4.3750*10^(-44)
(e^(5π)+24)^(1/6) (√5-1)^4 = 2^5 - 3.3430*10^(-11)
(√5-1) 2^(3/4) e^(5π/24) (1/(1-e^(-5π)) - e^(-10π)) = 4 - 1.0641*10^(-54)
(e^(6π)-24)^(1/8) (108^(1/4)-√3-1) 2^(5/8) = 8 - 1.1705*10^(-14)
(e^(7π)+24)^(1/6) (1+√7-28^(1/4))^4 = 2^7 - 4.6633*10^(-16)
(1+√7-28^(1/4)) 2^(1/4) e^(7π/24) (1/(1-e^(-7π)) - e^(-14π)) = 4 - 1.5739*10^(-76)
(e^(10π)-24)^(1/3) (5^(1/4)-1)^8 = 2^7 - 6.0739*10^(-24)
(5^(1/4)-1) 2^(1/8) e^(5π/12) (1/(1+e^(-10π)) - e^(-20π)) = 2 - 1.4155*10^(-109)
(e^(15π)+24)^(1/8) ((38-22√3-17√5+10√15)√2 - 15^(1/4)√3(16-9√3-7√5+4√15)) 2^(1/4) = 4 - 1.6165*10^(-39)
(e^(20π)-24) √2 (1+5^(1/4))^12 (2+√5)^6 ((2+√5)√2-3-2*5^(1/4))^6 = 2^17 - 9.6242*10^(-48)
√(1+5^(1/4)) ((2+√5)((2+√5)√2-3-2*5^(1/4)))^(1/4) 2^(5/16) e^(5π/6) (1/(1+e^(-20π)) - e^(-40π)) = 2 - 1.0018*10^(-218) Δxとか幅を持った数も忘れないでね
パイもネイピア数も0や1と同じで幅は無い
極限が繋ぐ異次元お世界
そこに現れるえ e^π = π + 20 - ((√3)/10)^4,
π^e = π + 20 - (10/11)^4,
ここで
(√3)/10 = 0.1732 < 0.9091 = 10/11,
∴ e^π > π^e. e^π と π^e どっちがでかい?
http://www.youtube.com/watch?v=LuPHrYPGrIs 06:31,
鈴木貫太郎
e^π と π^e どっちが大きい!? (筑波大) (数V微分)
http://www.youtube.com/watch?v=XEjm4stW7uI 04:58,
3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】
e^(e^π) < π^(π^e) を示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=vUHFtKVp9b0 19:07,
式変形チャンネル e^π > 22 を示せ。
(略解)
e > 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 163/60,
e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,
e^0.14 > 1 + 0.14 + (1/2)0.14^2 + (1/6)0.14^3 > 1.15 = 23/20,
辺々掛けて
e^π > e^3.14 = e^3・e^0.14 > 20・(23/20) = 23,
http://www.youtube.com/watch?v=5CXdQihmKxw 09:28,
鈴木貫太郎 >>152
e^(x/e - 1) ≧ 1 + (x/e - 1) = x/e,
eを掛けて
e^(x/e) ≧ x,
e乗して
e^x ≧ x^e, πとeが無理数であること
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.80-82
πとeが超越数であること
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983) p.85-86 複素関数論は、絶対値|z|とか絶対値の2乗|z|^2は、
複素変数zの複素関数ではないわけだが、それにもかかわらず、
絶対値をもしも一切遣わないで、そうして実部と虚部に分けて
議論することを禁じて、必ず複素変数zとしてだけ数式を書き、
議論も証明もするというように制約を設けたときに、はたして
理論が滞りなく構築できるものだろうか?
たとえば複素数の局表示z=rexp(i θ)も、rやθがzの複素
関数にはならないから、認めないとしたら???
つまり純粋に複素関数(解析関数)であるものしか使わずに
理論を組み立てろということができるだろうかというもの。 指数関数は微分作用素の固有関数だから微分が係わる数学のあちこちに出没する。
そうして、指数関数の引数を適当にスケール変換してやればexp(x) すなわち
e^x が現れるというわけさ。 教育上は標準的な関数から順序良く展開しなければならないので
最も基本的な関数であるe^xは
べき級数によって導入するのがよいだろう 巾級数は局所的な話になるから、それよりは微分方程式 y = y’ の解を
もとにした方が、大域的な性質(一種の解析接続性)も備えているので良いと思う。 eとかπはなぜいろいろなところに出てくるのだろうか、という疑問は
いろいろなところに出てくる有名な数だから特別の記号を割り当てて
名前をつけているからだとしたら自明な話になってしまうのではなかろうか?
実数にはいまだかつて人類が一度も値を書いたことのないもの、将来においても
書かれないで居続けるものが幾らでも存在するのである。そういう無名の誰にも
認められない実数も存在していて実数の世界を支えている。
何しろその実数が実数の集合から欠けたなら、実数の連続性が成り立たなくなって
しまうのだ。 人間が分かりやすい数だけがちやほさやされるだけ
義務教育で 二次方程式の解の公式 までを習う人が多いから
三次方程式や四次方程式までは解の公式があると言っても
「だから何?」 とか言われて興味など持たれないし
それこそ人によっては「二次方程式もイラネ」 とかなる
それこそひねくれた人から
「じゃあ五次方程式の解の公式出せよ」と言われるまである
このひねくれたタイプの人間は、何をどう答えてもいちゃもんを付けるので
たとえば「五次方程式に解の公式はねぇよ」 とかいうと
「楕円積分とか使えば求められるだろ。解析的に解が求められないだけで
手順がないわけじゃねぇだろ、この無能」 と返され
逆にバカ正直にそのやり方を先に示そうとすれば
「あー、はいはい、わかったわかった(笑)、で?w」 と返してくる
それこそ、そういう人間に対する対応の仕方=解のほうがねーよwww って具合である
eやπを特別扱いすることについても、
その話題について興味がある云々よりも、それを語る人間への親和性のほうが
現実問題として重要である
気に食わない人間が持ち出すテーマには何にでもケチをつけ、
仲のいい人間が持ち出すテーマなら、何より優先してでもそっちを贔屓する
数学も人間が使う以上、嫌われたら相手にされない。
AIも、助けたい人を助ける為に使われる場合と
気に食わない奴を追い出すために使われる場合に分かれるだろう
eやπを使いだした人がもし周囲に嫌われていたら、今でも使われてなかったかもしれない
あるいは、最初に使った人間はおまえらみたいな奴だったかもな。
でも、お前らみたいなやつを相手したくない連中が多いから、長い事無視されてきたとかな。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています