>>79
分からないけど、｛a_n｝の母関数の関数等式ができたので一応書いとく

f(x)=Σ[n≧1] a_nx^n

g(x)=Σ[n≧1] a_(2n-1)x^(2n-1)

h1(x)=Σ[n≧1] a_(3n-2)x^(3n-2)

h2(x)=Σ[n≧1] a_(3n-1)x^(3n-1)

h3(x)=Σ[n≧1] a_(3n)x^(3n)

とおく。これらは区間 (-1,1) 上で絶対収束する。
まず明らかに
　h1(x)+h2(x)+h3(x)=f(x)　…①
　(f(x)-f(-x))/2=g(x)　…②
さらに漸化式より
　xh1(x^2)=g(x^3)　…③
　h2(x^2)=xg(x^3)　…④
　h3(x)=-f(x^3)　…⑤

①に x^2 を代入して x 倍
　xh1(x^2)+xh2(x^2)+xh3(x^2)=xf(x^2)
③④⑤より
　g(x^3)+x^2g(x^3)-xf(x^6)=xf(x^2)
②より
　(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))/2-xf(x^6)=xf(x^2)
整理して
　(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))=2x(f(x^2)+f(x^6))

うーん…