面白い問題おしえて〜な 27問目
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カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.89115682……
前>>90 1-6, 2-5, 3-4が向かい合った, 1〜6までの各数を揃えた6面サイコロを作る.
サイコロの1つの角c_nを共有する3面の数を合計した数をS_nとする.
(1)1つの角を共有する3面の数の組合せは何通り取れるか？
(2)S_nの最小値, 最大値を求めよ.
又サイコロを如何に作れど, S_nが最小値, 最大値を取る組み合わせの3面が必ず存在することを示せ. >>102
(1) 8通り
(2) ８つの角に現れる数はいかなるサイコロでも８つの角それぞれの計は
1+2+3=6、 1+2+4=7、 1+5+3=9、 1+5+4=10、
6+2+3=11、6+2+4=12、6+5+3=14、6+5+4=15。
最小値は６，最大値は１５。 >>103
正解です.
(ii)は鳩ノ巣原理使った解答想定していたけど, 8通りだと書き出す方が確かに早かった. >>97 >>98
〔Kroneckerの稠密定理〕
c を無理数とする。
0≦α<β≦1 である任意の区間（α，β） に対して α< {nc} <β を満たす自然数nが存在する。
http://mathtrain.jp/kronecker a[1]=1/2
a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2
で与えられる数列について、
（1）極限値lim[n→∞] na[n] を求めよ。
（2）次の極限が0でない有限値に収束するような正の有理数pの値を求めよ。
lim[n→∞] {a[n]-(1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n])}*(n^p) >>106
(2)解無しになるんじゃないの？
(1)は数値実験で1/2っぽいけど、だとすると a[n] 〜 1/(2n) で (1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n]) 〜 (log n)/(2n) にならない？ >>107
（1）は確かに1/2だが証明を与えてほしい
（2）は解無しもありだが本当にそうなのかを説明してほしい
大学入試問題からヒントを得た問題だが高校生には難しすぎるだろうと思ってここに出してみた (1)
lim a[n] = 0 は容易。
e>0 に対しa[n] < e (∀n ≧ N)であるNをとって
1/a[n+1] = 1/a[n] + 2 + a[n]
1/a[n] + 2 < 1/a[n+1] <1/a[n] + 2 + e
∴ 2(n - N) + 1/a[N] < 1/a[n] < (2+e)(n-N) + 1/a[N]
∴ 2 ≦ liminf 1/(na[n]) ≦ limsup 1/(na[n]) ≦ 2 + e
eは任意であったから主張は示された。
(2)
(1)と同様にe,Nをとって
Σ[k:N〜n]1/((2+e)(n-N) + 1/a[N]) ≦ Σ[k:N〜n]a[k] ≦ Σ[k:N〜n] 1/((2+e)(n-N) + 1/a[N])
より
1/(2+e) ≦ liminf Σ[k:1〜n]a[k]/log n ≦ limsup Σ[k:1〜n]a[k]/log n ≦ 1/2
eは任意であったから
lim Σ[k:1〜n]a[k]/log n = 1/2。
∴解無し。 R^nの凸集合A,Bについて，A⊂Bならば Aの境界の表面積≦Bの境界の表面積 となることを証明せよ >>110
以下凸体Vに対しその表面積をS(V)と書く。
e>0をとる。
Aにふくまれる凸多面体A'でS(A)<S(A') + eなるものをとる。
A'の各面Fに対しFを底面とする柱で側面が底面と垂直であり、A'の外側に伸びるものをC_Fとする。
C_Fが切り取るBの表面をT_Fとする。
このとき
S(A) - e ≦ S(A') = Σ (Area of F) ≦ Σ (Area of T_F) ≦ S(B)。
eは任意であったから S(A) ≦ SI(B)。 >>111
なるほど
想定していた解答はガウスの発散定理を使うものでしたがこれでも完璧ですね
正解です >>112
あざっす。想定解面白そう。教えて下さい。 >>109
訂正
(2)
e>0をとる。
(1)よりn≧Nにたいして(2-e)/n ≦ a[n] ≦ (2+e)/nを満たすNをとる。
Σ[i:1〜N]a[i] = Sとおけば
S+(2-e)(log n - log N -1/n) ≦ Σ[i:1〜n]a[i] ≦ S+(2+e)(log n - log N)。
2-e ≦ liminf Σ[i:1〜n] a[i]/log n ≦ liminf Σ[i:1〜n]a[i]/log n ≦ 2+e。
eは任意であったからlim Σ[i:1〜n] a[i]/log n = 2。
∴解無し。 >>113
以下想定解答です
Aは滑らかとして十分(軟化などをする)
dを∂Aに対する符号付き距離関数,すなわち
d(x):=dist(x,∂A) (=inf{dist(x,y) | y∈∂A}) (x∈A) , -dist(x,∂A) (x∈A^c) とする
x∈∂Aのとき，∇d(x)は∂Aの外向き単位法線ベクトルとなる
また，∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率となる
また,Aは凸より,任意のt<0に対して,{x∈R^n | d(x)=t}も凸
滑らかな凸集合の平均曲率は正より，△d(x)≧0 (x∈A-B)
A⊂Bより,0≦∫_(B-A) △d(x) dx=∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx
ガウスの発散定理より n_S(x)をSの外向き単位法線べクトルとすれば,
∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx=∫_(∂B) ∇d(x)・n_(∂B)(x) dS-∫_(∂A) ∇d(x)・n_(∂A)(x) dS
≦S(∂B)-S(∂A) (∵∇d(x)・n_(∂A)(x)=n_(∂A)(x)・n_(∂A)(x)=1 (x∈∂A) ,∇d(x)・n_(∂B)(x)≦|∇d(x)||n_(∂B)(x)|≦1 (x∈∂B))
よってS(∂A)≦S(∂B) >>116
なるへそ。
{x∈R^n | d(x)≦t}が凸。なので△d(x)≧0 (foy x not in A)。
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。 この>>116
>∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率
とかの周辺の話って勉強できるおすすめの教科書ってありますか？ なるへそ。有向距離d(x)を
d(x) = (x〜∂A の最短距離), x∈A
=−(x〜∂A の最短距離), x∈A^c
= 0 x∈∂A
とおく。
∇d(x) = (∂Aの外向き法線単位ベクトル), x∈∂A
∇･∇d(x) = (∂Aの平均曲率), x∈∂A
等距離面 {x∈Ｒ^n | d(x)=t} も凸
滑らかで凸 ⇒ (∂Aの平均曲率) = ∇･∇d(x) ≧ 0, (x∈A でない)
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。 ∂Aが滑らかで凸 ⇒ 等距離面も滑らかで凸 ⇒ (等距離面の平均曲率) = ∇･∇d(x) ≧ 0， (x∈A でない) >>117
あーごめん間違いをエスパーしてくれてありがとう
そうだね{d≦t}とB-A上だね
>>118
うーんちょっと洋書で申し訳ないんだけど
Carlo MantegazzaのLecture Notes on Mean Curvature Flowなんかには詳しく載ってるよ A：単位球（半径=1)
B_n：Aに外接する正n面体
とすると
S(∂A) = 4π,
S(∂B_4) = (√3)(L_4)^2 = 24√3, (L_4 = 2√6)
S(∂B_6) = 6(L_6)^2 = 24, (L_6 = 2)
S(∂B_8) = (2√3)(L_8)^2 = 12√3 = 20.7846097 (L_8 = √6)
S(∂B_12) = 3√(25+10√5)(L_12)^2 = 16.650873 (L_12 = 0.898056)
S(∂B_20) = (5√3)(L_20)^2 = (60√3)/φ^4 = 15.16216843 (L_20 = (2√3)/φ^2 = 1.323169)
π < 3.7905421 >>124
単位円と、それに外接する正n角形の面積を比べた方がいいな…
n=6 正6角形
π < 6 tan(π/6) = 2√3 = 3.4641016
n=8 正8角形
π < 8 tan(π/8) = 8(√2 -1) = 3.3137085
n=12 正12角形
π < 12tan(π/12) = 12(2-√3) = 3.2153903 球に外接する多面体のデータなら前スレ642にあるな
数値の信憑性は定かではないが……。 女体信仰から始まったのか？モノに執着もあるし、怖い自然もある。異種と出会うこともまれながら、愛した思い出もある。 円に内接する正三角形ABCと劣弧AB上の点PについてAP+BP=CPを示せ。
http://imgur.com/FmNSVHK.gif >>129
トレミーの定理より
AP・BC + BP・AC = CP・AB。
∴ AP+BP=CP。 >>130
正解（想定解）
>>131
正三角形CPDを描くと、∠CPB=∠CAB=∠60°だからBは辺PD上
二辺夾角相等より△CAP≡△CBD
AP+BP=BD+BP=DP=CP
正解 別スレで出題したのですがこちらの方が適当かなと思いまして、こちらで出題します。
「問題」
2つの円CとDは相異なる2点で交わっている。これによりCとDの和集合である領域は、CおよびDの円弧により3つの領域に分割される。
すなわち、
Cの内部かつDの外部である領域P、
Cの内部かつDの内部である領域Q、
Cの外部かつDの内部である領域R、
に分割される。
このとき、CとDがどのような交わり方をしていても、次の（条件）を満たすような直線lが必ず存在するか。
（条件）
・lは領域P、Q、Rのどの内部も通る。
・lの領域Kに含まれる部分の長さをL[K]とおくとき、次の等式が成り立つ。
L[P]=L[Q]=L[R] いくつかの赤玉と白玉の入った袋がある。
以下の試行(T)を繰り返す
(T) : 無作為に玉を一つ取り出し赤玉ならその玉と白玉一個を追加して袋にもどし、白玉ならそのまま取り除く。
この試行をn回行った後の白玉の個数をXnとする。
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)を求めよ。
――
別スレの問題を改題。
とりあえずいろいろ収束すると仮定すればlim[n→∞] E(Xn)はさらっと求まりますが、収束証明が難しい。
私、出来なくて知ってる限りのそ関連ありそうな単語でいろいろググったらやっと出きた。 >>134
訂正
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)+ E(X(n+1))を求めよ。 >>134
赤玉の個数は永遠に変わらないa個のまま
Xnの時点で
赤がでる確率a/(Xn+a)
Xn+1=Xn+1
白がでる確率Xn/(Xn+a)
Xn+1=Xn-1
E=lim E(Xn)が存在すれば
E=(E+1)a/(E+a)+(E-1)E/(E+a)=(E^2+(a-1)E+a)/(E+a)=E-(E-a)/(E+a)
E=a >>134
最初の時点での白玉の個数をb個とする
n回の試行中x回赤玉がy回白玉がでているときn=x+yで
Xn=b+x-y
しかし
(x,y)→(x+1,y)と遷移する確率はa/(a+b+x-y)
(x,y)→(x,y+1)と遷移する確率は(b+x-y)/(a+b+x-y)
Xn≧0よりy≦x+b
またもちろん0≦x,y ｎ次行列値関数 A(t)、B(t) が、dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t) をみたすとき、
tr(A^k) はtに依らない定数であることを示せ。ただしkは自然数とする。 >>134
数値実験結果(赤玉３個、白玉０個から始めた場合の n :１００１〜１０１０の E(Xn))。
http://codepad.org/TRA2Qa3r
1001 : 6.501239
1002 : 6.498761
1003 : 6.501239
1004 : 6.498761
1005 : 6.501239
1006 : 6.498761
1007 : 6.501239
1008 : 6.498761
1009 : 6.501239
1010 : 6.498761 >>138
dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t)
の両辺のtraceをとって
d/dt trA(t) = tr (A(t)B(t)-B(t)A(t)) = 0。 >>140
訂正。
これは玉の総数の期待値。つまりE(赤玉の個数+X_n)でした。 >>138
dA(t)/dt = A(t)B(t) - B(t)A(t),
d/dt {A(t)^k} = Σ[j=1,k] A(t)^(j-1) {A(t)B(t) - B(t)A(t)} A(t)^(k-j)
= Σ[j=1,k] A(t)^j･B(t)･A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)･B(t)･A(t)^(k+1-j)
= A(t)^k･B(t) - B(t)･A(t)^k,
∴ 任意の多項式 P(x) について
d/dt P(A(t)) = P(A(t))B(t) - B(t)P(A(t)),
∴ tr{P(A(t))} は一定。 〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
[nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。
[前スレ.670，680+684+717] >>144
[a+b] = [a] + [b] + [{a}+{b}] ≧ [a] + [b],
j≧2 のとき
S_j = (j-1)･[jx] - 2Σ(k=1,j-1) [kx]
= Σ(k=1,j-1) ( [jx] - [kx] - [(j-k)x] )
≧ 0,
f(x) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k
= Σ(j=2,n-1) (1/j - 1/(j+1))･S_j + (1/n)･S_n
≧ 0, g:ℤ →ℤとして,
∀n; g(g(g(g(n))))=2n
を満足するg(n)を挙げよ.
gは一意的だろうか. f=gg
ffn=2n
f2n=fffn=2fn
f(2n+1)を任意に選ぶと
f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
gg2^k(2n+1)=2^kgg(2n+1) >>146
奇素数pを任意に固定する。
f(0)=0 とし、 0 でない整数 n = m･p^k (mはpと互いに素な整数) に対して f(n) の値を
2n/(p^3) (kが4で割って3余る時)
pn (それ以外)
と定めれば、f は満たすべき性質を満たす。
また、奇素数 p は任意であったから、一意的ではない。 >>146
Sを1と素数の集合し、S=∪Tiを4元ずつのdisjoint unionとする。T={a,b,c,d}をそのうちの一つとして
f(a2^i)=b2^i、f(b2^i)=c2^i、f(c2^i)=d2^i、f(d2^i)=a2^(I+1)、f(0)=0
とすれば良い。 0337 卵の名無しさん 2018/08/12 08:03:01
数学板にあった問題をこのスレの趣旨に合わせて改変。
あるド底辺シリツ医に
学力考査で入学した学生（学力学生）と任意の寄付や縁故による加点で入学した学生（裏口学生）がいるとする。
無作為に一人選んで調査して以下の「浄化操作」をする。
・調査対象の学生が裏口学生なら退学させる。
・調査対象の学力学生ならそのまま在籍させて裏口学生を一人追加入学させる。
この「浄化操作」を n 回行った後の裏口学生の人数を Un とする。
最初に学力学生１０人、裏口学生９０人がいるとしてn→∞としたときの Un の期待値を求めよ。 >>141
意味不明。
>>143
> = Σ[j=1,k] A(t)^j･B(t)･A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)･B(t)･A(t)^(k+1-j)
> = A(t)^k･B(t) - B(t)･A(t)^k,
一般にA(t)とB(t)は可換でない。 >>147
一瞬グラフみて「え？10.5近辺に収束するはずなんだけど」と思ってあせりました。
グラフ下の方切れてるんですね。
赤１０，白９０からスタートした場合のCでの数値実験。
http://codepad.org/ALVNXu5t
――
1001 : 10.500000
1002 : 10.500000
1003 : 10.500000
1004 : 10.500000
1005 : 10.500000
1006 : 10.500000
1007 : 10.500000
1008 : 10.500000
1009 : 10.500000
1010 : 10.500000
――
ちなみに収束してるようにみえますが±1/(2 exp 20)の幅で奇数項と偶数項で振動するはずです。
しかし奇数項＋偶数項は収束します。
収束性を仮定すると赤１０の場合なぜ奇数項＋偶数項が２１に収束するかは割と簡単に示せると思います。 >>154 (下)
意味不明。
(t) を略して書くと、
= Σ[j=1,k] {A^j･B･A^(k-j) - A^(j-1)･B･A^(k+1-j)}
= {A^k･B - A^(k-1)･BA} + {A^(k-1)･BA - A^(k-2)･BAA} + ……
+ {AAB･A^(k-2) - AB･A^(k-1)} + {AB･A^(k-1) - B･A^k}
= A^k･B - B･A^k,
一般にA(t)とB(t)は可換でない。 (1)
d/dt tr A(t) = tr d/dt A(t)
を示せ。
(2)
tr AB = tr BA
を示せ。 >>135
EXn+EXn+1は振動しない？
EX2n+E2n+1とかではなくて？ >>159
振動しません。
十分大きいｎでは
……x,y,x,y,x,y,x,y……
のような形になるので。
振動幅ごくわずかですけど。
もっというなら各 i に対し
lim P(X_{2n-1} = i)、lim P(X_{2n} = i)
はすべて収束します。
それを使えば >>135 の答えは割と簡単。
問題は収束性。
ネットで調べまくって、いや〜偉い人は偉いなぁとしみじみ思いました。 行列の成分表示を使わない trace って、どう定義されるんだっけ？
つまり、-(固有値の総和）のことなんだけど、これを一次変換の変換の性質を表す言葉を使った定義。 >>161
射影変換の場合はその階数だと思うけど…
一般の場合はどうするか？ 数列{a[n]}は上に有界かつ単調増加である。
この数列の極限値をαとするとき、同じ極限値に収束する定数でない数列{b[n]}で、以下の性質を持つものを考える。
(A)ある自然数kが存在し、m>kであるすべての自然数mに対して、|b[m]-α| < |a[m]-α| が成り立つ。
(B)ある2次多項式f(x)が存在し（2次の係数は0でない）、b[n]=f(a[n])と表される。
（1）性質(A)を持つ{b(n)}が存在することを示せ。
（2）性質(A),(B)をいずれも持つような{b(n)}は存在するか。 >>155
これは lim[n→∞] E(Xn)のグラフ。 >>163
・f(α) = α
・a1≦x<αにおいてfは単調増加、x<f(x)<α
であるfをとれば良い。 >>155
赤１０，白９０からスタートして
ｎ回試行後のXnの期待値X[n]は
X[0]=90
red=10
X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
で１０に収束するように思えるんだけど。
> Xn <- function(n,red=10,white=90){
+ X=numeric()
+ X[1]=white
+ for(i in 1:n){
+ X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
+ }
+ return(X[n+1])
+ }
> sapply(c(100,200,300,400,500),Xn)
[1] 24.22034 10.17547 10.00105 10.00001 10.00000 >>166
その漸化式がおかしい。
X(0) = 90、X(1) = 992/10
までは正しくでるけどその漸化式では
X(2) = 54809 / 620。
でも正しくは
P(２回目で玉98個) = 89/110、
P(２回目で玉100個) = 2011/1111、
P(２回目で玉102個) = 1/101
なので
X(2) = 546621/5555。 訂正
P(２回目で玉100個) = 2011/11110、 >>145
[nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k = Σ(j=2,n) c_j・S_j
とおく。c_2 〜 c_n は定数。
まず [nx] を含むのは S_n だけ。
1 - 1/n = (n-1)c_n,
c_n = 1/n,
次に [(n-1)x] を含むのは S_n と S_{n-1}.
-1/(n-1) = (n-2)c_{n-1} - 2c_n,
c_{n-1} = 1/(n-1) - 1/n,
さらに [jx] を含むのは S_n 〜 S_j.
-1/j = (j-1)c_j - 2(c_{j+1} + … + c_n)
= (j-1)c_j - 2/(j+1),
c_j = 1/j - 1/(j+1), (2≦j<n) >>148
>f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
ff(2n+1)=2(2n+1)
f(2n+1)=2^k(2m+1)とすると
ff(2n+1)=f2^k(2m+1)=2^kf(2m+1)=2(2n+1)より
k=1,f(2m+1)=2n+1
または
k=0,f(2m+1)=2(2n+1)
そこで
A={2m+1|f(2m+1)が奇数}
B={2n+1|f(2n+1)が奇数の2倍}
と定めるとABは可算集合ですべての奇数はどちらか一方のみに所属
逆に奇数をどちらも可算のA,Bに分けて
h:A→B:isoを任意に取り
2m+1∈Aに対してf(2m+1)=h(2m+1)=2n+1,f(2n+1)=2(2m+1)と定義し2べき倍に拡張すれば
fは所定の性質ffn=2nを持つ
しかし
gg(2n+1)=2(2m+1)
gg(2m+1)=2n+1
および
gg2n=2ggn >>168
ご指摘通り、
２回めが赤でも
１回めが赤で２回めが赤の場合と
１回めが白で２回めが赤の場合で
期待値は異なりますね
御助言ありがとうございました。 >>168
X（n)は球の総数として
P(２回目で玉100個) になるのは99→100の場合と101→100の場合があって
前者は90/100*10/99、後者は10/100*91/101で異なりますね。
御指摘に従ってコードを書き直しました。
X <- function(n,red=10,white=90){
rw=red+white
p=list()
total=list()
total[[1]]=c(rw-1,rw+1)
p[[1]]=c(white/rw,red/rw)
if(n > 1){
for(i in 1:n){
total[[i+1]]=c(total[[i]]-1,total[[i]]+1)
p[[i+1]]=c(p[[i]]*(total[[i]]-red)/total[[i]], p[[i]]*red/total[[i]])
}
}
return(sum(p[[n]]*total[[n]]))
}
計算結果は合致しました。
> X(2)
[1] 98.40162
> 546621/5555
[1] 98.40162
プログラムとしては間違っていないと思うのですが、メモリー不足になって実用性はありませんでした。 f:R^2→R が原点で連続ならば
lim(x→0)lim(y→0)f(x,y)=lim(y→0)lim(x→0)f(x,y)
は成り立つか？ >>140
省エネ化してRに移植
# 確率を行列化
rm(list=ls())
X = function(n,r=10,w=90){
# s[i,j]
rw=r+w # 試行前総玉数
J=rw+n # jの上限
s=matrix(0,nrow=n,ncol=J) # i回試行後に総数がj個である確率の行列
s[1,rw-1]=w/rw ; s[1,rw+1]=r/rw # 1回試行後
if(n > 1){
for(i in 2:n){
for(j in r:J){ # jはr未満にはならない
# if(j==1) s[i,j] = s[i-1,j+1]*(j+1-r)/(j+1)
if(j==J) s[i,j] = s[i-1,j-1] * r/(j-1)
else s[i,j] = s[i-1,j-1] * r/(j-1) + s[i-1,j+1]*(j+1-r)/(j+1)
}
}
}
total=sum((r:J)*s[n,r:J])
white=total-r
return(c(total=total,white=white))
}
X(2)
546621/5555
vX=Vectorize(X)
vX(1000:1010)
> vX=Vectorize(X)
> vX(1000:1010)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
total 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5
white 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 >>175
例えば f(x,y) の値を
|x| (x,yがどちらか一方のみが有理数の時)
0 (それ以外の時)
と定めればfは原点で連続であるが、x≠0 の時に lim(y→0)f(x,y) は定義されないため、二行目の等式が成り立つことはない。 {n}=1111...111と定義する（nは自然数であり、10進法表記したときに1がn個並んでいる）。
（1）{n}=3^a（aは自然数）となることはあるか。
さらに、自然数kおよび非負整数mに対し、以下の等式を満たす非負整数a及び整数b（bは1または2である）がただ1つに定まるとき、a,bを決定せよ。
ただ1つに定まらない場合はaの最大値を述べよ。
ただしaは非負であり、bは1または2とする。
（A）{3k}=(3^a)*(3m+b)
（B）{3(k+1)}=(3^a)*(3m+b)
（C）{3(k+2)}=(3^a)*(3m+b) >>167
１０００〜１０１０回試行をそれぞれ１００回繰り返して平均をだすシミュレーション結果で１０．５近辺で振動したから
シミュレーションのコードは正しいと思う。
http://i.imgur.com/auQXeu2.png >>150-151 で
奇数m、(m,p)=1、非負整数j≧0 に対し
T_(m,j) = {m･p^(4j)，m･p^(4j+1)，m･p^(4j+2)，m･p^(4j+3)} = {a，b，c，d}
としたものが >>149 >>140
精度上げて計算。
赤１０，白９０スタート。
http://codepad.org/d3B4hPPi
1001 : 0000020.50000000103057681723857863179375573
1002 : 0000020.49999999896942319451989818931917708
1003 : 0000020.50000000103057681669136956653754163
1004 : 0000020.49999999896942319399815481629102060
1005 : 0000020.50000000103057681619390677994098141
1006 : 0000020.49999999896942319352384265899269428
1007 : 0000020.50000000103057681574166788303501812
1008 : 0000020.49999999896942319309264978872148864
1009 : 0000020.50000000103057681533054161312050221
1010 : 0000020.49999999896942319270065627029311700 >>176
Rは１６桁が限度
> print(data.frame(total),digits=16)
total
1001 20.50000000103054
1002 20.49999999896938
1003 20.50000000103054
1004 20.49999999896938
1005 20.50000000103054
1006 20.49999999896938
1007 20.50000000103054
1008 20.49999999896938
1009 20.50000000103054
1010 20.49999999896938 丁度4個の元から成る, 乗法単位元を持つ可換とも限らない環R=({0,1,x,y},+,×)の演算表を以下に4つ作った.
但し, (1)~(4)で定義される環は互いに同型でないとし, 加法単位元を0, 乗法単位元を1と書いた.
表の残りを埋め, (1)~(4)の環構造を決定せよ.
https://i.imgur.com/zuZOQn5.jpg >>183
4元からなる代数をRとしてk={1,1+1,…}のなす環はZ/2Z、Z/4Zのいずれか。
後者のときはR=Z/4Z。
kが2元体のときt∈R＼kをとってR=k[t]はk上の2次元の代数で可換。
Rが零因子を持たないときはRは4元体。
Rが冪零根基をもつときはRはk[x]/(x^2)、持たないときはkΠk。
(2)はkが2元体でないのでZ/4Z。
(4)は残り３つのうちy^2=yがkの元でない解をもつのでkΠk。
(3)は残り２つのうちx^2がkの元でないのでF4。
(1)は残りのひとつk[x]/(x^2)。 整数から複素数への写像 f であって、次を満たすものはいくつ存在するか：
任意の整数 x, y について f(xy+1) = f(x+y) + f(x)f(y) が成り立つ。 高添沼田（葛飾区青戸6−２３−２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状) >>185
f(x) = 0, x-1, xx-1,
3つ以上 >>178
(1)
{n} = (10^n - 1)/9,
(解1)
nの素因数をpとすると
{p} | {n}
p=2 のとき
{p} = 11、{n}は11の倍数。
p=3 のとき
{p} = 111 = 3･37、{n}は37の倍数。
p>3 のとき
{p} = Σ[k=0,p-1] 10^k ≡ Σ[k=0,p-1] 1 = p ≠ 0 (mod 3)
∴ 3以外の素因数をもつ。
(解2)
題意より
10^n - 3^(a+2) = 1
n=1 のとき
a=0 となり不適。
n≧2 のとき
カタラン予想（ミハイレスクの定理）により、等式は成り立たない。 2直線l,mに対してsl+tmで表される直線は確かにl,mの交点を通る直線だが、逆にl,mの交点を通る直線は全て上の形で表されることを初等的に示せ。
(集合っぽくで書けば{sl+tm|s,t:実数}⊂{l,mの交点を通る直線全体}は成り立つが逆向きの包含関係は成り立つことを示せ。) 例えば:
2直線l,mの交点をPとし、各々の方向ベクトルをa,bとする。Pを通る任意の直線l'に対し、l,mは一点で交わるのでa,bは一次独立。l'の方向ベクトルcに対しある実数s,tが存在しc=sa+tbと表せる。このs,tに対しsl+tmで表せる直線を考えればこれはl'と一致している。
初等的とは、高校レベルです
Hilbertの零点定理などはやめてください。
背景としては、2直線の交点を通る任意の直線は2直線の(陰関数表示の)実数倍の和で表せる、みたいなことを使った問題を見ました。(つまり逆を使ってる)これって初等的に簡単に示せるのか？というものです
方向ベクトル使うのは良さそうですが、さすがにこれだけだと方向ベクトルの線型結合であって多項式の線型結合ではないけど続ければいけるかな。 0,1,2から無作為に1つの数字を選び、それを左から順に並べたものをa[1],a[2],...,a[n]とする。
このとき、1の位が0で、小数点以下第1位から順にこれらの数を並べ実数
0.a[1]a[2]a[3]...
を作る。このとき以下の確率を求めよ。
P( 1/9 < lim[n→∞] 0.a[1]a[2]a[3]... a[n] < 11/54) ｆ（ａ，ｂ）ｇ（ｘ，ｙ）−ｇ（ａ，ｂ）ｆ（ｘ，ｙ）＝０は（ａ，ｂ）を通る。 2018×2019×2020×2021+aが平方数となるような最小の自然数aを求めよ >>197
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(nn+3n+1)^2 >>192
簡単なことをある一定レベルの表記で書けと言う問題は
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