組合せ25
100(10)=1100100(2)→3^6+3^5+3^2=729+243+9=981。

組合せ26
2枚のカードを取り、固定する。ある１つの項目に関して2枚のカードが同じ場合3枚目も同じになる。2枚のカードが異なる場合3枚目は異なる。他の二項目に関しても同様である。
従ってどちらの場合でも1枚に決まってしまう。
27C2/3=117。

組合せ27
仮定より全ての参加者に友達が少なくとも1人存在する。
2≦k≦mのkで、k人のうちの任意の2人について友達であると仮定する。
他のm-k人を加えるとk人全てと友達である人間が存在する。
A(k+1)。「自分は自分と友達になれない」からこれはk人以外の人間である。これを繰り返すことにより、任意の2人が友達であるm+1人の組合せが作られる。もっと多くても良い。

m+1人より多くは存在しないことの証明。
他の人Bを取ってくる。Bには友達がいる。
(1)m+1人の中にBの友達が2人以上いると仮定する。その2人を除きBを加えたm人の集合についてこのm人は共通の友人(除かれた2人)を2人持つことになって仮定に反する。
(2)Bの友達が多くとも1人だけいると仮定する。それをA1とする。A1は友達の可能性もあるし友達でない可能性もある。
m人集合{B,A1,A3,…Am}は共通の友達Cを持つ。C≠Ai (i=1〜m+1)である。C=A1とするとA1はm-1人になってしまう。
Cの友達は{B,A1,A3,A4,…Am}である。m (≧3)人集合の最小値は{B,A1,A3}である。
Cは少なくとも友達{A1,A3}を持つので(1)に帰着され矛盾が導かれる。答えは、参加者はm+1人で友達の数の最大値はm人である。