数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ

1132人目の素数さん2018/03/29(木) 10:52:58.86ID:z4iohU7S
暇なので

152132人目の素数さん2018/06/12(火) 03:51:26.26ID:ynUWEJNA
上に凸。置き換えると示せる。

IMO 2001 [2]
変数変換をする。下に凸であることを示して、凸不等式を使う。因数分解出来ることに注意する。
偏微分。極大と極小。極値点。コンパクト集合。有界な閉集合のこと。最大値の原理。コンパクト集合上の連続関数ならば使える。ラグランジュの未定乗数法。束縛条件。
項毎に評価する。ミューアヘッドの不等式とシューアの不等式。重み付き相加相乗平均の不等式を使って示す。
項毎に評価する方針だと楽に解ける。次数を下げてから斉次化する。重み付き相加相乗平均の不等式でOK。

IMO 2000 [2]
置き換えて整理するとシューアの不等式になる。

IMO 2008 [2]a
別の変数変換を用い、整理すると簡単な2次式になる。

IMO 2006 [3]
2乗すると、絶対値が外れるだけではなく対称式が使えるようになる。変数変換で対称性は失われるが次数は下がる。
バンチング。ミューアヘッドの不等式と相加相乗平均の不等式を組み合わせて完成する。項を上手く組み合わせることは練習をしないと難しい。ヘルダーの不等式。
相加相乗平均の不等式。等号成立条件の追求。凸不等式の利用。斉次化の逆の操作。微分法を用いる。項毎に評価すると楽に行く。相加相乗平均の不等式。

IMO 2008 [2]ab
等号成立条件からバンチングは使えない。置き換え。
完全平方式になるので不等式の成立も等号成立条件も簡単に決まる。
バンチングとほぼ同様にして決まる。重み付き相加相乗平均の不等式。通分+展開は普通に行う。

153132人目の素数さん2018/06/12(火) 03:55:41.71ID:ynUWEJNA
IMO 2003 [5]
等号成立条件が大きなヒント。絶対値は必要なくなる。対称性。平行移動の変数変換が便利。等号成立条件が簡単に確認出来る。

IMO 2004 [4]
帰納法が使える問題。コーシー・シュワルツの不等式。平方完成で解ける。

154132人目の素数さん2018/06/12(火) 14:04:41.64ID:ynUWEJNA
素因数・約数を取って考える。
modで考える。
不等式評価。
ユークリッドの互除法。a|b・・・aが約数で、bが倍数。
mod mにおけるaの逆元。
中国剰余定理。どの2つも互いにその時。
フェルマーの小定理。オイラーの定理。オイラー関数。
位数。最小性。級数の形でかけるという事実。
原始根の存在。
原始根rを取る。
中国剰余定理により、mが素数冪の場合を考えれば十分である。二項定理。帰納法。4の時、奇素数冪の時、奇素数冪の2倍の時。単元群を実際に書いてみる。
平方剰余。平方非剰余。ルジャンドル記号。平方剰余の相互法則。平方剰余の第一補充則。平方剰余の第二補充則。
平方剰余の第一補充則はよく使われるが、平方剰余の第二補充則と平方剰余の相互法則は余り出てこない。
素数についてのオーダー。奇素数とする。オーダーで考える。位数。ディリクレの算術級数定理。互いに素。
an+bの形の素数は無限に存在する。互いに素なもの。位数。素因数。ジグモンディの定理。
不等式評価。範囲を絞る。平方数を絞る。倍数を絞る。隣り合うもので挟む。背理法。解が有限個になる場合が多い。試してみて解を推測することは重要。
決まった方針ではなく色々試してみる。無限降下法。最小の自然数を持ち出しても同じこと。
1つの解から次々に他の解を構成できれば良い、とするのも同じ発想。mod pでもn次方程式は高々n個しか解を持たない。
2次方程式。判別式Dが平方剰余か平方非剰余かによって違ってくるところも普通の2次方程式と似ている。一般の場合は中国剰余定理により、素数冪に帰着される。

155132人目の素数さん2018/06/13(水) 13:59:41.21ID:mTrBNE3Q
IMO 1983 [3]
背理法。modaで見ると、xbc≡-bc。よってx≡-1≡a-1。中国剰余定理より、各modで見て等しいので、積も等しい。

IMO 2005 [4]
答えは1のみ。6a(p-2]≡0。
これはフェルマーの小定理より成り立つ。

p≧5では位数p-1≧5-1=4となり、矛盾。
よって5以上の素因数を持たない。
3^2では位数6の数が存在する。
また、2^4では位数4の数が存在する。
よってn=2, 4, 8, 3, 6, 12, 24の7個が必要で、十分性を確認すると全て条件を満たすので解となる。

d=0の時・d=-1の時・その他の時で場合分け。
指数の偶奇を決定する。
平方剰余の相互法則、中国剰余定理。原始根。平方数にする。

IMO 1990 [3]
nは奇数。最小の素因数をpとする。n= 3のみ。
素数pについてのオーダーの問題。
偶奇性。次も偶奇性。オーダーの定理。

IMO 1999 [4]
n=1の時。pは任意。p=2の時。n=1, 2。
以下n≧2かつp≧3とする。
pは奇数。nも奇数となる。nの最小の素因数をqとする。
mod qでのp-1の位数| gcd(2n, q-1)。
答えは(1,p), (2,2), (3,3)。(pは任意の素数)

156132人目の素数さん2018/06/13(水) 14:32:28.70ID:mTrBNE3Q
IMO 2008 [3]
平方剰余の第一補充則。不等式で範囲を絞れる。まず、20より大きな場合に存在することを示す。背理法で無限に存在することを示す。

IMO 2000 [5]
素数pのオーダーに関する定理を使うと見通しよく解ける。
偶奇性。3のオーダーを見る。

互いに素な場合だけを考えれば良いことを示しておく。素数pのオーダーに関する定理が使える。

IMO 2007 [5]
modaで見る。無限降下法で矛盾を導く。
対応のさせ方の問題。平方剰余の問題。
背理法。平方非剰余。完全平方数。

157132人目の素数さん2018/06/15(金) 15:15:59.75ID:rISGKQgU
幾何の使い方。
難しい定理は余り必要無い。円周角の定理、方冪の定理、相似などの基本的な道具。共円点。
結論から辿る。使いやすい条件と使いにくい条件がある。
図を描く順番もある。
反転。直線は無限大の円と考える。自分自身に移る。円は円に移ると統一的に理解できる。接する条件は保存される。
Pを中心とした反転半径1の反転を考える。
回転と鏡映を要しないもの。同一直線上。円周角の定理。傍接円。根軸。一定の〜問題では、特殊な図を描いて特定してしまうことが多い。条件を緩めてそれっぽい点を探すのも良い。
外接円上にあることが分かる。極端な場合は極限を考えることも有効。有向角や符号付面積で場合分けを回避する。三角形の各所の長さについて一通り確認しておく。
射影幾何の定理。パップスの定理。デザルグの定理。パスカルの定理。ブリアンションの定理。双対の関係にある。双対命題。射影変換。複比。調和点列。符号付き長さ。
配景写像。写像。全単射。配景写像は複比を保つ。調和点列を調和点列に移す。チェバの定理。メネラウスの定理。アポロニウスの円。調和点列。反転は複比を保つ。
円と直線の代表的な構図。三角形の垂線の足。回転型の相似。傍心。共円に着目する。相似。共円を発見してから円周角の定理で角を移動させる。

158132人目の素数さん2018/06/15(金) 15:48:05.20ID:rISGKQgU
幾何を計算主体で解くための方法。
場合分け不要の場合が多い。中難度以下の問題ならば正解に辿りつける。難問になると最後まで行かないかもしれない。割り切らずに適宜、幾何と計算を使い分ける。

座標では直交座標、斜交座標、複素座標。
ベクトル。三角関数。
複雑さを見積もりながら進めるのがコツ。最初の段階で計算出来そうか否かを何度も何度も考えた方が良い。この部分が最も差がつく部分。

場合分け無く使える置き方が後々便利。一般形で置く。使えると、意外と平行や垂直が見やすく一般形も捨てたものではない。クラメルの公式。三角形の五心。オイラー線。
始点を工夫すると(覚えておくと)、ベクトルも便利。
内接円の中心の座標の置き方。傍心についても同様。
しかし外心や外接円は計算が大変。2つの外心の移り変わりを意識した置き方。
具体的な図で計算しておくとミスが見つかりやすい。

三角関数では正弦定理と余弦定理くらいしか使わない。和積変換と積和変換ではcosに統一して使う。公式を減らしておく。

複素座標。直線の方程式。垂線の方程式。垂線の足。円の接線。交点の座標。外心、垂心の座標。外接円の接線。接弦定理。複素座標だと三角形の五心の座標は全て簡単な式になる。等比数列。幾何でやると場合分けに気付きにくい問題。

159132人目の素数さん2018/06/18(月) 18:54:21.84ID:RIHcy4/9
IMO 1959 [3]
与式のcosxにcos2xの式を代入する。数値を代入すると元の2次方程式と同じになる。この方程式は1の5乗根を表す。

160132人目の素数さん2018/06/19(火) 05:24:05.69ID:8xCQgAqp
1
完全平方数の個数の問題。
割り切れる。割り切る。倍数。約数。因数。反射律。
2
連続2奇数の和。連続3整数の和。
推移律。完全平方数。偶数個の約数。平方因子を持たない。
3
分母を払って左辺=奇数, 右辺=偶数と矛盾を導く。
完全立方数。完全冪乗数。基本的なアイディア。
4
2通りに素因数分解される数字が候補となる。
整数の割り算。割り算のアルゴリズム。ある目的を達成するための手順のこと。
5
二項定理。「8の倍数+2」の形に持ち込めた。
商。余り。これらは非負整数。存在性と一意性。
6
1つは奇数に決まる。それ以外の1つは2となる。
二項定理。合同式。
7
解と係数の関係。
素数。素因数。合成数。エラトステネス。
8
階乗+2〜階乗+21で構成する。
合成数は素数よりも多い。双子素数。ユークリッド。
9
約数を一覧表にする。大きな数を構成してそれを超えられないことを証明する。
素因数分解の一意性。存在性。素数が無限に存在することの証明。全ての単位分数の和が発散することを用いる。
10
因数分解。
完全に割り切る。ゴールドバッハ。整数係数多項式。二項定理。pのみを取る。無限に同じ値を取る事は出来ない。高々有限回に限られる。

161132人目の素数さん2018/06/19(火) 05:37:40.03ID:8xCQgAqp
11
4と9は互いに素なので、1/9。
矛盾なく定義される。well-definedと言う。解析的整数論。素数定理。アダマール。ド・ラ・ヴァレー・プーサン、エルデシュ。セルバーグ。
12
ユークリッドの互除法。
公約数。最大公約数。互いに素。
13
11が作れず、12以上は全て作れることを示す。
ユークリッドの互除法。アルゴリズム。手順。
14
2= 5×4- 9×2。
ベズーの恒等式。一次結合。整数論の基本定理。
15
「GCD×互いに素」で置く置き方。不等式評価。
ユークリッドの互除法。ディオファントス方程式。
16
「満たす個数/全体の個数」で求まる。
最小公倍数。無限集合。公倍数。
17
約数の個数。場合分け。
約数の個数。乗法的関数。
18
約数の個数。積を作る時にも公式はある。

162132人目の素数さん2018/06/19(火) 12:06:34.84ID:8xCQgAqp
IMO 1959 [4]
作図。
c/2を半径とする半円を描く。高さh= c/4とする。
面積はc^2/8=ab/2より、c^2=4ab。

19。偶数である約数。冪乗の和を括弧の中に入れたもの同士をかける。等比数列の和の公式を使う。
約数の和。総和。乗法的関数。式の展開。等比数列の和の公式。
20。少なくとも1つ存在することからスタートする。有限個しかないと仮定して背理法。
合同式。0は倍数にはなるが約数にはならない。mを法として合同。合同関係。反射律。推移律。対称律。
21。異なる素数であるから互いに素。上限を抑えて虱潰しする。
和差、整数倍、積、冪。割り算アルゴリズム。4k+3型。6k-1型。ディリクレの定理。素数の密度。解析的整数論。
22。2^3 =2^2+2^2的な式変形。
適切な法を選ぶこと。ディオファントス方程式。フェルマー数。連立一次合同式。一次合同式。
23。2の時、3の時、それより大の時に場合分け。
中国剰余定理。割り切れる記号。合同式。ディオファントス方程式。冪乗を減らす公式。ベズーの定理。
24。完全剰余系でコツコツ調べる。
剰余類。完全剰余系。オイラーの定理。完全剰余系。ウィルソンの定理。逆も成り立つ。
25。2, 3, 5。それ以外だと矛盾することを示す。
26。完全剰余系にならない問題。偶数に対しては矛盾することを示す。
27。aと互いに素な全ての正の整数m。完全剰余系であることの証明。逆元。
28。剰余類に置き換える。ユークリッドの互除法。辺と頂点。

163132人目の素数さん2018/06/19(火) 14:51:15.17ID:8xCQgAqp
29。abで括る。因数分解する。場合分け。フェルマーの小定理。
30。1並び問題。明らかにフェルマーの小定理。
31。フェルマーの小定理。互いに素。オイラーの定理。
フェルマーの小定理。オイラーの定理。互いに素な剰余系。φ関数。既約剰余系。
32。簡単に見えるように置き換える。オイラーの定理。互いに素。
帰納法。mを法とした既約剰余系。逆元の一意存在性。
33。フェルマーの小定理。逆元の考え方。
ウィルソンの定理。カーマイケル数。位数。
34。dを法としたaの剰余類で考える。フェルマーの小定理。互いに素。
35。補題を示す。合成数かどうかをフェルマーの小定理で判別する。逆は成り立たないことに注意。オイラーの定理。位数。
36。因数分解する。互いに素。
オイラー関数。乗法的関数。包除の原理。互いに素。
37。全ての和の半分。全ての和の2倍。
フェルマーの小定理からオイラーの定理。素因数分解。ガウス。

164132人目の素数さん2018/06/20(水) 14:04:55.10ID:6k6QLamf
38。3数に対して1つの文字の係数をmodに取る。重要。
一文字消去。
乗法的関数。約数の個数。約数の総和。オイラー関数。
39。同様に解いてパラメーターの不等式評価して終わり。
最も抽象的。数論的関数。乗法的関数。素因数分解。
40。11の倍数になる事が分かる。
メビウス関数。乗法的関数。数論的関数。和関数。
41。3個並び=111の倍数=3×37の倍数。場合分け。
乗法的関数になる。互いに素。メビウスの反転公式。
42。1,2,5のみと分かる。文字で置いて条件を用いて文字消去。
1次ディオファントス方程式。ベズーの定理の拡張。
43。少なくとも○○以上となる。
整数パラメーター。帰納法。数の表記。整数列。
44。十進法⇔三進法。十進法⇔二進法。
割り算のアルゴリズム。繰り返し用いる。b進法表示。桁。
45。基本的なアイディアは中学の教科書に載っているやり方でOK。
十進法。ディオファントス方程式。連続2整数の間にある。
46。九進法ということになる。
階乗基表現。フィボナッチ数列。フィボナッチ数。
47。1並び問題。九進法でやる。三角数。
ツェッケンドルフ表示。
48。1並び問題。完全平方数。n進法として進める。偶奇性。場合分け。
49。階乗基表現。差分の形で階乗基表現を用いる。例外を除いて成り立つ。場合分け。

165132人目の素数さん2018/06/20(水) 14:17:54.06ID:6k6QLamf
50。1並び問題。完全平方数にはならない。問題24より。mod 9で2となるから完全平方数ではない。各桁の和が3の倍数にはなるが9の倍数にはならないので完全平方数ではない。
十進法における倍数の性質。余りの問題。
51。3の倍数かつ5の倍数。倍数の見つけ方は容易。
どの桁も奇数。完全剰余系。
52。同値命題に変形して行く。
完全剰余系。各桁の数の和。準加法的性質。
53。帰納法。十分大きな奇数を取る。重要。右から見て行き最小の整数を特定する。
準乗法的性質。対称性。
54。筆算で引き算を行う。
繰り上がりについて考えることがとても重要であることが分かる。
55。構成する。自分で考えなければならない。
56。1並び問題。このような完全平方数は存在する。
57。各桁の和は比較的小さいことが分かる。これを繰り返すと急激に数が小さくなり絞れる。mod。

166132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:00:29.52ID:6k6QLamf
IMO 1976 整数
不等式で絞って行く。

58。床関数、天井関数、小数部分の定義から導かれる公式を使う。
ガウス記号。床関数。整数部分。床。ガウス記号。
59。非減少であることを導く。任意の整数値を取る。
床関数。小数部分。天井。天井関数。フィボナッチ数列。
60。整数部分を求めて小数部分を不等式評価する。
特性方程式。性質。床関数は非減少関数。階段関数。
61。小数部分の処理の仕方。2次方程式を解く。フィボナッチ数列。特性方程式。
床関数と天井関数に関する多くの難問。エルミートの恒等式。ルジャンドル関数。数論的関数。
62。2次方程式を解いて場合分けにより虱潰し。
ルジャンドル関数。ルジャンドルの公式。数論の言葉。組合せ論の言葉。ルジャンドルの公式。十進法表記。
63。対称性。記号の定義に従う計算。
ルジャンドルの公式。フェルマー数。フェルマー素数。フェルマーの小定理の逆の反例。メルセンヌ数。
64。不等式評価してから2乗して根号を消す。階段関数。
フェルマーの小定理。完全数。メルセンヌ数。十分条件はユークリッド。必要条件はオイラー。
65。20以下を調べれば良いことに帰着する。場合分け。
乗法的関数。乗法的関数。
66。互いに素。
メルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一に対応する。

167132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:21:36.66ID:6k6QLamf
67。完全平方数。不等式で評価してか二乗して根号を消す。整数か無理数かで場合分け。
1次ディオファントス方程式。ウィルソンの定理。nを法とした完全剰余系。mを法とした位数。エルミートの恒等式。
68(1)次の問題(2)に上手い値を代入すると示せる。
背理法、辺々足す、整数条件。再び背理法、辺々足す。
(2)帰納法。辺々足す。
オイラーの定理。オイラーのφ関数。階乗基表現。ガウス記号。整数部分。床関数。カーマイケル数。合成数。完全数。
別解。k -サイクル。関数的性質。エルミートの恒等式。整数か整数でないかで場合分け。
合同式。合同関係。小数部分。乗法的関数。数論的関数。互いに素。数論的関数。正の整数上。整数の割り算。
69。不等式で評価する。
非負整数の組。素因数分解。素因数分解の一意性。相加相乗平均の不等式。冪平均不等式。素数定理。
70。エルミートの恒等式。繰り返し用いる。
素数の個数の密度。ツェッケンドルフ表示。フィボナッチ数の和。等差数列における素数定理。互いに素。
71。行列の利用。最小の整数。要素の和。
ルジャンドルの公式。
ルジャンドル。ディリクレ。シャルル・ド・ラ・ヴァレー・プーサン。二項係数。二項定理。鳩の巣原理。b進法表示。
72。公式で一発。そのまま。
ビーティの定理。正の無理数。共通部分の無い集合。和集合は正の整数全体になる。

168132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:21:59.74ID:6k6QLamf
73。前問と同様に考える。床関数。等比数列。近似する。
フィボナッチ数列。フェルマーの小定理。ベズーの恒等式。整数論の基本定理。ベルヌーイの不等式。1次近似の式。
74。ほぼ公式そのまま問題。
メビウス関数。数論的関数。1, 0, (-1)^k。メビウスの反転公式。乗法的関数。和関数。メルセンヌ数。
75。前問を適用する。上手い値を代入する。
約数の個数。約数の和。ユークリッドの互除法。割り算を繰り返す。有限回で終了する。
76。合成数。完全に割り切る。ルジャンドルの公式。
ルジャンドル関数。pの指数。素因数分解。
77。因数分解の公式を繰り返し用いる。重要。
素数か非素数か、無限個あるか有限個か。
フェルマー素数が無限にあるかどうか。
合成数のフェルマー数が無限にあるかどうか。
78。互いに素。問題77の利用。問題22の特別な場合。
ルジャンドルの公式。和関数。数論的関数。
79。定理が使える形に変形する。偶数であることを示す。素数にならない。
フェルマーの小定理の逆が成り立たないこと、反例を与えることになる。

169132人目の素数さん2018/06/22(金) 00:19:00.05ID:qMQCdzHs
1
a=bq=r。0≦r<b。割り切れる。割り切れない。倍数。約数。因数。剰余。
イェンセンの不等式。凸性。オイラーの公式。
OI^2=R^2-2rR。外心。内心。外接円。内接円。
3
b|a1、b|a2ならばb|c1a1+c2a2。
扇形。外心。外接円。カイト。線対称。菱形。対角線は直交する。解と係数の関係。多項式。ガウスの補題。加法定理。
4
c|b、b|aならばらc|a。
公約数。最大公約数。互いに素。公倍数。最小公倍数。
コーシー・シュワルツの不等式。最小多項式。既約。三角形の垂心。三角比に関する恒等式。3倍角の公式。
7
AB=GL
ジェルゴンヌ点。シューアの不等式。周期関数。最小のもの。巡回的な和。スチュワートの定理。垂線の長さ。角の二等分線の長さ。
8
aとbは互いに素でa|bcならばa|c
正弦法則。正弦定理。積和公式。相加相乗平均の不等式。冪平均不等式。相加調和平均の不等式。冪平均不等式。相似移動。相似比。正も負もある。相似移動可能な三角形。
9、10
ユークリッドの互除法
デザルグの定理。チェバ線。チェバの定理。チェビシェフ多項式。漸化式。チェビシェフの不等式。
11
ax+by、gk。
中線公式。展開公式。凸性。
12、13有限回の操作。
素数と合成数。素因数。約数の大きさ。
下に凸。上に凸。

170132人目の素数さん2018/06/22(金) 00:32:16.98ID:qMQCdzHs
14
素数は無限に存在する。
背理法。素数定理。解析的整数論。π(x)〜x/logx (x→∞)。
下に凸=凸。上に凸=凹。イェンセンの不等式。
エラトステネスの篩。
15
p|abならばp|aまたはp|b。
ド・モアブルの公式。展開公式。内心。内接円。並べ替えの不等式。二項係数。二乗平均・相加平均の不等式。
16
素因数分解の一意性。
基準分解。完全数。過剰数。豊数。不足数。輸数。
互いに親和数。
冪平均不等式。2倍角の公式。鳩の巣原理。半角の公式。

1
一次不定方程式。ユークリッドの互除法。
冪平均不等式。ヘロンの公式。傍心。傍接円。内角の二等分線。外角の二等分線。
2
解法。特殊解を見つける。
余弦法則。余弦定理。ラグランジュの補間公式。
3
(a,b) |cとなることが必要十分である。
相異なる。ただ一つ存在する。和積公式。
4
c=1ならば、aとbが互いに素であることが必要十分条件。
・(a,c)=1、(b,c)=1ならば(ab,c)=1。

171132人目の素数さん2018/06/22(金) 14:06:13.45ID:vsEB4+Ib
1
a/b。有限連分数は有理数。
無限連分数。2次無理数。循環無限連分数。正則連分数。
連分数。ユークリッドの互除法。繁分数。有限連分数。
集合・写像に関する用語・定義。集合に関する諸定義。
2・1
√2≒17/12。
互いに素。帰納法。行列式。
ガウス。多項式。 n次近似分数。
有限個。無限個。元。要素。空集合。属する。
2・2
x=kβ、y=kα。ユークリッドの互除法。三角不等式。
代数的数。
{a, b, …}と列挙した形。{a|aは偶数}。 |S|。含まれる。部分集合。真部分集合。
交わり。共通部分。積集合。結び。和集合。差集合。A- B。A\B。全体集合。部分集合。補集合。S^C。集合族。
1
合同式。a≡b mod m。法。合同。ガウス。不合同。
写像に関する諸定義。写像。関数。単射。
x1≠x2ならばf(x1)≠f(x2)。
対偶を取ってf(x1)=f(x2)ならばx1=x2。
1・2
37≡2 mod7。
全射。任意のy∈Yに対してf(x)=yとなるx∈Xが存在する時、fは全射。全単射。1対1対応。
12≡-4 mod8。
全単射。置換。変換。恒等置換。恒等写像。
普通の剰余。絶対最小剰余。
反射律。対称律。推移律。
単射。全射。全単射。元の個数は等しい。
4・3
剰余類。剰余系。代表。完全剰余系。
全単射。可算集合。
mod 3では{0,1,2}が完全剰余系。{-1,0,1}でも良い。
整数全体の集合、有理数全体の集合は可算集合。実数全体の集合は可算集合ではない。

172132人目の素数さん2018/06/22(金) 14:35:40.51ID:vsEB4+Ib
2
a+c≡b+d。a-c≡ b-d。
数列に関する用語・定義。
数列。狭義単調増加。広義単調増加。単調増加。
狭義単調減少。広義単調減少。単調減少。
3
ac≡bd。a^k≡b^k。
実数値関数。狭義単調増加。広義単調増加。単調増加。
狭義単調減少。広義単調減少。単調減少。
フィボナッチ数列は広義単調増加。関数y=xは狭義単調増加。
3・2
互いに素ならば両辺を約分できる。
互いに素でなければmodも含めて両辺を約分する。
フィボナッチ数列。1,1。ルカス数列。1,3。
4
(m+n)^p≡m^p+n^p modp。二項定理。
その他の用語・定義。
オイラー関数。互いに素。天井記号。床記号。
4・2
ディリクレの定理。素数からなる集合S。
ディリクレ密度d (S)。
4・3
多項展開でも4・2と同様に p乗のみが残る。
初項と公差が互いに素な等差数列は無限個の素数を含む。
p≡a mod mを満たすpは(a,m)=1ならば無限に存在する。
5
a^p≡aフェルマーの小定理。互いに素ならばa^(p-1)≡1。
実際にはd=1/φ(m)となる。
二項係数。鳩の巣原理。
4・3において全ての項を1とすれば導かれる。
フェルマーの小定理。包除の原理。任意の有限集合。
ディオファントスの数論。

173132人目の素数さん2018/06/22(金) 15:22:53.45ID:vsEB4+Ib
1
φ(m)。オイラーの関数。剰余系。既約剰余系。mと互いに素なもの。整数論的関数。
グラフに関する用語・定理。グラフに関する諸定義。頂点。グラフ。辺。頂点V。辺E。vとwは隣接する。vはeに接続する。wはeに接続する。
1・2
p-1。既約剰余類。既約剰余類群。乗法群。位数。巡回群。
辺の本数を次数。歩道。歩道の長さ。始点。終点。閉歩道。重複してもよい。道またはパス。閉路またはサイクル。連結である。
2
(a,b)=1の時、φ(ab)=φ(a)φ(b)となる。
握手の補題。回数の総和は偶数回。各頂点の次数の総和は偶数。
3
φ(a)=aΠ(1-1/pi)。pは素因数分解の時の底すなわち各素数。
オイラーの一筆書き定理。閉歩道。オイラー周遊。オイラーグラフ。連結グラフ。必要十分条件。
(1)Gの全ての頂点の次数が偶数であること。(2)次数が奇数の頂点の個数が0または2であること。なぜならば始点と終点を結ぶことによりオイラーグラフになるため。
0個ならば(1)と同値。2個ならばそれら2点の頂点を辺で結ぶことにより奇数が0個になり(1)に帰着される。
4
Σφ(d)=a。ここでΣは全ての約数に関する和。
完全グラフ。結婚定理。Hallの結婚定理。|M|≦|F|。
5
μ(a)。メビウスの関数。整数論的関数。1ならば1。平方因子を持たないならば素数の個数をrとして(-1)^r。平方因子を持つならば0と定義する。
「男性が好みの女性と結婚する」定理であって女性の気持ちは関係ない点に注意。男性は複数の女性を好きであることも可能である。
5・2
μ(ab)=μ(a)μ(b)。(aとbが互いに素の時)。Σμ=0。
整数論的関数。乗法的。
単色。部分グラフの全ての辺が同じ色で塗られていること。
ハミルトンサイクル。
7
Fを整数論的関数とするとG=ΣFも整数論的関数。F=Σμ(a/d)G(d)。ディリクレの反転公式。オイラーの関数とメビウスの関数。
8
ΣF=aならばオイラーの関数。ΣF= 0ならばメビウスの関数。
9
(a,m)=1ならばa^φ(m)≡1 mod m。オイラーの定理。
フェルマーの小定理の拡張。既約剰余類。a倍しても既約剰余類である。

174132人目の素数さん2018/06/23(土) 14:12:06.91ID:MENQpt4L
IMO 1987
m∈Zの時、√(1+m^2)は無理数である。よってy=x^2上の任意の2つの格子点の間の距離は無理数である。
また放物線上の任意の相異なる3点は一直線上には並ばないので必ず三角形を作る。
面積はS=|a(α-β)(β-γ)(γ-α)|/2で与えられるので、有理数となる。

剰余類。完全剰余系。
1
ax≡b。連分数の理論を用いる方法。オイラーの定理を用いる方法。中国剰余定理。孫子の剰余定理。ウィルソンの定理。modが素数の時には解の個数は高々n個である。帰納法。
6
割り算の原理。ウィルソンの定理。ウィルソンの定理の逆。
10
ラグランジュの定理。6から派生しているので6が重要。

175132人目の素数さん2018/06/23(土) 14:52:44.66ID:MENQpt4L
21
背理法。約数であると仮定するとkと置ける。nは正の偶数なので因数分解出来る。和差算。すると x=y=1となり矛盾。
22
逆に並べて加える。13|2002がポイント。問題19を用いれば一発で答えが出る。
23
体Zp=Z/(p)=Z/pZで定義された準同型写像。
Z/(1997)-{0}において定義されている乗法に関して2の逆元すなわち xy≡1の時、f(x)=y。1000x≡1の時、x≡1332。
24
平方数の存在条件。平方数はそれぞれをかけても平方数なので、3数をかけてみる。
すると不等式評価M^2<α<(M+1)^2が得られるのでαは平方数ではないことが示された。
25
シャッフル。1回のシャッフルで起こる置換をmodを用いて表す。重要。写像の意味を掴む。k=8とすると題意を満たす。16回シャッフルを行うと元に戻る。
30
p≠2, 5の時。オイラーの定理より0がm個連続して並ぶ事が分かる。
p=2の時。不等式評価してlをうまく選べば題意を満たすように出来る。
p=5の時。不等式評価してlをうまく選べば題意を満たすように出来る。
従っていずれの場合にも題意を満たすように構成できることが示された。

176132人目の素数さん2018/06/23(土) 15:37:57.13ID:MENQpt4L
IMO 1992
倍数なのでkと置ける。abcで不等式評価する。分数の形にして解の候補を絞る。重要。
別の不等式評価により、k=2, 3と分かる。a=2, 3も分かる。これらの組合せ4通りを調べる。
ここまで絞れると、すなわちaが消去できるとあとは普通の双曲型不定方程式に帰着される。答えは(3, 5, 11), (2, 4, 8)。
1
10^e≡1。
無限循環小数。循環節の位数。ディリクレの部屋割り論法。デデキントの鳩の巣原理。周期の位数。分母が 2又は5のみの場合は割り切れる。それ以外の素数を含む場合は割り切れない。
1・2
フェルマーの小定理。指数という。冪乗して1になる最小の冪を指数という。e|p-1。
オイラーの定理。オイラーの関数。循環節の長さが求められた。既約真分数。
2
同一のものが存在したとして背理法。eの最小性がポイント。
3
p-1の任意の約数を指数に持つ整数が存在する。それはφ(d)個ある。
4
指数p-1に属する数はφ(p-1)個ある。
・3x≡11 mod 13。
標数表を見れば標数で合同式が解ける。原始根はどれでもOK。
素数pの原始根。イデアル。商環。素数ならば体になる。
・x^2≡2 mod 13。
両辺の標数を取る。解は存在しない。
巡回群。既約剰余系。生成元。
・x^3≡5 mod 13。
両辺の標数を取る。標数表を利用する。x≡8,7,11。
素数pの原始根は巡回群Zp^×の生成元と言える。剰余類。
・3^x≡5 mod 13。
両辺の標数を取る。解を持たない。
5
底は原始根。対数に似ている。標数。標数表。
平方剰余。冪剰余。
6
x^n≡a modp。
d|Ind(g,a)。解はd個存在する。
原始根。両辺の標数を取る。
・5x^6≡8 mod 13。
x^6の係数を消す(1にする)。両辺の標数を取る。
7
a^(p-1)/d≡1 modp が必要十分条件。
平方剰余。平方非剰余。n冪剰余。n冪非剰余。

177132人目の素数さん2018/06/23(土) 17:34:56.53ID:QFv9OYr5
IMO 1987
(1)単射であることの証明。単射でないと仮定して背理法。
写像。単射。
(2)全射でないことの証明。全射であると仮定して背理法。
非負整数全体の集合になる。
片方は0以上、他方は1987以上で矛盾。全射。集合。
(3)E1=Z0-D1とする。fは単射なのでD1∩E2=Ø。
E2=D1-D2。全射でないので隙間が生じることがポイント。

1
a^(p-1)/2≡1 modp。平方剰余の必要十分条件。
原始根。既約類の半数が平方剰余、半数が平方非剰余。
2
a^(p-1)/2≡-1 modp。平方非剰余の必要十分条件。
平方剰余。平方非剰余。奇素数p。
3
平方剰余ならばabも平方剰余。平方非剰余ならばabは平方剰余。バラバラならばabは平方非剰余。
(2)ルジャンドルの記号。平方剰余の時、1、平方非剰余の時、-1と定める。pは奇素数。aはpと互いに素。
4
(a/p)=(b/p)。(ab/p)=(a/p)(b/p)。
5
(a/p)≡a^(p-1)/2 modp。
オイラーの規準。オイラーの判定条件。
6
(-1/p)=(-1)^(p-1)/2。
平方剰余に関する第1補充法則。オイラーの規準。
7
(a/p)= (-1)^n。
ガウスの補題。オイラーの規準。絶対最小剰余。
既約剰余系。
8
(2/p)=(-1)^(p^2-1)/8。
平方剰余に関する第2補充法則。

178132人目の素数さん2018/06/24(日) 04:48:49.74ID:VAjJdTv2
9
相異なる奇素数。(q/p)(p/q)=(-1)^(p-1)/2 (q-1)/2。
ガウスの補題。p≡1∨q≡1の時は1。p≡3∧q≡3の時は-1。
10
(1)(59/103)
(59/103)(103/59)=-1。相互法則。
=-(103/59)=-(44/59) 還元。
=-(2/59)(2/59)(11/59) 相互法則。
= (2/59)(2/59)(59/11)
=(4/11) 第2補充則。=1。
(2)同様に(95/997)=-1。
10・2
解なし。
11
合成数の平方剰余。ヤコビの記号。ルジャンドルの記号。
ルジャンドルの記号は全て1にならないと解は存在しない。
-1が偶数個あると見かけ上 1になってしまって解を持つと勘違いしやすいから注意する。
12
ルジャンドル記号における第1補充則と第2補充則と
同じ形の法則がヤコビ記号においても成り立つ。
互いに素ならばルジャンドル記号における相互法則の
類似もヤコビ記号において同じ形で成り立つ。
12・1
(1)-1。(2)-1。
12・2 既約剰余類。互いに素。平方非剰余。既約剰余類。
初等整数論。解析的整数論。代数的整数論。素数定理。
オイラー積表示。
sinπx=0⇔x=整数。x^2の係数を比較する。
ゴールドバッハの派生問題。ウェアリングの問題。
有理整数。代数的数。代数的整数。ガウスの整数。超越数。イデアル論。

179132人目の素数さん2018/06/24(日) 05:23:05.33ID:VAjJdTv2
IMO 1986
狭義単調減少数列が得られるのでいつかは手続きが完了する。

IMO 1998
ab+1が消去出来る。その残りをCとするとB|C。
C>0の時, 不等式評価で矛盾が導ける。
C=0の時, 構成出来る。(7k^2, 7k)。
C<0の時, 具体的に求まる。(11, 1)(49, 1)。

IMO 1988
背理法で示す。Max{a,b}が最小なものについて考える。
(1)a=bの時。0<k<2。∴k=1という平方数になって矛盾。
(2)a<bの時。Max{a,b}=b。
解と係数の関係によりb+β=ka, bβ=a^2-k。
(a,b)以外に(a,β)も与式を満たす。
不等式評価によりβ<b。これはbの最小性に矛盾する。
(3)a>bの時。(2)と全く同様に証明出来る。
よって非平方数は存在しない。

180132人目の素数さん2018/06/25(月) 21:56:10.91ID:rDXGCYel
●█▀█▄⋯⊶≕≍≖≎≢≣≋∺∻ブウウウウウウウウオオオオオオオオオオオオオ

181132人目の素数さん2018/06/26(火) 00:15:49.70ID:775NmH2M
1
三角法の基礎事項。直角三角形を用いた三角関数の定義。関数。写像。像。定義域。値域。正弦。余弦。正接。余接。正割。余割。sin。cos。tan。csc。sec。cot。相似。垂線の足。直角三角形。
2
箱の中での考察。相似。加法定理。2倍角の公式。3倍角の公式。
3
直角を作る。垂線の足。相似。加法定理。等比数列。等差数列。加法定理。減法定理。
4
単位円周に沿っての考察。垂線の足。回転。極座標。周期。周期関数。余弦関数。余角の正弦。加法減法定理。減法定理。2倍角の公式。3倍角の公式。加法減法定理。半角の公式。
積和公式。和積公式。差積公式。合成する。
5
三角関数のグラフ。奇関数。サニュソイド的。偶関数。振幅。線型結合。1次結合。同じ周期。フーリエ。漸近線。正接関数。鉛直な漸近線。下に凸。上に凸。イェンセンの不等式。関数の凸性。2次導関数。
6
正弦法則。正弦法則。幾何的意味。外接円。角の二等分線定理。外角版。
7
面積とトレミーの定理。垂線の足。対角線。トレミーの定理。円に内接する四辺形。外接円。等脚台形。対角線。対称性。加法定理。2倍角の公式。正弦法則。トレミーの定理。

182132人目の素数さん2018/06/26(火) 00:45:11.60ID:775NmH2M
8
存在・一意性そして三角関数の変換公式。正弦法則。一意的。二等辺三角形。全射。上への関数。単射。1対1。全単射。1対1対応。正弦関数。余弦関数。全単射。正接関数。互いに逆。全単射。
グラフは面白くかつ重要。周期4。三角法の置換の秘伝。
鳩の巣原理。コーシー・シュワルツの不等式。
9
チェバの定理。チェバ線。正弦法則。重心。垂心。内心。
ジェルゴンヌ点。傍心。
チェバの定理。正弦法則。
10
箱の外での考察。相似変換。中心。相似比。像。原像。相似。
11
メネラウスの定理。点が同一直線上。チェバの定理は直線が同一点上。正弦法則。辺々掛け合わせる。
12
余弦法則。SAS型。SSS型。
13
スチュワートの定理。中線定理。中線公式。
14
ヘロンの公式。ブラーマグプタの公式。内接四辺形。余弦法則。接線。三角形の周の半分。
15
ブロカール点。外接円。ブロカール点。角の二等分線。対称移動。チェバの定理。ブロカール点。等角で共役。互いに素。余弦法則。ヘロンの公式。正弦法則。

183132人目の素数さん2018/06/26(火) 01:19:19.65ID:775NmH2M
16
ベクトル。ベクトル。尾。頭。和。スカラー倍。スカラー因子。長さ。大きさ。傾き。鉛直。直交する。菱形の対角線は内角を2等分する。
直角二等辺三角形。入射角と反射角は等しい。互いに補角をなす。二等辺三角形。加法定理。半直線。
17
内積と余弦法則のベクトル版。内積。余弦法則。
18
コーシー・シュワルツの不等式。ベクトル。コーシー・シュワルツの不等式。
19
ラジアンと重要な極限。単位円周上。ラジアン。扇形。極限値。
20
円柱の切断によるサニュソイド的曲線の構成。切断曲線。切断面。対称性。垂線の足。
21
3次元の座標系。内積の定義。赤道面。直交座標系。緯度。緯線。本初子午線。北極点。南極点。大円。赤道。経線。経度。順序対。極座標。球座標。直交座標系。赤道面。垂線の足。球座標。直交座標。
22
地球上の旅行。円周。弧。大円。赤道。大半円。余弦法則のベクトル版。
23
あなたはどこにいるの?GPS。平行四辺形。内積。分配法則。余弦法則のベクトル版。連立方程式。直交座標系。球座標。
24
ド・モアブルの公式。複素数。虚数単位。純虚数。ベクトル。複素平面。複素数平面。虚軸。実軸。原点。対角線。平行四辺形。ベクトル。絶対値。長さ。円周。極形式。複素数。極座標。
ベクトルの和。菱形。角を二等分する。半角の公式。
加法定理。2倍角の公式。加法定理。和積変換の公式。複素数の積。加法定理。極形式。加法的性質。ド・モアブルの公式。展開公式。

184132人目の素数さん2018/06/26(火) 09:46:54.64ID:QzCeOyF2
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 j".、'ヽ,".、".、"`''`ー、._、、、           、._,、..-‐:'''′   .、,:"  丿
 ゙l,"`"`''ヽヽ"`"`  ```゙'''"ヽ∠、、、、ぃ-`''''": `      、._./`  ._/`
  `'i`ヽヽヽ`''ーi、、、: :                   、.,-‐'`   、/`
   ``ヽン'`"`  : `~``―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,.ー'``^    ,、‐'"`
      `"'゙―-、,,,,..、、                 : ..,、ー'"'`
           : `‘"`―---------‐ヽ``"''''''""

185132人目の素数さん2018/06/26(火) 10:37:03.63ID:nJ9OY4AO
         _人人人人人人人人人人人人人人人_
        >   そうなんだ、すごいね!      <
       ´ ̄^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^ ̄
            __、、=–、、         __
           /    ・ ゙!       /・   `ヽ
           | ・   __,ノ       (_    ・ |
           ヽ、 (三,、,         _)    /
            /ー-=-i’’       (____,,,.ノ
            |__,,/          |__ゝ
             〉  )          (  )

186132人目の素数さん2018/06/26(火) 10:44:59.24ID:nJ9OY4AO
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・    $  ?{
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   _,,-''"  ,'        ,..、| ヽ. :、∪ ゙ -―-    ,; ∪ ,/´``  `   i .l
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187132人目の素数さん2018/06/26(火) 11:40:35.41ID:OkX7z6OQ
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   |l'-,、イ\:   | |    ∧,,,∧ .   |::..   ヘ ̄ ̄,/:::(__)::
   |l  ´ヽ,ノ:   | |   (´・ω・`)    ,l、:::     ̄ ̄::::::::::::::::
   |l    | :|    | |,r'",´ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄`ヽ、l:::::
   |l.,\\| :|    | ,'        :::::...  ..::ll::::    そうだ
   |l    | :|    | |         :::::::... . .:::|l::::   これは夢なんだ
   |l__,,| :|    | |         ::::....  ..:::|l::::    ぼくは今まで永い夢を見ていたんだ
   |l ̄`~~| :|    | |             |l::::   目を閉じてまた開いた時
   |l    | :|    | |             |l::::   ぼくはまだ12歳の少年の夏
   |l    | :|    | |   ''"´         |l::::   起きたらラジオ体操に行って
   |l \\[]:|    | |              |l::::   朝ご飯を食べて涼しい午前中に宿題して
   |l   ィ'´~ヽ  | |           ``'   |l::::   午後からおもいっきり遊ぶんだ
   |l-''´ヽ,/::   | |   ''"´         |l::::   虫取り網を手に持って・・・
   |l  /::      | \,'´____..:::::::::::::::_`l__,イ::::
   l}ィ::        |  `´::::::::::::::::::::::::::::::`´::::::

188132人目の素数さん2018/06/26(火) 14:00:19.11ID:nrUfTrS4
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189132人目の素数さん2018/06/26(火) 14:56:19.32ID:DCaJoLaa
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190132人目の素数さん2018/06/26(火) 16:31:16.73ID:lNvWSh3L
1。加法。乗法。分配律。記号と準備。集合。要素。元。
2。要素を列挙する方法。性質によって表現する方法。部分集合。真部分集合。差。空集合。Ø。和集合。
3。合併集合。共通集合。互いに素。論理記号。自然数全体。整数全体。有理数全体。実数全体。複素数全体。
4。整除される。割り切れる。約数。倍数。b|a。
5。公倍数。最小公倍数。
写像。ただ一つ対応させる。変換。像。逆像。写像の相等。単射。の中への1対1写像。全射。の上への写像。
6。公約数。最大公約数。
恒等写像。合成写像。全単射。逆写像。直積集合。順序対。直積集合。A×B。同値関係。
・除法の原理。
存在と一意性。帰納法。
・ユークリッドの互除法。単調に減少する整数の列。
反射律。対称律。推移律。同値類。代表元。商集合。類別。
7。完全代表系。対等。全単射。同値関係。濃度が等しい。可算集合。自然数全体に対等な集合。
任意の。ある。
8。7の拡張。帰納法。
9。 8より成り立つ。
10。互いに素。
11。d|b。必要条件。十分条件。数学的帰納法。
・素数。合成数。エラトステネスの篩。ギリシャ。素因数。
12。素因数分解の一意性。帰納法。有限個の素数の積で表される。一意性。フェルマーの素数。メルセンヌ数。ガウスの記号。k進表示。

191132人目の素数さん2018/06/26(火) 16:51:21.86ID:lNvWSh3L
1。a≡b modn。法。合同。合同式。
2。反射律。対称律。推移律。同値関係。和差積。
3。互いに素ならば割って良い。
互いに素でなければ法も含めて割る。
4。1次合同式の解法。
5。解の存在条件。
6。解の個数。d個ある。合同方程式。
7。中国式剰余の定理。帰納法。解の存在証明。
8。数学的帰納法。剰余類。代表元。反射律。
9。反射律。対称律。推移律。部分集合。
逆の包含関係。除法の原理。同値関係。類別。
剰余類。完全代表系。互いに素。既約剰余類。

1。オイラーの関数。φ。既約剰余類の個数=φ。
写像。単射。全射。全単射。互いに素り既約剰余類。
制限した写像。
2。乗法的。既約剰余類。全単射。単射。全射。
3。帰納法。互いに素。割り切れない。
4。縦に数えるか横に数えるか。
5。メビウスの関数。
6。乗法的。素因数分解。互いに素。
7。メビウスの反転公式。リウヴィルの関数。

192132人目の素数さん2018/06/26(火) 16:52:04.78ID:ZVzNUBXp
同じアスペ

「物理数学の直感的方法」とかいう本
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/sci/1523151554/

193132人目の素数さん2018/06/26(火) 17:21:20.27ID:lNvWSh3L
1。整数。集合。集合。要素。元。中にある。属する。含まれる。空集合。Ø。部分集合。真部分集合。含まれる。和集合。共通部分。交わり。結び。交わる。交わらない。直積。積。空集合。
2。数学的帰納法。除法の原理。整列性。自然数。整列性。最小元を持つ。空でない自然数の集合。数学的帰納法の原理。第1形式。整列性。最小元。数学的帰納法の原理。第2形式。
3。除法の原理の証明。帰納法。整商。余り。剰余。負でない最小剰余。階乗。帰納法。二重帰納法。規約する。組合せの数。整列性。帰納法。第2形式。
二項定理。二項係数。凸関数。下に凸な関数。
凹関数。上に凸な関数。微分法。

最大公約数。割り切れる。割り切る。倍数。約数。符号。公約数。最大公約数。0は任意の整数の倍数である。0の倍数は0のみである。
ユークリッドの互除法。正の整数の減少数列。最大公約数。必ず最後には割り切れる。互いに素。対ごとに素。
ユークリッドの互除法。互いに素。

最小公倍数。公倍数。整列性。最小公倍数。双対的。対ごとに素。
素数。素因数分解。素数。合成数。整数論の基本定理。背理法。最小の元。最小性に反することを導き矛盾。存在性と一意性。標準分解。約数の和。真の約数。完全数。6, 28。オイラー。
互いに素。メルセンヌ数。フェルマー数。有理数。互いに素。既約分数。素数は無限に存在する。対ごとに素。標準分解。冪。a進展開。帰納法。一意性。準完全数。既約な準完全数。2進展開。既約。整数部分。ガウスの記号。小数部分。

同値関係。合同式。〜同値関係。反射律。対称律。推移律。類。同値類。類別。代表。法。合同。同値関係。和差積。法mに関する剰余類。互い合同。剰余類の代表。完全剰余系。
二項定理。

194132人目の素数さん2018/06/26(火) 17:40:37.77ID:lNvWSh3L
1次の合同式。整係数の多項式。合同方程式。解く。次数。剰余類。完全剰余系。有限群。位数。有限集合。ユークリッドの互除法。対ごとに素。2つの方程式を1つの方程式に還元して解く。連立合同式。

2つの整数論的関数。整数論的関数。オイラーの関数。既約剰余類。個数。既約剰余系。完全剰余系。
メビウスの関数。標準分解。二項定理。交換子群。導群。位数。巡回群。整数論的関数。整数論的関数の反転公式。互いに素。和。集合の記号について。真部分集合。値域。
乗法的。「互いに素ならば」積に分解できるということ。メビウスの関数は乗法的関数である。反転公式。乗法的。乗法性。

オイラーの定理。フェルマーの小定理。加法群。加群。部分群。整数論的関数の和関数は乗法的関数である。
対ごとに素。完全剰余系。既約剰余系。互いに素。

195132人目の素数さん2018/06/27(水) 16:58:45.02ID:H9OjG7C8
1。規則性の発見。具体的に書き出す。周期8を見出す。
2。2進法。帰納法。逆に並べた数。
3。グリーディ・アルゴリズム。3進法で2が出現しない数列。
4。ガウス記号。幾何学的に表現する。グラフを描く。
5。+ 1と- 1に対応させる。中間値の定理。カタラン数。
6。帰納法。
7。同値な問題へのすり替え。組合せに帰着させる。 適切な記号や座標の導入。変数の置き換え。概念の同一視。対応。異概念への移行。
置き換え。
8。Pの位置は一定。相加相乗平均の不等式。
9。対称性の利用。対称点を取る。円周角の定理。
10。中央である5に関する対称性。ファンデアヴェルデン数。
11。大小関係を設定する。最大数cを固定して変形していく。
12。議論の展開法。解の絞り込み論法。全称命題の時に使える。n=2の時を調べるだけで必要十分条件が得られた。
13。0を代入してみる。場合分け。帰納法。
14。論点の設定法。際立った要素。帰納法。最短である 2個を取り除く。
15。帰納法。上の辺が一番高い正方形を選ぶ。

196132人目の素数さん2018/06/27(水) 17:38:29.63ID:H9OjG7C8
16。単位正方形で覆うことができる。
17。全て異なることが必要。対称性。大小関係を設定する。場合分け。
18。半径最小の円。
19。間接的証明法。背理法の完結のさせ方。最大性や最小性に注目。行列で表す。行を男子に列を女子に。踊ったら1を、踊らなかったら0を対応させる。1が最も多く現れている行に注目する。
最も多く女子と踊った男子に注目した。
20。背理法。素数が無限個あるのと同じ証明法。
21。有効な場合分け。必然による場合分け。性質に基づく場合分け。山登り法。対称性。階層的。漏れを防ぐ工夫。
凸包。四角形の時。五角形の時。三角形の時。エステ・クライン。
22。背理法。7の倍数が含まれているかどうかで場合分け。
23。偶奇で場合分け。乗法的。山登り法。
24。存在命題の証明の仕方。鳩の巣原理。ディリクレの部屋割り論法。正三角形を4個に分割する。空間の点を偶奇で8個に分割する。
25。0とn-1を仮定して矛盾を導く。modnでn-1に分割できるから、鳩の巣原理で同じ個数のものが存在することが示される。
26。中間値の定理。小区間の中の距離の最大値が題意を満たすように分割することができる→鳩の巣原理。
27。6個の区間に分割して中間値の定理を使う。
28。分断線の可能性は10本ある。ある分断線を跨ぐタイルが奇数個(1個3個5個)だと仮定すると、その分断線によって例えば左右が奇数個ずつになる。これは残りのスペースを
1×2のタイル(面積偶数)で覆うことが不可能になる。従って分断線を跨ぐタイルの数は偶数個(2個4個)である。このうち最小の2個であると仮定しよう。跨ぐタイルの最小値は
2×10=20である。これは全体を覆い尽くすタイルの枚数18を超えるので不可能。ロナルド・グラハム。
29。全称命題の証明の仕方。帰納法。4個に分割する。可能であることが示せる。
30。帰納法。偶奇性。S1を除くと帰納法の仮定が使える形になる。ロナルド・グラハム。

197132人目の素数さん2018/06/29(金) 16:51:13.06ID:1XRv2uPg

198132人目の素数さん2018/06/30(土) 08:25:34.38ID:S+Az8NzL

199132人目の素数さん2018/07/23(月) 23:13:43.05ID:aE9lzten
数オリにハマってた俺がいうが、今ならわかる
数オリなんて子供の遊びだ
本物の数学ではない

200132人目の素数さん2018/07/24(火) 08:36:00.80ID:AgAd74xG
基地外死ね

201132人目の素数さん2018/07/26(木) 00:09:19.56ID:ZQZlAKvh
IMO 2018 [1]
 Let Γ be the circumcircle of acute triangle ABC.
 Points D and E are on gegments AB and AC respectively such that AD = AE.
 The perpendicular bisectors of BD and CE intersect minor arcs AB and AC of Γ at points F and G respectively.
 Prove that lines DE and FG are either parallel or they are the same line.
 http://suseum.jp/gq/question/2890

IMO 2018 [2]
 Find all integers n ≧ 3 for which there exist real numbers a_1,a_2,…,a_{n+2} satisfying
 a_{n+1} = a_1,a_{n+2} = a_2 and
  a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}
 for i = 1,2,…,n.
 http://suseum.jp/gq/question/2891

IMO 2018 [3]
 http://suseum.jp/gq/question/2892

IMO 2018 [4]
 http://suseum.jp/gq/question/2893

IMO 2018 [5]
 Let a_1,a_2,… be an infinite sequence of positive integers.
 Suppose that there is an integer N > 1 such that,for each n ≧ N,the number
  a_1/a_2 + a_2/a_3 + … + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1
 is an integer.
 Prove that there is a positive integer M such that a_m = a_{m+1} for all m ≧ M.
 http://suseum.jp/gq/question/2894

IMO 2018 [6]
 A convex quadrilateral ABCD satisfies AB・CD = BC・DA.
 Point X lies inside ABCD so that
  ∠XAB = ∠XCD and ∠XBC = ∠XDA.
 Prove that
  ∠BXA + ∠DXC = 180゚.
 http://suseum.jp/gq/question/2895

202132人目の素数さん2018/07/26(木) 03:28:25.26ID:RwuQrgKh
                !
               |    丶 _    .,!     ヽ
               >     ``‐.`ヽ、  .|、     |
             ゙'.     ,ト `i、  `i、    .、″
                |    .,.:/""  ゙‐,. `    /
             `  .,-''ヽ"`    ヽ,,,、   !
                、,、‐'゙l‐、      .丿 : ':、
               、/ヽヽ‐ヽ、;,,,,,,,,,-.ッ:''`  .,"-、
              ,r"ツぃ丶  ``````   ../  `i、
          ,.イ:、ヽ/ー`-、-ヽヽヽ、−´    .l゙`-、
         _,,l゙-:ヽ,;、、             、、丶  ゙i、,,、
        ,<_ l_ヽ冫`'`-、;,,,、、、、.............,,,,、.-`":    │ `i、
      、、::|、、、ヽ,、、.    ```: : : ```      、.、'`  .|丶、
     .l","ヽ、,"、,"'、ぃ、、,、、、、.、、、.、、、_、.,,.ヽ´    l゙  ゙).._
    ,、':゙l:、、`:ヽ、`:、  : `"```¬――'''"`゙^`     : ..、丶  .l゙ `ヽ
   ,i´.、ヽ".、".、"'ヽヽ;,:、........、           、、...,,,、−‘`   、‐   |゙゙:‐,
  ,.-l,i´.、".`ヽ,,,.".`   `゙゙'"`'-ー"``"``r-ー`'":      _.‐′  丿  ,!
 j".、'ヽ,".、".、"`''`ー、._、、、           、._,、..-‐:'''′   .、,:"  丿
 ゙l,"`"`''ヽヽ"`"`  ```゙'''"ヽ∠、、、、ぃ-`''''": `      、._./`  ._/`
  `'i`ヽヽヽ`''ーi、、、: :                   、.,-‐'`   、/`
   ``ヽン'`"`  : `~``―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,.ー'``^    ,、‐'"`
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           : `‘"`―---------‐ヽ``"''''''""

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