数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ

1132人目の素数さん2018/03/29(木) 10:52:58.86ID:z4iohU7S
暇なので

118◆2VB8wsVUoo 2018/05/01(火) 21:29:41.18ID:o9N8stUi

119◆2VB8wsVUoo 2018/05/01(火) 21:30:03.16ID:o9N8stUi

120132人目の素数さん2018/05/12(土) 02:49:20.71ID:0bdqx1eF
整数
1
(1)mod3で2なので平方数にならない。
mod4で2なので平方数にならない。
mod4で2または 3なので平方数にならない。
mod4で3なので平方数にならない。
平方数はmod3で0,1。mod4で0,1。
(2)n^2≡1より、絞れる。当てはめる。
2
等号が成立するので最良である。繰り上がり。
有界でない例を作る。
3
n=2^kと表せる。3以上の奇数を因数に持たない。

121132人目の素数さん2018/05/12(土) 02:59:40.49ID:0bdqx1eF
整数
4
合成数の個数と素数の個数を求める。鳩の巣原理。6個自力で作れれば良い。
5
mod4で考える。
6
背理法。
別解。mod16で考える。表を作って見てみると平方数に成り得ない部分が出来る。

122132人目の素数さん2018/05/12(土) 03:08:55.29ID:0bdqx1eF
幾何
1
加法定理。
2
対称性から大小関係を設定して進める。因数分解。チェビシェフの不等式。問題27(2)。
別解。並べ替えの不等式。
3
問題20(1)。問題28(3)。
問題19(1)。問題20(2)。
4
積和変換。
5
相加相乗平均の不等式。問題24(4)。
6
全単射。解と係数の関係。

123132人目の素数さん2018/05/12(土) 14:26:28.12ID:0bdqx1eF
幾何
7
正弦定理。問題42(1)。
8
ドモアブルの公式。二項定理。
9
通分。加法定理。三角関数の合成。相加相乗平均の不等式。微分法では困難。
10
半角の公式。
11
背理法。加法定理。
12
二倍角の公式。全単射。区間の分割。鳩の巣原理。
13
恒等式を用いる。
14
二倍角の公式。単位円を描いて考える。
15
問題27(1)。和積変換。
16
題意を満たす三角形を描く。三角不等式。正弦定理。
17
置き換え。コーシー・シュワルツの不等式。
18
三角関数の変形。差の形に分解できる。
別解。複素数を用いると自然に解ける。
19
問題21。シューアの不等式。
20
平方完成。周期性。同値変形。個数を求める。

124132人目の素数さん2018/05/12(土) 14:51:48.92ID:0bdqx1eF
幾何
21
正弦定理。チェバの定理。和積変換。

整数
7
667, 667,666に分ける。一回で終わる。
8
全て奇素数である。構成する。
別解。mod3で考える。
9
背理法。2の冪を考える常套手段。
10
互いに素。相加相乗平均の不等式。
11
偶数と奇数で場合分け。
別解。より一般的に。連続する平方数の差は一次関数的に増加する。偶奇性。
12
因数分解。合成数。存在する。
別解。上手く置ければ一発。
13
帰納法。
14
背理法。modaで考える。完全剰余系。
別解。命題を同値な他の命題に変えると簡単に解ける。ベズーの恒等式。
15
三角不等式。mod10^4をmod2^4とmod5^4に分けて考える常套手段。二項定理。
16
背理法。最大の数を設定する。最小の数を設定するパターンが多い。矛盾を導く。必勝戦略。
17
一並び問題。どんな「互いに素数列」にも一項付け加えられる。
別解。(10^n - 1)/9 と見做す常套手段。gcd。
18
オイラー関数。オイラーの定理。素数ではないことが示される。
19
mは4乗数。約数の個数。これが奇数なのでmは奇数。ベルヌーイの不等式。
20
「各桁の和」問題。等差数列。場合分け。背理法。

125132人目の素数さん2018/05/12(土) 15:15:36.13ID:0bdqx1eF
整数
21
三乗根を整数で評価する。背理法。不等式評価。

組合せ
1
リーグ戦。得点と試合数の関係。
2
計算する。場合分け。置換の個数。
3
区別出来る球を区別出来ない箱に入れるパターン。組合せ。
4
入れ替え。加える。広義単調増加。上手く選べば良い。場合分け。置き換え。例として667,667,667がある。
5
背理法。最小のものを文字でおく常套手段。偶奇性。場合分け。
別解。行列を使うと一般化が可能。
6
余りで置き換えておく。
7
条件を順番に使っていくと絞れる。場合分け。
別解。二進法を用いる。フィボナッチ数列になる。
8
m≧4を示す。m= 4で成り立つ事を示す。
9
偶奇性。両端を取り替える。帰納法。
別解。グラフを用いる。対応を考える。線分の本数。完全グラフは一筆書き可能。オイラー周遊。グラフ理論。
10
母関数みたいなものを考える。複素数の利用。5乗根。

126132人目の素数さん2018/05/14(月) 16:26:51.57ID:pOv0qEyj
幾何
22
漸化式。2倍角の公式。半角の公式。帰納法。
23
加法定理。3倍角の公式。
24
多項式を設定する。一意性の証明。具体的に構成する。チェビシェフ多項式。
25
正弦定理。問題25(4)。和積変換。積和変換。2倍角の公式。正値性。
26
垂線の足。問題27(2)。射影。
27
場合分け。加法定理。二乗する。2倍角の公式。和積変換。積和変換。加法定理。二乗する。2倍角の公式。積和変換。
28
正弦定理。半角の公式。オイラーの公式。二乗する。加法定理。
別解。垂線の足。垂直二等分線。二等辺三角形。問題27。
29

127132人目の素数さん2018/05/14(月) 16:45:19.25ID:pOv0qEyj
幾何
29
問題18。積和変換。
30
対称性。問題19(1)。連立。文字消去。半角の公式。
31
積和変換。2倍角の公式。巡回的に入れ替える。シューアの不等式。
32
和積変換。単調増加関数。シューアの不等式。
別解。加法定理。和積変換。単調増加関数。単調減少関数。3つを足す。
33
チェビシェフ多項式。問題49。ラグランジュの補間公式。
34
冪平均不等式。
35
置き換え。コーシー・シュワルツの不等式。
36
相加相乗平均の不等式。
37
三角関数を利用する置き換えが可能である。問題21。正弦定理。三平方の定理。
38
冪平均不等式。足し合わせる。冪平均不等式。足し合わせる。
39
イェンセンの不等式。1番目の不等式の方が成立する。
40
1のn乗根。チェビシェフ多項式。最小多項式。平方数。問題49(6)。

128132人目の素数さん2018/05/14(月) 17:19:45.97ID:pOv0qEyj
幾何
41
鋭角三角形。垂線の足。問題26。射影。全部加える。正弦定理。
補題。巡回的な和に関する等式。2倍角の公式。加法定理。
42
(1)(2)に帰着される。
(2)移項する。平方完成。場合分け。偶奇。対称性。
別解。2次方程式。判別式。
(3)正弦定理。2倍角の公式。(2)に帰着される。
(4)問題25(1)。平方根。2倍角の公式。正弦定理。余弦定理。
43
この等式はある不等式の等号成立条件として得られる。内接円。展開する。加法定理。2つ足す。加法定理。
別解。余弦定理。辺々足す。平方完成。加法定理。積和変換。2倍角の公式。イェンセンの不等式。2倍角の公式。
別解。補題。相似になるように取る。トレミーの定理。相似。相加相乗平均の不等式。
44
問題22。相加相乗平均の不等式。和積変換。積和変換。2倍角の公式。
別解。問題24(4)。一般性を失うことなく条件を強められる。2倍角の公式。積和変換。2倍角の公式。積和変換。等号成立条件。
別解。2次方程式。解の公式。
45
加法定理。コーシー・シュワルツの不等式。
46
三角関数と逆三角関数で√x→√(x+1)を作れる。
x→ 1/xも同様に作れる。帰納法。
47
同値変形。二乗する。極限の議論を用いる。相加相乗平均の不等式。
48
和積変換。巡回的な和。問題24(1)。
別解。正弦定理。補題。垂線の足。円に内接。相似。2倍角の公式。和積変換。
別解。正弦定理。
49
補題。回転。正弦定理。垂線。単調減少関数。加法定理。単調増加関数。加法定理。
50
問題24(4)。重み付き相加相乗平均の不等式。問題28(1)。巡回的に入れ替えた式。
別解。問題42(1)。問題42(2)。
別解。補題。置き換え。並べ替えの不等式。
問題28(1)。
51
補題。和分。補題。アーベルの不等式。補題。積和変換。周期関数。凸性。

129132人目の素数さん2018/05/15(火) 11:40:14.49ID:LlH01a/v
整数
22
強化帰納法。オイラーの定理。あるcが存在して、十分大きなiに対してai≡c modφnが成り立つ。中国剰余定理。
23
代入する。帰納法。ユークリッドの互除法。
24
恒等式を用意する。有理数に拡張出来る。
25
(1)小数部分の議論。狭義単調減少関数。
(2)立方数を1〜5まで用意する。
26
フェルマー数。問題49(2)。
27
ブロック分割。漸化式。
28
帰納法。
29
背理法。素数が無限にあることの証明と同じ。
30
帰納法。不等式。偶奇性。場合分け。
31
合同式の冪乗根。オイラー関数。
32
連立方程式。ピタゴラス数。フェルマーの小定理。p-1の倍数は条件を満たす。

130132人目の素数さん2018/05/15(火) 11:59:21.78ID:LlH01a/v
整数
33
dとi/dの関係。平方数の逆数和。Σ1/n^2=π^2/6< 2。
34
二式を足し両辺に1を加える。mod19。フェルマーの小定理。表を作って一覧する。
別解。mod13。立方数。
35
三進法。三回で済む。
36
2次方程式。解の公式。帰納的に。
37
実例を構成する。四進法。39(3)。
38
直接扱わず、mod2で考える。それで矛盾が生じる。
39
恒等式。4が作れるので、小さい数に関して具体的に示せればある値以上では「+ 4」によりそれ以降永久に成り立つことが示せる。
40
最大値の定義。具体的に調べる。帰納法。
別解。mod6で場合分け。エルミートの恒等式。
41
例題1.74(1)。
42
(1)帰納法。場合分け。最小公倍数。
(2)より強い不等式が示せる。その方が簡単。

131132人目の素数さん2018/05/15(火) 12:21:13.48ID:LlH01a/v
整数
43
余りの合計。2の冪乗。
44
(1)10,25の倍数。ユークリッドの互除法。オイラーの定理。九並び。2の冪乗。帰納法。 2の冪乗×奇数。10と互いに素。
(2) 20の倍数。2の冪乗。5の冪乗。帰納法。オイラーの定理。
45
帰納法。p進法。等差数列。
46
a^ 3を割り切るが、aは割り切らない数。因数分解。3で何回割り切れるか。帰納法。
47
巡回的かつ対称的。
(1)背理法。フェルマーの小定理。互いに素。
(2)問題49(1)を繰り返し適用する。
48
帰納法。問題 38(3)。
別解。帰納法。最小公倍数。
別解。帰納法。互いに素。
49
奇素数。漸化式。modp。
50
上界についての不等式。下界についての不等式。
51
素因数分解。強化帰納法。
別解。解を見つける。
52
フェルマー数。素因数分解。問題49。二項定理。 2の冪乗。

132132人目の素数さん2018/05/15(火) 12:48:07.82ID:LlH01a/v
組合せ
11
条件を設定してそれを満たすように構成する。
12
手順を逆に辿る。規則性。
別解。2の冪乗。容易。
13
2×2の正方形が何個取れるか。
14
午前と午後で場合分け。空集合を含んで重複順列。組合せ。
15
母関数。同値変形。
別解。組合せ論的意味付け。
16
タイルの敷き詰め。1のn乗根。
17
回数の十分性。帰納法。最小性を仮定しておく。無限降下法。
18
帰納法。ベルヌーイ・オイラーの公式。恒等置換。不動点。
別解。不動点を持たない置換。漸化式。
19
整数論の基本定理。
20
グラフ理論。頂点と辺。完全グラフ。ハミルトンサイクルの個数。場合分け。
21
対角線集合。置換。恒等置換。構成する。不動点。

133132人目の素数さん2018/05/15(火) 13:00:53.87ID:LlH01a/v
組合せ
22
共通元を持たない四つの集合を考える。上界を求めて絞っていく。
23
背理法。場合分け。無限数列にまで拡張出来る。
24
可算集合。帰納的に構成する。無限集合。
25
巡回的に並べ換える。
26
母関数。
別解。m進数表示。全単射。
27
9個に分割する。
28
組合せ。総得点。最小値が求まる。
29
漸化式。帰納的に示す。
30
グラフ理論。点と辺。完全グラフ。補題。鳩の巣原理。単色三角形。補題。単色のサイクル。鳩の巣原理。部分グラフ。
31
数列。色の塗り分け。帰納法。

134132人目の素数さん2018/05/15(火) 13:13:47.87ID:LlH01a/v
組合せ
32
1がAに入るとする。背理法。
33
座標平面で考える。
34
帰納法。ゴールを自力で見つける。単調増加関数。帰納法。逆操作。
35
置き換え。減少関数。
36
2の冪乗×奇数。オイラーの定理。
別解。1〜nを全て含むDS集合の存在を示す。
37
ステップに分ける。少しずつ解に近づくように進めていく。
38
結婚定理。
39
帰納法。補題。両端に付け加えるという操作。
40
k角数。座標平面で考える。減少量を定義する。帰納法。
41
距離。完全補間集合。重みを定義する。

135132人目の素数さん2018/05/15(火) 13:33:23.43ID:LlH01a/v
組合せ
42
mod4。ペアの個数を考える。場合分け。
langfordの問題。langford集合。scolem集合。
43
ペアを作る。帰納法。
44
最小の整数を設定する。
45
大きい方を小さい方で割った値の最小値を設定する。表を書く。
46
条件を立式する。
47
最良の不等式。条件を立式する。
48
二通りで数える。この結果を含む定理が存在する。
49
対称差。指標関数。
(1)定義に従う。
(2)定義に従う。
(3)定義に従う。
(4)定義に従う。
(5帰納法。補題。鳩の巣原理。場合分け。
別解。ベクトル。背理法。
50
2の冪乗。帰納法。
別解。多項式。帰納法。漸化式。2の冪乗。
51
被覆可能。最小のものを設定する。

136132人目の素数さん2018/05/15(火) 13:50:51.29ID:LlH01a/v
組合せ
nが小さい場合で実験する。予想を立てる。
2n^2-n-1。2n^2-4n+1。
反例を作ろうとしてみると論点が浮き彫りになる。不変量を見つける。部分的でも答案に書いておく。母関数。
塗り分け。市松模様に塗り、偶奇性を見る。
例:行ごとに6色を塗る。
例:三行以外を塗る。
実験をして答えらしきものが見つかるが手順や条件が分からず帰納法が難しい場合。等確率。
グラフ理論。無向グラフ。有向グラフ。クリーク。

137132人目の素数さん2018/05/15(火) 14:00:23.49ID:LlH01a/v
IMO 2008 [5]

f(x)=(x+x^3/3! +…)^n、g(x)= f(x)×(1+x^2/2!+…)^nと置く。
f(x)={(e^x- e^-x)/2}^nなどとなるので、g(x)=2^-n f (2x)となる。よって、N/M= 2^(-n+k)となる。

138132人目の素数さん2018/05/15(火) 17:43:27.32ID:LlH01a/v
IMO 2004 [3]
フックを用いて3×4の長方形が作れる。
(12,1), (1,12), (3,4), (4,3)の正の整数倍。但し1の部分は≠1,2,5倍。

窪みを消すフックの組合せ方は2通り。片方は長方形を覆えない。従って一通りに決まる。
構成する。5×5の正方形の角4個と内側の3×3の正方形を白く、他を黒く塗る。するとどのフックペアも黒四角を奇数個含むが、(2,6),(6,2) は奇数対すなわち偶数個含み矛盾する。

139132人目の素数さん2018/05/16(水) 14:22:23.47ID:xhA/c8Sw
解を予想する。何を代入するか。得られた情報を如何に使うか。範囲の拡張。任意の。ある。簡単な多項式関数や有理関数。次数を仮定する。定数倍したり定数を加えるのも解になる。
場合分け。パラメーターを固定する。十分性の確認。全射。単射。全単射。
f○gが全射→fは全射。f○gが単射→gは単射。
1
予想する。fは全射である。 fが決まった後はそれ以外を排除する。
2
fの全射性が分かる。f- tも全射。
3
広義単調増加性。狭義単調増加性。
4
単射性。単調性。狭義単調減少性。全射性。連続になる。

140132人目の素数さん2018/05/16(水) 14:41:52.48ID:xhA/c8Sw
定数関数になるような置き換え。帰納法。
連続性または単調性でQからRへ拡張出来る。稠密性。
不等式評価。
1
代入する。不等式評価。特定の整数倍→任意の整数倍。単調性でRへ拡張する。広義単調減少。十分性を確認して終了。
2
全射性。代入する。単調増加性。単調減少性。
周期性。別の周期も探す。
3
関数の差の形。
4
必要性で絞って十分性を確認する。
5
固まりを定数と置く。単射性。広義単調増加性。不等式評価。
6
代入する。固まりを定数と置く。周期を持つ。
7
代入する。パラメーターを固定する。単調増加列と単調減少列を用意する。QからRへの拡張。稠密性からの解も存在することに注意する。

141132人目の素数さん2018/05/16(水) 14:44:15.54ID:0Q/7RlMn

142132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:12:43.53ID:xhA/c8Sw
IMO 2007 [6]
k枚の平面をaix+biy+ciz+di=0とする。di≠ 0, (i=1,2,…,k)。
f=Π(aix+biy+ciz+di)と置く。
Δ(x;n)Δ(y;n)Δ(z;n)g= f。
差分を取る操作は多項式の次数を少なくとも1減らすのでfの次数は3n以上である。k=3n。

143132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:30:19.22ID:xhA/c8Sw
IMO 2006 [2]
予想する。n/2個=1003個。

帰納法で示す。
長さmの対角線に対して、
m≦n/2ならばm/2個以下。
m>n/2ならば(m+1)/2個以下。
大きな三角形で切る。
中心を通る三角形で切る。
切り出した範囲が半分以下の場合、二等辺三角形を一つ切り出す度に周の奇線が2個ずつ減っていく状況がある。その他では決して奇線が増えることはない。

144132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:54:27.02ID:xhA/c8Sw
IMO 1992 [2]

f(x)=xと予想する。
xを定数とするとfが全射であることが分かる。
従ってある実数aが存在してf(a)=0となる。
(∃a(∈R)f(a)=0)。

x=y=aを代入するとf(a^2)=a。
x=0, y=a^2を代入すると0=a^2+f(0)^2≧0。∴ a=0。
y=0を代入するとf(x^2)=f(x)^2。
これにx=1を代入するとf(1)=1。

ここからは、手順は長いがお約束の議論をするだけ。
・単調増加性。y=f(u)と置く。
・任意の整数から任意の有理数への拡張。
・任意の実数への拡張。任意の実数に収束する単調増加列と単調減少列が取れる。極限を取れば終了。

145132人目の素数さん2018/05/16(水) 17:23:47.34ID:xhA/c8Sw
IMO 1998 [6]

a=f(1)と置く。
t=1を代入すると、f(f(s))=sa^2。
s=1を代入するとf(at^2)=(f(t))^2
よってf(s)f(t)=f(ast)を得る。

素数pに関するオーダー。
aで割って同値変形するとgは全単射であることが分かる。
背理法でg(p)が素数であることが示せる。
素因数分解。最小値は 3×2^3×5=120となる。

146132人目の素数さん2018/05/16(水) 21:45:34.08ID:8DHUJKVX
驚愕の事実拡散

創価の魔(仏罰、現証、非科学的な原始的発想)の正体は、米国が仕掛けてるAI

パトカーの付きまとい、咳払い、くしゃみ、芝刈機音、ドアバン、ヘリの飛行音、子供の奇声、ドアバンも全て、米国が仕掛けてるAIが、人を操ってやってる。救急車のノイズキャンペーンに至っては、サイレンで嫌がらせにする為だけに、重篤な病人を作り出す冷徹さ

集スト(ギャングストーカー、ガスライティング、コインテルプロ、自殺強要ストーキング)以外にも、病気、痛み、かゆみ、湿疹かぶれ、臭い、自殺、殺人、事故、火災、台風、地震等、この世の災い全て、クソダニ米国の腐れAIが、波動(周波数)を悪用して作り出したもの

真実は下に

http://bbs1.aimix-z.com/mtpt.cgi?room=pr02&mode=view&no=46

https://shinkamigo.wordpress.com

147132人目の素数さん2018/05/16(水) 21:46:00.74ID:8DHUJKVX
驚愕の事実拡散

創価の魔(仏罰、現証、非科学的な原始的発想)の正体は、米国が仕掛けてるAI

パトカーの付きまとい、咳払い、くしゃみ、芝刈機音、ドアバン、ヘリの飛行音、子供の奇声、ドアバンも全て、米国が仕掛けてるAIが、人を操ってやってる。救急車のノイズキャンペーンに至っては、サイレンで嫌がらせにする為だけに、重篤な病人を作り出す冷徹さ

集スト(ギャングストーカー、ガスライティング、コインテルプロ、自殺強要ストーキング)以外にも、病気、痛み、かゆみ、湿疹かぶれ、臭い、自殺、殺人、事故、火災、台風、地震等、この世の災い全て、クソダニ米国の腐れAIが、波動(周波数)を悪用して作り出したもの

真実は下に

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148132人目の素数さん2018/05/19(土) 16:33:20.73ID:2D6t5iDX
重み付き相加相乗平均の不等式。
ミューアヘッドの不等式。バンチング。
シューアの不等式。
ヘルダーの不等式。コーシー・シュワルツの不等式。
並べ替え不等式。チェビシェフの不等式。
凸不等式。イェンセンの不等式。
偏微分。コンパクト集合。最大値の定理。ラグランジュの未定乗数法。特殊な変数変換。両辺を2乗する。対称性を残す。

149132人目の素数さん2018/05/19(土) 16:53:40.64ID:2D6t5iDX
重み付き相加相乗平均の不等式は同じものを別のものとして相加相乗平均の不等式を使えば導ける。
例:1つずつ攻撃を仕掛けていく。
例:300,210,111に適用する。410,311に適用する。重要。
例:600,510,420,411,330,321,222に適用する。
例:400,310,220に適用する。不等式の斉次化。
複雑な計算について。
シューアの不等式の証明。
例:ミューアヘッドの不等式で示せそうだが示せず、シューアの不等式ならば示せる不等式。よく観察すれば分かる。
L^pノルム。
例:ヘルダーの不等式により、p<qの時、p乗平均≦q乗平均が示せる。
例:重み付き相加相乗平均の不等式を凸不等式により証明する。y= logxを利用する。
例:凸不等式から導かれる定理。
例:偏微分の練習。C^1級関数。
例:最大値の定理。
例:ラグランジュの未定乗数法の練習。
例:ラグランジュの未定乗数法の練習。

150132人目の素数さん2018/05/19(土) 16:55:04.70ID:2D6t5iDX
IMO 1984 [6]
三角形の時の定石的変数変換をする。
あとは重み付き相加相乗平均の不等式で解決する。

151132人目の素数さん2018/06/12(火) 03:31:06.79ID:ynUWEJNA
IMO 2005 [3]
複雑な計算は表で整理する。対称性の利用。ミューアヘッドの不等式。重み付き相加相乗平均の不等式。

シューアの不等式。ミューアヘッドの不等式では解けない問題でも解ける場合がある。

IMO 1984 [1]
まずは斉次化する。左側は明らか。シューアの不等式の12倍と相加相乗平均の不等式の和になっている。
バンチングとシューアの不等式でかなりの問題が解ける。

ヘルダーの不等式。L^pノルム。コーシー・シュワルツの不等式の一般化。
p<qの時、ヘルダーの不等式より、p乗平均≦q乗平均。
並べ替え不等式。チェビシェフの不等式。
ヘルダーの不等式を利用する。相加相乗平均の不等式。等号成立条件。チェックすると良い。

関数の凸性、凸不等式。イェンセンの不等式。

152132人目の素数さん2018/06/12(火) 03:51:26.26ID:ynUWEJNA
上に凸。置き換えると示せる。

IMO 2001 [2]
変数変換をする。下に凸であることを示して、凸不等式を使う。因数分解出来ることに注意する。
偏微分。極大と極小。極値点。コンパクト集合。有界な閉集合のこと。最大値の原理。コンパクト集合上の連続関数ならば使える。ラグランジュの未定乗数法。束縛条件。
項毎に評価する。ミューアヘッドの不等式とシューアの不等式。重み付き相加相乗平均の不等式を使って示す。
項毎に評価する方針だと楽に解ける。次数を下げてから斉次化する。重み付き相加相乗平均の不等式でOK。

IMO 2000 [2]
置き換えて整理するとシューアの不等式になる。

IMO 2008 [2]a
別の変数変換を用い、整理すると簡単な2次式になる。

IMO 2006 [3]
2乗すると、絶対値が外れるだけではなく対称式が使えるようになる。変数変換で対称性は失われるが次数は下がる。
バンチング。ミューアヘッドの不等式と相加相乗平均の不等式を組み合わせて完成する。項を上手く組み合わせることは練習をしないと難しい。ヘルダーの不等式。
相加相乗平均の不等式。等号成立条件の追求。凸不等式の利用。斉次化の逆の操作。微分法を用いる。項毎に評価すると楽に行く。相加相乗平均の不等式。

IMO 2008 [2]ab
等号成立条件からバンチングは使えない。置き換え。
完全平方式になるので不等式の成立も等号成立条件も簡単に決まる。
バンチングとほぼ同様にして決まる。重み付き相加相乗平均の不等式。通分+展開は普通に行う。

153132人目の素数さん2018/06/12(火) 03:55:41.71ID:ynUWEJNA
IMO 2003 [5]
等号成立条件が大きなヒント。絶対値は必要なくなる。対称性。平行移動の変数変換が便利。等号成立条件が簡単に確認出来る。

IMO 2004 [4]
帰納法が使える問題。コーシー・シュワルツの不等式。平方完成で解ける。

154132人目の素数さん2018/06/12(火) 14:04:41.64ID:ynUWEJNA
素因数・約数を取って考える。
modで考える。
不等式評価。
ユークリッドの互除法。a|b・・・aが約数で、bが倍数。
mod mにおけるaの逆元。
中国剰余定理。どの2つも互いにその時。
フェルマーの小定理。オイラーの定理。オイラー関数。
位数。最小性。級数の形でかけるという事実。
原始根の存在。
原始根rを取る。
中国剰余定理により、mが素数冪の場合を考えれば十分である。二項定理。帰納法。4の時、奇素数冪の時、奇素数冪の2倍の時。単元群を実際に書いてみる。
平方剰余。平方非剰余。ルジャンドル記号。平方剰余の相互法則。平方剰余の第一補充則。平方剰余の第二補充則。
平方剰余の第一補充則はよく使われるが、平方剰余の第二補充則と平方剰余の相互法則は余り出てこない。
素数についてのオーダー。奇素数とする。オーダーで考える。位数。ディリクレの算術級数定理。互いに素。
an+bの形の素数は無限に存在する。互いに素なもの。位数。素因数。ジグモンディの定理。
不等式評価。範囲を絞る。平方数を絞る。倍数を絞る。隣り合うもので挟む。背理法。解が有限個になる場合が多い。試してみて解を推測することは重要。
決まった方針ではなく色々試してみる。無限降下法。最小の自然数を持ち出しても同じこと。
1つの解から次々に他の解を構成できれば良い、とするのも同じ発想。mod pでもn次方程式は高々n個しか解を持たない。
2次方程式。判別式Dが平方剰余か平方非剰余かによって違ってくるところも普通の2次方程式と似ている。一般の場合は中国剰余定理により、素数冪に帰着される。

155132人目の素数さん2018/06/13(水) 13:59:41.21ID:mTrBNE3Q
IMO 1983 [3]
背理法。modaで見ると、xbc≡-bc。よってx≡-1≡a-1。中国剰余定理より、各modで見て等しいので、積も等しい。

IMO 2005 [4]
答えは1のみ。6a(p-2]≡0。
これはフェルマーの小定理より成り立つ。

p≧5では位数p-1≧5-1=4となり、矛盾。
よって5以上の素因数を持たない。
3^2では位数6の数が存在する。
また、2^4では位数4の数が存在する。
よってn=2, 4, 8, 3, 6, 12, 24の7個が必要で、十分性を確認すると全て条件を満たすので解となる。

d=0の時・d=-1の時・その他の時で場合分け。
指数の偶奇を決定する。
平方剰余の相互法則、中国剰余定理。原始根。平方数にする。

IMO 1990 [3]
nは奇数。最小の素因数をpとする。n= 3のみ。
素数pについてのオーダーの問題。
偶奇性。次も偶奇性。オーダーの定理。

IMO 1999 [4]
n=1の時。pは任意。p=2の時。n=1, 2。
以下n≧2かつp≧3とする。
pは奇数。nも奇数となる。nの最小の素因数をqとする。
mod qでのp-1の位数| gcd(2n, q-1)。
答えは(1,p), (2,2), (3,3)。(pは任意の素数)

156132人目の素数さん2018/06/13(水) 14:32:28.70ID:mTrBNE3Q
IMO 2008 [3]
平方剰余の第一補充則。不等式で範囲を絞れる。まず、20より大きな場合に存在することを示す。背理法で無限に存在することを示す。

IMO 2000 [5]
素数pのオーダーに関する定理を使うと見通しよく解ける。
偶奇性。3のオーダーを見る。

互いに素な場合だけを考えれば良いことを示しておく。素数pのオーダーに関する定理が使える。

IMO 2007 [5]
modaで見る。無限降下法で矛盾を導く。
対応のさせ方の問題。平方剰余の問題。
背理法。平方非剰余。完全平方数。

157132人目の素数さん2018/06/15(金) 15:15:59.75ID:rISGKQgU
幾何の使い方。
難しい定理は余り必要無い。円周角の定理、方冪の定理、相似などの基本的な道具。共円点。
結論から辿る。使いやすい条件と使いにくい条件がある。
図を描く順番もある。
反転。直線は無限大の円と考える。自分自身に移る。円は円に移ると統一的に理解できる。接する条件は保存される。
Pを中心とした反転半径1の反転を考える。
回転と鏡映を要しないもの。同一直線上。円周角の定理。傍接円。根軸。一定の〜問題では、特殊な図を描いて特定してしまうことが多い。条件を緩めてそれっぽい点を探すのも良い。
外接円上にあることが分かる。極端な場合は極限を考えることも有効。有向角や符号付面積で場合分けを回避する。三角形の各所の長さについて一通り確認しておく。
射影幾何の定理。パップスの定理。デザルグの定理。パスカルの定理。ブリアンションの定理。双対の関係にある。双対命題。射影変換。複比。調和点列。符号付き長さ。
配景写像。写像。全単射。配景写像は複比を保つ。調和点列を調和点列に移す。チェバの定理。メネラウスの定理。アポロニウスの円。調和点列。反転は複比を保つ。
円と直線の代表的な構図。三角形の垂線の足。回転型の相似。傍心。共円に着目する。相似。共円を発見してから円周角の定理で角を移動させる。

158132人目の素数さん2018/06/15(金) 15:48:05.20ID:rISGKQgU
幾何を計算主体で解くための方法。
場合分け不要の場合が多い。中難度以下の問題ならば正解に辿りつける。難問になると最後まで行かないかもしれない。割り切らずに適宜、幾何と計算を使い分ける。

座標では直交座標、斜交座標、複素座標。
ベクトル。三角関数。
複雑さを見積もりながら進めるのがコツ。最初の段階で計算出来そうか否かを何度も何度も考えた方が良い。この部分が最も差がつく部分。

場合分け無く使える置き方が後々便利。一般形で置く。使えると、意外と平行や垂直が見やすく一般形も捨てたものではない。クラメルの公式。三角形の五心。オイラー線。
始点を工夫すると(覚えておくと)、ベクトルも便利。
内接円の中心の座標の置き方。傍心についても同様。
しかし外心や外接円は計算が大変。2つの外心の移り変わりを意識した置き方。
具体的な図で計算しておくとミスが見つかりやすい。

三角関数では正弦定理と余弦定理くらいしか使わない。和積変換と積和変換ではcosに統一して使う。公式を減らしておく。

複素座標。直線の方程式。垂線の方程式。垂線の足。円の接線。交点の座標。外心、垂心の座標。外接円の接線。接弦定理。複素座標だと三角形の五心の座標は全て簡単な式になる。等比数列。幾何でやると場合分けに気付きにくい問題。

159132人目の素数さん2018/06/18(月) 18:54:21.84ID:RIHcy4/9
IMO 1959 [3]
与式のcosxにcos2xの式を代入する。数値を代入すると元の2次方程式と同じになる。この方程式は1の5乗根を表す。

160132人目の素数さん2018/06/19(火) 05:24:05.69ID:8xCQgAqp
1
完全平方数の個数の問題。
割り切れる。割り切る。倍数。約数。因数。反射律。
2
連続2奇数の和。連続3整数の和。
推移律。完全平方数。偶数個の約数。平方因子を持たない。
3
分母を払って左辺=奇数, 右辺=偶数と矛盾を導く。
完全立方数。完全冪乗数。基本的なアイディア。
4
2通りに素因数分解される数字が候補となる。
整数の割り算。割り算のアルゴリズム。ある目的を達成するための手順のこと。
5
二項定理。「8の倍数+2」の形に持ち込めた。
商。余り。これらは非負整数。存在性と一意性。
6
1つは奇数に決まる。それ以外の1つは2となる。
二項定理。合同式。
7
解と係数の関係。
素数。素因数。合成数。エラトステネス。
8
階乗+2〜階乗+21で構成する。
合成数は素数よりも多い。双子素数。ユークリッド。
9
約数を一覧表にする。大きな数を構成してそれを超えられないことを証明する。
素因数分解の一意性。存在性。素数が無限に存在することの証明。全ての単位分数の和が発散することを用いる。
10
因数分解。
完全に割り切る。ゴールドバッハ。整数係数多項式。二項定理。pのみを取る。無限に同じ値を取る事は出来ない。高々有限回に限られる。

161132人目の素数さん2018/06/19(火) 05:37:40.03ID:8xCQgAqp
11
4と9は互いに素なので、1/9。
矛盾なく定義される。well-definedと言う。解析的整数論。素数定理。アダマール。ド・ラ・ヴァレー・プーサン、エルデシュ。セルバーグ。
12
ユークリッドの互除法。
公約数。最大公約数。互いに素。
13
11が作れず、12以上は全て作れることを示す。
ユークリッドの互除法。アルゴリズム。手順。
14
2= 5×4- 9×2。
ベズーの恒等式。一次結合。整数論の基本定理。
15
「GCD×互いに素」で置く置き方。不等式評価。
ユークリッドの互除法。ディオファントス方程式。
16
「満たす個数/全体の個数」で求まる。
最小公倍数。無限集合。公倍数。
17
約数の個数。場合分け。
約数の個数。乗法的関数。
18
約数の個数。積を作る時にも公式はある。

162132人目の素数さん2018/06/19(火) 12:06:34.84ID:8xCQgAqp
IMO 1959 [4]
作図。
c/2を半径とする半円を描く。高さh= c/4とする。
面積はc^2/8=ab/2より、c^2=4ab。

19。偶数である約数。冪乗の和を括弧の中に入れたもの同士をかける。等比数列の和の公式を使う。
約数の和。総和。乗法的関数。式の展開。等比数列の和の公式。
20。少なくとも1つ存在することからスタートする。有限個しかないと仮定して背理法。
合同式。0は倍数にはなるが約数にはならない。mを法として合同。合同関係。反射律。推移律。対称律。
21。異なる素数であるから互いに素。上限を抑えて虱潰しする。
和差、整数倍、積、冪。割り算アルゴリズム。4k+3型。6k-1型。ディリクレの定理。素数の密度。解析的整数論。
22。2^3 =2^2+2^2的な式変形。
適切な法を選ぶこと。ディオファントス方程式。フェルマー数。連立一次合同式。一次合同式。
23。2の時、3の時、それより大の時に場合分け。
中国剰余定理。割り切れる記号。合同式。ディオファントス方程式。冪乗を減らす公式。ベズーの定理。
24。完全剰余系でコツコツ調べる。
剰余類。完全剰余系。オイラーの定理。完全剰余系。ウィルソンの定理。逆も成り立つ。
25。2, 3, 5。それ以外だと矛盾することを示す。
26。完全剰余系にならない問題。偶数に対しては矛盾することを示す。
27。aと互いに素な全ての正の整数m。完全剰余系であることの証明。逆元。
28。剰余類に置き換える。ユークリッドの互除法。辺と頂点。

163132人目の素数さん2018/06/19(火) 14:51:15.17ID:8xCQgAqp
29。abで括る。因数分解する。場合分け。フェルマーの小定理。
30。1並び問題。明らかにフェルマーの小定理。
31。フェルマーの小定理。互いに素。オイラーの定理。
フェルマーの小定理。オイラーの定理。互いに素な剰余系。φ関数。既約剰余系。
32。簡単に見えるように置き換える。オイラーの定理。互いに素。
帰納法。mを法とした既約剰余系。逆元の一意存在性。
33。フェルマーの小定理。逆元の考え方。
ウィルソンの定理。カーマイケル数。位数。
34。dを法としたaの剰余類で考える。フェルマーの小定理。互いに素。
35。補題を示す。合成数かどうかをフェルマーの小定理で判別する。逆は成り立たないことに注意。オイラーの定理。位数。
36。因数分解する。互いに素。
オイラー関数。乗法的関数。包除の原理。互いに素。
37。全ての和の半分。全ての和の2倍。
フェルマーの小定理からオイラーの定理。素因数分解。ガウス。

164132人目の素数さん2018/06/20(水) 14:04:55.10ID:6k6QLamf
38。3数に対して1つの文字の係数をmodに取る。重要。
一文字消去。
乗法的関数。約数の個数。約数の総和。オイラー関数。
39。同様に解いてパラメーターの不等式評価して終わり。
最も抽象的。数論的関数。乗法的関数。素因数分解。
40。11の倍数になる事が分かる。
メビウス関数。乗法的関数。数論的関数。和関数。
41。3個並び=111の倍数=3×37の倍数。場合分け。
乗法的関数になる。互いに素。メビウスの反転公式。
42。1,2,5のみと分かる。文字で置いて条件を用いて文字消去。
1次ディオファントス方程式。ベズーの定理の拡張。
43。少なくとも○○以上となる。
整数パラメーター。帰納法。数の表記。整数列。
44。十進法⇔三進法。十進法⇔二進法。
割り算のアルゴリズム。繰り返し用いる。b進法表示。桁。
45。基本的なアイディアは中学の教科書に載っているやり方でOK。
十進法。ディオファントス方程式。連続2整数の間にある。
46。九進法ということになる。
階乗基表現。フィボナッチ数列。フィボナッチ数。
47。1並び問題。九進法でやる。三角数。
ツェッケンドルフ表示。
48。1並び問題。完全平方数。n進法として進める。偶奇性。場合分け。
49。階乗基表現。差分の形で階乗基表現を用いる。例外を除いて成り立つ。場合分け。

165132人目の素数さん2018/06/20(水) 14:17:54.06ID:6k6QLamf
50。1並び問題。完全平方数にはならない。問題24より。mod 9で2となるから完全平方数ではない。各桁の和が3の倍数にはなるが9の倍数にはならないので完全平方数ではない。
十進法における倍数の性質。余りの問題。
51。3の倍数かつ5の倍数。倍数の見つけ方は容易。
どの桁も奇数。完全剰余系。
52。同値命題に変形して行く。
完全剰余系。各桁の数の和。準加法的性質。
53。帰納法。十分大きな奇数を取る。重要。右から見て行き最小の整数を特定する。
準乗法的性質。対称性。
54。筆算で引き算を行う。
繰り上がりについて考えることがとても重要であることが分かる。
55。構成する。自分で考えなければならない。
56。1並び問題。このような完全平方数は存在する。
57。各桁の和は比較的小さいことが分かる。これを繰り返すと急激に数が小さくなり絞れる。mod。

166132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:00:29.52ID:6k6QLamf
IMO 1976 整数
不等式で絞って行く。

58。床関数、天井関数、小数部分の定義から導かれる公式を使う。
ガウス記号。床関数。整数部分。床。ガウス記号。
59。非減少であることを導く。任意の整数値を取る。
床関数。小数部分。天井。天井関数。フィボナッチ数列。
60。整数部分を求めて小数部分を不等式評価する。
特性方程式。性質。床関数は非減少関数。階段関数。
61。小数部分の処理の仕方。2次方程式を解く。フィボナッチ数列。特性方程式。
床関数と天井関数に関する多くの難問。エルミートの恒等式。ルジャンドル関数。数論的関数。
62。2次方程式を解いて場合分けにより虱潰し。
ルジャンドル関数。ルジャンドルの公式。数論の言葉。組合せ論の言葉。ルジャンドルの公式。十進法表記。
63。対称性。記号の定義に従う計算。
ルジャンドルの公式。フェルマー数。フェルマー素数。フェルマーの小定理の逆の反例。メルセンヌ数。
64。不等式評価してから2乗して根号を消す。階段関数。
フェルマーの小定理。完全数。メルセンヌ数。十分条件はユークリッド。必要条件はオイラー。
65。20以下を調べれば良いことに帰着する。場合分け。
乗法的関数。乗法的関数。
66。互いに素。
メルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一に対応する。

167132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:21:36.66ID:6k6QLamf
67。完全平方数。不等式で評価してか二乗して根号を消す。整数か無理数かで場合分け。
1次ディオファントス方程式。ウィルソンの定理。nを法とした完全剰余系。mを法とした位数。エルミートの恒等式。
68(1)次の問題(2)に上手い値を代入すると示せる。
背理法、辺々足す、整数条件。再び背理法、辺々足す。
(2)帰納法。辺々足す。
オイラーの定理。オイラーのφ関数。階乗基表現。ガウス記号。整数部分。床関数。カーマイケル数。合成数。完全数。
別解。k -サイクル。関数的性質。エルミートの恒等式。整数か整数でないかで場合分け。
合同式。合同関係。小数部分。乗法的関数。数論的関数。互いに素。数論的関数。正の整数上。整数の割り算。
69。不等式で評価する。
非負整数の組。素因数分解。素因数分解の一意性。相加相乗平均の不等式。冪平均不等式。素数定理。
70。エルミートの恒等式。繰り返し用いる。
素数の個数の密度。ツェッケンドルフ表示。フィボナッチ数の和。等差数列における素数定理。互いに素。
71。行列の利用。最小の整数。要素の和。
ルジャンドルの公式。
ルジャンドル。ディリクレ。シャルル・ド・ラ・ヴァレー・プーサン。二項係数。二項定理。鳩の巣原理。b進法表示。
72。公式で一発。そのまま。
ビーティの定理。正の無理数。共通部分の無い集合。和集合は正の整数全体になる。

168132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:21:59.74ID:6k6QLamf
73。前問と同様に考える。床関数。等比数列。近似する。
フィボナッチ数列。フェルマーの小定理。ベズーの恒等式。整数論の基本定理。ベルヌーイの不等式。1次近似の式。
74。ほぼ公式そのまま問題。
メビウス関数。数論的関数。1, 0, (-1)^k。メビウスの反転公式。乗法的関数。和関数。メルセンヌ数。
75。前問を適用する。上手い値を代入する。
約数の個数。約数の和。ユークリッドの互除法。割り算を繰り返す。有限回で終了する。
76。合成数。完全に割り切る。ルジャンドルの公式。
ルジャンドル関数。pの指数。素因数分解。
77。因数分解の公式を繰り返し用いる。重要。
素数か非素数か、無限個あるか有限個か。
フェルマー素数が無限にあるかどうか。
合成数のフェルマー数が無限にあるかどうか。
78。互いに素。問題77の利用。問題22の特別な場合。
ルジャンドルの公式。和関数。数論的関数。
79。定理が使える形に変形する。偶数であることを示す。素数にならない。
フェルマーの小定理の逆が成り立たないこと、反例を与えることになる。

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