IMO 2008 [3]
平方剰余の第一補充則。不等式で範囲を絞れる。まず、20より大きな場合に存在することを示す。背理法で無限に存在することを示す。

IMO 2000 [5]
素数pのオーダーに関する定理を使うと見通しよく解ける。
偶奇性。3のオーダーを見る。

互いに素な場合だけを考えれば良いことを示しておく。素数pのオーダーに関する定理が使える。

IMO 2007 [5]
modaで見る。無限降下法で矛盾を導く。
対応のさせ方の問題。平方剰余の問題。
背理法。平方非剰余。完全平方数。