IMO 1983 [3]
背理法。modaで見ると、xbc≡-bc。よってx≡-1≡a-1。中国剰余定理より、各modで見て等しいので、積も等しい。

IMO 2005 [4]
答えは1のみ。6a(p-2]≡0。
これはフェルマーの小定理より成り立つ。

p≧5では位数p-1≧5-1=4となり、矛盾。
よって5以上の素因数を持たない。
3^2では位数6の数が存在する。
また、2^4では位数4の数が存在する。
よってn=2, 4, 8, 3, 6, 12, 24の7個が必要で、十分性を確認すると全て条件を満たすので解となる。

d=0の時・d=-1の時・その他の時で場合分け。
指数の偶奇を決定する。
平方剰余の相互法則、中国剰余定理。原始根。平方数にする。

IMO 1990 [3]
nは奇数。最小の素因数をpとする。n= 3のみ。
素数pについてのオーダーの問題。
偶奇性。次も偶奇性。オーダーの定理。

IMO 1999 [4]
n=1の時。pは任意。p=2の時。n=1, 2。
以下n≧2かつp≧3とする。
pは奇数。nも奇数となる。nの最小の素因数をqとする。
mod qでのp-1の位数| gcd(2n, q-1)。
答えは(1,p), (2,2), (3,3)。(pは任意の素数)