現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） リプシッツ”不”連続点なる用語はR－B_fを指しているわけね。
>>209の後段は取り消す。
でもそうなると、なぜ存在しえないのか？に対しては証明を読めば分かるだろ、という答えになるわけだが。 午後からの用事が終わったので復帰。
>>206
スレ主にしてはきちんと状況判断が出来ていて悪くない問い方である。
ただし、その問いに関する答えはハッキリしている。
＞５．問題は、なぜ、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”のか？
なぜ存在し得ないかというと、例の定理が成り立つからだ。なぜ例の定理が成り立つかというと、
その証明は既にアップしてある。全部で5ページだが、実質的には2ページ足らずの証明である。
スレ主が頑なに拒否してるだけ。全てスレ主の自業自得。
＞非可算無限個で稠密なら可能なのに。有限個でも可能なのに。
＞その中間たる”可算無限個”では、なぜ存在しえないのか？
可算・非可算で分類するのは筋違い。例の定理の証明にはベールのカテゴリ定理を使うのだから、
「第一類集合」「第二類集合」で分けた方が見やすい。
集合Aが第一類集合であるとは、Aが内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるときを言う
(これと僅かに異なる定義も存在するが、ここでは本質的な違いではない)。
また、集合Aが第二類集合であるとは、Aが第一類でないときを言う。
・ 有限集合は常に第一類集合である。
・ 可算無限集合も常に第一類集合である。
・ 非可算無限集合は、第一類になったり第二類になったりする。
また、例の定理が言っているのは、
「 R－B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である」ということ。
[続く] [続き]
以下、件の関数の存在の有無を、「稠密版」と「そうでない版」で条件を場合分けして見ていく。
稠密版
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「R上に稠密に分布する非可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能であるが、非可算無限集合は
第二類集合になり得るので、例の定理の適用範囲外になり、そういう例が実在しても おかしくない。
「R上に稠密に分布する可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は不可能であるが、可算無限集合は
常に第一類集合だから、例の定理が適用でき、それゆえに不可能である。
「R上に稠密に分布する有限個の点でのみリプシッツ不連続」も実は不可能である。なぜなら、
有限個の点はそもそもR上で稠密に分布できないから。
★ 従って、稠密版では、「非可算無限集合」のみが "可能になり得る" のであり、
可算無限以下では常に不可能となり、実はキレイに条件が分かれる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
稠密という条件を取り除いた版
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「単に非可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。なぜなら、
「稠密に分布する」という強い条件の時点で既に存在するからだ。
「単に可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。なぜなら、
たとえば「整数点」でのみリプシッツ不連続であるようにすればいいからだ
(そのような関数は明らかに構成できる)。
「単に有限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。
実際、1点でのみリプシッツ不連続な例を既に挙げてある。
★ 従って、稠密という条件を取り除いた版では、可算・非可算に限らず "可能になり得る" 。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] [続き]
以上の準備のもとで、スレ主が言うところの
「なぜ非可算個と有限個は可能なのに可算無限だけはダメなのか」
という問いに答えると、それは次のようになる。
「スレ主は、稠密版とそうでない版をごっちゃにして考えているのがおかしい。
稠密版に統一すると、非可算無限のみが可能になり得て、可算無限以下は不可能なので、
実はキレイに条件が分かれている。また、稠密という条件が無い版に統一すると、
可算・非可算に関わらず常に可能なので、これまたキレイに条件が整っている。」
「さらに、稠密版に統一した場合に、可算無限以下で不可能になる理由は、例の定理が適用できるから。
あとは例の2ページの証明を読めば全て解決する。さっさと読めや」 [補足]
スレ主が言うところの
「なぜ非可算個と有限個は可能なのに可算無限だけはダメなのか」
という問い方は、
「可算無限だけがダメというのは不自然なので、例の定理は間違っている公算が高い」
という目論見で書いた問いであると思われる。
しかし、既に書いたように、スレ主は稠密版とそうでない版をごっちゃにして考えているのがおかしいのであり、
稠密版に統一すればキレイに条件が分かれるし、稠密という条件が無い版に統一してもキレイに条件が整っている。
この時点で、スレ主の目論見は的外れということになり、スレ主は振り出しに戻ることになる。
馬鹿の考え休むに似たり。
さっさと2ページの証明を読めばいいのに、いつまでこんな不毛な考察を続けるつもりなんだろうな。 >>214
> さっさと2ページの証明を読めばいいのに、いつまでこんな不毛な考察を続けるつもりなんだろうな。
スレを伸ばせば彼の勝ち、なのかもしれないが・・・
いずれにせよ不毛だ よかったなあスレ主
お前がどうバカなのか手取り足取り教えてくれる人がいて
感謝しないと罰が当たるぞ？ スレ主の論理不透明な文章をあそこまで読み解ける明晰さはすごい >>208-218
オハヨー、朝です。
(^o^)
みなさん、ご苦労さん（＾＾ >>206
自己解決しました
１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
２．さて、結論から言えば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
３．それを説明するために、まず階段函数を考える
x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続
４．次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
（これは、いま問題にしている変形トマエ関数の不連続点の簡単なモデルでもある）
階段函数同様、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
しかし、上記３と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
（この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる）
この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
５．このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 カントール集合
（カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。）
つづく >>220 つづき
６．それで、リプシッツ”不”連続点が、カントール集合のような、内点を持つ集合（開集合か閉集合かを問わず）で、かつルベーグ測度は 0 なる集合で被覆できる点であるとするならば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とした仮定の置き方がおかしい
７．もっと言えば、上記の定理でいうリプシッツ”不”連続点は、必ず内点を持つなら、仮定の”内点を持たない閉集合被覆できる”が言えなくなる
その場合、論理的には真（仮定が成り立たないときの命題は常に真）だが、現実の函数（変形トマエ関数のような）については、なにも語っていないことになる
以上 >>220
おっちゃんです。
>１．（>>97より）
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする．
>Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
>と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
>上でリプシッツ連続である．
>（以下証明の文言から）
>よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
>２．さて、結論から言えば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
私はここに投下された pdf を読んでいないので何ともいえず、スレ主はその pdf の内容について
いっているのだろうが、2の「""」の中の文は仮定だから問題ない(であろう)。 >>222
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾ >>220
ぜんぜん自己解決してない。論理が滅茶苦茶。
おそらくスレ主は、「内点」がどういう概念なのか全く理解していない。
なので、先に「内点」の定義から始める。位相空間で定義するのが一般的だが、
スレ主のレベルの低さに合わせて、距離空間でのみ定義する。
定義：(開球の定義)
(X, d) を距離空間とする。x∈X を中心とする半径 r の開球を B_r(x) と書くことにする。
すなわち、B_r(x)：＝{ y∈X｜d(x,y)＜r } である。
定義：(内点の定義)
(X, d) を距離空間とする。A⊂X とする。点 x∈A が集合 A の内点であるとは、B_r(x)⊂A なる r＞0 が
存在するときを言う。特に X＝R の場合を考えると、集合 A⊂R と x∈A について、
「点 x∈A が集合 A の内点であるのは、x∈(a,b)⊂A なる開区間 (a,b) が存在するとき、かつそのときに限る」
ことが確認できる(距離空間に関する初等的な演習問題である)。
補足：
上記の定義により、「内点」という概念は集合 A とセットで定義される概念であることが分かる。
つまり、集合 A を指定せずに「内点」とだけ書いても意味が定まらない。
必ず、「集合 A の内点」という形で、集合 A とセットで用いられる。
従って、同一の点 x が、ある集合 A においては内点になり、別の集合 B においては内点にならないという事態が
容易に起こる。たとえば、点 0 ∈ R は集合 { y∈R｜－1＜y＜1 } の内点であるが、しかし集合 {0} の内点ではない。 以上の準備のもとで、>>220-221 の間違いを指摘する。
どの間違いも、「内点」に対する勘違いが原因であると思われる。
>>220
＞５．このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
＞（カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。）
大間違い。カントール集合は内点を持たない。以下、カントール集合のことを S と書くことにする。
もし S が内点を持つなら、S の内点の1つを x とすれば、x∈(a,b) ⊂ S なる a,b が取れるので、
S のルベーグ測度は少なくとも (b－a) 以上となり、S の測度が 0 という事実に矛盾してしまう。
よって、S は内点を持たない。
>>221
＞６．それで、リプシッツ”不”連続点が、カントール集合のような、内点を持つ集合（開集合か閉集合かを問わず）で、
＞かつルベーグ測度は 0 なる集合で被覆できる点であるとするなら
大間違い。「内点を持つ集合で、かつルベーグ測度は 0 なる集合」は存在しない。理由は上と同じ。
[続く] [続き]
>>220
＞４．次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
＞(中略)
＞この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
「X=0なる内点を持つべし」という書き方では、意味が定まらない。
x＝0 がどんな集合において内点になるのかを、スレ主は明確に書いていない。
おそらくは、R－Bf という集合の内点を考えているのだろうが、今回の f の場合、R－Bf ＝ {0} となるので、
「 x＝0 は集合 R－Bf の内点ではない 」
ということが分かり、「X=0なる内点を持つべし」というスレ主の発言は間違っていることになる。
[続く] [続き]
さらに、「X=0なる内点を持つべし」の理由も滅茶苦茶である。
＞しかし、上記３と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
＞（この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる）
＞この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
これがスレ主の挙げた理由である。どうやら、「 x＜0 と x＞0 の双方から見てもリプシッツ不連続 」ということから、
「X=0なる内点を持つべし」ということを結論しているようだが、論理的には何も繋がっておらず、
なぜそれで「X=0なる内点を持つべし」が結論されるのか全く不明である。
また、スレ主が一体どういう勘違いをしているのかも不明である。俺が推測するに、おそらくスレ主は
「 x＝0 を含む十分小さな開区間 (－ε, ε) における f の勾配を観察するうちに、いつの間にか (－ε, ε) が
主体になってしまい、x＝0 は (－ε, ε) の内点であると主張するようになってしまった」
のだと推測される。もちろん、x＝0 は (－ε, ε) の内点である。しかし、x＝0 は R－Bf の内点では無い。
なぜなら、R－Bf ＝ {0} だからだ。まとめると、スレ主は
「 x＝0 は (－ε, ε) の内点である」
という、R－Bf の内点とは無関係の主張をした上で、「そもそも どんな集合の内点を考えていたのか」を
全く意識しなかったがゆえに、(－ε, ε) と R－Bf を混同してしまい、
「 x＝0 は R－Bf の内点である」
という間違った結論に達したのだと推測する。当たらずといえども遠からず、といったところだろう。
[続く] [続き]
>>221
＞”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とした仮定の置き方がおかしい
この発言もまた、「内点」に対する不勉強が原因の間違いであると推測されるが、
「内点」を抜きにして考えても、実は間違った発言になっている。
・ R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できない」場合は、そもそも例の定理の適用範囲外。
・ R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できる」場合は、例の定理が適用できる。
・ R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できる」ような具体例は、既に挙げてある。
従って、「 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」という条件には何の不備も無いのである。
＞７．もっと言えば、上記の定理でいうリプシッツ”不”連続点は、必ず内点を持つなら、仮定の”内点を持たない閉集合被覆できる”が言えなくなる
＞その場合、論理的には真（仮定が成り立たないときの命題は常に真）だが、現実の函数（変形トマエ関数のような）については、なにも語っていないことになる
何も語ってないのはスレ主である。スレ主がここで言っているのは、
「例の定理の適用範囲外となる条件を考えれば、例の定理は適用できない」
という下らない主張である。この下らない主張そのものは論理的には正しいが、
しかし例の定理について何も言ってない。
そもそも、スレ主は「内点」という概念を勘違いして使っているので、
言っていることが最初から滅茶苦茶である。
総合すると、結局今回も、「馬鹿の考え休むに似たり」といったところ。 >>228
どうもスレ主です。
ご丁寧なレスありがとう（＾＾
考えてみるよ
しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい？ なんで、だれも類似のことを証明していなかったんだろうね？ プロ数学者たち？ >>229-230
＞しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい？
＞なんで、だれも類似のことを証明していなかったんだろうね？ プロ数学者たち？
詭弁である。
お前が「プロ数学者」を持ち出す以上、このスレで何人の賛同者が出ても、
お前の口からは同じセリフが出るであろう。つまり、賛同者がたくさんいた場合には、
「このスレでは賛同者がたくさんいるようだが、
プロ数学者が誰も発見してなかったのはなぜだろうね？」
という書き方をするに決まっているのである。そして、お前は もはや
「プロ数学者が見つけてないから間違ってるに決まっている」
という、正真正銘のイチャモンをつけるしか能が無くなったようである。
「馬鹿の考え休むに似たり」とは言ったが、もはや考えることすらやめて、
単なる馬鹿に成り下がったらしい。
ちなみに、我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が既に成されていると俺は推測する。
誰かの名前がついた定理の形には なってないのかもしれないが、どこぞの大学の講義の演習問題に
全く同じ問題が載ってるとか、そんなレベルでもいいから、とにかく発見済みのはずである。
なんたって、straddle lemma の真似をしたあとでベールのカテゴリ定理に繋げるだけの、
超簡単な証明なんだからな。お前は未だにその2ページの証明から逃げ回ってるがｗ いや、いま職場からだから、簡単にな
単純に、不思議だなと
わずかな分量の超簡単な証明だという
では、なぜ賛同者が一人？
なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか？ どうしてそんなに数日に渡る問題になるか？
と思って私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた。
変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるからこれは面白い
fを取らない方法で自分の課題も纏められるかもと考えれた そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ >>234
BLACKXスマホ ◆jPpg5.obl6さん、どうもスレ主です。
良かったら、証明よんであげて
そして、レスしてあげてください（＾＾ >>235 訂正
ビックカメラ
↓
ビックリカメラ
（＾＾ >>233
＞なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか？
我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が
既に成されていると俺は推測する、と何度も述べている。
>>235
＞そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ
詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、
「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」
という状況を想定しているのだと思われるが、この理屈が通るのは、
そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。
「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、
うっかり乗せられた挙句に徒労に終わったら たまったものではありません。」
このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は
・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある
のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である。証明の間違いが直接的に発見できたなら、その時点でスレ主に
軍配が上がることになり、決着がつくのだから、むしろ それはスレ主が望んでいることであろう。
別の言い方をすると、定理の成否に興味がある時点で、「うっかり乗せられる」という発想は
決して出てこないはずなのである。そこがスレ主の詭弁である。 >>236
私は証明PDFを読んだ結果が>>234だけど？ちゃんと私のレス読んだ？ 証明pdfのline2-7に吹いた
スレ主に理解させるにはここまで書かなきゃいけないのかと
そしてそれを読めないスレ主にも吹いた >>241
> 証明pdfのline2-7
ページ2のline2-7ね
どんな易しい本もここまでは書かないよ >>239-242 & >>231
どうも。スレ主です。
BLACKXちゃんの日本語難しいわ
「私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた」は、
何を読んで、何がどう理解できたと？（＾＾
で、いま問題にしているのは、「証明が正しいかどうか」であって、「理解できた」では、「証明が正しい」との間には、ギャップがあるけどね（普通の数学の会話では）
「変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるから」も意味わからんかったな～（＾＾
まあ、「証明が正しい」と言いたいんだろう
お一人、「証明が正しい」という人が増えて、今二人か
さあさあ、あとは、無いか無いか >>238
>詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、
>「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」
>という状況を想定しているのだと思われるが、
いや、”徒労”も少しあるが、
懸念しているのは、”騙される”ってやつよ
「だんな、この話は儲かりますよ」という類いで、一つ一つのロジックは一見もっともだが、全体としては「なんか可笑しい」ということ。これよくあること
だから、定理の真贋を見極めるのが先だと。そのために、その定理が既存の数学理論の中でどう位置付けられるのかを調べている >>224
いや、講義はありがたいが、下記
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
で、話は通常の実数Rで、f : R → Rは、不連続を許す、１変数一価関数でだと。
そこに、通常のいわゆる自然な（アルキメデス）距離を、入れる。
１次元のユークリッド空間と、(x,y)で２次元までで可だと
だから、難しい位相はちょっと置いておいて
”内点を持たない閉集合”とは、「ある１点から成る集合」と簡単に書けば良いのでは？
それから、”Bf :={x ∈ R・・”なのだから、これは１次元の話で、R－Bf も同様に１次元の話
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
違ったらそう言ってくれ >>225
>大間違い。カントール集合は内点を持たない。
ああ、そうかも。まあ、”カントール集合は内点を持たない”は、
「孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。」（>>141）
から即断して例示したが、カントール集合は離散集合ではないのか？ >>226-228
えーと、>>220で４項の前に書いた、３項（下記）をスルーした？
”３．それを説明するために、まず階段函数を考える
x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続”
このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
そもそも、”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？ >>246
＞カントール集合は離散集合ではないのか？
レベルが低すぎて お話にならんなｗ
カントール集合は内点を持たない閉集合で、かつ 非 可 算 無 限 集 合 である。
離散集合は自動的に可算なので、カントール集合は離散集合にならない。
>>245
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、
＞「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
＞違ったらそう言ってくれ
ぜんぜん違う。「内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるもの」が存在する。
従って、「1点から成る集合の高々可算和」に限定すると、定理の主張が弱くなってしまう。 >>247
＞”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？
スレ主が持ってきた「3」と「4」の2つの例では、どちらも被覆「できる」。
なぜなら、どちらの例でも R－Bf ＝ {0} が成り立つからだ。
スレ主は何かを盛大に勘違いしている。何を勘違いしているのかは俺にも分からない。
質問の意図も不明瞭である。一応、以下で回答する。
＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？
「 x＝π と x＝√2 の２点においてリプシッツ不連続である」
のような、具体的な形で答えよ。また、何度も言うように、「内点を持つよ」という書き方だけでは意味が定まらない。
内点とは集合とセットで用いられる概念である。どのような集合の内点を考えているのか、その「集合」を明示せよ。
ちなみに、「3」の関数でも「4」の関数でも、R－Bf ＝ {0} が成り立つので、リプシッツ不連続点は x＝0 の一点のみである。
特に、R－Bf は内点を持たないし、R－Bf は「内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」ことになる。
なので、スレ主は何かを盛大に勘違いしている。 補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
「3」の関数でも「4」の関数でも、
・ x≠0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0
・ x＝0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞
という性質が成り立つことが確かめられるので、それらの関数のリプシッツ不連続点は、どちらの関数でも
「 x＝0 のみ」であり、よって R－Bf ＝ {0} である。一方で、スレ主は何かを盛大に勘違いしつつ
「リプシッツ不連続点は左右２点ある」などと言っているので、繰り返しになるが、どの２点のことを
言っているのか、具体的に答えよ。より明確に解答形式を指定すると、
「 3 の関数は x＝√2 と x＝e^e の２点においてリプシッツ不連続である」
「 4 の関数は x＝－1 と x＝2017 の２点においてリプシッツ不連続である」
のような形で答えよ。 >>155のスレ主の
＞「< +∞」の解釈が問題となる
というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
スレ主は R－Bf がどういう集合を意味するのか
理解してないのかもしれない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R → R に対して、
B_f：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ }
と定義したのだった。このとき、
R－B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
これが成り立つことは理解してるだろうな？ >>233
> いや、いま職場からだから、簡単にな
スレ主はさっさと仕事を辞めて、
数学に集中すべし‼ >>251
おれは、「”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？
調べた限りでは、無かった
だから、そこから独自理論？
>＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
>＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
>質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？
リプシッツ連続、リプシッツ”不”連続とも、本来２点を考えた数学概念じゃないのか？
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”とあるように、異なる２点yとxが有って成り立つのが基本だろう
たしかに、”< +∞ ”と書いてあるところがミソかもしれんが・・
もう一度聞くが、「どこかの標準テキストにあるのか？」 >>252
>補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
>
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
この定義は、「どこかの標準テキストにある？」、それとも、あなたの独自定義？ >>256
> >……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
>
> この定義は、「どこかの標準テキストにある？」、それとも、あなたの独自定義？
（横レスだが言わせてくれ）
おまえが言い出した『一点でのリプシッツ連続・不連続』なる独自用語に
わざわざ付き合ってやってるんだろうが！！！！！！！（呆）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/603
＞リプシッツ不連続な点（それは内点を持たないとする）が可算無限個あって、それら可算無限個の点が、有理数のようにR中に稠密に分散されているとし、
＞もちろん、リプシッツ不連続な点以外は、全てリプシッツ連続で、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } を満たすとする。
＞「そういう関数は、数学的に存在しえない！」
R上の関数におけるリプシッツ連続とは、本来は「区間」の上で定義される概念であり、
「一点におけるリプシッツ連続」という言葉遣いは見たことが無い。あえて定義するなら、
「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続である」
という定義を採用するのが自然だと思われる。 >>255
> おれは、「”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？
（もうひとつ横レスだが言わせてくれ）
オマエは
１）定理1.7『A⇒B』が成立するためには『Aが真でなければならない』と思っているのか？（呆）
それとも
２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
率直に言って、君は数学に向いてないぞ 手取り足取り教えられても理解できないスレ主の頭の悪さは尋常でない >>237 訂正
ビックカメラ
↓
ビックリカメラ
↓
ドッキリカメラ
かな？
（＾＾ >>257-258
どなたかな？
定理の本人じゃないと？
単純に
定理の条件
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
が１個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが？
なんか、ごまかしてないか？ >>258
>率直に言って、君は数学に向いてないぞ
小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
もちろん、大部の本で「取りあえず飲み込んで先に進む」という勉強法も必要だと思うが
いまの場合、飲み込んで先に進んでも何もないだろう
> ２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
論理のすり替え
単なる一点部分集合ではない
未定義だが、一か所という言葉を使う
一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ >>261
> なんか、ごまかしてないか？
ごまかしてないよ
> ２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
って言ってるじゃん。R-Bfが一点集合｛0｝やQなら被覆できるじゃん。何の文句があるんだよ >>257
>「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
>という定義を採用するのが自然だと思われる。
その定義なら、補集合は開集合にならないか？ 勘違いだらけのお馬鹿をあそこまで根気良く相手にする>>253氏には心底感心するわ
↓こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。
>>253 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/19(火) 01:08:34.31 ID:eFT4s0P8
> >>155のスレ主の
>
> ＞「< +∞」の解釈が問題となる
>
> というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
> スレ主は R－Bf がどういう集合を意味するのか
> 理解してないのかもしれない。 >>263
>R-Bfが一点集合｛0｝やQなら
これの証明が標準テキストにあかどうかだ
それを聞きたい >>266 訂正
これの証明が標準テキストにあかどうかだ
↓
これの証明が標準テキストにあるかどうかだ >>266
> > R-Bfが一点集合｛0｝やQなら
> これの証明が標準テキストにあかどうかだ
> それを聞きたい
R-Bfが一点集合｛0｝になりうるかどうかを聞きたいってこと？
⇒そのようなfの例はすでに出てるじゃん。
Rの一点集合｛0｝が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと？
Rの部分集合｛0｝は内点を持たない閉集合なんだから1個の閉集合で被覆できてるじゃん。
何が聞きたいのか何が分からないのか俺には分からん。 >>268
知りたいことは
下記
”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
とあるけど
単純に、リプシッツ連続とリプシッツ不連続にも、この（Gδ-集合）と（Fσ-集合）の理論を類推適用してないかな？
で、標準テキストでは、「リプシッツ連続とリプシッツ不連続に、類推適用して良いとなっていない」ように思うが・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり) >>269
あのね君、まず>>268の質問に答えろよ
オマエの日本語>>261がまずいから
> ”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
> が１個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが？
こちらはオマエの日本語を一生懸命解釈して
> R-Bfが一点集合｛0｝になりうるかどうかを聞きたいってこと？
> Rの一点集合｛0｝が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと？
って聞いてるんだからさ。このどちらでもないならそもそも質問の日本語がおかしいだろ。 >>269
> ”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
> 理論を類推適用してないかな？
なんでリプシッツ連続の話をしてるのに連続の話になるの？
いままでそんな話おまえ以外にしたか？ >>264
> >>257
> >「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
> >という定義を採用するのが自然だと思われる。
>
> その定義なら、補集合は開集合にならないか？
あるx∈RのみがB_fの要素の場合を考えてるってこと？
そのときR-B_fが開集合で『疎な閉集合の可算和で覆えない』として、いったい何が問題なの？
定理1.7の仮定にmatchしないんだから反例にならないでしょ。 >>262
> 一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ
一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合｛0｝なら疎な閉集合｛0｝で被覆できるだろ。
一体何が問題なんだよ・・・・・ >>273
>一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合｛0｝なら疎な閉集合｛0｝で被覆できるだろ。
>>252に定義があるだろ？
下記
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
”limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つ”では、
＋∞への発散は、イブシロンデルタを使うのが本当だと思うよ
そうすると、イブシロンデルタの範囲では、決してyとxは、一点に重ならない
だから、一点部分集合｛0｝とは言えないだろう
イブシロンデルタの範囲では、ε近傍（開集合）で被覆できるとすべきじゃないのかね？ だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと まあ、念のため
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/MetricSpace/neighborhoodR1.htm
R上の近傍概念と、そのバリエーション
(抜粋)
・「R上の点aのε近傍」とは、《点aからの距離がε以内の点》をすべてあつめた《Rの部分集合》のこと。
ただし、εは正ならばどんなに小さくてもよいとする。
・「R上の点aの近傍」とは、点aのあるε近傍を含む《Rの部分集合》のこと。[松坂『解析入門1』3.1-E(p.100)]] 別の人のレスと重複するところもあるが、俺からの返答。
[一点でのリプシッツ連続・不連続という言葉について]
別の人が既に指摘しているし、俺も前スレで書いているように、そもそも俺は
このような言葉を聞いたことが無い。敢えて定義するなら >>252 のように
定義するのが自然だろう、という話を前スレで行った。そして、前スレの
ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/635
で書いたように、「一点でのリプシッツ条件」という言い方をした方がよい、とも書いた。
その後、スレ主は >>252 の定義に異論を唱えることをせず、しかも「一点でのリプシッツ条件」という言葉は
使わずに「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使い続けた。従って、スレ主もまた、>>252 の用法で
「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使うことに「合意した」のだと俺は解釈しているのだが、
なぜかスレ主は今になって この言葉の定義を蒸し返している。お話にならない。
そして、根本的な話をすると、B_f という集合は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな用語とは無関係に定義されているのだから、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな言葉を使わなくても、R－B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるかどうかは
機械的に判定可能である。
まとめると、スレ主は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という全く不必要な言葉を振り回した挙句に、
その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っていることになる。 >>274
> イブシロンデルタの範囲では、ε近傍（開集合）で被覆できるとすべきじゃないのかね？
相当混乱しとるな
何を被覆するの？
リプシッツ不連続点でしょ？
それが一点部分集合｛0｝であれば、それは被覆できる。
それが疎な閉集合の可算和でなければ被覆できない。
ただそれだけじゃん。
それとも君は一点で不連続、という関数は存在しないとでも思っているのか？ 今回の件を踏まえて、これ以降、俺の方からは「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉は
二度と使わないことにする。
B_f ：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ }
という、数式だけで書かれた明確な定義があるのだから、わざわざヘンな言葉を持ち出さずとも、
この定義だけから機械的に判定していけばよいのである。
・・・という約束のもとで、さらにレスを続ける。
まずは、R－B_f がどういう集合になるのかを明記する。実は
R－B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。おそらくスレ主はこのことを全く理解していない。
なので、次からの３レスで、このことを解説する。 [ 解説１, limsup の定義 ]
g：R → R と x∈R に対して、limsup[y→x] g(y) を定義する方法は主に２つある。
１つ目の定義の仕方：
拡大実数を X と書くことにする。R ⊂ X が成り立つことに注意して、任意の δ＞0 に対して
{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} ⊂ X
が成り立つので、X の中に sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} が常に定まる。
よって、X の中に inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} が常に定まる。
この値のことを limsup[y→x] g(y) と定義する。すなわち、
limsup[y→x] g(y)：＝ inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} (右辺は X の中で定まる値)
と定義する。この定義では、limsup[y→x] g(y) ∈ X が成り立つ。
２つ目の定義の仕方：
拡大実数を持ち出さずに、集合 { g(y)｜0＜|y－x|＜δ} が δ＞0 に応じてどんな挙動を示すかで場合分けし、
ツギハギで定義する方法がある(ツギハギの詳細は面倒くさいので省略)。この方針で定義する利点は、
「拡大実数がいらない」という点だけであり、定義の仕方としては美しくない。しかも、こちらの定義では
「 limsup[y→x] g(y)＝＋∞ 」や「 limsup[y→x] g(y)＝－∞ 」が形式的な表記として導入されるので、
±∞ の取り扱いが形式的なものになる。しかし、大学1年程度の微積分では、この定義が用いられることがある。
ちなみに、得られる limsup の性質は、拡大実数を用いて定義したものと同じになる。
というか、同じになるような定義を、拡大実数を用いずにツギハギで構成しているだけ。 [ 解説２, limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味 ]
１つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
α＝limsup[y→x] g(y) と置くと、これは X の元なのだった。また、＋∞ も X の元である。よって、
limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞
という不等式は、
α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X
という、X の中での普通の不等式を意味する。この時点で意味が定まっているのだから、これで終わり。
ただし、＋∞という記号が出てこない書き方も可能である。実際、拡大実数の性質により、
「 α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X 」という条件から
「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
ことが言える。よって、limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ という記号列は、
「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」
という意味である、… とも書ける。
２つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
こちらの場合、「 limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ 」という表記法自体がそもそも形式的な表記として導入され、
その意味は そもそも「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」と定義される。 [ 解説３, R－B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } が成り立つ理由 ]
２つの定義それぞれに対して、R－B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } が成り立つことを
以下で解説する。まず、１つ目の定義で limsup を定義した場合の
B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ }
について見ていく。１つ目の定義では、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜は拡大実数 X の中の元であるから、
拡大実数の性質により、自動的に
R－B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。これで終わりｗｗ
あるいは、１つ目の定義において、「 α＜＋∞ 」は「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
という意味にもなることが拡大実数の性質により導かれるのだった。よって、
B_f＝{ x∈R｜ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜C が成り立つ } … (1)
とも表せることになるので、この表現を使うと
R－B_f＝{ x∈R｜任意の実数 C＞0 に対して limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜≧C が成り立つ } … (2)
と表せることになる。ここで、「任意の実数 C＞0 に対して α≧C が成り立つ」という性質を満たす α∈X は
α＝＋∞ しかないことが拡大実数の性質により導かれるので、自動的に
R－B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } … (3)
が導かれる。よって、１つ目の定義では、いずれにしても (3) が成り立つ。
２つ目の定義では、そもそも (1) の意味として出発することになる。この場合、
「ツギハギの定義」と見比べることで、やはり (3) が導出される(詳細は省略)。 以上により、
R－B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R－B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。
「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合は { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R－B_f ＝ {0} となる。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合も { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R－B_f ＝ {0} となる。
従って、「3」「4」の関数に対して「 R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。
取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。 >>284
素晴らしい解説ありがとう（＾＾
すぐには理解できないので、それはじっくり読むよ
ところで、本当に標準テキストにそれはないのか？ 自分で検索した範囲では見つからず。
リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
もし、初出なら勿体ないよ おっちゃんです。
横から割り込む形になり申し訳ないが、
そこまでε-δやε-近傍にこだわりたいなら、以下の証明でどうだい。
[命題] Iを開区間とする。連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、 max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。 (>>286の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで微分可能なことから
cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。 (>>287の続き)
[第３段]：正の実数εと実数aとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [a－ε, a＋ε] を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点aの R の
ε-近傍の閉包 [a－ε, a＋ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、aは [a－ε, a＋ε] の孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数bとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [b－ε, b＋ε] を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点b の R の
ε-近傍の閉包 [b－ε, b＋ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、bは [b－ε, b＋ε] の孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。 (>>288の続き)
[第４段]：故に c_1＝c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
[第５段]：i＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、
連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とすると、
開区間Iで定義されたすべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことになる。 (>>289の続き)
[命題] Iを開区間とする。任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
すると、上で示した命題の対偶を取って考えると、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とすることは出来ない。
つまり、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とはならない。
しかし、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、連結距離空間 R 上の閉区間は完全集合である。
従って、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、任意の正の実数εに対し、任意のIの異なる2個の有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] は完全集合となる。
これは矛盾である。背理法が適用出来るから、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。 >>285
> そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
> もし、初出なら勿体ないよ
1223487+12039874=13263361
という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
君の頭ではなかなか理解できない。『テキストに載ってない』と『プロに見てもらえ』と駄々をこねる。 >>285
＞リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
この件に関して「リプシッツ連続・不連続」という言葉を使うのは やめろ と言っているのだが。
B_f の定義は数式だけで構成されているので、機械的に見ていけばいいだけ。
「リプシッツ連続・不連続」などという言葉は不要。
そして、スレ主のその質問は、limsup に関するスレ主の無理解から来ているトンチンカンな質問に過ぎないので、
まずはスレ主が >>281-284 を理解するのが先決である。一応、スレ主の質問から「リプシッツ不連続」という言葉を
取り除いて数式に変換した、以下の質問に答えることにする。
質問：limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つ x が、１点で被覆できるか、
それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
回答：そのような点 x を、あくまでも単純に一元集合で被覆したい「だけ」なら、そのような点 x の
それぞれに対して、{ x } という一元集合で被覆すれば、明らかに被覆できている。……と、回答としては
これだけで終わりであるが、スレ主はここで何かを盛大に勘違いしている。おそらくスレ主は、
｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜, y∈(x－ε, x＋ε)
という、limsup が無い状態の f の勾配について考え、いつの間にか「点 x 」ではなく
「 y∈(x－ε, x＋ε) 」の方が主体になってしまい、
「 開区間 (x－ε, x＋ε) は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
とか
「 開区間 (x－ε, x＋ε) の中を動き回る y の全体は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
という類のトンチンカンな勘違いを起こしているものと推測する。
つまり、スレ主の質問は limsup に関する無理解から来ているのであり、
スレ主の質問そのものが最初からトンチンカンかつ無意味なのである。まずは >>281-284 を理解すべし。 標準テキスト、標準テキストと、一年生用テキストさえ読まないバカが申しております limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ >>262
＞>率直に言って、君は数学に向いてないぞ
＞小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
だからそれをお前はできてないって意味で数学に向いてないと言われてるんだよ
スレ主 国語 国語 ＞こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。
スレ主は自分が何をどうわかってないかをまるでわかってないし、わかろうともしない
だから普通の人なら赤っ恥なところを、平然と上から目線していられる
バカも度を超すと手の施しようが無いという好例である >>275
＞だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと
自分の足で本屋か図書館行って読んでこいｗ どんだけ厚かましいんだよｗ
他人に聞くべきことかの判断もつかん幼稚園児か？ｗ
そもそもεδ（一年生用テキスト）さえ勉強しないお前が、なんでそんなに標準テキストに拘るんだ？ｗ ＞limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ
スレ主の場合それどころか sup、inf さえ理解してるか怪しい >>243
証明の前に理解できるかの方が重要であると考えられるが。
理解を示せないと正しいかどうかの判断も出来ない。
なぜなら、例えばだが、単位円を分からないやつに単位円を使って1+1=2を証明せよという証明が出来ない事が分かるから。
十分条件ではなく必要条件を満たさないと数学の筆は止まる
君が教えてくれたことだよ？ >>286-290
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、熱心な証明ありがとう（＾＾ >>284
あなたは、あまり危機感を持っていないようだが・・
（で、ちょっと逆らうようで悪いが、おれはリプシッツ連続とリプシッツ不連続を使わせて貰うけど）
それで、”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
において、リプシッツ不連続の箇所が、１点から成る閉集合で被覆かどうかは、この定理の価値を決めるキーポイントだと思うようになってきた
１）もし、あなたのお説のように、リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できるとすれば、この定理の適用範囲は広い
２）がしかし、リプシッツ不連続の１箇所が、本来１点から成る閉集合で被覆できない（ε近傍などの開集合での被覆）とすれば、この定理の適用範囲は狭い
（もし、１点から成る閉集合で被覆できる場合が少ないとすれば、適用できない場合が殆どだろ）
３）そして、この定理の目的であった、”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”について
被覆が１点から成る閉集合でないとすれば、当然ある不連続な有理数の点の近傍の内点の無理数が、リプシッツ不連続になるから、系1.8はそれだけで言えてしまう
４）だから、その”定理1.7 (422 に書いた定理)”の証明文書中に、「リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できる」が証明されているべきと思うよ >>292
>1223487+12039874=13263361
>という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
>それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
そうなのかね～
あなたのお話だと、
なんで、普通の不連続の場合のように（参考 >>269 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 不連続性の分類 ）
”函数のリプシッツ連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。またリプシッツ不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
というような記述が、論文なり標準テキストにないのかな？
あなたの話が正しければ、そういう記述があると思うけどね >>284
"「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。"
ここ大丈夫か？
「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？ >>301
BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>303-305を読んでみてね（＾＾ 1年みっちり勉強してからまた数学板に帰ってきたらどう？
スレ主だけレベルが低すぎるよ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
