>>572
>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています
>ところでリプシッツ不連続とは？
上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です 0576１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 19:55:00.31ID:84+rbTu3
>>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています 0577１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 20:02:52.40ID:84+rbTu3
>>575
>上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
>
>に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
つまり
xにおいて``リプシッツ不連続''とは
limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞
ということですか
ならば
無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ >>576
>A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
えーと、可算集合を本来の目的である有理数Qに取ります。有理数Qの稠密性から、ある開区間（a,b）中に必ず、有理数が存在します。
いま、仮定として、有理数で不連続な関数を考えます。ですので、ある開区間（a,b）で連続は言えません
が、無理数のいたるところで、微分可能な関数は可能です
（しかし、無理数の全てで微分可能な関数は、できない。これらは、>>575のURLの通りです。） >>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾ >>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。 これは俺の方から書くと横レスになってしまうが、一応レスしておく。
>>561
＞１．ここで場合分けをする
＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない。
ただし、「 Bfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件からは、
「 f は(a,b)内の あ る 小 さ な 部 分 区 間 の 上 で リプシッツ連続である」
ということが、例の定理の「開区間版」を考えることにより成り立つので、結局は例の定理の結論が導けることには なる。
ただし、この論法では「例の定理の開区間版」を経由しなければならないので、実質的には例の定理を丸ごと最初から
証明し直すのと同じことになってしまう。すなわち、(1)の手順では、何も証明が始まってないことになる。つまり、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」
というスレ主の発言は大間違いである。
[続く] [続き]
＞２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない
ここは全てが間違っていて、理屈が滅茶苦茶である。
スレ主の(2),(3)の理屈を成り立たせるためには、例の定理の結論が
「どこにもBfを満たす区間(a, b)は取れない」
という結論になっていなければならない。もしこうなっていたら、(2)の場合は、
スレ主の言うように自明であり、証明の必要が無い。しかし、実際には、例の定理の結論は
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論なのだから、「(2)の場合は証明の必要が無い」などというスレ主の理屈は全く成り立っておらず、
何かを致命的に勘違いしている。もしかしたら、スレ主は次のような勘違いをしているのかもしれない。
「 (2)の場合、例の定理と組み合わせると、"そのような f は存在しない" ことになるので、
存在しない f を考えるのは無意味なことであり、ゆえに、この(2)は証明の必要がない。」
これの何が勘違いなのかは明白である。(2)の議論はそもそも、例の定理を「証明する」という前提での議論であるのに、
そこで「例の定理と組み合わせると」などと言って例の定理を適用してしまうなら、
「例の定理を証明するという前提の議論で、例の定理を適用する」
という循環論法に陥っていることになり、これでは何がしたいのか意味不明なのだ。
結局、ここでのスレ主の勘違いを簡潔に述べると、次のようになる。
(1)での勘違い：
「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは、例の定理の結論は導けず、
結局は例の定理を最初から丸ごと証明しなければならないような事態に陥るのに、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」 などと勘違いした。
(2)での勘違い：
スレ主は例の定理の結論が何なのかを全く把握せずに、勝手にスレ主自身の手で
場合分けした挙句に、その場合分けによって導かれる結論を
「もともとの例の定理の結論である」
と勝手に勘違いしてしまい、
「ゆえに、この場合は証明の必要がない」
などとトンチンカンな間違いに陥った。もしくは、無意識のうちに
例の定理そのものを適用してしまうという循環論法に陥ったがゆえに、
「この場合は証明の必要がない」
などとトンチンカンな間違いに陥った。
0585１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 20:37:56.49ID:84+rbTu3
>>578
有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
どちらも正しいということです
ところで
「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから 0586１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 20:39:54.53ID:84+rbTu3
>>579
ここで話題の定理の証明を読んでみてください >>585
>>585
>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>どちらも正しいということです
へー、どういうこと？
>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
同意です
上記のURLにあります >>586
>ここで話題の定理の証明を読んでみてください
それは、お断りしています（＾＾
でも、斜め読みはしました（＾＾ >>582
>よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
>「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
>ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない
ああ、そうなのかい
それは、失礼した（＾＾
だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？ >>583
系1.8の証明で、
「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？ 0591１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 21:48:04.92ID:O+kvrrVD
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
0592１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 21:51:02.94ID:84+rbTu3
>>588
こう書くべきでしたか？
件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ 0593１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 21:54:27.76ID:84+rbTu3
>>587
>>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>>どちらも正しいということです
>
>へー、どういうこと？
どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
>
>同意です
>上記のURLにあります
つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね >>589
＞だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
＞だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？
論理が滅茶苦茶。スレ主が>>561で主張していることは、あくまでも
「例の定理は証明の必要がない自明な定理だ」
というものである。俺はその主張に対して反論しているのである。
もし系1.8と絡めて「証明の必要がない自明な定理だ」という主張をしたいのであれば、
――――――――――――――――――――――――――
弱い定理：
f：R→R は、R−B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上で連続である。
――――――――――――――――――――――――――
という弱い定理を考えて、
「この "弱い定理" に関してなら、これは証明の必要がない自明な定理だ」
と主張するのが正しい手順である。
そして、スレ主の>>561の発言を "弱い定理" に差し替えて検証し直してみると、
スレ主の(1),(2),(3)のうち、(1)はスレ主の目論見通り、正しいことを言っていることになる。
しかし、(2),(3)が依然として滅茶苦茶であるから、結局、"弱い定理" に差し替えても
もスレ主の>>561の主張は間違っていることになる。 >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？
取れるよ。R−Bf がR中で稠密である場合は、(a, b)の中に、R−Bf の元が取れるよ。
で？その論法を使うことによって、一体どうやって
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論を導くのだね？>>561におけるスレ主の最終的な目標は、
「 (2)の場合は自明なので証明の必要がない 」
という主張に持っていくことだろ？より丁寧に書けば、ここでのスレ主の最終的な目標は、
「 (2)の場合は、例の定理の結論が自明に従うので、このケースは証明の必要がない 」
という主張に持っていくことだろ？ そのためには、(2)を使うことで
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論が自明に導けなくてはならないだろ？
それで、一体どうやって、(2)からこの結論を自明に導くのだね？
スレ主は(2)から一体何を「結論」しようとしているのだね？
スレ主は何かを盛大に勘違いしまくっているぞ？ >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R−Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R−Bfの元が取れないのか？
もしかして、スレ主はこういうことが言いたいのか？
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)：稠密の場合は、どんな開区間(a,b)の中にも R−B_f の元が紛れ込んでしまうが、一方で例の定理によれば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続なので矛盾する。よって、このケースはそもそも起こらないので考えなくてよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もし、このような趣旨の発言をしているつもりならば、
それは>>583の後半で指摘したことと全く同じことであり、これでは何も言えてないぞ？
スレ主は、例の定理が自明であることを実証しようとしているのに、
その最中に例の定理そのものを適用してしまったら循環論法だぞ？
別の言い方をすると、上記の２行で言っていることは
「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
というアホな発言なんだぞ？
スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？ >>592
>こう書くべきでしたか？
いいえ
>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
それは証明を読まずとも分る
問題は、定理1.7 (422 に書いた定理)の数学的な意味を見極めて、それが数学的に意味があると分った場合にのみ証明を読むと。いま、途中です。そう焦らないで（＾＾
なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
ところで、貴方は博識みたいだから、聞くが
定理1.7 (422 に書いた定理)か、あるいは類似の定理でも良いが、どこか教科書か論文にありませんかね？
あれば、それを見てみたいのだが・・ >>593
>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
どこかに出典がありそうですね。
よければ、出典を教えて下さい
（ε近傍の話かな？）
>つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね
そうでしょうね >>596
>スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ 0600１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 23:27:26.00ID:RoioNB9e
>>598
>>>593
>>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>どこかに出典がありそうですね。
？ 0601１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 23:28:11.53ID:yKt8KVjU
＞というアホな発言なんだぞ？
アホなスレ主の発言は当然アホです
0602１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 23:33:13.35ID:yKt8KVjU
＞「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
それにしても、如何にもスレ主らしい発言で微笑ましいな
0603１３２人目の素数さん2017/12/26(火) 23:37:52.17ID:RoioNB9e
>>597
>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>
>それは証明を読まずとも分る
読まずに分かる理由がありません
あなたは
>>579
>>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
>
>なるほど
>それは興味深いですね
>
>出典がありますか？ あれば読んでみたい
と書いたではありませんか >>597
＞なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
繰り返すが、その>>561は何の批判にもなってないと既に指摘している。
お前がそこで言っていることは循環論法である。特に(2)が壊滅的である。
お前が>>561で言っていることは
「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
というアホな発言である。これでは何の批判にもなってない。
>>599
＞単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
＞１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
＞２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞それだけ
で？そのあとの最終的な結論は？
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
ということが言いたいんだろ？それがお前の、このレスにおける最終的な結論だろ？
だが、(2)の場合はどうやって「自明だ」という状況まで持っていくつもりなんだ？
持っていけないだろ？何度も指摘したが、お前の勘違いだろ？
勘違いした部分は「勘違いでした」と公言しろよ。
「 >>561 は何の批判にもなってませんでした」
と公言しろよ。 0605１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 00:20:21.68ID:iglE7lrj
つまりスレ主は「自明」という言葉の用例を説明したかったと、そういう訳ですな？
>>603
>>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>>それは証明を読まずとも分る
>読まずに分かる理由がありません
定理が正しいとは言っていない。
どういう結論を導いているのかは、命題の部分を読めば分るよ >>604
>で？そのあとの最終的な結論は？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ >>607
（補足）
１）の場合
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
区間(a, b)で、リプシッツ連続である
以上 0609１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 07:22:52.70ID:ipSdYKfI
>>606
興味深い結果であると思っているのに証明は読まないのですね >>608 訂正
区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
↓
区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
かな（＾＾ >>609
興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ 0612１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 08:18:09.34ID:iglE7lrj
とことん権威主義のスレ主
0613１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 19:17:28.64ID:1BgoCI8d
>>607
「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
という当初の主張は撤回するということだな？
だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。 >>608,>>610
＞１）の場合
＞lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
＞区間(a, b)での、｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜の最大値を、Mとする
＞｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜<= Mと書ける
＞区間(a, b)で、リプシッツ連続である
息をするように間違えるゴミクズ。もしそのような M が取れるなら、
確かに f は(a,b)上でリプシッツ連続となるが、既に述べたように、
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a,b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
という条件は導けないので、お前のレスは自動的に間違っており、
そのような M は実際には必ずしも取れないことになる。以下で具体例を挙げる。
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)
と置くと、この f：R → R は各点で微分可能なので、特に B_f＝R が成り立つ。特に
(−1, 1) ⊂ B_f
が成り立つ。しかし、Af(x) ≦ M (x∈(−1, 1)) が成り立つような定数 M は
取れないことがすぐに分かる。さらに、
「 f は(−1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」
という条件も成り立たないことが確認できる。本当にゴミクズだなお前は。 >>611
＞興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ
あほくさ。未だにこのような詭弁を繰り返している。
例の定理の真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身が
「この定理には反例がある」
「この定理は別の定理からすぐに従う」
「この定理は自明なことしか言ってない」
などと真偽について口出しし続けているのはダブルスタンダードだろ。
真偽はプロに委ねるんじゃなかったのか？
真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身はもう 黙 れ よ ゴミクズ。 0617１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 20:48:54.37ID:iglE7lrj
スレ主をゴミ屑扱いしたら
ゴミ屑に失礼だと思います
0618１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 21:03:28.57ID:yXAHgbHQ
定理の真偽は神託を行い神に委ねるべき
0620１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 22:09:20.11ID:iglE7lrj
まだバカ自慢したいの？
>>614
場合分けは、普通は、証明のためだよ
自得するのを、待ったんだが・・（＾＾
貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
証明していないように見えるが、どう？ >>615
ふーん、貴方は力があるね（＾＾
だが、それ自分で”反例”を見つけたことになっていないか？
あなたは、「f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)」（これを”反例関数”と名付ける）が、(−1, 1) ⊂ B_fだが、”「 f は(−1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」という条件も成り立たない”という
おそらく、x＝0の近傍でだね
だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ） 0623１３２人目の素数さん2017/12/27(水) 23:33:13.64ID:hLkm2n+q
0624１３２人目の素数さん2017/12/28(木) 07:07:12.04ID:SyQ5vVJB
♨
0625１３２人目の素数さん2017/12/29(金) 22:24:58.51ID:NkuzGyy/