0は自然数か? [無断転載禁止]©2ch.net

1132人目の素数さん2017/09/05(火) 01:18:09.63ID:bR+O9p/X
自然数では無いはず

588◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 11:53:48.21ID:FpEjvdxJ

589◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 11:54:12.89ID:FpEjvdxJ

590◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 11:54:30.40ID:FpEjvdxJ

591◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 11:54:50.84ID:FpEjvdxJ

592132人目の素数さん2018/05/13(日) 14:50:49.15ID:E7bnfRCz
ペアノシステムってさ、要するに(台集合,先頭,後者)の組が下の性質を満たしてるものの事を言うの?
1. 先頭は台集合に属する
2. nが台集合の元ならnの後者も台集合の元
3. 先頭は台集合の元の後者ではない
4. n,mが台集合の元でn≠m ならば nの後者 ≠ mの後者
5. 先頭がある集合に属しnがそのある集合に属するならnの後者も属するならば台集合はある集合の部分集合

思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない?
5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う
この集合はペアノシステムからの写像って事で

593132人目の素数さん2018/05/13(日) 15:03:11.82ID:E7bnfRCz
言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。
自然数が0からなら{0, 1, 2 ... }
自然数が1からなら{1, 2, 3 ... }
みたいな感じで
{1, 0.5, 0.25 ... }だってペアノシステム(1, ÷2)の台集合な訳よ。

ここでこの台集合って、{x|2^-n(nは自然数)}と等しくなるよってしたいなら自然数は0から始まる事にしなくちゃならんよね。
だから0は自然数に属するって方がしっくりくると思う。

今までとは違うアプローチの仕方だけどどう思う?

594132人目の素数さん2018/05/13(日) 15:20:59.60ID:r7KSqVuU
>思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない?

集合論では「後者」は後者関数という写像として定義するのだから、
その写像の定義域すなわち台集合をセットで指定しなければ定義にならない。
別の言い方をすれば、台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、
写像ではない何らかの形で「後者」を定義しなければならない。

>5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う

台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、写像ではない何らかの形で
「後者」を定義しなければならない。そのような新しい定義のもとでは、
1〜5に相当する新しい公理が必要である。また、1〜4に相当する公理だけが
満たされているのでは全くペアノの公理系として機能せず、結局は5に対応する公理まで必要になる。
つまり、「5を満たす集合はこの組から一意に決まる」というのは無条件で実現されるのではなくて、
一意になることが保証されるような、5に相当する公理を最初から盛り込まなければならない。

595132人目の素数さん2018/05/13(日) 15:28:04.94ID:r7KSqVuU
>言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。

論理が滅茶苦茶。台集合を使わずにペアノシステムに相当する概念を
定義しようとする君が、その具体的な定義を与えずに台集合なしの対象を持ってきて

「言っちゃえばこれもペアノシステムだ」

と言ったところで1ミリも意味をなさない。まずは

「台集合を使わないペアノシステム」

の具体的な定義を与えるべし。

596132人目の素数さん2018/05/13(日) 17:49:20.25ID:E7bnfRCz
>592 で主張したい事と >593 で主張したい事は全く別物なんだ。
分かりにくくてスマン。
>592 で示したいのはペアノシステムが2つ組で十分って事で
>593 で示したいのは先頭が1で後者が÷2であるような体系も自然数と同じように議論できるって事

597132人目の素数さん2018/05/13(日) 17:50:25.66ID:E7bnfRCz
{ 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 )
この組がペアノシステムであるっていうのならokなの?

598132人目の素数さん2018/05/13(日) 17:57:33.36ID:E7bnfRCz
写像を定義するならその定義域と値域も定義しなくちゃいけないってのもようわからん。
それは慣習とかではなく何か理由があるの?
否定してるのはその部分だよね?
a = b ⇒ f(a) = f(b)
写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね?
定義域、値域ってのは議論の見通しを立てるために定めてるだけだと思ってたけど何かなくちゃ困るような事があるのかね?

599132人目の素数さん2018/05/13(日) 19:51:36.51ID:r7KSqVuU
>>596
>>592 で示したいのはペアノシステムが2つ組で十分って事で

台集合がない「2つ組」だけで どうやってペアノシステムを定義するのかと聞いているのだが?
なんで具体的に定義しないの?

>>597
>{ 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 )
>この組がペアノシステムであるっていうのならokなの?

それはオーケー。台集合が { 2^-n(nは自然数) }, 先頭が 1, 後者関数が "÷2" の
ペアノシステムになっている。

600132人目の素数さん2018/05/13(日) 20:06:17.81ID:r7KSqVuU
>>598
>a = b ⇒ f(a) = f(b)
>写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね?

ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。
「ペアノシステム」についてはキチンと定義込みで調べているくせに、
「写像」については全く調べることをせずに自己流のトンデモ解釈で
写像を定義しようとする体たらく。やっていることの順番が滅茶苦茶。

A,Bを集合とする。A×B の部分集合 f ⊂ A×B が

・ ∀a∈A, ∃b∈B [ (a,b)∈f ],
・ ∀a∈A, ∀b_1,b_2∈B [ (a,b_1),(a,b_2)∈f ⇒ b_1=b_2 ]

を満たすとき、f のことを A から B への写像と呼び、f:A→B と表記する。
また、各 a∈A に対して、(a,b)∈f を満たす b∈B は(上記の定義により)1つしかないので、
この b のことを f(a) と表記する。

これが集合論における写像の定義。ご覧のとおり、
この定義では A,B が先に与えられなければ写像は定義しようがない。

601132人目の素数さん2018/05/13(日) 20:19:33.48ID:r7KSqVuU
>>596
>>592 で主張したい事と >593 で主張したい事は全く別物なんだ。
>分かりにくくてスマン。

>593の後半部分は>592と違うことを言っているが、
>593の前半部分は明らかに>592の続きである。

>592では、「ペアノシステムは2つ組だけで十分」という内容が主張されている。
続く>593の前半部分では、「その具体例として(1,÷2)が考えられる」と言っている。
なぜなら、>>593の1行目は

>言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。

であり、文脈上は明らかに >592 の続きとして >593 が書かれており、
しかも (1, ÷2) という2つ組のことをペアノシステムと称しているからだ。

これに関して俺が言っているのは、2つ組でペアノシステムに相当する概念を定義しようとする君が
その具体的な定義を与えずに いきなり2つ組の具体例を持ってきて「言っちゃえばこれもペアノシステムだ」
と言ったところで1ミリも意味をなさないということ。
まずは「台集合を使わない2つ組のペアノシステム」の具体的な定義を与えよ。

602132人目の素数さん2018/05/13(日) 21:14:56.83ID:E7bnfRCz
>台集合を使わない2つ組のペアノシステム」の具体的な定義
こんな感じでどうだろう。
写像を使わずに定めてみようと思う。
3つ組のペアノシステムと混同しないように、ここでは「自然数系」と定義する事にする。

(f, s)という二つ組から{f, (s f), ((s (s f)), ... }という台集合を作った時、以下の2つの性質を持つならば、この(f,s)を「自然数系」と呼ぶ。
1. f=(s n) となるようなnが台集合の元に存在しない。
2. 任意の台集合の元nに対して、nと(s n)が一対一の関係である。


(f,s)が自然数系である ⇔ (台集合,f,s)がペアノシステムである
ってなってれば成功だけどどうだろう。

603132人目の素数さん2018/05/13(日) 21:29:33.34ID:E7bnfRCz
> a = b ⇒ f(a) = f(b)
> ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。

少なくとも「一意的に定まる」という意味の定義はこれでいいんじゃないの?
それを写像と同じ意味だと俺は解釈してたって事だけど。
教科書にもそう書いてあったし教授もそう言ってたしそう解説してるサイトもあったからそこは流儀によるんじゃない?
ちなみにその教授は数学専門でもないしその教科書もその教授が書いてるから結局信用しきれる訳ではないけど。
でも少なくとも特殊な解釈ではないんじゃないかな。宗教論みたいなもんだと思うけど。

604132人目の素数さん2018/05/13(日) 21:42:16.55ID:r7KSqVuU
>>603
>少なくとも「一意的に定まる」という意味の定義はこれでいいんじゃないの?

a,b は何を指すのか?その a,b に対して 「f(a)」「f(b)」という記号列は何を指すのか?
これらを指定しなければ何も定義してないのと同じ。
そして、きちんと指定し出すと、結局は>>600になってしまう。

>それを写像と同じ意味だと俺は解釈してたって事だけど。

間違った解釈なので今すぐに改めましょう。

>教科書にもそう書いてあったし教授もそう言ってたしそう解説してるサイトもあったからそこは流儀によるんじゃない?

それはどんな教科書だ?それはどんな教授だ?
f:A→B における A と B すら無いような写像の定義なんぞ聞いたことがないし、
そんな流儀の写像なんぞ存在し得ない。なぜなら、写像と言えば必ず f:A→B の形をしており、
もうこの時点で A,B が登場するからだ。今すぐ「写像」で検索してみろ。必ず A,B がセットで出てくるから。
にも関わらず、写像の定義に A,B が必要ないというのは、君のトンデモ解釈による勘違いに過ぎない。

>ちなみにその教授は数学専門でもないしその教科書もその教授が書いてるから結局信用しきれる訳ではないけど。

数学専門ではないならそこでこの話は終わり。その教授が完全に間違っている。
あるいは、教授の話を君が勘違いしているかのいずれかだ。

605132人目の素数さん2018/05/13(日) 21:43:20.98ID:wztBZEU9
自然数が先に与えられてたら2つ組で十分な気はする
自然数を使わずに定義しようとするには台集合を与える必要がありそう

606132人目の素数さん2018/05/13(日) 21:48:07.37ID:r7KSqVuU
>>602
問題点1: (s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか?

問題点2: {f, (s f), ((s (s f)), ... } という表現における「…」には大きなゴマカシが入り込んでいる。
単に「…」と書いただけでは、「超限回」の繰り返しが許されているのと論理的に区別がつかず、
それではペアノシステムにならない。君は {f, (s f), ((s (s f)), ... } と書くことで、いわゆる

(s(s(s 〜 (s(s(s (s f)))) 〜 ) ) )  (s は有限個しか登場しない)

に相当する対象のみを集めた集合を表現したつもりでいるのだろうが、
単に {f, (s f), ((s (s f)), ... } と書いただけでは

(s(s(s 〜 (s(s(s (s f)))) 〜 ) ) )  (s は "超限個" 登場する)

という対象まで含まれてしまう可能性がある。また、このような対象が {f, (s f), ((s (s f)), ... } の中に
含まれているとしても、君が提示した 1,2 は成り立ってしまうので、結局、君の定義ではペアノシステムの代替にならない。

607132人目の素数さん2018/05/13(日) 23:01:07.92ID:E7bnfRCz
問題2の方は確かにそうだなあ。
これは投稿してからすぐに気づいた。さすがに鋭いね。
「...」の部分をちゃんと定義するとしたら結局ペアノシステム1.2.3.5.と同じ事やらないとダメそうだし。
それやるとこの議論の振り出しに戻るって感じになっちゃう。

問題なのは本来ならば関係ってのは常に対象がどの集合なのか気にしなくちゃいけないのに俺がそれをおろそかにしてるって事だよね?
確かに大体の書とか解説サイトだとほとんどそれを明示してる。

でもそれってただの慣習であって別に形式主義的には間違ってないと思うんだけども。
この集合が対象ですと明示してる訳じゃないんだから論理学でいう「項」全てが対象になってるって事。

対象をある集合に限定するってのはだいぶ前から自分の中で腑に落ちてないんだよね。
今回みたいにペアノシステムを2つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう?
だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。
先頭と後者が違うのでも同じ事。台集合は一つに定まりそう。
正誤を抜きにしてもこの考え方に賛同してもらえないかな。
これは論理じゃなく貴方の感覚に聞きたい。

>(s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか?
これの対象は任意の項って事にしたい。
(1, ÷2)で言えば数じゃないものに対しては「未定義」というだけ。0除算と同じ事。
どれが未定義なのかは自然数系の中では興味がない。ただそれだけの事。
日本語じゃなくて述語論理で定義すれば一応そういう意味になるでしょ?

608132人目の素数さん2018/05/13(日) 23:43:21.26ID:r7KSqVuU
>>607
>今回みたいにペアノシステムを2つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう?
>だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。

より少ない記述で済むならそちらの方が綺麗であるのは当然であり、正誤は置いておいて そのこと自体は賛成する。

そして、君がやろうとしている「2つ組」の感覚が分かってきた。しかし、結局は「問題2」により破綻する。
大雑把に言って、既存のペアノの公理系では、1〜4が「先頭」及び「後者」に関する素朴な性質を述べていると考えられる。
そして、5 では「台集合」に関する性質を述べていると考えられる。1〜4から5は証明できないので、
結局、「2つ組」の素朴な性質のみを考える限り、台集合に関する性質は記述できそうにないと予想され、
ペアノの公理系の代替物は得られないことになる。また、「2つ組」から台集合の性質を無理して述べようとしても、
結局はペアノの公理系と変わらないシロモノが出来上がると予想される。つまり、君が察している障害そのものに出くわす。

>先頭と後者が違うのでも同じ事。台集合は一つに定まりそう。
>正誤を抜きにしてもこの考え方に賛同してもらえないかな。
>これは論理じゃなく貴方の感覚に聞きたい。

君が「2つ組」にこだわるのは、

「2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるから、本質的には2つ組だけで十分なんじゃないか」

という感覚から来ていると思われる。しかし、そこでの「台集合の 一 意 性 」は、
既存のペアノの公理系における「5」に ほとんど完全に対応しているわけで、となれば君は

「既存のペアノの公理系の1〜4がありさえすれば 5 が証明できそう(ゆえに5は必要ない)」

と言っているのと大差ないように見える。むろん、1〜4から5は証明できない。
つまり、「2つ組」からは君が思い描くような形でのペアノの公理系は得られないように見える。

609132人目の素数さん2018/05/14(月) 02:06:26.72ID:GD0FVGhL
ちなみにだけど、後者を写像と言っていいか微妙な感じだから、ペアノシステムに5つの性質を挙げたけどここに6つ目の性質、
6. n,mが台集合の元でn=m ならば nの後者 = mの後者
を追加したい。
(あるいは、4. を nとnの後者は一対一 というふうにするだけでもok)

> 君が「2つ組」にこだわるのは、「2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるから、本質的には2つ組だけで十分なんじゃないか」という感覚から来ていると思われる。
そう。まさにその通り。

つまり、2つ組さえあれば台集合の一意性が言えそうに見えるけど、果たして本当にそうなのかというのが議論の的だと言える。


方針としては、2つ組から一意的な台集合の作り方を決めて、そこにまだ足りない性質を付け足して完成というやり方。
例えば、先頭が1で、後者が(+1 mod3) という場合は台集合{1,2,0,1,2,0 ... } = {1, 2, 0}は一意的に決まるけど3.を満たさなくなっちゃう。
そういったもののために台集合の作り方を決めるのとは別に足りない性質を付け足す必要がある。

>602で付け足したのが今の例を防ぐためのもの(3.)と、4. と 6. 。
つまり、台集合を一意的に決めるという事は、1. 2. 5. が満たされる事と同義だと思ったって事。

>「台集合の一意性」は、既存のペアノの公理系における「5」にほとんど完全に対応している
というのは納得しているけど、俺の考えだと5.だけでなく、1. 2. 5. の3つに対応している。
592では 5. とだけ言ったけど、その時は適当に考えてたから許してほしい。

さっき602では「...」で誤魔化したけど、「(先頭, 後者)から1. 2. 5. を満たすような台集合を作る」ってふうにすれば問題ないように思える。
1. と 2. は分かりやすいけど、 5. が何の制約になってるかというと、先頭と、その次と、 ... では作れないような元が入れ込めないようにしていると解釈してる。
つまり、1. 2. だけだと(1, ÷2)の組の台集合に2とか∞とかが入ってる事が否定できないけど、これを5. が防いでくれてる。
この3つの性質があれば、台集合が一意に定まる事は証明できると思うんだけどどう?

610132人目の素数さん2018/05/14(月) 02:54:31.68ID:VokO0nCc
>>609
>方針としては、2つ組から一意的な台集合の作り方を決めて、そこにまだ足りない性質を付け足して完成というやり方。
>…(中略)…
>さっき602では「...」で誤魔化したけど、「(先頭, 後者)から1. 2. 5. を満たすような台集合を作る」ってふうにすれば問題ないように思える。

やっていることがズレてないか?何の話をしているんだ?
「2つ組だけあればペアノの公理系としては十分」ということを主張しようとしているのだろう?
にも関わらず、結局は「5」を満たすような台集合をセットで構成しなければ公理系の記述が完成しないのであれば、
君が得ようとしている公理系は「2つ組だけあれば十分」ということになっておらず、「台集合込みの3つ組」という、
既存のペアノの公理系でしかない。君の場合、台集合をその場で構成することで、

「台集合を公理系から追い出して、2つ組だけで公理系を記述した」

と錯覚しているように見える。ここで大事なのは、その場で構成した台集合が公理系の記述に必須なのか否かということである。
もし公理系の記述に必須ではないなら、その場で構成した台集合は、実際には公理系を記述しきった後で構成を始めても
問題ないはずである。この場合、この台集合は「公理系の後で定義される便利な道具」という扱いになるので、
確かに「2つ組」だけで良いことになり、台集合を公理系から追い出すことに成功したことになる。
しかし、実際には、君の方針だと「5」を満たす台集合の構成が公理系の記述に必須であり、その構成がなければ公理系の記述が完成しない。
となれば、君は台集合を公理系から追い出せていない。より詳しく言うと、

・ 現状の「2つ組」だけでは台集合に∞みたいなヘンな元が入ってる可能性が否定できない。
・ そこで、そういうことが無いように、台集合の構成の仕方まで細かく指定する。

……という、そこまでやって初めて公理系の記述が完成することになる。
言い換えれば、「5」を満たす台集合の構成が公理系の記述に必須になっている。
だったら、君は台集合を公理系から追い出せていない。

611132人目の素数さん2018/05/14(月) 04:07:57.09ID:GD0FVGhL
まあ俺はそれでも良いと思ってるよ。
てか最初から台集合をその場で構成せずっていう制約は考えてなかったしね。
(先頭,後者)の組だけからそれが自然数を構成できるかどうか判定するのに充分だろうって事を知りたかった。
どっちにしろ自然数の体系を表すのに今までは3つ必要だったのが2つで済むわけだし。

> 公理系
公理系ってなんの事だかよく分からんけど、この場合こういう性質を持つものをこう呼ぶよと定義しているだけで公理系を作っているわけじゃないと思う。
どこから何を追い出せば良いのかよう分からんけど俺はこれで満足って感じ。

> 「5」を満たす台集合の構成が公理系の記述に必須
さっきから「5」を重要視してるけど、俺が >609 で言った5の解釈は間違ってる?
俺は 1. 2. 5. と 3. 4. 6. で線引きして区別し始めてるんだけど何かおかしいかな?

もう一回「自然数系」についてまとめてみる。

(f,s)の組から、以下の性質を持つ集合Nを唯一つ導ける。
1.1. f∈N
1.2. ∀n∈N[ s(n) ∈ N ]
1.3. ∀S∋f[ ∀n∈S[s(n)∈S] ⇒ N∈S ]

この時、以下の性質を持つならば(f,s)は自然数系である。
2.1. ∀n∈N[s(n) ≠ f]
2.2. ∀n,m ∈N[ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]

612132人目の素数さん2018/05/14(月) 04:25:19.29ID:VokO0nCc
>>611
>(先頭,後者)の組だけからそれが自然数を構成できるかどうか判定するのに充分だろうって事を知りたかった。
>どっちにしろ自然数の体系を表すのに今までは3つ必要だったのが2つで済むわけだし。
>…(中略)…
>どこから何を追い出せば良いのかよう分からんけど俺はこれで満足って感じ。

既存の 1〜5 の公理系とは本質的に違う形で「2つ組」による記述が可能なのであれば、台集合が追い出せたと言えるが、
君が現状でやっていることは 1〜5 の単なる並べ替えであり、しかも実質的には「5」を満たす台集合をそのまま再現しており、
しかもその作業が公理系の記述に必須であるため、それでは「2つ組だけで記述できた」とは言わない。

あるいは、次のように言ってもよい。
「2つ組だけを用意して、台集合はその場で構成する」ことを以って「台集合は公理系から追い出せた」と考えるのであれば、
同じことを「2つ組」に適用することで、「2つ組」すら公理系から追い出せることになる。実際、何でもいいから2つ組を
その場で構成してみせればいい。君の立場では、このことを以って「2つ組は公理系から追い出せた」と考えなければならない。

極端な例を出すと、ペアノの公理系とは全く無関係に、ZF集合論の中で標準的に構成される "いつもの自然数" を持ち出せばよい。
すると、君の立場によれば、「ペアノの公理系から全ての公理を追い出した」ことになる。また、「3つ必要だったのが2つで済む」
という君の価値観によれば、ペアノの公理系から全ての公理を追い出した この状態こそが理想的である。

実際問題として、"いつもの自然数" さえあれば、ペアノの公理系で得られる性質は全て利用可能であるから、
「ペアノの公理系から全ての公理を追い出した」という考え方は間違いとも言いきれない。
しかし、それは何というか、やっていることがズレている。

613132人目の素数さん2018/05/14(月) 04:49:13.80ID:GD0FVGhL
まあ主張したい事は分かる。
けどやっぱり貴方が言ってる事は今俺がした事とは違う。
(先頭,後者)の組から任意のペアノシステムを表す事はできるけど、
そこから先頭を追い出して後者だけでは任意のペアノシステムを表す事はできない。

二つ組なら( { 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 ) とか ( {0,1,2}, 1, (+1 mod3) ) とかのあらゆるペアノシステムを表せるけど後者だけじゃ無理。

なぜなら台集合が一つに定まらないから。

後者が(+1)だとして、先頭は0でも1でも2820でもペアノシステムを満たす。
だから唯一つに定まってない。

一方で先頭と後者の二つが定まってれば自然数を構成するのに必要な台集合は唯一つに定まる。
(ちょっと語弊はあるけど)

614132人目の素数さん2018/05/14(月) 04:51:25.63ID:GD0FVGhL
ああ間違った。
( {0,1,2}, 1, (+1 mod3) )はペアノシステムではないか。
揚げ足取りはよしてね。

615132人目の素数さん2018/05/14(月) 04:55:44.59ID:VokO0nCc
>>611
>(f,s)の組から、以下の性質を持つ集合Nを唯一つ導ける。
>1.1. f∈N
>1.2. ∀n∈N[ s(n) ∈ N ]
>1.3. ∀S∋f[ ∀n∈S[s(n)∈S] ⇒ N∈S ]

>この時、以下の性質を持つならば(f,s)は自然数系である。
>2.1. ∀n∈N[s(n) ≠ f]
>2.2. ∀n,m ∈N[ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]

この書き方では、最初に f,s だけが与えられているので、あたかも2つ組だけでペアノシステムが記述できていて、
台集合が追い出せたかのように見せかけているが、実際には台集合 N をその場で構成している。しかも、
この N を用いて 2.1, 2.2 を記述しなければ「(f,s)は自然数系である」という定義に到達しないので(ここが大事!)、
実質的には (N,f,s) という「いつもの三つ組み」のことを自然数系と言っているのと同じことである。

もし N を用いずに記述が終わるのであれば、2つ組だけで記述できたと言えるが、
実際には N を用いて 2.1, .2. を経由しなければ「自然数系」の定義が完成しないのである。

つまり、実質的には (N,f,s) という「いつもの三つ組み」のことを自然数系と言っているのである。
つまり、君がやっていることは、ペアノシステムの 1〜5 の単なる並べ替えであり、台集合を追い出せていないのである。
言い換えれば、君が本当に自然数系と呼んでいるのは、(f,s) ではなく (N,f,s) である。

616132人目の素数さん2018/05/14(月) 04:56:19.88ID:GD0FVGhL
台集合が一つに定まらないというよりはペアノシステムが一つに定まらないのがいけないのか。
自然数系とペアノシステムは一対一だけど先頭を追い出した後者だけじゃそうはいかないし。

617132人目の素数さん2018/05/14(月) 05:02:44.27ID:GD0FVGhL
> 君が本当に自然数系と呼んでいるのは、(f,s) ではなく (N,f,s) である
そりゃそうだよ。それを目指してたんだもん。
だからこそ3つ組で表してたものを2つ組で表せてると言えるわけでしょ。
何回も言ってるじゃん。

より少ない記述で済むならそちらの方が綺麗であるのは当然
って >>608 で貴方だって言ってたじゃん。

618132人目の素数さん2018/05/14(月) 05:14:55.37ID:VokO0nCc
>>617
>> 君が本当に自然数系と呼んでいるのは、(f,s) ではなく (N,f,s) である
>そりゃそうだよ。それを目指してたんだもん。

結局 (N,f,s) のことを自然数系と呼ぶのであれば、ペアノシステムから何も変わってないので意味がない。

>だからこそ3つ組で表してたものを2つ組で表せてると言えるわけでしょ。

言えてない。N を使わずに「自然数系」が記述できているなら、(f,s) という2つ組で表現できていることになるが、
実際には N が無ければ「自然数系」の定義が終わらないのだから、2つ組で表せていることにならない。

>より少ない記述で済むならそちらの方が綺麗であるのは当然
>って >>608 で貴方だって言ってたじゃん。

N を使わずに「自然数系」が記述できているなら、(f,s) という2つ組で表現できていることになり、
それなら綺麗である。しかし、フタを開けてみれば、君がやっていることは既存のペアノシステムであり、
本質的に3つ組のままである。これでは意味が無い。

619132人目の素数さん2018/05/14(月) 05:17:14.89ID:VokO0nCc
で、1.1〜2.2 の書き方が「2つ組」なのか「3つ組」なのかはさておき、
1.1〜2.2 の書き方が君個人にとって腑に落ちる書き方であるというなら、
その点については、こちらから批判するようなことは何も無い。

620132人目の素数さん2018/05/14(月) 05:25:04.43ID:VokO0nCc
で、残った話題は、1.1〜2.2 の書き方が「2つ組」なのか「3つ組」なのかを議論することだが、
君のレスを見るに、君が目指していたのは 1.1〜2.2 の書き方を見つけることそのものであり、
他人が 1.1〜2.2 をどう思おうと、君自身はこれで腑に落ちているようだから、
これが「2つ組」なのか「3つ組」なのかは話し合っても意味が無いと思う。

・ 俺は 1.1〜2.2 の書き方が「本質的に3つ組のままで意味がない」と思っている。
・ 君は 1.1〜2.2 の書き方が「本質的に2つ組に減っていて意味がある」と思っていて、しかも腑に落ちている。
・ 他人がどう思おうと、君自身は 1.1〜2.2 の書き方で腑に落ちている。

なので、このあたりで話を切り上げようと思う。

621132人目の素数さん2018/05/14(月) 05:45:05.56ID:GD0FVGhL
> 実際には N が無ければ「自然数系」の定義が終わらないのだから、2つ組で表せていることにならない。
例えばさ、複素数は2次ベクトルじゃ表せないの?

> 結局 (N,f,s) のことを自然数系と呼ぶのであれば、ペアノシステムから何も変わってないので意味がない。
むしろ変わってちゃ意味がないんじゃない?
複素数と2次ベクトルだって表せる事って変わらないし。

まあちょっとこの場合別なのかな。
ちょっと上手い例が見つかんなかった。

一対一のものでしかも(a,b,c)としてたものを実は(a,b)だけで表せるんだから意味あると思うんだけど伝わらんかな。

実際複素数と実数って一対一対応だから一つの複素数を実数一つで表すことも出来るけどそれはダメなんだよね。
本質的じゃないというか。
でも自然数系の場合本質を表す先頭と後者だけで表せるんだからそっちで表した方が綺麗じゃないかなってこと。

622132人目の素数さん2018/05/14(月) 06:45:07.64ID:VokO0nCc
1つ気づいたことがある。

ペアノシステムでは後者関数は「写像」であり、写像の通常の定義では f:A→B のように A,B,f の3つの記号が必要になる。
ペアノシステムの場合は suc:X→X であるから、記号は suc と X の2つで済み、これと先頭を表す e によって
(X, e, suc) という三つ組みでペアノシステムが表現される。ここで大切なのは、通常の「写像」の定義では、
少なくとも suc, X のように2つ以上の記号が既に必要になるということ。もうこの時点で、ペアノシステムは
3つ組以上にならざるを得ない。

一方で、君がやっていることは、suc を通常の定義における写像とは捉えず、定義域も値域も考えない、
よく分からない概念として suc を考え、それゆえに X が省略できて、君流のペアノシステムにおける
「1.1」手前の初期段階の時点では見かけ上 (f,s) という2つ組で表現することが出来ているようである。

623132人目の素数さん2018/05/14(月) 06:47:55.97ID:VokO0nCc
で、君が言うところの写像の定義は

>>(s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか?
>これの対象は任意の項って事にしたい。
>(1, ÷2)で言えば数じゃないものに対しては「未定義」というだけ。0除算と同じ事。
>どれが未定義なのかは自然数系の中では興味がない。ただそれだけの事。
>日本語じゃなくて述語論理で定義すれば一応そういう意味になるでしょ?

というものである。ぶっちゃけ、これが何を意味しているのか俺には分からない。任意の項が対象ってことは、
項 t を与えるごとに (s t) もしくは s(t) が定義されるということなのか?もしそうなら、s は直観的には
s:Sets → Sets というクラス間の写像のようなナニカを表現していることになる。この場合、

>(f,s)の組から、以下の性質を持つ集合Nを唯一つ導ける。
>1.1. f∈N
>1.2. ∀n∈N[ s(n) ∈ N ]
>1.3. ∀S∋f[ ∀n∈S[s(n)∈S] ⇒ N∈S ]

この性質を持つ N の存在性をどうやって集合論の中で証明するつもりなんだ?
というか、よく考えてみると、s を通常の写像だとして s:X→X, f∈X とセッティングしたときの
(X,s,f) を考えたときでさえ、1.1〜1.3 を満たす N の存在性は全く自明ではない。
ZF集合論の中で標準的に構成される "いつもの自然数" と同じやり方で N が構成できるだろうと思っていたが、
よく考えると、あれが上手く行くのは無限公理のおかげであり、従って suc(x)=x∪{x} という
ただ1つの suc でしか上手く N が構成できないことを見落としていた。

で、一体どうやって、そのような N の存在性を証明するつもりなんだ?

624132人目の素数さん2018/05/14(月) 06:54:36.09ID:VokO0nCc
ちなみに、s を通常の写像だとして s:X→X, f∈X とセッティングしたときの (X,s,f) なら解決策がある。
まず、先にZF集合論の中で "いつもの自然数" を構成しておく。すると、n∈"いつもの自然数" に対して n 回合成関数

s^n:X→X

が定義できるので、N={ s^n(f)|n∈"いつもの自然数" } と置けばよいことになる。
しかし、これでは "いつもの自然数" が先に必要になってしまう。君としてはそれでいいのか?

また、この議論は s:X→X の場合の話であり、"s:Sets → Sets" の場合は話が別である。
"s:Sets → Sets" と n∈"いつもの自然数" に対して、n回合成関数っぽい "s^n:Sets → Sets" が
集合論の中で定義できるのか否かは、俺はよく知らない。仮に定義できたとして、それで得られる N の構成は

N={ s^n(f)|n∈"いつもの自然数" }

に過ぎないから、結局は "いつもの自然数" が先に必要になってしまう。君としてはそれでいいのか?

625132人目の素数さん2018/05/14(月) 20:16:24.49ID:NE9JzHkf
写像とか関係とかに対象を定めなくちゃいけないってのがよく分からん。
なぜそこにこだわらなくちゃいけないのか。
一体何の決まりからそう言っているの?

ペアノシステムで言う後者が写像で、自然数系で言う後者が写像よりゆるい条件のものだったら、ペアノシステムより多くのものを表せている事になる。
ペアノシステムを全て表せる上で、さらに広い部分のペアノシステムっぽい他の部分も表せている事になる。

俺が自然数系を定める上で前提としている決まりは、
一階述語論理による表現、それから論理学における基本的な公理体系。この二つだけ。
ヒルベルト流の体系で言えば、
1. A, A⇒B ├ B
2. B ⇒ (A ⇒ B)
3. ( A ⇒ (B ⇒ C) ) ⇒ ( (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C) )
4. (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A)
5. ∀x[P(x)] ⇒ P(a)
6. P(a) ⇒ ∃x[P(x)]

全ての命題はただの記号の羅列。
だからこれはこういった意味だからこうじゃなくちゃいけないとかの意味的な事は全く考慮に入れてない。
写像は対象となる集合を定めなくちゃいけないってのはこれら以外のルールを認めてるって事だけど、それは一体どんなルールなの?

ここからは余談。
俺はこのヒルベルト流の6つの公理系だけから数学の全ての議論を出来ると今の所は思ってる。
完全性を捨ててもいいなら述語論理すら必要なくなり、命題論理と1.~4.までの公理だけで全て賄えると思ってる。
自然数の定義をするのにZFCとかの公理系が必要じゃないとも思ってる。
ペアノシステムというモデルを具体的に与えるための手段の一つがZFCとかノイマンによる自然数の構築とかって事。

かなり一般とは偏った考えだけど、独学にはありがちな事かもしれない。
もし何かおかしな事があるなら、良ければこっちにも突っ込んで欲しいんだけど。

626132人目の素数さん2018/05/14(月) 20:37:45.84ID:VokO0nCc
>>625
>ペアノシステムで言う後者が写像で、自然数系で言う後者が写像よりゆるい条件のものだったら、
>ペアノシステムより多くのものを表せている事になる。

N の存在性が証明できるなら、確かにそういうことになる。

>俺が自然数系を定める上で前提としている決まりは、
>一階述語論理による表現、それから論理学における基本的な公理体系。この二つだけ。

その前提から一体どうやって N の存在性を証明するのだと聞いているのだが?

>写像は対象となる集合を定めなくちゃいけないってのはこれら以外のルールを認めてるって事だけど、それは一体どんなルールなの?

集合論における標準的な写像の定義は既に書いた。そこでは写像はある種の集合として定められる。
そして、俺はこれ以外の写像の定義を否定している わ け で は な い 。

・ 君が言っている写像の定義は俺にはよく分からない。
・ 君が言っている写像の定義のもとで、どうやって N の存在性を証明するのだ?

と俺は言っているのである。

627132人目の素数さん2018/05/14(月) 20:48:10.40ID:NE9JzHkf
Nの存在性ってどうゆう事?
先頭と後者の組から1.1. 1.2. 1.3.を満たすような集合が唯一つ存在する事を証明する事は必要だけどそれのこと?

628132人目の素数さん2018/05/14(月) 20:49:43.23ID:NE9JzHkf
ああ違うか。
存在性と一意性両方証明事項なのか

629132人目の素数さん2018/05/14(月) 20:53:12.73ID:VokO0nCc
>>627-628
一意性は 1.1〜1.3 から自明に出ると思うので、存在性だけ証明すればいいと思う。

630132人目の素数さん2018/05/14(月) 20:59:55.11ID:VokO0nCc
俺は集合論にこだわっているが、君はどうやら集合論の中で 1.1〜2.2 を実現しようとは思ってないらしいので、
それならそれで構わない。君が前提としている条件から出発して、N の存在性を是非とも証明してみてほしい。

ちなみに、君の設定のもとでは、N の存在性は証明できないことを先に指摘しておく。
以下でこのことを具体的に書く。

君の条件だけで N の存在性が証明できたと仮定する。
すると、ZF集合論から無限公理を取り除いた公理系において、
f=φ, s(x)=x∪{x} (xは任意の集合) としたのときの (f,s) に対しても、
1.1〜1.3 を満たす N が存在することになる。この N は

φ∈N, ∀n∈N [ n∪{n}∈N ]

を満たすので、無限公理が導出できたことになる。しかし、無限公理はZF集合論の他の公理からは
証明も反証もできないことが知られているので、以上より、君の条件だけでは N の存在性は証明できないことになる。

631132人目の素数さん2018/05/14(月) 21:16:44.46ID:NE9JzHkf
うーむ。なるほど。
存在性は全く気にしてなかったなあ。

貴方が言いたい事が分かってきた。
存在性がないなら条件の一つに存在性を持つってのを付け加えなきゃいけないよね。
そしたらいよいよペアノシステムと同じような主張になっちゃうって事でしょ?

まあ一意性を保証できるだけでもペアノシステムよりこっちを使いたい気がするけど、でも綺麗な定義じゃないしなあ。
うーむ。

632132人目の素数さん2018/05/14(月) 21:22:45.89ID:NE9JzHkf
これってつまり(先頭,後者)の組から1.1 1.2 1.3を満たす台が存在しない場合があるって事だよね?
それってどんな場合だろう。

先頭から後者を使ってチェーンを繋げて行くとき、未定義にぶち当たった場合?
それって存在しないって事なのかなあ。

なんかもうちょっとしっくりくる具体例がありそうだけど思い浮かばない。

633132人目の素数さん2018/05/14(月) 21:27:28.85ID:NE9JzHkf
>>630 でも存在性がない事を示せてるのかもしれないけど、何か腑に落ちないと言うか半信半疑って感じ。
台が存在しないような(先頭,後者)の具体例があれば完全に諦めがつくんだけど、どう?

634132人目の素数さん2018/05/14(月) 21:39:36.52ID:NE9JzHkf
ああ、てかそっか。
未定義にぶち当たるんじゃなくて、後者がないと定義されてる元にぶち当たるとダメなんだ。
先頭から後者を繋げてくと、後者が存在しないものにぶち当たる。
こういった(先頭,後者)だと必ず1.2.に違反するね。

これでとうとう存在性が成り立ってない事を証明できてしまったわけだ。

635132人目の素数さん2018/05/14(月) 21:42:28.71ID:VokO0nCc
>>633
>台が存在しないような(先頭,後者)の具体例があれば完全に諦めがつくんだけど、どう?

こんなのはどうか?

無限公理はZF集合論の他の公理から証明も反証もできないので、ZF集合論から無限公理を取り除いて、
かわりに「無限公理の否定」を公理として追加したものを考えることにする。

この公理系において、f=φ, s(x)=x∪{x} (xは任意の集合) としたのときの (f,s) に対しては、
1.1〜1.3 を満たす N が存在しない。すなわち、台が存在しない。なぜなら、もし N が存在するなら、
「無限公理の否定」に抵触するからだ。

636132人目の素数さん2018/05/14(月) 22:00:12.29ID:NE9JzHkf
はぁーなるほどー。
そんな証明の仕方もあるのか。
すっかり感心してしまったよ。



自然数系の定義について書き直すなら、

(f,s)の組に対して以下の性質を持つ集合が存在し、
1.1. f∈N
1.2. ∀n∈N[ s(n) ∈ N ]
1.3. ∀S∋f[ ∀n∈S[s(n)∈S] ⇒ N∈S ]

さらに以下の性質を持つならば(f,s)は自然数系である。
2.1. ∀n∈N[s(n) ≠ f]
2.2. ∀n,m ∈N[ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]


こうなるわけだ。
俺はこの場合でもこっちを使いたいけど人によるのかな。
ペアノシステムとどっちが綺麗な定義なのかって俺的には微妙な線だけど。

637132人目の素数さん2018/05/14(月) 22:19:44.51ID:VokO0nCc
>>636
その定義をより簡潔に書くならば、次のように表現できる。

表現A
―――――――――――――――――――――――――――――――
(f,s)の組は、以下を満たす N が存在するとき自然数系であるという。
1.1. f∈N
1.2. ∀n∈N [ s(n) ∈ N ]
1.3. ∀S∋f [ ∀n∈S [ s(n)∈S ] ⇒ N⊂S ]
2.1. ∀n∈N [ s(n) ≠ f ]
2.2. ∀n,m∈N [ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]
―――――――――――――――――――――――――――――――

同じことだが、次のようにも表現できる。

表現B
――――――――――――――――――――――――――――
(N,f,s)の組は、以下を満たすとき自然数系であるという。
1.1. f∈N
1.2. ∀n∈N [ s(n) ∈ N ]
1.3. ∀S∋f [ ∀n∈S [ s(n)∈S ] ⇒ N⊂S ]
2.1. ∀n∈N [ s(n) ≠ f ]
2.2. ∀n,m∈N [ n=m ⇔ s(n)=s(m) ]
――――――――――――――――――――――――――――

638132人目の素数さん2018/05/14(月) 22:41:49.43ID:VokO0nCc
今までの君は、(f,s) が与えられさえすれば自動的に N が導出できると考えていたからこそ
「2つ組に減らせた」と考えていたわけだが、N はいつでも存在するわけではないことが判明したので、
N の存在性までを最初から定義に盛り込まなければならない。そのときの簡潔な表現方法として、
上記のように「表現A」「表現B」という2つの表現の仕方がある。

表現Bは3つ組みのままであり、よく見ると既存のペアノシステムとほぼ同じものである。
表現Aなら2つ組に減っているように見えるが、何度も言うとおり、N がなければ「自然数系」の定義が
完成しないという点において、なおかつ、Nの存在性までを最初から仮定しなければならないという点において、
表現Aも本質的には「3つ組」のままである。

ただし、Nは、もし存在するなら (f,s) に関して一意的なので、この意味においては
「表現Aは2つ組である」と言えなくもない。しかし、表現Aと表現Bを見比べれば分かるように、
表現Aの書き方を以って「2つ組に減らせた」というのは、少なくとも俺にとっては何の有難味も感じられない。
もちろん、君自身が 1.1〜2.2 の書き方で腑に落ちること自体は批判しない。

まあ、このあたりでこの話は終わりですかね。

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