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０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
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2017/09/05(火) 01:18:09.63ID:bR+O9p/X
自然数では無いはず
0499１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 19:58:49.07ID:TR02AlES
中学では０が自然数でないと言う人と同じで、
一度教わったことを一歩ひいて眺めるのは
数学を学んだ人でも難しいのだなあ。
整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
「ペアノシステム」だと教わってしまうと、
後者を＋１とすることが技巧ではなく
本質に見えてしまうらしい。
0500１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 20:01:49.25ID:M1q+8D4F
>>497
＞その加法が自然だとか本質的だとかいう議論は、
＞Nが0を含むほうが自然だとか含まないほうが
＞自然だとかいう議論と同種のものに見える。

俺は、αもβも自然な加法の演算だと言っているが、N が 0 を含む方が自然とは
言ってないし、含まない方が自然とも言っていない。また、例のガイジですら、
そういう話はしていない。俺が言っているのは、

「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」

ということである。単にこれだけが言いたいのなら、α・βが「自然である」という
言い方をする必要は無いように見えるが、そうではない。もしαとβがペアノシステムに
沿ってない荒唐無稽な演算なら、s が (X,α)や(X,β)においてゼロの役割をする・しないと
言ったところで ほとんど無意味であろう。しかし、実際には、αとβはペアノシステムに沿った
自然な演算であると考えられる。よって、s がそれらの演算でゼロの役割をする・しない
という言い方をすることには、一定の意味があると俺は考える。
だから、「α・βは自然な加法の演算だ」と書いた。そして、俺が書いたこれらのことは、
「N に 0 を含める方が自然・含めない方が自然」という話とは違うものである。
また、例のガイジが言っているのは、

「ペアノの公理系だけを用いて、0 は絶対に含まれず、1 は絶対に含まれることが結論される」

というたぐいの主張である(何をどう勘違いしたらこんな考えに至るのか理解不能)。
これもまた、「N に 0 を含める方が自然・含めない方が自然」という話とは違うものである。
0501１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 20:14:54.58ID:M1q+8D4F
>>497
＞ペアノの後者写像を用いて加法を実装し
＞自然数を整数へ拡張する話は、N自体の定義とは
＞また別のものだろう。

加法を実装して整数へ拡張するのが目的なのではないし、
そもそも整数まで拡張していない(「半群」に抑えてある)。
半群としての加法を実装するときに、s がゼロの役割をするようにしたいのか、
そうでないようにしたいのか、という話をしている。
すると、ゼロの役割をするようにもできるし、そうでないようにもできる。
ゆえに、例のガイジが言っているような、

「ペアノの公理系だけを用いて、0 は絶対に含まれず、1 は絶対に含まれることが結論される」

という主張は間違っている、… という話の仕方をしている。
つまり、出発点はあくまでも、例のガイジの滅茶苦茶な主張である。
こんな滅茶苦茶な主張をしている輩に、

「Nの定義そのものに 0 も 1 も関係ない」

とだけ言っても通用しないと>>492で既に書いた。
別のアプローチによって、例のガイジの間違いを本人に納得させることが出来るなら、
君が、君のやり方で、書いてみればよい。
0502１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 20:24:26.08ID:M1q+8D4F
>>499
＞整数環や有理数体を構成するあたりまでコミで
＞「ペアノシステム」だと教わってしまうと、

そんな教わり方をしている奴は、このスレには存在しない。

ペアノシステムの定義は >>483 に書いた。
この定義に、整数環や有理数体の構成は出現しない。

ゆえに、ペアノシステムと、整数環や有理数隊の構成は無関係。
無関係であるがゆえに、ペアノの公理系だけでは、自然数に 0 も 1 も出現しない。
ゼロやイチといった概念は、代数的な演算とセットで定義される概念だからだ。

しかし、例のガイジにこの正論は通用しない。
だから俺は、>>482-486のアプローチをとった。何度も書くが、

「 s は (X,β) においてゼロの役割をする」
「 s は (X,α) においてゼロの役割をしない」
「 ゆえに、s にゼロの役割を与えるか否かは、単なる流儀の違いに過ぎない」

というアプローチである。
0503１３２人目の素数さん
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2017/12/06(水) 09:48:20.89ID:EYGSXoHu
結局のところ「０は数として自然か？」って問いに帰結する問題のように思うが
そんな主観が入る問題はもう数学の領域じゃない
哲学で存分にやってくれれば有難い
0504１３２人目の素数さん
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2017/12/06(水) 11:49:07.85ID:v/fQWWR6
＞結局のところ「０は数として自然か？」って問いに帰結する問題のように思うが
それはない
流石に国語辞典の話をしてるやつは一人もいない
0507１３２人目の素数さん
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2017/12/10(日) 17:47:59.50ID:+apFONN3
ペアノの公理の中の帰納法の公理についてはガン無視
0509１３２人目の素数さん
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2017/12/12(火) 01:28:38.53ID:/dhirdLL
>>508
無理してレスする必要はないよ。
0514１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 14:02:53.82ID:G5v7erv5
0は自然数じゃないと思う。
数学科だと基本ペアノの公理で自然数を導入するが、其のとき求める自然数に0は含まれ無い
整数にするときに0を導入した。
其れで、整数は自然数から定義されるから自然数を説明するときに整数を使うのは問題が起こる。
高校までなら正の整数で良いと思うが。
色々やってみたが余り問題は起こら無いね。
1に対応するものを0に変えればそれで問題起こらないこと確認できるし。

序でにノイマン式の自然数の構成(集合論を用いるもの)では通常自然数は0から始める。
0516１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 19:48:04.76ID:lo5Y1242
二進法は0,1のみである
0517１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 19:52:29.14ID:Iyf4ElEy
一進数てないの？
0518１３２人目の素数さん
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2017/12/15(金) 23:07:39.91ID:yGL6lMZQ
>>514
＞数学科だと基本ペアノの公理で自然数を導入するが
そうだね。賛成。

＞其のとき求める自然数に0は含まれ無い

ダウト。一部に1から始める教授もいるが、
0から始めるほうが主流。流儀というか趣味の差に過ぎないが。

＞整数は自然数から定義されるから

ダウト。整数は代数上の概念で、
加減乗除が満たす公理から定義される。
それを自然数から構成して見せるのは、
面白い余興ではあるが整数にとって重要ではない。

＞高校までなら正の整数で良いと思うが。

中学の教科書は、自然数が1から始まる流儀を
とっているからね。逆らう理由も特に無いし、合わせてあげたらいい。
0519１３２人目の素数さん
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2017/12/16(土) 16:22:31.72ID:29wTfMth
２つの「全ての自然数の集合」が、一方の全ての元を含んでいないと、帰納法の公理に反する。
0520１３２人目の素数さん
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2017/12/20(水) 07:24:12.63ID:tctI43Ps
>>518
教授に聞いてみたところ、0は含んでも含まなくてもいいみたいな感じでした
0を含むと都合が悪いときは含まないで、含んだほうが都合がいいときは含むものとしてやることがあるみたいでどっちじゃないといけないみたいなことはないみたいです

自然数を使わずに整数が定義できるのはかなり興味深いんですが、なにかそれについて詳しくかかれてる参考書とか教えてもらってもいいですか？
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/25(月) 16:47:21.33ID:Fp12EBAn
整数環の単位元は自然数１。
0522１３２人目の素数さん
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2017/12/25(月) 17:19:47.38ID:Yuo09ydY
■モンティホール問題（空箱とダイヤ）

このゲームができるのは1回だけです

ダイヤモンド1個を外からは中が見えない空箱100個の
中のどれかひとつに入れます

その中から1個の箱を選びます

98個の空箱を取り除きます

最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます

ダイヤモンドが当たる確率は何％でしょうか？
0524１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 02:06:28.15ID:oB3+VADq
0を含めるかは流儀によるってのじゃなくて
なんで片一方を別の名前にしようとか思わなかったんだ
いちいち断わらないとでめんどくせーったらありゃしないわ。
0525１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 17:41:46.83ID:nSA9suNt
>>524
なんでそんな自由度の無い糞堅苦しい世界を望むのか
工学屋はJISだISOだ何だとよくそんなこと言ってた印象があるけど
ローカルなスコープを好む数学屋には理解できないよ
0528１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 18:41:19.24ID:/BavyLbc
名称なら好きにすればいい
0を含むかどうかで分けるのであれば、それぞれ一意になるような構造を見つければいい

少なくとも今の数学では「自然数とは何か」を構造論的に考えると0を含むかどうかは本質的でないと考えられているだけで、0の有無による構造の差異が本質的に効いてくる事実を示せれば状況は変わる(可能性はある)
0529１３２人目の素数さん
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2017/12/27(水) 19:16:25.44ID:W7tdg+qq
広義自然数
狭義自然数
0531１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 20:39:06.00ID:rHwVJTu1
空間の次元や多項式の次数のように0もあり得る離散量は多い
また、連続関数をC^0級と呼ぶように0の場合を便宜上含めることも多い
0532１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 23:51:23.91ID:FZBCcLtg
520の質問について俺も聞きたいのだが
0533１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 00:05:52.09ID:LvZUJbb9
公理で定義するここと、その公理を満たす対象を構成することは別物
ってだけだぞ
それぞれ抽象的定義／構成的定義と呼ぶこともある
0534１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 00:46:19.73ID:Swdov7O+
>>533
>>532に言ってるの？
0535１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 09:48:27.92ID:Kph6jccf
こことことは別物といい隊員だよ
0536１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 17:57:42.51ID:t2s3ffvn
おちんちんびろーん
0547１３２人目の素数さん
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2018/03/03(土) 01:47:07.32ID:OzHPA5t4
ペアノの公理は、どんな数のつぎにもこない数１が存在する、と言っている。
0548１３２人目の素数さん
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2018/03/03(土) 01:48:51.13ID:o8prdHaI
ペアノの公理は、どんな自然数のつぎにもこない自然数が一個存在する
とは言っているが、それが１だとは言っていない。
0553１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/03(土) 15:21:11.70ID:p0yI9Zx1
ペアノが1という記号を使ったと言っても
ペアノの公理の5条件だけではその記号1が指すものが
加法単位元か乗法単位元かあるいはそれ以外になるかは定まらない
>>120の言うように加法の定義次第

>>547は記号1と数1を混同している
0554１３２人目の素数さん
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2018/03/12(月) 06:44:57.43ID:DEMrHDxX
まあでも、自然数は１から始まると覚えておいたほうがいいよ。
0556１３２人目の素数さん
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2018/03/12(月) 22:21:34.87ID:1tX+PjU3
>>5の方針で論じるのは諦めたのか？
とにかく１から始まるんだと繰り返すだけ？
0558１３２人目の素数さん
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2018/03/13(火) 00:43:23.24ID:fSkkpm9a
まあ自然数の公理主義的構成について理解してないの丸出しだね。
0560１３２人目の素数さん
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2018/03/13(火) 21:37:00.96ID:2y1j/gPY
>>559
なぜ？
0561１３２人目の素数さん
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2018/03/14(水) 23:27:53.45ID:obtom+aK
今日は、おっΠの日。
　３月１４日１５時９２分６５秒　　→　　３月１４日１６時３３分０５秒
0562１３２人目の素数さん
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2018/03/15(木) 00:27:53.79ID:t8vfSRvQ
hoa-----
0563１３２人目の素数さん
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2018/03/21(水) 17:45:15.31ID:TbKTGfyp
ペアノの公理の最初の要素を非負整数以外にすると加法と乗法について閉じていなくなるので「自然」ではないと思う
では、2以上の整数にすることで不自然になることってあるかな？
0564１３２人目の素数さん
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2018/03/24(土) 05:30:30.99ID:rX8TWO/i
ペアノの公理は自然数の順序構造しか定めていないから、
「自然」もなにも、加法も乗法も存在しないがな。
最初が0でも1でも2でも１０でも−１でも、同じこと。
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 07:01:14.17ID:ucdOtpAk
ペアノの公理で定義される集合の上で加法と乗法を定義して、
最初の要素が何であるかを定める、というべきだったか
それで、例えば最初の要素が-1になるように加法を定義すると
(-1)+(-1)があるから閉じていなくなる
0566１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 11:41:11.96ID:pIzLq3ST
ペアノの公理だけじゃ加法も乗法も定義できないから、自然数の公理といえば普通はPAになる
0568１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/03/24(土) 23:49:48.90ID:ucdOtpAk
>>567
>>563でも言ってる通り、非負整数スタートなら閉じている
では、2スタートにすることで何か「不自然」なことはあるだろうか？
0570１３２人目の素数さん
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2018/03/26(月) 06:56:27.17ID:dOPRwKBy
バカばっかだなｗ
0592１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 14:50:49.15ID:E7bnfRCz
ペアノシステムってさ、要するに(台集合,先頭,後者)の組が下の性質を満たしてるものの事を言うの？
1. 先頭は台集合に属する
2. nが台集合の元ならnの後者も台集合の元
3. 先頭は台集合の元の後者ではない
4. n,mが台集合の元でn≠m ならば nの後者 ≠ mの後者
5. 先頭がある集合に属しnがそのある集合に属するならnの後者も属するならば台集合はある集合の部分集合

思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない？
5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う
この集合はペアノシステムからの写像って事で
0593１３２人目の素数さん
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2018/05/13(日) 15:03:11.82ID:E7bnfRCz
言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。
自然数が0からなら{0, 1, 2 ... }
自然数が1からなら{1, 2, 3 ... }
みたいな感じで
{1, 0.5, 0.25 ... }だってペアノシステム(1, ÷2)の台集合な訳よ。

ここでこの台集合って、{x|2^-n(nは自然数)}と等しくなるよってしたいなら自然数は0から始まる事にしなくちゃならんよね。
だから0は自然数に属するって方がしっくりくると思う。

今までとは違うアプローチの仕方だけどどう思う？
0594１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 15:20:59.60ID:r7KSqVuU
＞思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない？

集合論では「後者」は後者関数という写像として定義するのだから、
その写像の定義域すなわち台集合をセットで指定しなければ定義にならない。
別の言い方をすれば、台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、
写像ではない何らかの形で「後者」を定義しなければならない。

＞5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う

台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、写像ではない何らかの形で
「後者」を定義しなければならない。そのような新しい定義のもとでは、
1〜5に相当する新しい公理が必要である。また、1〜4に相当する公理だけが
満たされているのでは全くペアノの公理系として機能せず、結局は5に対応する公理まで必要になる。
つまり、「5を満たす集合はこの組から一意に決まる」というのは無条件で実現されるのではなくて、
一意になることが保証されるような、5に相当する公理を最初から盛り込まなければならない。
0595１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 15:28:04.94ID:r7KSqVuU
＞言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。

論理が滅茶苦茶。台集合を使わずにペアノシステムに相当する概念を
定義しようとする君が、その具体的な定義を与えずに台集合なしの対象を持ってきて

「言っちゃえばこれもペアノシステムだ」

と言ったところで1ミリも意味をなさない。まずは

「台集合を使わないペアノシステム」

の具体的な定義を与えるべし。
0596１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 17:49:20.25ID:E7bnfRCz
>592 で主張したい事と >593 で主張したい事は全く別物なんだ。
分かりにくくてスマン。
>592 で示したいのはペアノシステムが２つ組で十分って事で
>593 で示したいのは先頭が1で後者が÷2であるような体系も自然数と同じように議論できるって事
0597１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 17:50:25.66ID:E7bnfRCz
{ 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 )
この組がペアノシステムであるっていうのならokなの？
0598１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/13(日) 17:57:33.36ID:E7bnfRCz
写像を定義するならその定義域と値域も定義しなくちゃいけないってのもようわからん。
それは慣習とかではなく何か理由があるの？
否定してるのはその部分だよね？
a = b ⇒ f(a) = f(b)
写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね？
定義域、値域ってのは議論の見通しを立てるために定めてるだけだと思ってたけど何かなくちゃ困るような事があるのかね？
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