「いくつかあるもの」という表現では順序を考慮していないので、序数を対応させることはできない

例えば、ωとω＋1はどちらも「可算個あるもの」の集まりだけど、
1, 2, 3, …と一個ずつ数を対応させようと試みると異なる結果になる
これら異なる結果のうち、最小のもの（initial ordinal）が基数

それから、そもそもの話として、
個数は 0 から始まると言いながら、「いくつかある」と言った場合に「一つもない場合」を除外するのは不自然