不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。 >>118 (6)
最大になる位置は
（a，b，c）=（1.16745、1.83254、0）≒（7/6、11/6、0)
の辺りなので、
a+b≒3、b+c≒11/6、c+a≒7/6、
を利用して相乗-相加平均する。
（a+b)^(1/2）≦｛(a+b）+ 3}/(2 √3）= 0.288675（a+b）+ 0.8660254,
（b+c)^(1/3）≦｛(b+c）+(11/6)+(11/6)}/{3 (11/6)^(2/3)｝= 0.222528（b+c）+ 0.815935
（c+a)^(1/4）≦｛(c+a) +(7/6)+(7/6)+(7/6)}/{4 (7/6)^(3/4)｝= 0.222705（c+a）+ 0.7794674
（左辺）≦ 0.511380 (a+b+c) + 2.4614278 ≦ 3.995568 (← a+b+c≦3）
ただし、条件 a+b+c≦3 を使い、出題よりも広い範囲で考えている。
出題の最大値 〜 3.9147720586
（a,b,c）=（1.17121、1.35653、0.396885） [2009 大阪教育大]
(1) 実数 a,b が、a>0、ab≧4 をみたすとき、a+b≧4 を示せ。
(2) 実数 x,y が、x>0、(x^8)(y-x^2)≧4 をみたすとき、x(x+y)≧4 を示せ。
(1)のヒントがなかったら、(2)はどうするんだろう。(1)があってもムズいが…。 >>136
(2)の結論の式は、等号は成り立たんよなあ。 ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>136
(1) (a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2 ≧ 4ab ≧ 4^2
(2) y ≧ xx + 4/x^8 = 4/x^3 + (x - 2/x^4)^2 ≧ 4/x^3,
x(x+y) ≧ x(x + 4/x^3) = xx + 4/xx = 4 + (x - 2/x)^2 ≧ 4, ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>77
> a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。
> (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
>
> 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
過去スレを漁ってみたら、たぶん、以下の問題と混同してしまったっぽい。
条件式が ab+bc+ca+abc=4 で違う。申し訳ないでござる。
反例をうまく見つけられんけど、 a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときには成り立つのかな？
[不等式スレ第４章 701]
> 701 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/08/29(日) 23:19:11
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
> 「大学への数学 2010-7 宿題」
>
> （解1） b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
> 0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
>
> （解2 >>143） a≦b≦c とおくと a≦1≦c で、
> a+b+c-(ab+bc+ca) = {ac(1-a)(c-1)+(a+c-2)^2}/(1+ac) ≧ 0
>
> 解説には、「今のところ対称性を崩さない綺麗なジャイアンは見つかっていない」とある ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ [不等式スレ 第３章 343、第４章 627]
> cos(sinｘ)＞sin(cosｘ) をしめせ。 （xは任意の実数）
改造せずにはいられない。
-π/2 < x < π/2 のとき、cos(sin x) > cos x > sin(cos x)
∧,,∧
(；`・ω・） ｡･ﾟ･⌒） 不等式 改造するよ！！
/ ｏ━ヽニニフ))
しー-Ｊ ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)
ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」 とあるけど、どのようにして分かるんでせうか？
http://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128 ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>155
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＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 相加！ 相乗か！
ヽ::::... .ワ.....ノ >>77 (2)
改造せずにはいられない。
a^2 + b^2 + c^2 ≧ abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
ﾟ･ ｡ ･｡
｡･ﾟ･⌒）
−＝≡ ｏ━ヽニニフ ))
−＝≡ ( ﾟ∀ﾟ)彡｡･ﾟ｡･⌒）
−＝≡ ⊂ ｏ━ヽニニフ ))
−＝≡ （ ⌒) 改造！ 改造！
−＝≡ c し' >>77 追加
a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、
(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequalities_sm
どうやるんだろう… >>153
各辺が周期πをもつばあいは、（最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして）mπずらすことが可能でござる。
（オリジナルの周期は2πゆえ）たとえば絶対値を付けて
cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧ ｜sin(cos(x))｜, >>153 （続き）
-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧｜sin(cos(x))｜
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
左の等号 x=mπ
右の等号 x=mπ±π/2
〔類題〕
0.107126944873 ≦ cos(sin(x)）-｜sin(cos(x))｜≦ cos(1）〜 0.54030230
左の等号 x=mπ±0.692728570
右の等号 x=mπ±π/2 >>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。 >>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。 [不等式 第7章]
> 241 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも証明できていない… ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html >>69 (1)
>>163
0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？
(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
= 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,
ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,
(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0, >>69 (1)
>>163
3a = A, b+c-2a = x とおくと…
(左辺)/243 =｛(a+b+c)/3}^5 =（A+x)^5
= A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
abb+bcc+caa ≦｛AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
≦ A^5 + 5A^4･x +（9.75)AAAxx +（9.58333…)AAxxx +（4.91666…)Ax^4 + x^5,
(左辺）-（右辺）≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,
>>167 と同じだが… >>137
x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根 >>167
さんくす。今夜読んでみます。
Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok? >>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと
B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2
コーシーより
Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,
ゆえ
(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。
n=3,5 の場合は
{1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,
n=4 のとき
(x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,
n=6 のとき
(1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど… >>170
n=3（Nesbitt）の方はそれで おk ですね。ほかにも
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。
a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。
など種々ありますね。
http://mathtrain.jp/nesbitt ピコーン太郎が歌う…
I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.
I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.
mmmmmmmmmmmmmm
Picone identity
{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2, >>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1235638p6275527
さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>62-63
小野ちゃんの不等式から、三角形絡みの不等式を検索して、フランダースの不等式に辿り着いた。
ところが過去スレを検索すると、既に初代スレに載っていたでござった…。全く記憶にござらぬ…。
[不等式 第1章]
> 668 名前：580[sage] 投稿日：04/11/22(月) 11:39:24
> 【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
> 0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
> -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
>
> フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
> http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
> ぬるぽ
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
パトラッシュ、疲れたろう。
僕も疲れたんだ…
何だかとても眠いんだ…パトラ… ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥ ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。 >>188
Wlog、bを中央の項として、
c(a-b)(b-c)≧0 ⇔ b(a^2+ac+c^2) ≧ a^2b+b^2c+c^2a
(a+b+c)^5
＝ (1/8)*{2b + (a+c) + (a+c)}^3*(a+b+c)^2
≧ (27/4)*b(a+c)^2*(a+b+c)^2
＝ (27/4)*b*{(a^2+ac+c^2) + (ab+bc+ca)}^2
≧ 27b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca)
≧ 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)
┏━━━┓
┃ Q.E.D. ┃
┗━┳━┛
( ﾟ∀ﾟ) ノ >>184
> さらに強い不等式が載っている。
> a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
難しすぎて ｽﾞｺｰ
∧∧
ヽ(･ω･)/
＼(.＼ ノ
､ﾊ,,､ ￣
￣ ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥ >>184
(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca）だから
{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).
bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
