╋|||《数学オリンピック 30》|||╋ [無断転載禁止]©2ch.net
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
数学オリンピック財団
http://www.imojp.org/
IMO (International Mathematical Olympiad)
https://www.imo-official.org/
関連オリンピック：
算数 http://www.sansu-olympic.gr.jp/
情報 http://www.ioi-jp.org/
物理 http://www.phys-challenge.jp/
化学 http://icho.csj.jp/
生物 http://www.jbo-info.jp/
数学オリンピック国別順位
2010 １.中国、 ２.ロシア、 ３.アメリカ、 ４.韓国、 ５.カザフスタン、 タイ (7.日本)
2011 １．中国、 ２．アメリカ、 ３．シンガポール、 ４．ロシア、 ５．タイ (12.日本)
2012 １．韓国、 ２．中国、 ３．アメリカ、 ４．ロシア、 ５．カナダ、タイ (17.日本)
2013 １.中国、 ２．韓国、 ３．アメリカ、 ４．ロシア、 ５．北朝鮮 (11.日本)
2014 １.中国、 ２．アメリカ、 ３．台湾、 ４．ロシア、 ５．日本
2015 １.アメリカ、 ２．中国、 ３．韓国、 ４．北朝鮮、 ５．ベトナム (22.日本)
2016 1. アメリカ、 2.韓国、 3.中国、 4.シンガポール、 5.台湾 (10.日本)
前スレ
》╋|||《数学オリンピック 29》|||╋《
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1455203158/ 〔問題1〕
次の式の値を計算し、整数値で答えよ。
√{(11^4 + 100^4 + 111^4)/2}
・JMO-2016 予選
・どちゃ楽数学bot
//www.twitter.com/solove_math/ Q.157 ☆2
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 〔ヘロンの公式〕
辺長 a,b,c の三角形の面積を S とすると
16SS =（a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c）=（aa+bb+cc)^2 - 2(a^4+b^4+c^4),
-a+b+c=0, a-b+c=0, または a+b-c=0 のとき
三角形が潰れて S=0 だから
√{(a^4+b^4+c^4)/2｝=（aa+bb+cc)/2, aの4乗+bの4乗+(a+b)の4乗をベタに計算するだけで解けたぞ A=aa, B=bb, C=(a+b)^2 とおくと
(C-A-B)^2 =（2ab)^2 = 4AB,
AA+BB+CC = 2(AB+BC+CA),
2(AA+BB+CC）=（A+B+C)^2,
√{(AA+BB+CC)/2｝=（A+B+C)/2. なんでそんなまわりくどい事をするの？
パスカルの三角形の4の段の「1 4 6 4 1」と
12321が平方数なことを知っていれば解ける 数学オリンピック出場者なら、
28歳で東大数学科の助教授になった今井さんが出世頭
物理に進んだ立川さんも30半ばで東大物理教授で、理論物理では国内トップクラスの実績 >>958
「RIMSで職に就ける数オリ出身者がすごい」のであって
逆に数オリがRIMSに与える箔なんて全くねーよ（笑）
数オリが存在しなくてもRIMSの価値は不変 JBMO はバルカンMO (BMO) のジュニア版らしい。
http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo
17th JBMO-2013 トルコ
18th JBMO-2014 マケドニア (Ohrid)
19th JBMO-2015 セルビア (Belgrade)
20th JBMO-2016 ルーマニア (City of Slatina)
21st JBMO-2017 ブルガリア (City of Varna)
22nd JBMO-2018 ギリシャ (Rhodes island)
23rd JBMO-2019 キプロス
24th JBMO-2020 ？ 数学論文数ランキング
1位 中国
2位 米国
3位 インド
4位 ロシア
5位 ドイツ
6位 フランス
7位 イギリス
8位 イタリア
9位 イラン
10位 日本 [例9-3] 改
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注）鳩ノ巣原理では解けません。 97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.139967594×10^(-5) ････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ････ (5)
(3.35288････×10^(-13）まではあるらしい｡) 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10), 97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28, ････ (3) 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ････ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ････ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ････ (9) 〔問題4〕
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。
IMO-1975 (ブルガリア大会) N=4444^4444 とする。このとき
log(N) < 4444 log(4444) = 16210.707879
であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。
また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、
A ≦ 16211×9 = 145899
となる。
同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54
（=6×9）以下ということになり、B≦54 である。
54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その
値は13である。よって C≦13 である。
一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。 A=72601
これより
B = 7+2+6+0+1 = 16,
C = 1+6 = 7,
「［完全攻略］数学オリンピック」(1991) p.70-71 後半がまずいな
4444を9で割った余りが7で、7の三乗を9で割った余りが1、
4444を3で割った余りが1。以上より4444^4444を9で割った余りは7
Cは13以下よりC=7 〔問題〕
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aを求めよ。
(略解)
N = 4444^4444
= 51036325037････81696 (16211桁)
各桁に現れる数の和Aを、下から1000桁ごとに求めれば
下1〜1000 4433
1001〜2000 4502
2001〜3000 4429
3001〜4000 4562
4001〜5000 4586
5001〜6000 4415
6001〜7000 4309
7001〜8000 4630
8001〜9000 4523
9001〜10000 4481
10001〜11000 4379
11001〜12000 4452
12001〜13000 4552
13001〜14000 4313
14001〜15000 4657
15001〜16000 4454
16001〜16211 924
----------------------
A = 72601 数オリは一読しただけでは
「そんなの分かりっこなくね？」という問題ばかりで面白いな >>976
各数字の現れる回数も書けば
桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
下１〜 1000, 4433, 86, 92, 117, 108, 117, 99, 115, 92, 80, 94,
1001〜 2000, 4502, 99, 105, 89, 111, 106, 93, 94, 100, 94, 109,
2001〜 3000, 4429, 99, 113, 92, 104, 100, 102, 99, 104, 95, 92,
3001〜 4000, 4562, 94, 89, 101, 108, 102, 104, 102, 95, 103, 102,
4001〜 5000, 4586, 101, 89, 99, 89, 105, 98, 108, 114, 97, 100,
5001〜 6000, 4415, 98, 105, 114, 106, 98, 75, 110, 104, 101, 89,
6001〜 7000, 4309, 122, 105, 99, 93, 106, 103, 80, 118, 84, 90,
7001〜 8000, 4630, 93, 106, 87, 84, 101, 109, 108, 99, 109, 104,
8001〜 9000, 4523, 85, 110, 96, 105, 109, 94, 102, 97, 109, 93,
9001〜10000, 4481, 99, 95, 102, 106, 104, 104, 100, 89, 104, 97,
10001〜11000, 4379, 115, 110, 107, 91, 90, 81, 118, 94, 95, 99,
11001〜12000, 4452, 95, 103, 108, 112, 91, 109, 98, 79, 98, 107,
12001〜13000, 4552, 91, 90, 101, 109, 96, 117, 101, 101, 95, 99,
13001〜14000, 4313, 104, 97, 117, 118, 109, 103, 65, 100, 96, 91,
14001〜15000, 4657, 84, 87, 114, 108, 99, 86, 94, 102, 120, 106,
15001〜16000, 4454, 110, 102, 91, 106, 93, 96, 108, 96, 102, 96,
16001〜16211, 924, 24, 17, 27, 19, 27, 21, 12, 21, 23, 20,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
計, 72601, 1599, 1615, 1661, 1677, 1653, 1594, 1614, 1605, 1605, 1588, 〔問題〕
8^1000 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aを求めよ。
（千乗に掛ける八：クワイ河マーチ） 〔追加〕
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
B、Cも求めよ。 空間[5]
空間の点全体を5色すべてを使って勝手に塗る。
このとき、この空間内に少なくとも4色（異なる4色で塗られた4点）
を含む平面が存在することを示せ。
秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991) p.99 「2直線ABとCDが同一平面上にない場合」に補足。
直線CD と平面πとが平行ならば、交わらない。
Pを通ってCDに平行な直線Lをひく。
L は平面πに含まれる。また
L // CD はABと平行でないから、ABと交わる。
その交点Qは色a,bのどちらかで塗られている。
CDPQは同一平面上にあり、4色を含む。（終） 数列[1]
数列{a_n} を次のように定める。
a_1 = 1,
n≧1 のとき a_{n+1} = a_n + 1/a_n,
このとき次を示せ。
(1) 2≦m のとき (a_m)^2 ≧ 2m,
(2) m≦100 のとき (a_m)^2 < 2m + (H_{m-1} -1)/2 < 2(m+2),
(3) 2≦m≦100 のとき (a_m)^2 > 2m + (H_{m+1} -11/6)/2,
(4) 14.20 < a_100 < 14.22
ただし調和級数は H_99 = 5.1774 H_101 = 5.1973 とせよ。
(1990年国内大会予選-改) このスレは 999 になるまで次スレを立てないんでつか (1)
(a_{n+1})^2 = (a_n)^2 + 2 + 1/(a_n)^2,
これを n=2,3,････,m-1 でたすと
(a_m)^2 = (a_2)^2 + 2(m-2) + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2
= 2m + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2,
≧ 2m, >>981-982
A = 3871
B = 19
C = 10
D = 1
桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
下１〜 100, 476, 9, 13, 11, 9, 4, 9, 4, 15, 10, 16,
101〜 200, 402 , 17, 9, 14, 9, 7, 4, 14, 10, 8, 8,
201〜 300, 385, 14, 12, 10, 12, 13, 9, 7, 11, 7, 5,
301〜 400, 398, 16, 13, 11, 5, 8, 15, 9, 3, 14, 6,
401〜 500, 463, 8, 9, 10, 8, 16, 8, 7, 15, 12, 7,
501〜 600, 429, 15, 6, 9, 16, 11, 5, 8, 9, 12, 9,
601〜 700, 455, 11, 9, 6, 11, 12, 9, 13, 11, 9, 9,
701〜 800, 410, 11, 9, 15, 13, 10, 11, 8, 2, 14, 7,
801〜 900, 447, 8, 15, 8, 10, 6, 11, 12, 12, 11, 7,
901〜 904, 6, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
計, A=3871, 110, 96, 95, 94, 87, 81, 82, 88, 97, 74, >>967
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13) 〔Zsigmondy の定理〕に関連する問題
<<Problem 3>>
Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression.
〔問題3〕
数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。
(1994年 Romania 第1回TST)
<<Problem>>
Find all triplets of positive integers (a,m,n)
such that (a^m)+1 divides (a+1)^n.
(IMO-2000 SLP）
〔問題〕
(a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。
(→ 和のZsigmondy の定理)
〔第2問〕
正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式
a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)
を満たすものをすべて求めよ。 (JMO-2011 本選)
(→ 和のZsigmondyの定理)
http://science-log.com/数学/number-theory-の話題（zsigmondys-theorem）/ >>990
自分の言葉を書くことに嫌悪感でもあるの？ 〔Question 4〕
Determine all x,y∈Z such that
1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.
(IMO-2006, Q.4)
(2^x){1+2^(x+1)} = (y+1)(y-1) を使う。
http://www.youtube.com/watch?v=wviiZlYRaGE 05:52 1 + 2^x + 2^(2x) = y^2 - 2^(2x) = (y-2^x)(y+2^x),
を使うとどうなるか？
・xが偶数のとき
t = 2^(x/2) >0 とおく。
1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2),
y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2),
よって
y + t^2 = 1+t+t^2,
y - t^2 = 1-t+t^2,
辺々引いて
0 = 2t(1-t),
∴ t=1, x=0, y=±2.
・xが4の倍数のとき
t = 2^(x/4) >0 とおく。
1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2),
y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4),
よって
y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2),
y - t^4 = 1+t+t^2,
辺々引いて
0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6
= -t(1+t)(2-t)(1+t^3)
∴ t=2, x=4, y=±23. 〔問題〕
2020^2020の各桁の和をAとする。
Aの各桁の和をBとする。
Bの各桁の和をCとする。
A〜Cを求めよ。
面白スレ３２．731,746-748, 752 下2020桁の「0」を省くため、N = 202^2020 で考えると
4657桁になる。
下1〜1000 4423
1001〜2000 4491
2001〜3000 4439
3001〜4000 4551
4001〜4657 2872
--------------------------
計 A = 20776
B = 22,
C = 4, ://www.youtube.com/watch?v=uBmhX0PVL0w
ぱるっく
悪いがくっそダサいぞ。恥ずかしい。w
ぱるっく
え、マグナ50っすかー！www
スティード？何それ？あー！ハーレーの偽物ですか！w
乗れない奴は黙ってろw
なんかほざいてるけど結局乗れてない奴は黙ってろw
いや、乗ってねぇー奴は黙ってろよw
アホ発見wwwwwwwww ://www.youtube.com/watch?v=y7W7ezOg4C4
ぱるっく
クソだせぇーwww
これがカッコいいとか手帳持ちかいな
なんや？そんな事も知らんのかw
なんで説明せなあかんの？お前のために人生の時間使いとうないわwドアホ
世の中そんな甘ないで
しょうがくせいかな？「正確悪い」ではなくて「性格(せいかく)悪い(わるい」だよ。かんじどりるをしっかりやろうね！
直接話す勇気もねぇークソガキは黙ってろや
名古屋、最寄りは名駅。日にちと時間決めて話すか？お前がびびってこれねぇーならこっちから行ったるで最寄り教えろ。
ぶつぶつうるさいんや。さっさと教えろや。行ったるわ。
言い訳して逃げるキッズかよ。てか地理弱すぎだろ。名古屋から大阪とか近いわw
自粛って言葉使って逃げようとしてんじゃんかよ。まぁええわ。いつ空いてんの？時間もお前に合わせるわ。
大いつでもええの？5月17日で12?14時ぐらいに大日駅な。俺身長が187ぐらいあるですぐ気づくわw
返事が無いと言うことはやはりネットでしかイキれないインキャって事ね。よくわかったよ。おつかれ
返事は？
12な。
てめぇー嘘は良くないぞ？お前って本当に終わっとんな。こなかったのはてめぇーだろうが。それか来たけどビビって話しかけれなかったのか？チー牛野郎。
全く話にならないな。お前どこにいた？
とんだ腰抜けチー牛野郎だったわ。雑魚にも程がある。
最後の最後までクソ雑魚だったわチー牛野郎。おつかれさん。 このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 1425日 4時間 13分 56秒 5ちゃんねるの運営はプレミアム会員の皆さまに支えられています。
運営にご協力お願いいたします。
───────────────────
《プレミアム会員の主な特典》
★ 5ちゃんねる専用ブラウザからの広告除去
★ 5ちゃんねるの過去ログを取得
★ 書き込み規制の緩和
───────────────────
会員登録には個人情報は一切必要ありません。
月300円から匿名でご購入いただけます。
▼ プレミアム会員登録はこちら ▼
https://premium.5ch.net/
▼ 浪人ログインはこちら ▼
https://login.5ch.net/login.php レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
