初等幾何学ってなに [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 １３２人目の素数さん 2016/08/19(金) 18:50:15.69 ID:5ZelyuA8]

中学生にも分かるように教えてください

[0121 １３２人目の素数さん 2021/04/08(木) 21:03:41.67 ID:jAHOCp/v]

〔例2.4.6〕
辺の長さが a,b,c である三角形において,
　面積�� ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

佐藤(訳) 「美しい不等式の世界」 朝倉書店 (2013)　　p.89

[0122 １３２人目の素数さん 2021/04/08(木) 21:07:31.40 ID:jAHOCp/v]

(略証)
　�� = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2}　　(Heron)
　　= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
　　≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)}　　　　　　(Schur-1)
　　= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

* Schur-1
　F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
　　= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,

[0123 １３２人目の素数さん 2021/04/10(土) 17:40:22.55 ID:Tq6xhZve]

〔公式425〕
三角形の内心I、重心G、垂心H、G-Hの中点M、O-Hの中点N とすると

　OI^2 = R(R-2r),　　　(Chapple-Euler)

　MH^2 - MI^2 = (2/3)r(R-2r),

　NI = (1/2)(R-2r),

rは内接円の半径、Rは外接円の半径

[分かスレ４６６- 425, 495, 678, 690]

[0124 １３２人目の素数さん 2021/04/11(日) 08:45:56.53 ID:sZ6ZL7G1]

(下) の略証
三角形の外接円を重心Gのまわりに (-1/2)倍した円は、
各辺の中点など(*)を通り、9点円とよばれる。
9点円の中心N, 半径は R/2.
内接円の中心I, 半径はr.

[定理31]
　三角形の9点円は内接円に接する。(Feuerbachの定理)

∴　NI = (1/2)(R-2r),

(参考書)
清宮俊雄 著「モノグラフ 15.幾何学」矢野健太郎 監修, 科学新興社 (1968/Sep)
　§10.　p.41
　のちに科学新興新社から改訂版が発行された。(1988/Mar)

*) 垂足 (各頂点から対辺に下した垂線の足) と 各頂点と垂心Hの中点を合わせて
　9点を通る。

[0125 １３２人目の素数さん 2021/04/11(日) 11:59:00.34 ID:sZ6ZL7G1]

(参考書)
矢野健太郎 著 「幾何の有名な定理」 数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981/Dec)
　１０ フォイエルバッハの定理　p.103-111

数セミ増刊 「数学100の定理」 日本評論社 (1983/Oct)
　「九点円」　p.12-13

[0126 １３２人目の素数さん 2021/08/07(土) 18:02:10.60 ID:RGRd4R20]

>>106
π/1.2 = φ^2 を利用して「円積問題」を解く。

半径rの円が与えられたとする。
(-r,0)　(6r/5,0) を直径の両端とする円を描く。
y軸との交点は A(0,±L)　L= r√(6/5),
B(L/2,0) とすると　AB = (√5)/2・L
Bを中心とし、Aを通る円周を描く。
x軸との交点は C(Lφ,0)
OCを一辺とする正方形を描く。
その面積は与えられた円の面積にほぼ等しい。

[0127 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 18:18:13.17 ID:gfHy/Z2w]

π/1.2 = 2.61799387799
φ^2 = 2.618033988750

[0128 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 18:21:08.07 ID:gfHy/Z2w]

〔問題〕
3次元空間に2つの球
　(x-1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
　(x+1)^2 + y^2 + z^2 < 1,
がある。
これらの球をともに内部に含む四面体のうち、
体積が最小のものはどのような四面体か。

[高校数学の質問スレPart414．236]

[0129 １３２人目の素数さん 2021/10/02(土) 18:25:32.16 ID:gfHy/Z2w]

x軸方向に伸びる傾角aの谷の上に2つの球を並べる。
　z = |y| tan(a) - z1,　　z1 = -1/cos(a),
y方向に伸びる、傾角bの屋根を葺く。
　z = z2 - |x| tan(b),　　z2 = (1+sin(b))/cos(b),

四面体のサイズは
　�凅 = 2(z2-z1)/tan(b)
　�凉 = 2(z2-z1)/tan(a),
　�凛 = (z2-z1),
体積は
　V(a,b) = (1/6)�凅･�凉･�凛 = (2/3)(z2-z1)^3 /(tan(a)･tan(b)),

Vが最小となるのは
　a = 1.001631319　(57.38924722°)
　b = 0.679837919　(38.95184353°)
のとき
　�凅 = 9.77200177
　�凉 = 5.05410762
　�凛 = 3.94981057
　V = 32.5127002274793
これは球の体積 (4π/3)*2 の 3.88091771585 倍

[0130 １３２人目の素数さん 2021/10/16(土) 14:35:54.77 ID:bY2L66Ji]

〔出題２〕
rは 0<r<1 を満たす定数、θは 0<θ<π を満たす定数とします。
xy平面に2点 P。=(0,0), P_1=(1,0) をとり、
　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xy平面内の折れ線P。P_1 P_2 … P_n …で次の条件を満たすものを考えます。
　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿
・n=1,2,3,…に対して、P_nP_{n+1} = r^n であり、
　　　　　＿＿＿＿＿　　＿＿＿＿＿
　2つの辺 P_{n-1}P_n と P_nP_{n+1} のなす角が θ または -θ である。

この折れ線が P_2 以後にx軸と交差しないとき、rとθの間に成り立つ関係式を求めてください。

ただし、「交差する」とは1点のみを共有することとします。

[0131 １３２人目の素数さん 2021/10/16(土) 15:58:54.29 ID:bY2L66Ji]

0 < θ << 1 の場合

z = r･e^(iθ)　とおくと
y(P_n) = r sinθ - rr Σ[k=0,n-1] r^k･sin(kθ)
= Im{z - rrΣ[k=0,n-1] z^k}
= Im{z - rr(1-z^n)/(1-z)}
≒ Im{z - rr/(1-z)}
= Im{z - rr(1-z~)/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/|1-z|^2}
= Im{z - rrz/(1-2r cosθ +rr)}
= Im{z} (1-2r cosθ)/|1-z|^2
> 0
∴　r･cosθ ≦ 1/2.

[0132 １３２人目の素数さん 2021/10/19(火) 03:42:03.25 ID:OvSIJGC7]

〔問題〕
ABCD を円に内接しない四角形とします。
ABCDの対辺の積 AB･CD, AD･BC と 対角線の積 AC･BD =L
を三辺の長さとする三角形が存在することを示して下さいです。

(Lに対する内角は A+C, B+D のうち 180°より小さい方)

[0133 １３２人目の素数さん 2021/10/19(火) 11:11:17.25 ID:OvSIJGC7]

(略解)
A+C<180° の場合
頂点Dを中心として
　�僊BDをCD倍して回転
　�傳CDをAD倍して回転
　�僊CDをBD倍
して同長の辺を重ね、�� B'-X-B" を作る。
　B'X = AB･CD,
　B"X = AD･BC,
　B'B" = AC･BD = L,
また、
　∠X = A + C,　∠XB'D + ∠XB"D = B,

[0134 １３２人目の素数さん 2021/11/27(土) 13:09:10.97 ID:HxEDg/nu]

〔問題〕
ある4面体は、どの2面も同じ角度(二面角)で交わっています。
これはどんな4面体でしょうか。

[0135 １３２人目の素数さん 2022/11/17(木) 04:03:39.28 ID:f3wDsO1g]

難しそうだな

[0136 １３２人目の素数さん 2023/05/13(土) 19:22:59.59 ID:H6yqok4G]

サンドウィッチマン&芦田愛菜の博士ちゃん★1

[0137 １３２人目の素数さん 2023/06/22(木) 10:13:40.90 ID:bA5uzkgG]

7月号の「大学への数学」の「数学アラカルト」は必読

[0138 １３２人目の素数さん 2023/06/24(土) 21:01:06.06 ID:axBJODfS]

機体に穴があき酸欠状態の宇宙船が
必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
//youtu.be/oWs3yvVADVg　　　想像してみてください。

イヤフォンなど使うと、緊迫感と迫力が伝わりやすいと思います。

[0139 １３２人目の素数さん 2023/07/26(水) 22:06:50.41 ID:IHiRkqZG]

軸が互いに直交する互いに合同な二つの放物線が
4つの交点を持てば
それらは同一円周上にあることを示せ

[0140 １３２人目の素数さん 2024/01/20(土) 11:03:24.18 ID:CpRTTCyr]

教育　サイエンスZERO　自然が愛する六角形

[0141 １３２人目の素数さん 2024/01/20(土) 21:29:40.00 ID:T8JaMoL1]

三つ巴　三神　クロワッサン　トリオ　・・　人の愛する３系列
http://www.youtube.com/watch?v=ElWC24oJHdo&t=41s&pp=ygUh44GV44KT44GY44KF44GG44GX44CA44K144OD44Kr44O8