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松坂和夫『集合・位相入門』第３章を徹底理解する その2 [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/23(木) 13:33:05.12ID:V+BzdDJN
松坂和夫『集合・位相入門』第３章についてのスレです。

質問や議論、問題解答など。
0003１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/23(木) 15:43:03.47ID:LDA406eu
高校生か
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/23(木) 17:11:51.80ID:V+BzdDJN
前スレの

106 ：1 ◆yyxoXJ2Wgo ：04/10/06 21:05:39
（ⅳ）

（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部分集合に、W_0
が含まれれば、何も証明することはない。よって、W_0 は上記集合
に含まれないと仮定する。

W_0 の元 x を x_0 と異なり、かつ W_0 の中に直前の元をもたない元
とする。
W_0 の定義から、（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部
分集合 W が存在して、x ∈ W となる。W ≠ W_0 であるから、
W ＝ W_0<x'> (for some x' ∈ W_0）とかける。
W ＝ W_0<x'> は(ⅳ)を満たすから、
(W_0<x'>)<x> ＝ W_0<x> の A における上限は、 x である。

についてですが、　x は W の中にも直前の元をもたないことはどうやって示すのでしょうか？
0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/23(木) 17:39:23.82ID:V+BzdDJN
あ、分かった。

以下のように書かなきゃ減点だね。

（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部分集合に、W_0
が含まれれば、何も証明することはない。よって、W_0 は上記集合
に含まれないと仮定する。

W_0 の元 x を x_0 と異なり、かつ W_0 の中に直前の元をもたない元
とする。
W_0 の定義から、（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部
分集合 W が存在して、x ∈ W となる。W ≠ W_0 であるから、
W ＝ W_0<x'> (for some x' ∈ W_0）とかける。
z < x, z ∈ W とする。 z ∈ W_0 で x ∈ W_0 は W_0 の中に直前の元をもたないから、
z < y < x となる y ∈ W_0 が存在する。 y < x < x' だから y ∈ W である。よって、
x ∈ W は W の中に直前の元をもたない。
W ＝ W_0<x'> は(ⅳ)を満たすから、
(W_0<x'>)<x> ＝ W_0<x> の A における上限は、 x である。
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/06/24(金) 13:09:34.10ID:qQfR5hA/
106 ：1 ◆yyxoXJ2Wgo ：04/10/06 21:05:39
（ⅳ）

（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部分集合に、W_0
が含まれれば、何も証明することはない。よって、W_0 は上記集合
に含まれないと仮定する。

W_0 の元 x を x_0 と異なり、かつ W_0 の中に直前の元をもたない元
とする。
W_0 の定義から、（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部
分集合 W が存在して、x ∈ W となる。W ≠ W_0 であるから、
W ＝ W_0<x'> (for some x' ∈ W_0）とかける。
W ＝ W_0<x'> は(ⅳ)を満たすから、
(W_0<x'>)<x> ＝ W_0<x> の A における上限は、 x である。


W_0 が （ⅳ） を満たさないと仮定し、 W_0 の元 x（≠x_0）が W_0 の中に直前の元をもたないとする。
W_0 の定義により、（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）を満たす A の部分集合 W で、x ∈ W となるような
ものが存在する。 W ≠ W_0 だから、p.107の系より x' を W_0 の元として、 W = W_0<x'> と書ける。
z < x, z ∈ W とする。 z ∈ W_0 で x ∈ W_0 は W_0 の中に直前の元をもたないから z < y < x となる
y ∈ W_0 が存在する。 y < x < x' だから y ∈ W である。よって、 x ∈ W は W の中に直前の元をもたない。
W は （ⅳ） を満たすから、 x = sup_A W<x> = sup_A (W_0<x'>)<x> = sup_A W_0<x> となる。よって W_0 は
（ⅳ） を満たす。これは矛盾である。
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