有理数であることも無理数であることも証明できない実数 [無断転載禁止]©2ch.net

1132人目の素数さん2016/03/26(土) 20:15:39.13ID:qZN8Npts
真であることも偽であることも証明不可能な命題は確かに存在し、具体的に構成可能である。
では、有理数であることも無理数であることも証明不能な実数は存在するか? また、具体的に構成可能か。
存在しないとすれば、そのことを示せるか。

53◆2VB8wsVUoo 2016/09/20(火) 21:40:28.84ID:jSe92bp3

54◆2VB8wsVUoo 2016/09/20(火) 21:54:04.61ID:jSe92bp3

55◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 03:12:36.50ID:9DYTpCUE

56◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 03:28:50.09ID:9DYTpCUE

57132人目の素数さん2016/09/21(水) 03:46:42.15ID:iCFknaAl
基礎論スレでトンチンカンなこと言ってた人だ

58◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 04:00:40.34ID:9DYTpCUE

59◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 04:00:57.90ID:9DYTpCUE

60◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 04:01:14.02ID:9DYTpCUE

61◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 04:01:30.95ID:9DYTpCUE

62◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 08:09:00.76ID:9DYTpCUE

63◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 08:09:19.90ID:9DYTpCUE

64◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 08:09:36.59ID:9DYTpCUE

65◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 08:09:54.75ID:9DYTpCUE

66◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 08:10:12.64ID:9DYTpCUE

67◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 08:10:32.35ID:9DYTpCUE

68132人目の素数さん2016/09/21(水) 18:02:30.75ID:gokoLlcn
>>1
> では、有理数であることも無理数であることも証明不能な実数は存在するか?

これは無数に存在する

というよりもほとんどすべての実数は有理数とも無理数とも証明できず
いずれかであると証明できる実数のルベーグ測度はゼロである

より分かりやすい言い方をすると、それが有理数であることか無理数であることの何れかを証明できる実数全てを
集めた集合の濃度は全ての自然数(あるいは全ての有理数でも同じ)の成す集合の濃度に等しい

その理由は数学を形式化(記号化)して考えると、何らかの形式的体系での証明は、その形式的体系が
枚挙可能な可算個の記号に基づき公理すべての成す集合が再帰的である
(つまりその体系での論理式が与えられた時その論理式が公理か否かは機械的に判定可能ということ)限りは、
その形式的体系でのありとあらゆる証明(の各々はゲーデル数化の方法で各々固有の自然数に対応する)の成す集合は
全自然数の集合の部分集合に対応し、従ってその全証明の集合は可算無限個の濃度しかないからだ

69132人目の素数さん2016/09/21(水) 18:11:53.37ID:LiW+0kGY
それは正しいが求めるものではないと思う。
計算可能な実数ではあるけど、有理数とも無理数とも証明できないような実数はあるか
というのが>>1の期待してる答えだろう

70◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 18:42:00.09ID:9DYTpCUE

71◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 18:49:13.62ID:9DYTpCUE

72132人目の素数さん2016/09/21(水) 19:51:56.03ID:8EZ5rx68
無理数の定義が構成的でない件について

73132人目の素数さん2016/09/21(水) 20:45:07.70ID:LiW+0kGY
例えば自然対数のeは無理数だけど
数列(Σ_{k=1}^n 1/k!)_{n∈N}の極限として表せるじゃん
計算可能な有理数の極限として表せる実数が>>1の考える例だろう.(後で調べて分かったけど極限計算可能実数というらしい)

平たく言えば,小数展開した時に任意桁まで表示可能な実数が求められてる例だと思う.
例えばe+πは時間さえかければどの桁までも表示できるよね.

74◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:35:06.36ID:9DYTpCUE

75◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:35:22.37ID:9DYTpCUE

76◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:35:36.97ID:9DYTpCUE

77◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:35:51.30ID:9DYTpCUE

78◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:36:25.48ID:9DYTpCUE

79◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:36:44.50ID:9DYTpCUE

80◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:36:59.91ID:9DYTpCUE

81◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:37:15.07ID:9DYTpCUE

82◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:37:30.36ID:9DYTpCUE

83◆2VB8wsVUoo 2016/09/21(水) 21:38:38.99ID:9DYTpCUE

84◆2VB8wsVUoo 2016/09/22(木) 00:02:06.34ID:d+gUomk5

85◆2VB8wsVUoo 2016/09/22(木) 00:10:32.25ID:d+gUomk5

86◆2VB8wsVUoo 2016/09/22(木) 00:20:31.72ID:d+gUomk5

87◆2VB8wsVUoo 2016/09/22(木) 00:28:20.91ID:d+gUomk5

88132人目の素数さん2016/10/01(土) 20:28:44.70ID:RryPavju
R:実数全体
Q:有理数全体
とする
このときQはRの部分集合であることを量化であらわすと

∀x?Q ⇒ ∀x?R

数学と論理学がいつも喧嘩をするのは

Q ⇒ R

というとき(¬Q)∨Rと定める部分だ
また対偶より

(Q ⇒ R) ⇔ (¬R ⇒ ¬Q)

という
それでは論理学のいう定義に従って数を考えてみたい
QがRの部分集合であることをまず具体的な要素は考えない場合をみる
対偶の同値性より

(¬R ⇒ ¬Q) 
def.⇔ (¬(¬R))∨(¬Q)
⇒   R∨(¬Q)  二重否定律
⇒   R∪(¬Q)  集合算の定義

一方
(Q ⇒ R)は定義より(¬Q)∨R ⇒ R∪(¬Q) 可換律
たしかに
   
R∪(¬Q)から元をとることが保証されている
さて実数全体と有理数全体でないものの和集合とは何だろうか
(¬Q):=複素数全体CのときR⊆CよりR∪(¬Q)=C
(¬Q):=Rのとき             R∪(¬Q)=R
また整数全体Zに対して
Z ⇒ Q と書けるとき

¬Q ⇒ ¬Z

であるから
(¬Q):=Zと置くことはできない(置いた場合は空集合)
(¬Q):=自然数全体N のときN⊆RよりR∪(¬Q)=R
したがって

(Q ⇒ R)  ⇒  (R∨C)∨(空集合)

が導出された

89132人目の素数さん2016/10/01(土) 20:37:36.99ID:RryPavju
ここから数学として言えることは

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C

という数体系に従う限り
部分集合について論理学に云う量化

∀x?Q ⇒ ∀x?R

あるいはその対偶

∃x?R ⇒ ∃x?Q

という記法は採用できない
また対偶や背理法を用いることも危険であることがわかる
空集合はすべての集合の部分集合であることの証明方法
すなわち偽の命題から導出された結論は論証として真である
を用いて数学を行うとすればある部分集合を扱うとき
すべて空集合の元で考えていることになる
それゆえにある数学者は空でないと予め宣言をする
それでは部分集合とは何だろうか
数学はすべてを構成しているわけではない
それが理解できれば部分集合が点のように思えるだろう

90132人目の素数さん2016/10/01(土) 21:51:41.12ID:GPWnCHI5
>このときQはRの部分集合であることを量化であらわすと
>∀x?Q ⇒ ∀x?R

いきなり間違ってる

91132人目の素数さん2016/10/02(日) 22:08:14.97ID:zSxYePtr
>>89
∃x∈R,p(x)⇒∃x∈Q,p(x)
は、
Q⊆R
より自明に従う。

92132人目の素数さん2017/06/21(水) 18:05:28.97ID:li9YiQr4
統計
422 43 ¥ ◆2VB8wsVUoo
233 25 ¥ ◆2VB8wsVUoo , 猫 ◆2VB8wsVUoo
244 30 ¥ ◆2VB8wsVUoo
123 12 ¥ ◆2VB8wsVUoo
231 18 ¥ ◆2VB8wsVUoo
239 24 ¥ ◆2VB8wsVUoo , 猫 ◆2VB8wsVUoo
29 3 ¥ ◆2VB8wsVUoo
133 11 ¥ ◆2VB8wsVUoo
222 15 ¥ ◆2VB8wsVUoo
198 20 ¥ ◆2VB8wsVUoo

93◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 18:30:14.21ID:cGYdNhEa
★★★数学徒は論理的な考察により客観的に暮らし、日頃から深い学術を志すべき。★★★


94◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:45:17.88ID:cGYdNhEa

95◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:45:40.66ID:cGYdNhEa

96◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:46:01.41ID:cGYdNhEa

97◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:46:22.50ID:cGYdNhEa

98◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:46:40.26ID:cGYdNhEa

99◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:46:58.21ID:cGYdNhEa

100◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:47:21.42ID:cGYdNhEa

101◆2VB8wsVUoo 2017/06/21(水) 22:47:43.36ID:cGYdNhEa

102132人目の素数さん2018/06/24(日) 09:44:19.90ID:CiX9DLBe
.

103132人目の素数さん2018/08/05(日) 12:30:29.80ID:txWpcULJ
全てルベーグ可測な公理系でやるとどうなるのかは知らん

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