素数が無限に存在する証明
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ユークリッド的な証明では最後の素数 p があると仮定して
p 以下の素数の積に 1 を加えた q = 2・3・・・p + 1 が素数だから矛盾だという.
しかし,これに文句を言うやつがいる.q は素数か,p より大な素数で割りきれるかだと.
しかし,私に言わせればこれらは両方だめだ.
正解は「q は p より大きいので合成数だが,どの素数でも割りきれないので矛盾」である. >>100
2×3×5×7×11×13+1=30031
30031=59×509
だから
素数×…×素数+1は必ずしも素数とは限らない >>88
自然数+1が自然数である証明をしなければならないのでダメだ
自然数の定義から見直すと自然数+1が自然数になることは直ちに分かるが。 素数が出尽くさない事を証明しなければ
無限に存在するとは言えないんだよ。 私全くの素人。
最大素数やπの桁を追及するのはキリがないと思うんだが、
それでもやはり研究する価値があるんでしょうかね? >>109
最大素数が存在しないことや、πが有限小数でないこと
を証明することは、多くの人にとって意義がある。
巨大素数の例を見つけることや、πの近似値競争を
することには、極々一部の人にとってしか意味がない。 巨大素数は暗号の鍵に使えるのでは?
公表したら意味がないけど ゴールドバッハの予想は正しい。
対偶が真であることは、
とても簡単に証明できます。 >>104
それは13が最大の素数じゃないから当たり前 実は、48番目のメルセンヌ素数が最大素数でした、という落ちがあったりしてw 48番目の偶数完全数が48番目の完全数でなければもっと藁 >>115が素数が無限に存在する証明が理解できないのであればもっと藁 数学的読み物を読んで思ったんだが
今まで見つかってるすべての素数の積に1加えれば
次に大きな素数じゃないかもしれないが、とりえあず巨大な素数が見つかる? >>118 それやったら、なんか気が狂いそうな・・・。
素数って、怖いよね。 単純なんだけど、その実態はまったく解析困難だし。
難しいことわかんないけどさ・・。だから、みんな素数に惹かれるのか。 級数 Σ1/p は発散するから素数は無限であるというオイラーの証明がある。
この証明はユークリッドの証明より情報量が多い。
例えばこれから素数は平方数よりある意味【多い】ということが分かる。 >>121
そりゃ千年以上前の証明と比較したら前進してて当然だろ >>122
君、被害妄想が酷いと言われたことないか? >>124
「この証明はユークリッドの証明より情報量が多い」ことが趣旨ではないのに、何故かそこに反応するところ
何かを貶されたと感じてしまったのではないか? >>118
これ間違ってる。素数が有限だという仮定のもとにそれを使って矛盾を導くのは正しいが、
素数を生成するのには使えない。実際、反例がある。 >>128
実用性はないが原理的には間違ってない。
p_1, ..., p_n を今まで見つかった素数の全てとする。
n = (p_1)・・・(p_n) + 1 の素因子の一つを q とする。
n は p_1, ..., p_n のどれでも割り切れないから
q は p_1, ..., p_n のどれとも異なる。 >>129
最後の一行が間違っている。
p_n<x<nを満たす素数xで割り切れる可能性がある。 >>130
>最後の一行が間違っている。
最後の一行
>q は p_1, ..., p_n のどれとも異なる。
これが間違ってるってことは q = p_i となる i (1 ≦ i ≦ n) があるわけだが、
そうすると n は p_i で割り切れることになる(q は n の素因子だから)。
なわけねえじゃんw >>128
その反例を書けば済む話なのに、何故書かない? フェルマー数は互いに素ってのも素数が無限個ある証明になってる。 >>135
貼ることに上手い下手があるとは知らなかった
クリックさせて上手くウィルス感染させられるかって意味? >>136
漢字urlだから上手く貼れなかったみたい。
これでどう?
https://goo.gl/g1qXfQ これ、意外に勘違いしている人が多いんだよなあ。
素数が有限個だと仮定すると、確かにこのやり方でさらに大きな素数を作れる。
でも実際には仮定自体が間違っているから、次の素数は作れない。 >>138
>>118をよく読め
>次に大きな素数じゃないかもしれないが >>139
じゃあ、リンク先のを貼るよ。今、13以下のすべての素数が分かっていて、それより
大きな素数を生成したいとする。
件のアルゴリズムを使うと、
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509
となって、素数は出てこない。
まさかここまでやらないと分かってもらえないとは思わなかった。 >>138
あんた勘違い。
>>118は全ての素数が有限個であるなんて仮定してない。
>今まで見つかってるすべての素数の積に1加えれば >>118を
今まで見つかってるすべての素数の積に1加えて 素 因 数 分 解 す れ ば 、
次に大きな素数じゃないかもしれないが、とりえあず巨大な素数が見つかる?
と書き換えれば、>>118は正しい。>>129が既に指摘してるけどね。 一方で、>>118を
今まで見つかってるすべての素数の積に1加えれば、それは自動的に素数になっていて、
「次に大きな素数」ではないかもしれないが「巨大な素数」になっている
と解釈すると、それには反例がある(>>140)。
>>118はどっちの意味にも取れるので、どうとでも言える。 >>144
どっちの意味にもとれるってのはちょっと無理があるんじゃね? >>144
> >>118はどっちの意味にも取れるので、どうとでも言える。
【今まで見つかった素数を全部掛けて1を加えたら必ず素数になる】わけねえじゃん。
グデングデンに酔っていても聞いた瞬間に間違いとわかる。 >>143
いや、例えば140の例で言えば、13までの素数しかわかってない状態だよ?
59や509が素数だとは知らないわけだから、それをまず確かめなくてはならない。
だったら、1から数字を増やしていって素因数分解すればいくらでも素数を作れると
言ってるのと同じじゃん。
素数が無限に存在することは分かっているわけだし。 >>147
何がいいたい?
>>118の方法は実用性がないと言いたいのか?
そんなの当たり前じゃん。
あんたは>>118の方法では【原理的に】新しい素数は見つからないと言ったんだろ?
>>138
>でも実際には仮定自体が間違っているから、次の素数は作れない。
次の素数を新しい素数と解釈すれば、これは間違い。
新しい素数は見つかる(>>129)。 >>146
なるわけないことを分かってないド素人が
>>118を書いたとも解釈できる、という意味だボケ。 >>150
>>118がとんでもない馬鹿かもしれないという可能性まで考える必要はない。 >>145
実際にID:QDyjV2V9は>>143の意味に解釈しており、
ID:pxjPug1rは>>144の意味に解釈している。
ID:QDyjV2V9が>>144の意味に解釈 し な か っ た 理由は>>146である。すなわち、
「>>144の意味に解釈すると明らかに間違いだから、>>144のわけがない」
という論法である。しかし、「>>118はド素人であって、実際に明らかな間違いを犯している」
という可能性を考慮していない。
逆に、ID:pxjPug1rが>>143の意味に解釈 し な か っ た 理由は>>147である。すなわち、
「>>143の意味に解釈しても実用性がなく、何のメリットもないので、>>143のわけがない」
という論法である。しかし、「実用性を無視すれば>>143の解釈でも問題ない」
という可能性を考慮していない。
てなわけで、結局はどうとでも言える。 素数が無限にあることの証明を
p(1),p(2),p(3),...,p(n)
がすべての素数であったと仮定し、
P=p(1)p(2)p(3)...p(n)+1
とおいて、
『p(1),p(2),p(3),...,p(n)のどれでも割り切れないからPは素数』
なのですべてのはずだったp(1),p(2),p(3),...,p(n)以外の素数が見つかり矛盾。よって素数は有限ではなく無限にある。
という証明が
(1)「素数p(1),p(2),p(3),...,p(n)の積に1を加えたPは素数になるから『』である」
ならよくある間違いだが、
(2)「Pより小さいすべての素数で割り切れないならPは素数なので『』である」
なら正しい証明になる。(2)を一言書いておいて欲しくはあるが。 nから2nまでの間に必ず素数があるから、与えられた素数pに対しその次の素数を見つけるアルゴリズムは存在する。 >>13
ζ(s)=Π(1 - 1/p)^(-1)
使えばできるでしょ つい先日eが無理数であることを利用した証明を書いたブログも見た。
素数が無限にあることの証明は100ぐらいは見つかってるらしい。ピタゴラスの定理みたいだな。 wikipediaの素数が無数に存在することの証明にあるフィリップ・サイダックによる証明って
どう見ても昔から知られてる証明で全然新たな証明じゃないんだが。 >>156
π^2が無理数なのを利用した証明は知ってるけど
(π^2/6=ζ(2)=Π(1 - 1/p^2)^(-1)より )、
eが無理数なのを利用するってどうやるの? S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) | < | S(n+1) |^2のときX(n)は素数 S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) | < | S(n+1) |^2のときX(n)は素数
| X(n+1) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*S(n+1)^f(n+1)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)±1/S(n+1)^f(n+1) } |
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)-| X(n+2) |=0
f(x)=-1のとき
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-1)±1/(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))≒| X(n) |*S(n+1)^(-1)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < | S(n+1) |^2
| X(n+1) | < | S(n+1) |
| X(n+1) |/S(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |/S(n+1) }/S(n+1)-| X(n+2) |=0 S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) | < | S(n+1) |^2のときX(n)は素数
| X(n+1) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*S(n+1)^f(n+1)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)±1/S(n+1)^f(n+1) } |
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)-| X(n+2) |=0
f(x)=1のとき
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(1)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
| X(n+1) | < S(n+1)^(3)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
| X(n+1) |*S(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1) }*S(n+1)-| X(n+2) |=0
| X(n+1) |*S(n+2)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))*S(n+1)-| X(n+2) |=0
{ (1*2*3*5*7*・・・・*S(n))*S(n+1) }*[ | { ±1/1±1/2±1/3±1/5±・・・・・・・±1/S(n+1) } |*S(n+2)±1-S(n+2)*| { ±1/1±1/2±1/3±1/5±・・・・・・・±1/S(n+2) } |=0
f(x)=-1のとき
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-1)±1/(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))≒| X(n) |*S(n+1)^(-1)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < | S(n+1) |^2
| X(n+1) | < | S(n+1) |
| X(n+1) |/S(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |/S(n+1) }/S(n+1)-| X(n+2) |=0
| X(n+1) |*S(n+1)^2±{ | X(n+1) |*S(n+1)-| X(n) | }*S(n+2)-| X(n+2) |*S(n+1)^2*S(n+2)=0
|±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n+1) |*S(n+1)^2±{ |±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n+1) |*S(n+2)-|±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n) |*S(n+1)*S(n+2)} -|±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n+2) |*S(n+1)^2=0 S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+1) |<S(n+1)^(2+f(n+1))±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
f(x)=1のとき
| X(n) |は1, 2, 3, 5, 7,・・・・,S(n)を因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
| S(n+1) |^(-1)*| X(n+1) |≒| X(n) |±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)) < | S(n+1) |^(2)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1))
| X(n+1) | < | S(n+1) |^(3)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
f(x)=-1のとき
| X(n) |は1/1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/7,・・・・・・,1/S(n)を因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-1)±1/(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))≒| X(n) |*S(n+1)^(-1)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < 1/| S(n+1) |^2
| X(n+1) | < 1/| S(n+1) |^3
f(x)=iのとき
| X(n) |は1^i, 2^i, 3^i, 5^i, 7^i,・・・・,S(n)^iを因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(i)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))^i
| S(n+1) |^(-i)*| X(n+1) |≒| X(n) |±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1))^i < | S(n+1) |^(2i)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1))^i
| X(n+1) | < | S(n+1) |^(3i)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))^i S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |<S(n)^2のときX(n)は素数
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+1) |<S(n)^2*S(n)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
f(x)=-nのとき
| X(n) |は1/1^x, 1/2^x, 1/3^x, 1/5^x, 1/7^x,・・・・・・,1/S(n)^xを因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-x)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))^(-x)≒| X(n) |*S(n+1)^(-x)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < 1/| S(n) |^(2x)
| X(n+1) | < 1/(| S(n) |^2*| S(n+1) |)^x
1/| X(n+1) | > (| S(n) |^2*| S(n+1) |)^x
を満たす時1/| X(n+1) |は素数 n^k+1(k=2,3,4,,,)型の素数が無限にあるかどうか証明されていないそうですが
kが大きくなるにつれて素数である確率も減っていくのでどこかで素数が有限個しかないような
kが存在するように思えるのですがそういう予想はあるのでしょうか? >>184
あっkは偶数じゃないと因数分解できちゃうからk=2,4,6,,,, V.Bouniakowsky による予想 1857
f∈Z[x]が既約で、2以上の定数dについて常にdの倍数にはならず、最高次の係数が正であるとき、fは無限個の素数を与える。 >>186
×常にdの倍数にはならず
○常にはdの倍数にはならず | X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } | < S(n)^(2*f(n))
| X(n) |=| 1*i*2i*3i*5i*7i*・・・・*S(n)i*{ ±1±( ±1/2±1/3±1/5±・・・・・・・±1/S(n) )i } | < S(n)^2
| X(n) |=| 1*i*2i*3i*5i*7i*・・・・*S(n)i*√( 1+( ±1/2±1/3±1/5+・・・・・・・±1/S(n) )^2 )*EXP(i*arccos[1/√( 1+( ±1/2±1/3±1/5+・・・・・・・±1/S(n) )^2 )]) |
| X(n) |=1*2*3*5*7*・・・・*S(n-1)*√( 1+( ±1/2±1/3±1/5+・・・・・・・±1/S(n) )^2 ) < S(n) S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| i^f(x)*0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/i^f(x)±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) |はi^f(x),1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
x^i=e^(ilogx)
| X(n) |=1*e^(ilog2)*e^(ilog3)*e^(ilog5)*e^(ilog7)*・・・・*e^(ilogS(n))*{ ±1/1±1/e^(ilog2)±1/e^(ilog3)±1/e^(ilog5)±1/±・・・・・・・±1/e^(ilogS(n)) }
| X(n) |=1*e^(ilog(2*3*5*7*・・・・*S(n)))*{ ±1±e^(-ilog2)±e^(-ilog3)±e^(-ilog5)±e^(-ilog7)・・・・・・・±e^(-ilogS(n)) }| <e^(i2*logS(n))のとき
|X(n)|はS(n+m)^i(mは任意の正数)となる S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| i^f(x)*0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/i^f(x)±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |はi^f(x),1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |=|1*2*(1/1+1/2)|=3 < 2^2
| X(n) |=|1*2*3*(1/1-1/2+2/3)|=7 < 3^2
| X(n) |=|1*2*3*5*(1/1-1/2-2/3-3/5)|=17 < 5^2
| X(n) |=|1*2*3*5*7*(1/1-1/2-2/3-3/5+5/7)|=31 < 7^2
| X(n) |=|1*2*3*5*7*(1/1-1/2-2/3-3/5+5/7-7/11)|=31 < 7^2
x^i=e^(ilogx)
| X(n) |=1*e^(ilog2)*e^(ilog3)*e^(ilog5)*e^(ilog7)*・・・・*e^(ilogS(n))*{ ±1/1±1/e^(ilog2)±e^(ilog2)/e^(ilog3)±e^(ilog3)/e^(ilog5)±e^(ilog5)/e^(ilog7)±・・・・・・・±e^(ilogS(n-1))/e^(ilogS(n)) }
| X(n) |=1*e^(ilog(2*3*5*7*・・・・*S(n)))*{ ±1±e^(-ilog2)±e^(ilog2-ilog3)±e^(ilog3-ilog5)±e^(ilog5-ilog7)・・・・・・・±e^(ilogS(n-1)-ilogS(n)) }| <e^(i2*logS(n))のとき
|X(n)|はS(n+m)^i(mは任意の正数)となる S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |=|1*(1/2)*(±1/2f(a)±2)| < (1/2)^2
| X(n) |=|1*(1/2)*(1/3)*(±1/(2^f(a)*3^f(b))±2/3^f(c)±3/2^f(d))| < (1/3)^2
| X(n) |=|1*(1/2)*(1/3)*(1/5)*(±1/(2^f(a)*3^f(b)*5^f(c))±2/(3^f(d)*5^f(e))±3/(2^f(f)*5^f(g))±5/(2^f(h)*3^f(i)))| < (1/5)^2
| X(n) |=|1*(1/2)*(1/3)*(±1/(2^f(a)*3^f(b))±2/3^f(c)±3/2^f(d))| < (1/3)^2
この解の分子が1になるようにf(a),f(b),f(c),f(d)の値と±の符号を調整し
また解が1/3^2よりも小さな時分母は必ず素数 S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |=|1*2*(±1/2f(a)±2)| < (2)^2
| X(n) |=|1*2*3*(±(2^f(a)*3^f(b))±2^f(c)/3±3^f(d)/2)| < (3)^2
| X(n) |=|1*2*3*5*(±(2^f(a)*3^f(b)*5^f(c))±(3^f(d)*5^f(e))/2±(2^f(f)*5^f(g))/3±(2^f(h)*3^f(i))/5)| < (5)^2
なるべく小さな値になるようにf(a),f(b),f(c),・・・の値と±の符号を調整し
また解が式内部の最大素数の2乗よりも小さな時必ず素数 | X(n) |=| 2*3*5*7*・・・・*S(n)*{ ±1/2±1/3±1/5±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i } |
e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n)))*{ ±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i } | < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=| e^(i*(log(S(n+1)))*e^(i*log| X(n) |)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n))) | < e^(i*2*logS(n))
|e^(i*(S(n+1)*| X(n) |)/S(n)^2)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n-2)*S(n-1)/S(n)))| < 1 |e^(i*(S(n+1)*| X(n) |)/S(n)^2)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n-2)*S(n-1)/S(n)))| < 1
これを満たすようにX(n)に素数を代入しプラスマイナスの符号をどちらかに確定してやると
| X(n+1) |=( | e^(i*(log(S(n+1)))*e^(i*log| X(n) |)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n))) | )^(1/i) < S(n)^2
となるためX(n+1)は必ず素数になる | X(n) |=| 2*3*5*7*・・・・*S(n)*{ ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n)} |
| X(n) |^i=| 2*3*5*7*・・・・*S(n)*{ ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n)} |^i
e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*e^(i*log| ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n) |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(i*log| ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n+1) |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log| S(n) |)e^(i*log| X(n) |)±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=|±e^( i*log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2) )±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |)| < 1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1
をみたすように|X(n)|に2からn番目の素数までを因数に含まない数値を入れ条件を見たした時X(n+1)は素数 S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(| ±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log(| S(n+1) |*| X(n) |))±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |))| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1]
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=2+2*cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] }<1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=2-2*cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] }<1
cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |]
2Aπ+(2/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 | < 2Aπ+(4/3)π
2Bπ+(-1/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 | < 2Bπ+(1/3)π
X(n)にn番目の素数よりも大きな値を代入し上記の式を満たす時X(n)は素数 S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(| ±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log(| S(n+1) |*| X(n) |))±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |))| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)
cos{ [log(| X(n) |/S(n+1))]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| X(n) |/S(n+1))]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |]
2Aπ+(2/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 | < 2Aπ+(4/3)π
2Bπ+(-1/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 | < 2Bπ+(1/3)π
e^[(2A+(2/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)] < | X(n) | <e^[(2A+(4/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)]
e^[(2B+(-1/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)] < | X(n) | <e^[(2B+(1/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)]
AとBは任意の正数
|X(n)|の領域に2からn番目までの素数を因数に含まない正数が存在する時
|X(n)|は素数 | X(n) |=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)|
| X(n+1) |=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)|
| X(n+1) |=| e^(i*log|S(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |
X(n)=X(n)^i
X(n+1)=X(n+1)^iのとき
| X(n+1)^i |=| X(n)^i |=1
| X(n+1)^i |=| e^(i*log|S(n+1)|)*| X(n)^i | ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |=1
| e^(i*log|S(n+1)|)*1 ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |=1
| [ cos(log|S(n+1)|) + i*sin(log|S(n+1)|) ] ± [ cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) + i*sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ] | = 1
{ [ cos(log|S(n+1)|) + cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ]^2 + [ sin(log|S(n+1)|) + sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ]^2 } = 1
2 + 2 * [ cos(log|S(n+1)|)*cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) + sin(log|S(n+1)|)*sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ] = 1
cos(log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) = -(1/2)
log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=(2A+2/3)*π
log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=(2B+4/3)*π
|S(n+1)|/| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)|/| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=e^[ (2B+4/3)*π ]
(A,Bは任意の整数を代入する)
|S(n+1)|=| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |*e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)|=| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |*e^[ (2B+4/3)*π ]
|S(n+1)|が整数になる時素数になる | X(n) |=|e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*(|±1/1^i±1/2^f(1)^i±1/3^f(2)^i±1/5^i±1/7^f(4)^i±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)^i |)|
| X(n+1) |=|e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1^f(n+1) |)*(|±1/1^i±1/2^f(1)^i±1/3^f(2)^i±1/5^i±1/7^f(4)^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^f(n+1)^i |)|
| X(n+1) |=| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |
X(n)=X(n)^i
X(n+1)=X(n+1)^iのとき
| X(n+1)^i |=| X(n)^i |=1
| X(n+1)^i |=| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |=1
| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |=1
cos(log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) = -(1/2)
log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=(2A+2/3)*π
log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=(2B+4/3)*π
|S(n+1)^f(n+1)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)^f(n+1)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=e^[ (2B+4/3)*π ]
(A,Bは任意の整数を代入する)
|S(n+1)|={ | 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |*e^[ (2A+2/3)*π ] }^(1/f(n+1))
|S(n+1)|={ | 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |*e^[ (2B+4/3)*π ] }^(1/f(n+1))
|S(n+1)|が整数になる時素数になる
|S(2)|=( 2^f(1)|*e^[ (2A+2/3)*π ] )^(1/f(2)) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています