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素数が無限に存在する証明
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0001132人目の素数さん2012/08/09(木) 12:45:23.34
ユークリッド的な証明では最後の素数 p があると仮定して
p 以下の素数の積に 1 を加えた q = 2・3・・・p + 1 が素数だから矛盾だという.
しかし,これに文句を言うやつがいる.q は素数か,p より大な素数で割りきれるかだと.
しかし,私に言わせればこれらは両方だめだ.
正解は「q は p より大きいので合成数だが,どの素数でも割りきれないので矛盾」である.
0198132人目の素数さん2016/09/29(木) 00:31:56.23ID:+mF8xYgx
S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない

e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(| ±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log(| S(n+1) |*| X(n) |))±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |))| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)

cos{ [log(| X(n) |/S(n+1))]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| X(n) |/S(n+1))]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |]

2Aπ+(2/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 | < 2Aπ+(4/3)π
2Bπ+(-1/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 | < 2Bπ+(1/3)π

e^[(2A+(2/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)] < | X(n) | <e^[(2A+(4/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)]
e^[(2B+(-1/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)] < | X(n) | <e^[(2B+(1/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)]
AとBは任意の正数
|X(n)|の領域に2からn番目までの素数を因数に含まない正数が存在する時
|X(n)|は素数
0199132人目の素数さん2016/10/09(日) 04:11:02.22ID:/knRJvGR
| X(n) |=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)|
| X(n+1) |=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)|
| X(n+1) |=| e^(i*log|S(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |
X(n)=X(n)^i
X(n+1)=X(n+1)^iのとき
| X(n+1)^i |=| X(n)^i |=1
| X(n+1)^i |=| e^(i*log|S(n+1)|)*| X(n)^i | ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |=1
| e^(i*log|S(n+1)|)*1 ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |=1
| [ cos(log|S(n+1)|) + i*sin(log|S(n+1)|) ] ± [ cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) + i*sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ] | = 1
{ [ cos(log|S(n+1)|) + cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ]^2 + [ sin(log|S(n+1)|) + sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ]^2 } = 1
2 + 2 * [ cos(log|S(n+1)|)*cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) + sin(log|S(n+1)|)*sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ] = 1
cos(log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) = -(1/2)
log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=(2A+2/3)*π
log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=(2B+4/3)*π
|S(n+1)|/| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)|/| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=e^[ (2B+4/3)*π ]
(A,Bは任意の整数を代入する)
|S(n+1)|=| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |*e^[ (2A+2/3)*π ] 
|S(n+1)|=| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |*e^[ (2B+4/3)*π ]
|S(n+1)|が整数になる時素数になる
0200132人目の素数さん2016/10/10(月) 01:21:45.07ID:xaLf60GR
| X(n) |=|e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*(|±1/1^i±1/2^f(1)^i±1/3^f(2)^i±1/5^i±1/7^f(4)^i±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)^i |)|
| X(n+1) |=|e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1^f(n+1) |)*(|±1/1^i±1/2^f(1)^i±1/3^f(2)^i±1/5^i±1/7^f(4)^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^f(n+1)^i |)|
| X(n+1) |=| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |
X(n)=X(n)^i
X(n+1)=X(n+1)^iのとき
| X(n+1)^i |=| X(n)^i |=1
| X(n+1)^i |=| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |=1
| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |=1
cos(log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) = -(1/2)
log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=(2A+2/3)*π
log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=(2B+4/3)*π
|S(n+1)^f(n+1)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)^f(n+1)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=e^[ (2B+4/3)*π ]
(A,Bは任意の整数を代入する)
|S(n+1)|={ | 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |*e^[ (2A+2/3)*π ] }^(1/f(n+1)) 
|S(n+1)|={ | 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |*e^[ (2B+4/3)*π ] }^(1/f(n+1))
|S(n+1)|が整数になる時素数になる
|S(2)|=( 2^f(1)|*e^[ (2A+2/3)*π ] )^(1/f(2)) 
0201132人目の素数さん2016/10/13(木) 01:22:09.91ID:L+2lEF5A
e^(i*log| X(n) |)=e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*e^(i*log(|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|)) < e^(i*2*log| S(n)^f(n)| )
COS(log| X(n) |) + i*SIN(log| X(n) |)={ COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) + i*SIN(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) }*
{ COS(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|) + i*SIN(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|) }
COS(log| X(n) |) = COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*COS(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|) -
SIN(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*SIN(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|)
A=COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)
B=COS(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|)
COS(log| X(n) |) - A*B = - √(1-A^2)*√(1-B^2)
COS(log| X(n) |)^2+(A^2*B^2)-2*A*B*COS(log| X(n) |)=1-A^2-B^2+(A^2*B^2)
B^2-[2*A*COS(log| X(n) |)]*B+[A^2+COS(log| X(n) |)^2-1]=0
B = A*COS(log| X(n) |)±√{ (A^2-1)*(COS(log| X(n) |)^2-1) }
e^[ARCCOS{ COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*COS(log| X(n) |)±√{ (COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)^2-1)*
(COS(log| X(n) |)^2-1) } }] < | S(n)^f(n)|^2/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |
COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*COS(log| X(n) |)±√{ (COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)^2-1)*
(COS(log| X(n) |)^2-1) } < COS(log[| S(n)^f(n)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n-1)^f(n-1) |]
0202132人目の素数さん2016/11/14(月) 16:38:49.72ID:a1UtcNaU
2,3,5,7,11,13,,,,S(n)
1番目からn番目の素数を2つのグループに分け
分けた素数を掛けて2つの整数を求め
得られた2つの整数の差か和の絶対値がn番目の素数の2乗より小さい時素数になる
|2+3|=5<9
|2*5-3|=7<25
|3*2+5|=11<25
|3*5-2|=13<25
|3*7-2*5|=11<49
|3*7+2*5|=31<49
|3*5-2*7|=1<49
|3*5+2*7|=29<49
|2*3*5-7|=23<49
|2*3-5*7|=29<49
|11*3-2*5*7|=37<121

式の中の素数の項を任意の整数乗しても条件を満たす時素数になる
|2^2*5-3|=17<25
|3*7+2^2*5|=41<49
|2^2*3*5-7^2|=11<49
|2^2*3-5*7|=23<49
|11*3-2^2*5*7|=107<121
|11*2^5-3^2*5*7|=37<121
|11^2*2-3^2*5*7|=73<121
0205132人目の素数さん2016/12/18(日) 23:25:43.77ID:gQmQVG9E
素数の数が有限であることの証明@

n!+2,…, n!+n はそれぞれ、より小さい 2,…, nで割り切れるので、どれも素数でない。
ここでnを無限に持っていくと、素数ギャップが無限になることがわかる。
0206132人目の素数さん2016/12/18(日) 23:27:45.17ID:gQmQVG9E
素数の数が有限であることの証明A

2以下の自然数の中にある素数は有限である。
k以下の自然数の中にある素数は有限であると仮定すると、
もちろんk+1以下の自然数の中にある素数は有限である。
数学的帰納法により、全ての自然数の中にある素数は有限であることがわかる。
0207132人目の素数さん2016/12/18(日) 23:29:00.51ID:gQmQVG9E
素数の数が有限であることの証明B

素数の数は無限個と仮定する。
ここで「(無限個の素数全ての積+1)…(1)」を考える。
仮定からは、2以上の全ての自然数は無限個ある素数のいずれかで割り切れるはず。
しかし、(1)は割り切れない。
この矛盾より、仮定が誤っていることがわかる。
0208132人目の素数さん2016/12/19(月) 00:19:21.65ID:Z4gYYePQ
素数の逆数和が収束する証明

ζ=1/1^s+1/2^s+1/3^s+… ←(1)を考える。
(1)はs<=1では発散、s>1で収束する。

次に素数の逆数和=1/2+1/3+1/5+… ←(2)を考える。

(2)は、(1)のs=1の場合より明らかに小さい。(足している項が少ないから)
つまり、(1)=(2)となる場合のsを考えると、sは1より大きい。
(1)はs>1のとき収束するから、(2)も収束することがわかる。
0209132人目の素数さん2016/12/19(月) 18:04:11.29ID:goZWfy8e
>>205 任意のNに対しても隣り合うN個の数がすべて合成数となる領域が存在するが,
素数が有限個であることを示したことにはならない.
>>206 任意のNに対してもN以下の素数は高々有限個しか存在しないが,
素数が有限個であることを示したことにはならない.
>>207 (1)は数として定義できないので証明は無効.
>>208 s=1のときに(1)>(2)となることは和を有限個(n個)で打ち切り, 最後の項を一致させた場合に
成り立つことしか示していない. この場合s→∞で(1)<(2)となることは自明なので,
中間値の定理より(1)=(2)となるs_0>1が存在するが, n→∞でs_0→1であれば, s>1, n→∞で
(1)が収束しても(2)は発散する.

しかしよく考えるな.
0220132人目の素数さん2016/12/20(火) 20:24:19.12ID:4/ENXX+U
いまさらだけど素数の1桁目の数が連続する確率に関して
1が18.5%で3,7が30%で9が22%ってやつ
つまり素数を10進数で表すから偏っているんであって
ひと桁目が均等になる別の進数、無理なら変則進数(各桁の数は素数カウントで繰り上げとか)でできた数学を構築すべきってことじゃね?
0232132人目の素数さん2016/12/24(土) 07:21:00.36ID:qQpw0VgY
>>205
nが大きくなるほどn!に対してnは小さくなって行くので無限にならない
>>206
k+1という有限個の自然数の中の素数は有限であると言っているだけなので、どこまでいっても全ての自然数にならない

こういう感じ?
1=0の証明みたいな数学ジョークってやつかしら
0233132人目の素数さん2017/01/03(火) 02:52:08.32ID:4jXbR3XO
恨むの螺旋を画像処理して1600万までの画像でもぼかしてみれば外側ほど色が薄いのが分かる
ちゃんと減って行ってる
0234132人目の素数さん2017/01/09(月) 01:52:13.89ID:MYs0NlDz
√x*π
この計算で素数の近似値が出る
計算発見記念パピコ
0235132人目の素数さん2017/01/09(月) 02:15:53.67ID:LbR5yAeH
近似でいいなら素数定理があるじゃん
0236132人目の素数さん2017/02/10(金) 01:44:02.74ID:ml4TKosY
S(n)はn番目の素数
X(n)=1/2+1/3+1/5+1/7+・・・+1/S(n)

[X(n)-X(n-1)]=1/S(n)
1/2+1/3+1/5+1/7+・・・+1/S(n)=[X(n)-X(n-1)]+・・・+[X(2)-X(1)]+X(1)=X(n)

1/2^m+1/3^m+1/5^m+1/7^m+・・・+1/S(n)^m=X(1)^m+[X(2)-X(1)]^m+・・・+[X(n)-X(n-1)]^m
2^m*3^m*5^m*・・・*S(n)^m=1/{ X(1)^m*[X(2)-X(1)]^m*・・・*[X(n)-X(n-1)]^m }

Y(m : n) = { 2^m*3^m*5^m*・・・*S(n)^m }*{1/2^m+1/3^m+1/5^m+1/7^m+・・・+1/S(n)^m}
Y(m : n) = { X(1)^m+[X(2)-X(1)]^m+・・・+[X(n)-X(n-1)]^m }/{ X(1)^m*[X(2)-X(1)]^m*・・・*[X(n)-X(n-1)]^m }

0 < |Y(m : n)| <S(n+1)^2
0< |Y(i : n)|=|{ e^(i*m*logX(1))+e^(i*m*log[X(2)-X(1)])+・・・+e^(i*m*log[X(n)-X(n-1)]) }/e^(i*m*log{ X(1)*[X(2)-X(1)]*・・・*[X(n)-X(n-1)] })| < S(n+1)^2
mの値を変化させて|Y(i : m)|が上記の条件を満たす整数になる時|Y(i : m)|は素数になる
0237132人目の素数さん2017/02/10(金) 02:39:28.48ID:J/KzXhQB
この前図書室の数学コーナーで素数定理の本開いたら見つけたゾ
0238132人目の素数さん2017/02/10(金) 12:29:04.28ID:ml4TKosY
S(n)はn番目の素数

|Y|=√( [cos(m*log2)+cos(m*log3)+cos(m*log5)+・・・cos(m*logS(n))]^2+[sin(m*log2)+sin(m*log3)+sin(m*log5)+・・・sin(m*logS(n))]^2 ) < S(n+1)^2

|Y|=√( [Σcos(m*logS(n))]^2 + [Σsin(m*logS(n))]^2 ) < S(n+1)^2
|Y|が整数になるようにかつ上記の条件を満たすようにmの値を変化させる時
Yはかならず素数になる
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