代数学総合スレッド Part6

1132人目の素数さん2011/07/15(金) 18:50:34.00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
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283132人目の素数さん2018/03/31(土) 13:43:20.49ID:hLLeN6EP
>>27
>>34

どうせ返信なんて期待しませんが一応書いておきます

kを自然数, g^k (n) = 2nとなる写像 g: Z \to Zを次のように構成する:

任意の0でない整数mに対してm= m' 2^l
となる奇数m'と0以上の整数lが一意的に存在する.
奇数全体の集合は自然数全体の集合Nと同じ濃度なので
a:{奇数全体} \to N
なる全単射を一つ固定する.
このとき,
Z = {0} \cup ({奇数全体}×N) = {0} \cup (N×N)
という全単射が存在する(aに依存している)

上の同一視があるので,
写像G : N×N \to N×N
で, G^k (m,l) = (m, l+1)
を満たすものを構成すればよいことがわかる.
m = dk + j (dは0以上の整数, 0≦j <k)
と一意的に表したとき,

G(m,l)=
(m+1, l) (jがk-1でないとき)
(m, l+1) (j= k-1のとき)

で定義すればよい.

わからないのは、「必要十分性」と、「一意性」です。


(1)gは上で書いた全単射
a :{奇数全体} = N
の取り方に依存している.
この全単射は非常にたくさん存在する.
さらにはgはGの構成に依存して、Gが一意的である保証がない.
したがって, 明らかに一意的ではない.


(2)上で構成したg : Z \to Zは確かにg^k(n) = 2nを満たすことはわかる.
しかし, どんなgでg^k(n) =2nを満たすものも上のような構成によって得られるという保証は全くない

284132人目の素数さん2018/03/31(土) 19:10:01.09ID:yarCWLZk
x≠0からx=g(w),w=g(v),v=g(u),...のように逆向きにたどっていくといつかは止まる。
止まったところをaとするとxはg^0(a),g^1(a),g^2(a),g^3(a),...という列に含まれる。
この列の最初のk個は奇数で0以外の整数はこういう形の列のどれかに含まれるので
gが決まれば奇数をk個ずつの列の分ける分け方が決まり
奇数をk個ずつの列の分ける分け方が決まればgが決まる。

285132人目の素数さん2018/03/31(土) 20:11:56.41ID:hLLeN6EP
>>284
gは全射ではないので、一行目のように逆向きに辿れないのでは?

286132人目の素数さん2018/03/31(土) 20:13:30.17ID:hLLeN6EP
>>284
それとすみません、何を主張しているのでしょうか?
gは、奇数をk個ずつの集合に分ける分け方と、一対一に対応する、ということでしょうか?

であれば、Gは一意的でなくて、むしろ無限個ありますね。

287◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:50:58.23ID:I+Mybrk/

288◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:51:20.37ID:I+Mybrk/

289◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:51:42.68ID:I+Mybrk/

290◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:52:01.42ID:I+Mybrk/

291◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:52:21.92ID:I+Mybrk/

292◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:52:43.50ID:I+Mybrk/

293◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:53:03.13ID:I+Mybrk/

294◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:53:25.61ID:I+Mybrk/

295◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:53:46.14ID:I+Mybrk/

296◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 23:54:09.12ID:I+Mybrk/

297132人目の素数さん2018/04/17(火) 16:47:00.47ID:uG1dZPZR
R,R':環
I,J:Rのイデアル、I',J':R'のイデアル
R/I≅R'/I'、R/J≅R'/J' かつIはJを含むただ一つの素イデアル

このときI’はJ'を含むただ一つの素イデアルと言えるそうなのですが
直観ではIとI'、JとJ'が対応しているのでそんな感じしますが、証明がわからずもやもやしています
わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします

298132人目の素数さん2018/04/17(火) 17:30:16.22ID:oBeHzqpc
>>297
IはJを含むただひとつの素イデアルなら、
Iは極大イデアルになっちまうのでは?

299132人目の素数さん2018/04/17(火) 18:02:06.57ID:uG1dZPZR
>>298
たしかに、極大イデアルの存在からそうですね
それと今回のつながりはどういう感じでしょうか、、?

300◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:28:09.55ID:bErUPD6U

301◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:28:32.84ID:bErUPD6U

302◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:28:54.03ID:bErUPD6U

303◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:29:13.56ID:bErUPD6U

304◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:29:33.46ID:bErUPD6U

305◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:29:54.07ID:bErUPD6U

306◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:30:15.60ID:bErUPD6U

307◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:30:37.08ID:bErUPD6U

308◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:30:58.98ID:bErUPD6U

309◆2VB8wsVUoo 2018/04/20(金) 12:31:19.79ID:bErUPD6U

310132人目の素数さん2018/04/20(金) 21:23:59.05ID:QrDWyJdn
非可換環論の時代マダァー?

311◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:38:27.29ID:egA1fDFk

312◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:38:45.94ID:egA1fDFk

313◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:39:05.66ID:egA1fDFk

314◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:39:26.65ID:egA1fDFk

315◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:39:47.67ID:egA1fDFk

316◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:40:07.03ID:egA1fDFk

317◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:40:27.41ID:egA1fDFk

318◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:40:50.05ID:egA1fDFk

319◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:41:12.11ID:egA1fDFk

320◆2VB8wsVUoo 2018/04/21(土) 01:41:39.37ID:egA1fDFk

321132人目の素数さん2018/04/21(土) 13:07:18.62ID:DFdKCx+2
>>297
R/Iは体だから環同型よりI'もR'の極大イデアル
J<IよりR/IからR/Jに全射があるので環同型よりJ'<I'
J'<P'<I' P'は素イデアルとするとR'/I'->R'/P'->R'/J'全射の列が定まるから環同型よりある素イデアルPが存在してJ<P<Iとなり矛盾

322132人目の素数さん2018/04/21(土) 16:54:14.66ID:dt2RFxOy
>>297
複数の場所に同じ質問を書く行為はマルチポストと呼ばれ、マナー違反なのでやめましょう

>>321
同型を経由して得られる R'/I' → R'/J' が自然な射影に一致するとは限らないのでアウト

別スレにも書いたけど、
Kを体として
R=R'=K[x]
J=J'=(x^2)
I=(x), I'=(x+1)
で反例

323132人目の素数さん2018/04/21(土) 17:02:24.10ID:R1MFH82m
R'/J' → R'/I' だった
(ID変わったけど>>322です)

324◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:06:07.55ID:FpEjvdxJ

325◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:06:31.07ID:FpEjvdxJ

326◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:06:55.67ID:FpEjvdxJ

327◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:07:22.57ID:FpEjvdxJ

328◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:07:45.95ID:FpEjvdxJ

329◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:08:08.29ID:FpEjvdxJ

330◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:08:28.87ID:FpEjvdxJ

331◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:08:48.68ID:FpEjvdxJ

332◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:09:13.18ID:FpEjvdxJ

333◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 15:09:33.91ID:FpEjvdxJ

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