代数学総合スレッド Part6

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/15(金) 18:50:34.00

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/
代数学総合スレッド Part5
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1233450000/

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 01:48:22.22

k^× を刑罰と呼ぶ地方もあるらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 02:03:29.43

〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 02:24:47.91

1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/02(火) 07:18:29.92

元の行列にかけたものになる
回転をあらわす2次直交行列は表される

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/02(火) 18:03:48.50

何言ってるのかわからないので、ぐーぐる先生に英訳してもらったら
It will be the one applied to the original procession
A quadratic orthogonal matrix representing rotation is represented

procession→matrix は先生のお茶目としても、やっぱりわからない

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 16:03:52.72

(x^5 + x + 1)/(x^5 + x^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3-xx+1)/(x^3-x+1).

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/07(日) 00:45:37.27

堀田良之「代数入門　群と加群」のp.113の証明で質問です。
補題19.1（ツァッセンハウス）
H、Kを群Gの部分群、H'、K'をH、Kの正規部分群とする。
H'(H∩K')、K'(H'∩K)はそれぞれ　H'(H∩K)、K'(H∩K)の正規部分群で
H'(H∩K)/H'(H∩K') ～ K'(H∩K)/K'(H'∩K) (～は同型を表す)
[証明]
同型定理から、H'(H∩K)/H' ～ (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
この同型において、H'∩K ⊂ (H'∩K)(H∩K') ⊂ H∩K　に対応するH'(H∩K)の部分群は
H'(H'∩K)(H∩K') = H'(H∩K') (△)
だから、再び同型定理によって
H'(H∩K)/H'(H∩K') ～ (H∩K)/(H'∩K)(H∩K') (=)
K'とHを入れ換えると補題の同型を得る。
------------------------------------------------------
「だから、再び同型定理によって」とありますが、
(△)をどう使えば(=)を示せるのか、筆者の想定する示し方がよく分かりませんでした。教えて欲しいです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/07(日) 02:46:59.96

>443
> 同型定理から、H'(H∩K)/H' ～ (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
これは第 2 同型定理

A ⊃ B ⊃ C, A' ⊃ B' ⊃ C'
A/C ～ A'/C' (〇に相当)
B/C ～ B'/C' (△に相当)　より
A/B ～ (A/C) / (B/C) ～ (A'/C') / (B'/C') ～ A'/B' (∵ 第3, 第1(の系?), 第3 同型定理)
∴ A/B ～ A'/B' (=に相当)

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 13:04:29.37

多変数の多項式論について丁寧に書いてある本は何ですか？

高木貞治の本以外でお願いします。

なぜ、普通の代数学の本には多変数多項式について書いていないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 18:34:56.34

>>445
Kunzの本
和訳されている

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 18:44:45.60

>>446

平面代数曲線入門
可換環と代数幾何入門―イデアルと加群の生成系をテーマの中心として―

のどちらですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 20:39:11.07

>>445
普通の可換環論の本には必ず書いてあるから適当なの読めばよろしい

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 21:02:27.12

>>446
>>448

ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 19:28:03.84

松坂和夫著『代数系入門』には、2項演算が結合法則を満たすとき、 n 個の元の積がカッコの付け方によらないことの証明がありません。

こういう基本的で重要なことの証明を省くというのはありですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 19:31:24.78

ありかと
暗算で考えても合ってるとしかおもえん
しかしきっちり証明を書いた記憶はない

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 19:37:19.30

むしろきっちり証明を書いてあるほうが珍しくね

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/16(日) 12:14:35.49

I. N. Herstein著『Topics in Algebra Second Edition』ですが、なぜ評判がいいのでしょうか？

洗練されていない感じがします。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 16:57:36.71

集合の元の定義が同一になってないな

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 18:47:24.57

正直自分も証明はしっかり書いてあるものが読みたいが、しっかり書いてある本を見つける事が難しいのが厄介
せいぜい独学に向いてるとか、そういう遠回りな情報で判断するしかない

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 19:10:58.30

雪江明彦著『代数学1群論入門』

K = <x, y | x^3 = y^2 = 1, y*x*y = x^{-1}> とすると、

K = S_3 = D_3 であることを証明せよ。

これって証明する必要があることですか？
自明ではないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 22:58:31.79

別に自明とは思えないが

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 23:37:21.36

基本関係式、みんなちゃんと必要純分条件として確認してる？

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/02(日) 06:35:09.41

43.4億円の1年契約

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/05(水) 14:53:02.84

x^x^4＝64

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/20(火) 16:04:49.44

https://i.imgur.com/tYdXtyF.jpg
https://i.imgur.com/orxbN7G.jpg
https://i.imgur.com/RCZ3IIj.jpg
https://i.imgur.com/aJkAe4K.jpg
https://i.imgur.com/fX8Aue3.jpg
https://i.imgur.com/QGXOkdy.jpg
https://i.imgur.com/iYizOxr.jpg
https://i.imgur.com/UF3FpxL.jpg
https://i.imgur.com/opQDtAV.jpg
https://i.imgur.com/sYywMwS.jpg
https://i.imgur.com/XsITHEB.jpg
https://i.imgur.com/lO0blaS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 14:13:41.07

＞群の語の問題と Muller–Schupp の定理
＞ttp://www2.kobe-u.ac.jp/~tk/jp/workshop/slides/wakate2021_yuyama.pdf

の中に
＞定理 (Novikov (1955), Boone (1958))
＞有限表示群 G であって語の問題 WP(G) が
＞決定不能 (undecidable) であるよう
＞なものが存在する．

どのようなものが具体的に決定不能であるのか
その例をみせて欲しいね。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/09(月) 15:31:27.44

有限単純群の分類が出来てるんだ。分かっている人は10数名ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/18(水) 19:30:41.50

有限単純群の分類が完成したら、
それでもって有限群の分類も終了した＝有限群論は終わり、
とみなしていいの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/18(水) 21:57:32.98

有限群の分類
http://pantodon.jp/index.rb?body=finite_group_classification

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/19(木) 03:41:16.56

単純な有限群を積み上げればそれで任意の有限群が得られるということでいいの？
素数の積で自然数が表せるというのと同じように。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/23(月) 23:17:09.11

有限群の研究者たちは、有限単純群で例外的なものが有限通りしかないと
知ったときに期待どおりだったのだろうか、それとも意外だと思ったのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 18:11:13.05

無限群の分類はどうなっているのだろうか？
連続の場合と離散の場合とあるだろうけれども。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 18:58:59.92

ポントリャーギンの「連続群論」について↓

今回、「こんな数学書」を選ぶにあたって、やはり「連続群論（上下）」を
挙げることにした。理由はその後の「連続群論入門」(山内恭彦、杉浦光夫
著)、「リー環論」（松島与三著）、「Theory of Lie Groups」(Chevalley 著)、
「SL(2,R)」（Lang 著）へとつながっていくからで、この本との出会いが今日
の研究分野となるからである。ではこの本を読者に薦めるかとかとなると、
ちょっと疑問符を付けざるを得ない。多様体もきちんと定義されていない頃
の話で非常に読み難い。リー群やリー環などを知ろうとするならば、現在た
くさんの入門書や専門書があるのでその方がよいだろう。しかし数学者がい
かに苦労して概念を構築し真理に辿り着くか、その過程を知るにはこの本は
とても面白いと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 19:36:54.22

連続群はリー群だけなの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 19:41:14.90

多様体の構造が入るかどうかじゃね

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/28(土) 19:48:23.98

>>470
ヒルベルトの第５問題

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/29(日) 09:22:22.32

Montgomery-Zippin

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 09:32:08.90

amazonの糞レビューじゃん
多様体はリーマンがとっくに定義してるだろ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 09:47:31.92

「きちんと定義する」

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 12:05:11.92

位相多様体を持ち込んだのはポアンカレではなかったか

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 16:39:56.00

一般の多様体を定義したのはホイットニーだと思ってるバカなんだろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/31(火) 16:46:18.44

シュバレーのリー群論は
連続群論と同じころだったと思うが
その頃はまだ
実解析的多様体の数空間への埋め込み可能性は
分かっていなかった。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 06:26:22.49

荒木不二洋先生は連続群論で育った世代

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 13:22:56.36

荒木先生が読んだのはもちろん英訳の方だろうね。

杉浦光夫先生はポントリャーギンの『連続群論　上-下』を翻訳することによって
力を付け、この本の執筆で一気にブレイクした。
　出版年が1960年だから、ソ連のスプートニク一号が打ち上げられて、西側の一員である日本が、アメリカの『ソ連に追いつけ追い越せ運動』をしていた頃の著作だ。
日本の数学者・物理学者も相当焦って居た筈だ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/12(木) 16:30:17.56

ええ加減、わしも困るわ

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/21(土) 21:22:03.62

>>9

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/30(木) 23:38:55.80

局所コンパクト群とその双対性に関する理論の基礎は1934年のレフ・ポントリャーギンまで遡る。
彼が扱った内容は群が第二可算公理を満たすことに依拠しており、
またコンパクト群であるか離散群であるような場合であった。
この制約は後にイグベルト・ファン・カンペン (1935) とアンドレ・ヴェイユ (1953) によって取り除かれ、
一般の局所コンパクト群を対象とするように一般化された。

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/01(金) 08:48:32.02

一般の局所コンパクト群、
て非可換群の場合もか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/01(金) 09:38:28.96

数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、英語: Pontryagin duality）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば

実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフーリエ級数展開を持ち、そのような函数はそのフーリエ展開から復元することができる。
実数直線上の素性の良い複素数値函数は、おなじく数直線上で定義される函数としてのフーリエ変換を持ち、周期函数におけると同様に、そのような函数はそのフーリエ変換から復元することができる。
有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換から復元することができる。
といったようないくつかの話題を統一的にみることができる文脈に属する。この理論はレフ・ポントリャーギンによって導入され、フォン・ノイマンやヴェイユらの導入したハール測度の概念やそのほか局所コンパクトアーベル群の双対群に関する理論などと結び付けられた。

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/02(土) 22:59:03.53

2乗して項数が減る１変数多項式は無限にあるというが
３乗の場合はどうなのだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/29(月) 06:57:04.07

()^2