X
トップページ⇒数学
487コメント256KB
代数学総合スレッド Part6
0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2011/07/15(金) 18:50:34.00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/
代数学総合スレッド Part5
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1233450000/
0398１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/07(水) 22:05:49.59ID:DcA4nYnO
Lie代数や外積代数も3つの演算を持っているが、スカラー倍はお気に召さないか
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/08(木) 12:30:49.44ID:6VLNOfrk
キンという音は日常的には金または菌として解釈される
「ホモ」ロジーのように小学生男子が喜びそうなのもポイントが高いのではないかな
0401１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/08(木) 14:50:05.08ID:6VLNOfrk
次に☆の読み方について
+：足す → 足
*：掛ける → 足、手
であるならば
☆：振る → 足、手、頭
がよいだろう
a☆bは「aふるb」と読む
足し算、掛け算、振り算
語呂もよいし聞き間違いもない
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/08(木) 18:33:24.38ID:A/UA6fWK
集合と1つの演算だけだとマグマだし、集合と2つの演算ってだけだと環とはかぎらない
3つ以上の演算があったらってのも、名前より先に演算自体や演算同士をどういう条件で縛りたいのか
先に決めたほうがいいんじゃないか？
0403１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/08(木) 19:03:03.62ID:6VLNOfrk
>>402
そもそも群自体最初から定義されていたわけではなく
巡回群の研究からスタートして抽象化していったものだと群論の本に書いてあった気がする
だったら逆に名前から決めていくのも面白いんじゃないか？
0405１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/08(木) 20:50:05.54ID:/L65gK0f
和と積と冪乗の定義された数(整数でも実数でも何でもいいが)の性質から抽象化してみるとか？

その場合、3つ目の演算子は ^ だけど。
0407１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/09(金) 00:37:50.36ID:k1rRDene
>>405
べき乗は単位元がないから
a^e=e^a=aとなる単位元eを定義しても感覚的に受け入れられない気がする
0408１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/09(金) 11:28:06.40ID:k1rRDene
さて次は乗法加法に相当する呼称だ
加える・和む → 一体になる
乗せる・積む → 上に乗せたり積んだりしても分かれている
ならば
寄せる・並べる
つまり「寄法」と「並」が適切ではないかと思う
0409１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/09(金) 11:39:43.87ID:k1rRDene
やっぱり☆を見ると感覚的に「ほし」と読んでしまう…
「振る」はボツかな

a☆bは「aほしb」と読むことに変更
足し算、掛け算、ほし算
よさそう
0410１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/09(金) 11:43:02.81ID:k1rRDene
これでようやく三つめの演算が決まった

名称：寄法（きほう）
記号：☆
読み方：ほし
演算結果：並（へい）
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/09(金) 21:20:35.12ID:k1rRDene
ではこの寄法についての性質を調べていこう
まず集合Sが二項演算☆について群(group)であるとする
すなわち、
結合法則(associative law)
単位元(identity element)の存在
逆元(inverse element)の存在
の三つの条件を満たすということだ
0414１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/09(金) 21:48:15.37ID:k1rRDene
>>413
乗法と加法です
それに次ぐ第三の演算
つまり"The third operation"
なんか中二っぽいｗ
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/10(土) 00:03:00.96ID:Eu8AlzP+
>>415
次で悩みましたｗ

単位元の存在
任意の要素aに対して
a☆e=e☆a=a
を満たす要素eが存在する

乗法の単位元は1：a*1=1*a=a
加法の単位元は0：a+0=0+a=a
これらは通常の乗算加算とも一致していて感覚的にわかる
では寄法の単位元の記号は何か？
1でもない、0でもない、でも1と0に近い記号…Φかな？と思ったら空集合を表すのに使われていた
Wikipediaによると空集合の記号は実際にはΦではないものの習慣的に代用されているそうだ
0417１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/10(土) 00:08:29.55ID:Eu8AlzP+
そこで「きごう」で変換して「〆」を見つけた
0も1も入っている…ようにも見えるｗ
読みは「しめ」
a☆〆=〆☆a=a
これでいこう
0419１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/10(土) 00:15:00.99ID:Eu8AlzP+
>>418
空想科学ならぬ空想数学ってとこですかね
でもそれを言ったら数学はみんな空想じゃないですか？
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/10(土) 00:34:12.42ID:Eu8AlzP+
乗法の逆元はa^-1
加法の逆元は-a
では寄法の逆元は…「-」が含まれていそうではあるが
a^-〆かな
下付きだと添え字と混乱しそうだ
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/10/10(土) 11:17:02.20ID:F7LKU0n8
ここは真っ当なスレだったのにこういう日高みたいなのに荒らされたらもう終わりだな
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/02(火) 17:12:06.83ID:yXZ/JXjd
リー代数 (及びそれを一般化した リー環) は
第三の演算　「交代積」をもつ。
これはヤコビの恒等式を満たす。
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/02(火) 17:18:09.01ID:yXZ/JXjd
〔問題〕
無理数αに対して、
　x = α^3 + 2α^2 - 5α,　y = α^3 - 4α
がともに有理数になるという。αを求めよ

(2011年 神戸大 の類題?)
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/02(火) 17:32:35.69ID:yXZ/JXjd
8(x-y) = 8α(2α-1) = (4α-1)^2 - 1 = r - 1 (有理数),
∴　α = (1±√r)/4,
r = 61,
α = (1±√61)/4,
x = 75/8,　y = 15/8,
0430１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 21:26:02.85ID:TUpzPvIJ
Hilbertの定理90の乗法版の証明載ってる本ある？
0431１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/05(水) 06:21:42.76ID:16g2LNeV
〔問題〕
1／(2^{1/3})　は 2x^3 - 1 = 0 の実根である。
1／(2^{1/3})　は 2次以下の整係数多項式の根ではないことを示せ。
0432１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/05(水) 06:31:05.76ID:16g2LNeV
〔補題〕
a, b, c∈Q, x = 1/(2^{1/3}) に対して axx + bx + c = 0 ならば a=b=c=0.
(略証)
a=0, b=0 のときは成立する。
a=0, b≠0 のとき　x = - c/b ∈Q となるが
　2x^3 = 1 で　xの分母・分子の2ベキ指数が矛盾を来たす。
a≠0 のとき b/a = b'、 c/a = c' とおく。
　2x^3 - 1 を xx + b'x + c' で割ると
　2x^3 - 1 = 2(xx + b'x + c')(x - b') + 2(b' ^2 - c')x + (2b'c' - 1),
　x = 1/ とおくと 0 = 2(b' ^2 - c')/ + (2b'c' - 1),
　1/(2^{1/3}) は無理数だから　(b')^2 - c' = 0,　2b'c' - 1 = 0,
　よって 2(b')^3 = 1, b'∈Q となるが、b'の分母・分子の2ベキ指数が矛盾を来たす。(終)
∴　1/(2^{1/3}) の最小多項式は 2x^3 - 1.

なお　{1, 1/(2^{1/3}), 1/(2^{2/3})} はQ上1次独立と云うらしい。
0433１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/07/21(水) 09:42:19.55ID:dPnMutaO
体の乗法群k^×のことをケーバチと言わない奴って何なの？
数学をマトモにやった事ないんじゃないの？
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/08/27(金) 02:10:23.45ID:8Pm/Muoo
計算論で著名なTuringの若書き
1938年に　Compositio Mathematica, tome 5(1938), p.357-367　で発表した　　

　　The extensions of a group

という論文は、現今の群論の世界では、どう評価されるんだろ？
0438１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/21(木) 02:03:29.43ID:K/hghBtO
〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/10/21(木) 02:24:47.91ID:K/hghBtO
1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを 正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/02(火) 07:18:29.92ID:Ff6e97OX
元の行列にかけたものになる
回転をあらわす2次直交行列は表される
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/02(火) 18:03:48.50ID:F+dyso6S
何言ってるのかわからないので、ぐーぐる先生に英訳してもらったら
It will be the one applied to the original procession
A quadratic orthogonal matrix representing rotation is represented

procession→matrix は先生のお茶目としても、やっぱりわからない
0442１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/06(土) 16:03:52.72ID:QOJe0Sk2
(x^5 + x + 1)/(x^5 + x^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3-xx+1)/(x^3-x+1).

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/07(日) 00:45:37.27ID:H6MTOwMn
堀田良之「代数入門　群と加群」のp.113の証明で質問です。
補題19.1（ツァッセンハウス）
H、Kを群Gの部分群、H'、K'をH、Kの正規部分群とする。
H'(H∩K')、K'(H'∩K)はそれぞれ　H'(H∩K)、K'(H∩K)の正規部分群で
H'(H∩K)/H'(H∩K') 〜 K'(H∩K)/K'(H'∩K) (〜は同型を表す)
[証明]
同型定理から、H'(H∩K)/H' 〜 (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
この同型において、H'∩K ⊂ (H'∩K)(H∩K') ⊂ H∩K　に対応するH'(H∩K)の部分群は
H'(H'∩K)(H∩K') = H'(H∩K') (△)
だから、再び同型定理によって
H'(H∩K)/H'(H∩K') 〜 (H∩K)/(H'∩K)(H∩K') (=)
K'とHを入れ換えると補題の同型を得る。
------------------------------------------------------
「だから、再び同型定理によって」とありますが、
(△)をどう使えば(=)を示せるのか、筆者の想定する示し方がよく分かりませんでした。教えて欲しいです。
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/07(日) 02:46:59.96ID:wnhuF1sx
>443
> 同型定理から、H'(H∩K)/H' 〜 (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
これは第 2 同型定理

A ⊃ B ⊃ C, A' ⊃ B' ⊃ C'
A/C 〜 A'/C' (〇に相当)
B/C 〜 B'/C' (△に相当)　より
A/B 〜 (A/C) / (B/C) 〜 (A'/C') / (B'/C') 〜 A'/B' (∵ 第3, 第1(の系?), 第3 同型定理)
∴ A/B 〜 A'/B' (=に相当)
0445１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 13:04:29.37ID:gdzKqJiO
多変数の多項式論について丁寧に書いてある本は何ですか？

高木貞治の本以外でお願いします。

なぜ、普通の代数学の本には多変数多項式について書いていないのでしょうか？
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 18:34:56.34ID:1tqkOWb7
>>445
Kunzの本
和訳されている
0447１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/12(水) 18:44:45.60ID:gdzKqJiO
>>446

平面代数曲線入門
可換環と代数幾何入門―イデアルと加群の生成系をテーマの中心として―

のどちらですか？
0450１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 19:28:03.84ID:Da/UyDn2
松坂和夫著『代数系入門』には、2項演算が結合法則を満たすとき、 n 個の元の積がカッコの付け方によらないことの証明がありません。

こういう基本的で重要なことの証明を省くというのはありですか？
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/15(土) 19:31:24.78ID:xesZzEEq
ありかと
暗算で考えても合ってるとしかおもえん
しかしきっちり証明を書いた記憶はない
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/01/16(日) 12:14:35.49ID:vQFCEajs
I. N. Herstein著『Topics in Algebra Second Edition』ですが、なぜ評判がいいのでしょうか？

洗練されていない感じがします。
0454１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/08(火) 16:57:36.71ID:aJIm+RIs
集合の元の定義が同一になってないな
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/08(火) 18:47:24.57ID:j7EzdCO4
正直自分も証明はしっかり書いてあるものが読みたいが、しっかり書いてある本を見つける事が難しいのが厄介
せいぜい独学に向いてるとか、そういう遠回りな情報で判断するしかない
0456１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/08(火) 19:10:58.30ID:yTD6aKsd
雪江明彦著『代数学1群論入門』

K = <x, y | x^3 = y^2 = 1, y*x*y = x^{-1}> とすると、

K = S_3 = D_3 であることを証明せよ。


これって証明する必要があることですか？
自明ではないですか？
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/03/08(火) 22:58:31.79ID:MZovA/SO
別に自明とは思えないが
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 14:13:41.07ID:afxohR47
＞群の語の問題と Muller–Schupp の定理
＞ttp://www2.kobe-u.ac.jp/~tk/jp/workshop/slides/wakate2021_yuyama.pdf

の中に
＞定理 (Novikov (1955), Boone (1958))
＞有限表示群 G であって語の問題 WP(G) が
＞決定不能 (undecidable) であるよう
＞なものが存在する．

どのようなものが具体的に決定不能であるのか
その例をみせて欲しいね。
0464１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/18(水) 19:30:41.50ID:F9utb7tI
有限単純群の分類が完成したら、
それでもって有限群の分類も終了した＝有限群論は終わり、
とみなしていいの？
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/19(木) 03:41:16.56ID:+bH80TEF
単純な有限群を積み上げればそれで任意の有限群が得られるということでいいの？
素数の積で自然数が表せるというのと同じように。
0467１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/23(月) 23:17:09.11ID:q03i0Ph2
有限群の研究者たちは、有限単純群で例外的なものが有限通りしかないと
知ったときに期待どおりだったのだろうか、それとも意外だと思ったのだろうか？
0468１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/28(土) 18:11:13.05ID:C+WtEYiy
無限群の分類はどうなっているのだろうか？
連続の場合と離散の場合とあるだろうけれども。
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/28(土) 18:58:59.92ID:YH4NbMiI
ポントリャーギンの「連続群論」について↓

今回、「こんな数学書」を選ぶにあたって、やはり「連続群論（上下）」を
挙げることにした。理由はその後の「連続群論入門」(山内恭彦、杉浦光夫
著)、「リー環論」（松島与三著）、「Theory of Lie Groups」(Chevalley 著)、
「SL(2,R)」（Lang 著）へとつながっていくからで、この本との出会いが今日
の研究分野となるからである。ではこの本を読者に薦めるかとかとなると、
ちょっと疑問符を付けざるを得ない。多様体もきちんと定義されていない頃
の話で非常に読み難い。リー群やリー環などを知ろうとするならば、現在た
くさんの入門書や専門書があるのでその方がよいだろう。しかし数学者がい
かに苦労して概念を構築し真理に辿り着くか、その過程を知るにはこの本は
とても面白いと思う。
0470１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/28(土) 19:36:54.22ID:C+WtEYiy
連続群はリー群だけなの？
0472１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/28(土) 19:48:23.98ID:YH4NbMiI
>>470
ヒルベルトの第５問題
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/29(日) 09:22:22.32ID:61X04R7S
Montgomery-Zippin
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/31(火) 09:32:08.90ID:8zSCOVir
amazonの糞レビューじゃん
多様体はリーマンがとっくに定義してるだろ
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/31(火) 09:47:31.92ID:yXEkrxN7
「きちんと定義する」
0476１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/31(火) 12:05:11.92ID:01NEJa1+
位相多様体を持ち込んだのはポアンカレではなかったか
0477１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/31(火) 16:39:56.00ID:8zSCOVir
一般の多様体を定義したのはホイットニーだと思ってるバカなんだろう
0478１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/31(火) 16:46:18.44ID:rDyPETFK
シュバレーのリー群論は
連続群論と同じころだったと思うが
その頃はまだ
実解析的多様体の数空間への埋め込み可能性は
分かっていなかった。
0479１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/04(土) 06:26:22.49ID:fURcaCQF
荒木不二洋先生は連続群論で育った世代
0480１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/04(土) 13:22:56.36ID:S+bpe1P3
荒木先生が読んだのはもちろん英訳の方だろうね。

杉浦光夫先生はポントリャーギンの『連続群論　上-下』を翻訳することによって
力を付け、この本の執筆で一気にブレイクした。
　出版年が1960年だから、ソ連のスプートニク一号が打ち上げられて、西側の一員である日本が、アメリカの『ソ連に追いつけ追い越せ運動』をしていた頃の著作だ。
日本の数学者・物理学者も相当焦って居た筈だ。
0483１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/30(木) 23:38:55.80ID:3HGzb6v0
局所コンパクト群とその双対性に関する理論の基礎は1934年のレフ・ポントリャーギンまで遡る。
彼が扱った内容は群が第二可算公理を満たすことに依拠しており、
またコンパクト群であるか離散群であるような場合であった。
この制約は後にイグベルト・ファン・カンペン (1935) とアンドレ・ヴェイユ (1953) によって取り除かれ、
一般の局所コンパクト群を対象とするように一般化された。
0484１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/12/01(金) 08:48:32.02ID:J8grMJ/l
一般の局所コンパクト群、
て非可換群の場合もか？
0485１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/12/01(金) 09:38:28.96ID:TQ3+oCgt
数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、英語: Pontryagin duality）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば

実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフーリエ級数展開を持ち、そのような函数はそのフーリエ展開から復元することができる。
実数直線上の素性の良い複素数値函数は、おなじく数直線上で定義される函数としてのフーリエ変換を持ち、周期函数におけると同様に、そのような函数はそのフーリエ変換から復元することができる。
有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換から復元することができる。
といったようないくつかの話題を統一的にみることができる文脈に属する。この理論はレフ・ポントリャーギンによって導入され、フォン・ノイマンやヴェイユらの導入したハール測度の概念やそのほか局所コンパクトアーベル群の双対群に関する理論などと結び付けられた。
0486１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/12/02(土) 22:59:03.53ID:q214rjdY
2乗して項数が減る１変数多項式は無限にあるというが
３乗の場合はどうなのだろうか
0487１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/29(月) 06:57:04.07ID:YZcuWVNs
()^2
新着レスの表示
レスを投稿する

ニューススポーツなんでも実況