代数学総合スレッド Part6

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/15(金) 18:50:34.00

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/
代数学総合スレッド Part5
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1233450000/

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/23(日) 23:56:07.39

「準加算」
分配法則
　x + (y o z) = (x+y) o (x+z)
を満たす演算 o を考えます。
加法よりも低レベルの算法ということで「準加算」と呼びます。

例1
x o y = max{x,y}
例2
x o y = min{x,y}
例3
x o y = log_a( a^x + a^y)　　　(a>1)

日曜数学会(2016)
//suseum.jp/gq/question/3092, 3093

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/25(火) 04:55:18.77

分配法則
　x * (y × z) = (x * y) × (x * z)
を満たす演算 * があるでしょうか。

「演算」・とは
結合的　　(x・y)・z = x・(y・z)
可換　　　x・y = y・x
単位的　　x・e = e・x = x　である単位元eが存在する
連続　　　f(x,y) = x・y　が連続関数である
を満たす算法とします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 16:48:09.85

代数学総合スレッド Part6
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/30(日) 17:21:59.95

大数スレは↓ですよん。
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1395323240/

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 19:40:27.00

4030
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

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**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 03:01:35.08

>>362
　x * y = a^{log_a(x)･log_a(y)}

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 13:28:25.89

2830
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 06:40:53.19

n次正方行列 A,B に対して「準加算」A o B = C を
　C(j,k) = Max{min{A(j,1), B(1,k)}, min{A(j,2), B(2,k)}, ･････, min{A(j,n), B(n,k)}}
で定義します。
単位行列Eも、普通のように、主対角線上の元がすべて1で、他はすべて0 と定義します。
n次正方行列Aに対して
　A o B = E
となるn次正方行列Bが存在するための、Aに対する条件を求めて下さい。

数セミ増刊「数学の問題」第(3)集、日本評論社 (1988)　●8

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 06:44:14.22

>>368
1以上の元は各行、各列にちょうど１つずつある。
その他の元は0以下である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 06:27:30.01

>>361
例１の定義域はＲ∪{-∞},　単位元e=-∞
例２の定義域はＲ∪{∞},　単位元e=∞

数学セミナー、エレ解の解説 (2019年10月号) を参照。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 13:48:08.02

[1]　C[n-1,r-1]・C[n,r+1]・C[n+1,r] = C[n-1,r]・C[n,r-1]・C[n+1,r+1],
　　　V. Hoggatt - Hansell: Fibonacci Quarterly, ９, p.120-133 (1971)

[2]　GCD{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} = GCD{C[n-1,r]、C[n,r-1]、C[n+1,r+1]}
　　　Henry W. Gould (1972)

・参考
　B.Gordon, D.Sato, E.Straus: Pacific J. Math.,１１８(2), p.393-400 (1985)
　　(佐藤大八郎)
　数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988)　●72

GDC{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} = GDC{C[n-1,r]、C[n,r-1]、C[n+1,r+1]}

　Henry W. Gould (1972)

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/01(水) 16:32:35.84

[1]
Ｃ[n,r] = n!/(r!･(n-r)!)　より。

[2]
-(n+1)Ｃ[n-1,r-1] - (r+1)Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n-1,r]
n･Ｃ[n-1,r-1] + (r+1)Ｃ[n,r+1] - (n-r)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n,r-1]
-n･Ｃ[n-1,r-1] - r･Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n+1,r+1]
∴ GCD{Ｃ[n-1,r-1]、Ｃ[n,r+1]、Ｃ[n+1,r]} は右辺の約数でもある。
つまり右辺のGCD の約数である。
この関係において r を n-r と置き換えれば、ただちに逆の関係を得る。
つまり証明が完成する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/09(木) 21:14:44.73

4次方程式
　x^4 +2ax^3 +bx^2 +a(b-aa)x + c = 0
を解け。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/10(金) 02:55:22.06

(1)　x^2 +ax +aa = y　とおいて左辺をyで表わせ。
(2)　yについて解け。
(3)　xをyによって表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/10(金) 03:45:08.03

または
(1)　(x + a/2)^2 = y　とおいて左辺をyで表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/11(火) 13:51:50.43

>>374
　(1)　yy + (b-3aa)y + aa(2aa-b) + c,

>>375
　(1)　yy + (b-3aa/2)y + (5/16)a^4 - (1/4)aab + c,

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/11(火) 14:39:15.02

〔出題１〕
　(x+3y)(x-3y) = xx-9yy = 8^3,
のとき
(x + 8(x+3y)^{1/3} + 8(x-3y)^{1/3})^2
　= 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3}
　+ 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3}
　+ xx + 1024,
を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/11(火) 15:09:03.03

(略証)
　p = (x+3y)^{1/3},
　q = (x-3y)^{1/3},
とおくと
　pq = (xx-9yy)^{1/3} = 8,
よって
(左辺) = (x+8p+8q)^2
　= xx + 16(p+q)x + 64(p+q)^2
　= 16(px+4qq) + 16(qx+4pp) + xx + 128pq
　= 16p{x + (1/2)q^3} + 16q{x + (1/2)p^3}
　+ xx + 1024
　= 16p{x + (x-3y)/2} + 16q{x + (x+3y)/2}
　+ xx + 1024
　= 48p(x-y)/2 + 48q(x+y)/2 + xx + 1024
　= 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3}
　+ 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3}
　+ xx + 1024,

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/13(木) 04:29:37.78

〔出題2〕
(1)
　A = √(N+1) + 2√(N -1/2),
　B = √(N-1) + 2√(N +1/2),
とおくとき、
　3√N > A > B　を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/13(木) 04:32:33.97

(左側)
　(二乗平均) > (相加平均)　で

(右側)
　A - B = {√(N+1) - √(N-1)} - 2{√(N+1/2) - √(N-1/2)}
　　　　= 2/{√(N+1) + √(N-1)} -2/{√(N+1/2) + √(N-1/2)}
　　　　> 0,

〔補題〕
　　√(N+1/2) + √(N-1/2)　>　√(N+1) + √(N-1),
(略証)
　√(N+x) は上に凸だから
　　√(N+1/2)　>　(3/4)√(N+1) + (1/4)√(N-1),
　　√(N-1/2)　>　(1/4)√(N+1) + (3/4)√(N-1),
　　辺々たす。
または
　{√(N+1/2) + √(N-1/2)}^2 - {√(N+1) + √(N-1)}^2
　= 2{N + √(NN -1/4)} - 2{N + √(NN-1)}
　= 2{√(NN -1/4) - √(NN-1)}　> 0,

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/13(木) 04:36:08.03

例)
　N = 333^2,
　A = 999 - 5.07770647804844345600×10^(-9)
　B = 999 - 5.07772937354721216558×10^(-9)
　A - B = 2.289549876870958×10^(-14)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/13(木) 16:48:47.40

〔出題２〕
(2)
　√2 + √z ≒ y
となる自然数 y,z を見つけよ。
---------------------------------

・xx - 2yy = -1　ならば
　(xx +5 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2)
　= (y-√2)^2 - 2/(x+y√2),
∴　√2 + √{(xx +5 -4x)/2} = y - 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y,

・xx - 2yy = 1　ならば
　(xx +3 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2)
　= (y-√2)^2 - 2/(x+y√2),
∴　√2 + √{(xx +3 -4x)/2} = y - 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y,

例）
　x = ((1+√2)^n + (1-√2)^n)/2,
　y = ((1+√2)^n - (1-√2)^n)/(2√2),
は「ペル方程式」
　xx - 2yy = (-1)^n
をみたす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/15(土) 02:30:30.42

〔出題2〕
(3)
n ≒ √a + √b　(n,a,bは正の整数) となるような近似の例を無限に多く構成せよ。
ただし (1) のように平方数を利用した「自明な」例は除外する。
できるだけ高い精度の近似例を期待する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/15(土) 20:58:06.92

>>382
・xx-2yy = ±1　とする。

　z = yy -2x +2
　　= (y-√2)^2 - 2(x-y√2)
　　= (y-√2)^2 干 2/(x+y√2),
とおけば
　√2 + √z = y 干 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y,
　| 1/{(x+y√2)(y-√2)} | < 1/{(2√2)(y-√2)^2}　→ 0　(y→∞)

他にも
　z' = xx -4y +2
　　= (x-√2)^2 + (2√2)(x-y√2)
　　= (x-√2)^2 ± (2√2)/(x+y√2),
とおけば
　√2 + √z' = x ± (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} + … ≒ x,
　| (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} | < 1/{(√2)(x-√2)^2}　→ 0　(x→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:20:38.08

　{x} = x - [x] = x - floor(x)
とおくと、
　Σ(j=1,n) {ij/n} = (n - gcd(n,i))/2.

面白スレ３２－926

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/23(日) 09:14:45.27

Σ(j=1,n) [ij/n] = ( (n+1)i - n + gcd(n,i) )/2,

面白スレ３２－927

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 14:28:47.91

単純環は半単純環とは限らない

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/06(火) 21:06:43.87

群は集合と1つの演算
環は集合と2つの演算

じゃあ、3つ以上の演算があったら何なのさ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/06(火) 21:29:14.52

森とかじゃないかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/06(火) 21:34:23.44

轟かも

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/06(火) 21:40:36.24

いやいや晶かも……
て、そうじゃねぇ(_・ω・)_ﾊﾞｧﾝ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/06(火) 22:55:22.90

キンかコンじゃないか（謎

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 19:11:41.68

カン(環)とクン(群)とケン(圏)はあるもんな

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 19:25:39.41

それだとコン（根）はもうあるからキンということか

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 20:59:02.82

漢字は音読みで一文字では日常で使われることなく熟語ではよく使われる常用漢字
数学の定義を知らなければ素人には何を言っているのかさっぱり分からない
となると「勤」かな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 21:11:15.13

一方で英語は日常的によく使われる名詞で日本語の意味と似通ったもの
「work」かな

勤(work)：集合と3つの演算の組み合わせ

なんかそれっぽいｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 21:24:56.86

3つ目の演算記号は「☆」
五芒星でもOK

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 22:05:49.59

Lie代数や外積代数も3つの演算を持っているが、スカラー倍はお気に召さないか

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/07(水) 22:13:15.22

抽象的じゃないとね

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 12:30:49.44

キンという音は日常的には金または菌として解釈される
「ホモ」ロジーのように小学生男子が喜びそうなのもポイントが高いのではないかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 14:50:05.08

次に☆の読み方について
+：足す → 足
*：掛ける → 足、手
であるならば
☆：振る → 足、手、頭
がよいだろう
a☆bは「aふるb」と読む
足し算、掛け算、振り算
語呂もよいし聞き間違いもない

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 18:33:24.38

集合と1つの演算だけだとマグマだし、集合と2つの演算ってだけだと環とはかぎらない
3つ以上の演算があったらってのも、名前より先に演算自体や演算同士をどういう条件で縛りたいのか
先に決めたほうがいいんじゃないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 19:03:03.62

>>402
そもそも群自体最初から定義されていたわけではなく
巡回群の研究からスタートして抽象化していったものだと群論の本に書いてあった気がする
だったら逆に名前から決めていくのも面白いんじゃないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 20:29:23.98

>>403
2行目の理屈だと3つの演算を持つ体系の具体例を出すのがスタートだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 20:50:05.54

和と積と冪乗の定義された数(整数でも実数でも何でもいいが)の性質から抽象化してみるとか？

その場合、3つ目の演算子は ^ だけど。

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/08(木) 21:13:48.77

>>404
だからそれに逆らってやろうとｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 00:37:50.36

>>405
べき乗は単位元がないから
a^e=e^a=aとなる単位元eを定義しても感覚的に受け入れられない気がする

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 11:28:06.40

さて次は乗法加法に相当する呼称だ
加える・和む → 一体になる
乗せる・積む → 上に乗せたり積んだりしても分かれている
ならば
寄せる・並べる
つまり「寄法」と「並」が適切ではないかと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 11:39:43.87

やっぱり☆を見ると感覚的に「ほし」と読んでしまう…
「振る」はボツかな

a☆bは「aほしb」と読むことに変更
足し算、掛け算、ほし算
よさそう

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 11:43:02.81

これでようやく三つめの演算が決まった

名称：寄法（きほう）
記号：☆
読み方：ほし
演算結果：並（へい）

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 21:20:35.12

ではこの寄法についての性質を調べていこう
まず集合Sが二項演算☆について群(group)であるとする
すなわち、
結合法則(associative law)
単位元(identity element)の存在
逆元(inverse element)の存在
の三つの条件を満たすということだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 21:31:44.45

結合法則
(a☆b)☆c=a☆(b☆c)

悩む必要はない

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 21:41:27.14

3つ目の演算を定義する前に1つ目と2つ目は何なのさ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 21:48:15.37

>>413
乗法と加法です
それに次ぐ第三の演算
つまり"The third operation"
なんか中二っぽいｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/09(金) 22:43:06.86

悩む必要は無いって言う意味が分からん

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 00:03:00.96

>>415
次で悩みましたｗ

単位元の存在
任意の要素aに対して
a☆e=e☆a=a
を満たす要素eが存在する

乗法の単位元は1：a*1=1*a=a
加法の単位元は0：a+0=0+a=a
これらは通常の乗算加算とも一致していて感覚的にわかる
では寄法の単位元の記号は何か？
1でもない、0でもない、でも1と0に近い記号…Φかな？と思ったら空集合を表すのに使われていた
Wikipediaによると空集合の記号は実際にはΦではないものの習慣的に代用されているそうだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 00:08:29.55

そこで「きごう」で変換して「〆」を見つけた
0も1も入っている…ようにも見えるｗ
読みは「しめ」
a☆〆=〆☆a=a
これでいこう

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 00:12:29.01

とんでも科学ってこうやって生まれるんだなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 00:15:00.99

>>418
空想科学ならぬ空想数学ってとこですかね
でもそれを言ったら数学はみんな空想じゃないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 00:34:12.42

乗法の逆元はa^-1
加法の逆元は-a
では寄法の逆元は…「-」が含まれていそうではあるが
a^-〆かな
下付きだと添え字と混乱しそうだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 01:01:36.17

スレ違いです、荒らさないでください

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 01:09:07.21

>>388の疑問に答えるためですよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 10:47:33.31

よそでやれゴミクズ

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 11:12:22.64

これもいちおう代数なので

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 11:17:02.20

ここは真っ当なスレだったのにこういう日高みたいなのに荒らされたらもう終わりだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/10/10(土) 11:47:29.55

ひょっとしてそれはギャグで言ってるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/02(火) 17:12:06.83

リー代数 (及びそれを一般化したリー環) は
第三の演算　「交代積」をもつ。
これはヤコビの恒等式を満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/02(火) 17:18:09.01

〔問題〕
無理数αに対して、
　x = α^3 + 2α^2 - 5α,　y = α^3 - 4α
がともに有理数になるという。αを求めよ

(2011年神戸大の類題?)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/02(火) 17:32:35.69

8(x-y) = 8α(2α-1) = (4α-1)^2 - 1 = r - 1 (有理数),
∴　α = (1±√r)/4,
r = 61,
α = (1±√61)/4,
x = 75/8,　y = 15/8,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 21:26:02.85

Hilbertの定理90の乗法版の証明載ってる本ある？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 06:21:42.76

〔問題〕
1／(2^{1/3})　は 2x^3 - 1 = 0 の実根である。
1／(2^{1/3})　は 2次以下の整係数多項式の根ではないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 06:31:05.76

〔補題〕
a, b, c∈Q, x = 1/(2^{1/3}) に対して axx + bx + c = 0 ならば a=b=c=0.
(略証)
a=0, b=0 のときは成立する。
a=0, b≠0 のとき　x = - c/b ∈Q となるが
　2x^3 = 1 で　xの分母・分子の2ベキ指数が矛盾を来たす。
a≠0 のとき b/a = b'、 c/a = c' とおく。
　2x^3 - 1 を xx + b'x + c' で割ると
　2x^3 - 1 = 2(xx + b'x + c')(x - b') + 2(b' ^2 - c')x + (2b'c' - 1),
　x = 1/ とおくと 0 = 2(b' ^2 - c')/ + (2b'c' - 1),
　1/(2^{1/3}) は無理数だから　(b')^2 - c' = 0,　2b'c' - 1 = 0,
　よって 2(b')^3 = 1, b'∈Q となるが、b'の分母・分子の2ベキ指数が矛盾を来たす。(終)
∴　1/(2^{1/3}) の最小多項式は 2x^3 - 1.

なお　{1, 1/(2^{1/3}), 1/(2^{2/3})} はQ上1次独立と云うらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/21(水) 09:42:19.55

体の乗法群k^×のことをケーバチと言わない奴って何なの？
数学をマトモにやった事ないんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/21(水) 12:47:56.30

そんな方言知らんなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/27(金) 02:10:23.45

計算論で著名なTuringの若書き
1938年に　Compositio Mathematica, tome 5(1938), p.357-367　で発表した　　

　　The extensions of a group

という論文は、現今の群論の世界では、どう評価されるんだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/10(金) 07:36:39.22

線形代数おもしろい

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 01:48:22.22

k^× を刑罰と呼ぶ地方もあるらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 02:03:29.43

〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 02:24:47.91

1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/02(火) 07:18:29.92

元の行列にかけたものになる
回転をあらわす2次直交行列は表される

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/02(火) 18:03:48.50

何言ってるのかわからないので、ぐーぐる先生に英訳してもらったら
It will be the one applied to the original procession
A quadratic orthogonal matrix representing rotation is represented

procession→matrix は先生のお茶目としても、やっぱりわからない

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 16:03:52.72

(x^5 + x + 1)/(x^5 + x^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3-xx+1)/(x^3-x+1).

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/07(日) 00:45:37.27

堀田良之「代数入門　群と加群」のp.113の証明で質問です。
補題19.1（ツァッセンハウス）
H、Kを群Gの部分群、H'、K'をH、Kの正規部分群とする。
H'(H∩K')、K'(H'∩K)はそれぞれ　H'(H∩K)、K'(H∩K)の正規部分群で
H'(H∩K)/H'(H∩K') ～ K'(H∩K)/K'(H'∩K) (～は同型を表す)
[証明]
同型定理から、H'(H∩K)/H' ～ (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
この同型において、H'∩K ⊂ (H'∩K)(H∩K') ⊂ H∩K　に対応するH'(H∩K)の部分群は
H'(H'∩K)(H∩K') = H'(H∩K') (△)
だから、再び同型定理によって
H'(H∩K)/H'(H∩K') ～ (H∩K)/(H'∩K)(H∩K') (=)
K'とHを入れ換えると補題の同型を得る。
------------------------------------------------------
「だから、再び同型定理によって」とありますが、
(△)をどう使えば(=)を示せるのか、筆者の想定する示し方がよく分かりませんでした。教えて欲しいです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/07(日) 02:46:59.96

>443
> 同型定理から、H'(H∩K)/H' ～ (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
これは第 2 同型定理

A ⊃ B ⊃ C, A' ⊃ B' ⊃ C'
A/C ～ A'/C' (〇に相当)
B/C ～ B'/C' (△に相当)　より
A/B ～ (A/C) / (B/C) ～ (A'/C') / (B'/C') ～ A'/B' (∵ 第3, 第1(の系?), 第3 同型定理)
∴ A/B ～ A'/B' (=に相当)

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 13:04:29.37

多変数の多項式論について丁寧に書いてある本は何ですか？

高木貞治の本以外でお願いします。

なぜ、普通の代数学の本には多変数多項式について書いていないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 18:34:56.34

>>445
Kunzの本
和訳されている

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 18:44:45.60

>>446

平面代数曲線入門
可換環と代数幾何入門―イデアルと加群の生成系をテーマの中心として―

のどちらですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 20:39:11.07

>>445
普通の可換環論の本には必ず書いてあるから適当なの読めばよろしい

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/12(水) 21:02:27.12

>>446
>>448

ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 19:28:03.84

松坂和夫著『代数系入門』には、2項演算が結合法則を満たすとき、 n 個の元の積がカッコの付け方によらないことの証明がありません。

こういう基本的で重要なことの証明を省くというのはありですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 19:31:24.78

ありかと
暗算で考えても合ってるとしかおもえん
しかしきっちり証明を書いた記憶はない

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/15(土) 19:37:19.30

むしろきっちり証明を書いてあるほうが珍しくね

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/16(日) 12:14:35.49

I. N. Herstein著『Topics in Algebra Second Edition』ですが、なぜ評判がいいのでしょうか？

洗練されていない感じがします。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 16:57:36.71

集合の元の定義が同一になってないな

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 18:47:24.57

正直自分も証明はしっかり書いてあるものが読みたいが、しっかり書いてある本を見つける事が難しいのが厄介
せいぜい独学に向いてるとか、そういう遠回りな情報で判断するしかない

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 19:10:58.30

雪江明彦著『代数学1群論入門』

K = <x, y | x^3 = y^2 = 1, y*x*y = x^{-1}> とすると、

K = S_3 = D_3 であることを証明せよ。

これって証明する必要があることですか？
自明ではないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 22:58:31.79

別に自明とは思えないが

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/08(火) 23:37:21.36

基本関係式、みんなちゃんと必要純分条件として確認してる？

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/02(日) 06:35:09.41

43.4億円の1年契約

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/05(水) 14:53:02.84

x^x^4＝64