代数学総合スレッド Part6

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/15(金) 18:50:34.00

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/
代数学総合スレッド Part5
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1233450000/

**お願いします。。。** · 2011/07/27(水) 18:20:48.78

すみませんでした。
この内容でレポートが出て、手がつけられませんで・・・。

剰余環とは何か、簡単に説明してもらえませんかm(__)m

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/27(水) 18:28:10.16

教科書嫁

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/27(水) 18:44:47.15

>>18
同値関係と剰余類は分かってるのか？
それが分かれば終了。

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/27(水) 19:01:57.31

教える立場に立つ目的で
> ・初学者に対して～説明せよ。
という課題に挑もうという人が、教え方を論じるどころか
逆に誰かに内容を教えてもらわないといけないってのは、
だめだろ、いろいろと。

玉川の通信教育学部の悪夢再来か？

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/27(水) 19:03:52.83

>>24
> 玉川の通信教育学部の悪夢再来か？

何それ？

**お願いします。。。** · 2011/07/27(水) 19:26:12.40

同値関係と剰余類は理解してます。
ヒントありがとうございました！！

では、失礼します。

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/28(木) 20:58:31.79

整数全体をＺ
g:Ｚ→Ｚとする。
∀n;　　g(g(g(g(n)))) = 2n,
を満たす g(n) を挙げよ。

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/28(木) 21:35:17.26

ぶっころすぞ

**名無しさん＠恐縮です** · 2011/07/29(金) 00:41:51.46

>>17
>>19
反例ありがとうございます！！

**名無しさん＠恐縮です** · 2011/07/29(金) 08:22:01.90

>>17
>>19
考えていた問題が一箇所間違えていました。
済みません。
I と P の包含関係が逆でした。
以下の主張の反例が欲しいです。

A：可換環
I ⊂ P ⊂ A：イデアル, P は素イデアル
a,b ∈ A
「ab ∈ IP, a ∈ I」だが「a ∈ IP ではない」
⇒ b ∈ P

**１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 09:39:07.21

A=k[X,Y,Z]/(XY-Z^2), I=P=(X,Z)
a=X, b=Y

**名無しさん＠恐縮です** · 2011/07/29(金) 10:40:41.59

>>31
素晴らしいです
どうもありがとうございます

**名無しさん＠恐縮です** · 2011/07/29(金) 11:03:24.41

体論の質問です
標数 0 の体 K の二つの線形無関連な
有限次巡回拡大 L,M があるとします。
それぞれ定義多項式 f,g ∈ Z[X] が与えられて
いるとします。
何でも良いので合成体 LM の定義多項式を一つ
(f,g の係数を使って)一般に与えたいのですが可能
でしょうか？
deg(f)=2 のときは αβ (f,g の根)の最小多項式
を基本対称式を用いて(係数に出てくる対称式を基本
対称式で表して)出来たのですが、一般に書くのは難
しそうでした。但し、ベキの基本対称式
e_i(α_1^d,…,α_n^d)
は Newton identities があるので既知とします。
α_i は f の根たち、e_i は i 次基本対称式です。

[―{}@{}@{}-] **１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 17:29:35.52

>>27
面白そうだから考えてみたけど、それで本業のレポート間に合わなくなったｗ
g^0(n)=n
g(g^k(n))=g^(k+1)(n)
と書くことにする。
以下が証明出来ればいい。
gが、g^4(n)=2nを満たすためには、gが次の形に書けることが必要十分である。すなわち、

数列a_n(０≦ｎ)を奇数のみからなり、すべての（正の）奇数が重複なく、一回ずつ現れるものとすると、
g(0)=0
(任意の0以外の自然数は自然数ｒ,mと3以下の自然数iによって一意的にa_(4r+i)(2^m)とかけるので）
g((a_(4r+i))2^m)=a_(4r+i+1))2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=a_(4r)2^(m+1) (r=3の時)

証明：
十分性：
n=0のときはg^4(n)=2nは明らか。
よってg^4(a_(4r+i)2^m)(ｒは自然数,iは３以下の自然数)について言えばいいが、
a_nが奇数だけからなることより、
g^4(a_(4r+i)2^m)
=g^3(a_(4r+i+1)2^m)
...
=g^(i+1)(a_(4r+3)2^m)
=g^i((a_4r)2^(m+1))
=g^(i-1)((a_(4r+1))2^(m+1))
...
=g^0((a_(4r+i))2^(m+1))
=(a_(4r+i))2^(m+1)
=2(a_(4r+i)2^m)

[―{}@{}@{}-] **１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 17:30:11.71

必要性：
gを任意の自然数nに対してg^4(n)=2nが成り立つものとする。

(i) g(n)は単射
g(n)=g(m)とすると、
g^4(n)=g^4(m)
条件より、2n=2mであるから、n=m.
(ii) g(0)=0
2g(0)=g^4(g(0))=g(g^4(0))=g(2*0)=g(0)
したがってg(0)=0

(iii) R={r;r=g(n)となるnが存在しない}とするとき、Rの元rに対して、
g^i(r)はiが３以下の自然数の時、奇数であり、iが３より大きい時は偶数。

i<4のとき、もし、g^i(r)＝2nだとすると、g^4(n)=g^i(r)であり、gは単射だから、
r=g^(4-i)(n)=g(g^(3-i)(n))であるからRの定義に反する。
また、i>3のとき、g^i(n)=g^4(g^(i-4)(n))=2g^(i-4)i(n)だから後半も成り立つ。

(iv)Rは奇数からなる無限集合（したがって加算）である。

Rの元が奇数であることは（iii）でi=0とすればいい。
Rが有限とする。
Rt={g^i(r);r∈R,i∈N}とするとき、（iii）より、Rtは有限個の奇数しか含まない。
そこで、これに含まれない奇数をnとする。
R⊂Rtだから、n=g(n_0)となるn_0がある。すると、n_0はRtに含まれない。
したがってn=g(n_1)=g^2(n_2)を満たす、Rtに属さないn_1がある。
これを繰り返して、
n=g^4(m)=2mを満たすmがある。しかしこれはnが奇数である事に反する。

[―{}@{}@{}-] **１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 17:32:09.12

（v）数列a_nをa_4r∈R,a_(4r+i)=g^i(a_4r)（0≦i<4）
と定義する。ただし、｛a_4r｝にはRのすべての元が一回ずつ重複なく現れるように取る。
この時、a_nは奇数だけからなり、すべての奇数が重複なく一回ずつ現れる。

奇数のみからなることはa_nの定義と（iii）から明らか。
すべての奇数が現れることは、(iii)より、Rtがすべての奇数を含むことを、
重複がないことを言うにはa_(4r_1+i)=a_(4r_2+j)のとき、
r_1＝r_2、i＝jを言えばいい。

前者はRtに含まれない奇数をnとすると、（iv）と同じ論法で矛盾をきたす。
後者は、i≧jとしてもよい。gは単射であり、a_(4r_1+i)=a_(4r_2+j)のとき、
g^i(a_(4r_1))=g^j(a_(4r_2))
a_(4r_2)=g^(i-j)(a_(4r_1))
もし、i≠jだとa_4rとRの定義に反するのでi=j.
つまり、a_(4r_1)＝a_(4r_2).　a_4rの定義より、r_1＝r_2。

[―{}@{}@{}-] **１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 17:33:09.40

（vi）
0以外の任意の自然数n=(a_(4r+i))2^m(0≦i<4)に対して、g(n)は上で定義したa_nによって

g((a_(4r+i))2^m)=a_(4r+i+1))2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=a_(4r)2^(m+1) (i=3の時)
とかける。

g((a_(4r+i))2^m)
=g^(4m+1)(a_(4r+i))
=g^4m(g(a_(4r+i)))　　--☆
ここでi≠3なら、g(a_(4r+i))=a_(4r+i+1)より、
=g^4m(a_(4r+i+1))
=a_(4r+i+1))2^m

また、i＝3なら、
g(a_(4r+3))
=g(g^3(a_4r))
=g^4(a_4r)=2*(a_4r)
よって
☆＝g^4m(2*(a_4r))
=a_(4r)2^(m+1)

[証明終]

[―{}@{}@{}-] **１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 17:33:43.75

具体例を作りたければ、例えばa_n = 2n+1とすればいい。

つまり以下のようになる。
0≦i<4のとき、
g(0)=0
g((8r+2i+1)2^m)=(8r+2(i+1)+1)2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=(8r+1)2^(m+1) (i=3の時)

>>27
a_nを負の添え字まで拡張して負の奇偶まで考えれば上と同様。
特に最後の具体例はそのまま適応できる。
どや？
もしかしたら、群論とか半群論の言葉をつかってもっと綺麗に言い表せるのかもしれないが。
わからん。誰か頼む。いい方法ないの？

[―{}@{}@{}-] **１３２人目の素数さん** · 2011/07/29(金) 17:57:48.03

ミス。負の添字はいらない。

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 10:05:16.39

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 10:17:45.81

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 15:51:27.53

>>331
いいなぁー

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 17:01:05.55

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
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MPE
4231
4213
3331
3313

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 18:27:41.46

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 18:32:10.21

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 19:24:04.07

ノート
やさい
歯ブラシ
牛乳
やよい

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 19:48:32.45

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 20:53:56.36

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
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4213
3331
3313
145
53A3
6236

**132人目の素数** · 2011/08/01(月) 21:04:09.47

Aを有限集合とする。
Aの元がｎ個のとき写像ｇ：A→Aに対して
ｇ^ｎ(A)＝ｇ^(ｎ+１)(A)であることを示せ.

がわかりません。
どなたか分かる方いたら教えてください(＞＜;

ｇ^ｎはｎ個のｇの合成写像です。

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 21:09:47.21

>>49
それは、互換 (12) の2乗と3乗が等しいことを主張しているね。

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 21:23:46.12

ノート
牛乳

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 21:32:10.42

[S]
東大
弁護士
Bパート

**132人目の素数** · 2011/08/01(月) 22:18:52.80

>>50
どういうことですか（？。？

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 22:21:12.89

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313
145
53A3
6236

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 23:01:20.68

>>53
>>50じゃないが、どういうこともなにもそのままの意味だろ、
n=2のときg=(1 2)だったらどうだってこと。

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 23:04:08.58

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 23:18:39.56

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 23:26:04.80

ミクロ
息抜き

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/01(月) 23:42:39.23

流す

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 00:01:24.36

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 00:05:14.17

口に出す

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 00:08:06.72

ドルとシャルケー戦

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 00:09:09.45

でそう出てなかったゲップが出た

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 00:10:14.87

さっきの地震怖かった

50 · 2011/08/02(火) 07:21:33.88

>>53
あら済まない．
g^n(A) を g^n(x) と読み違えていた．

g^k(A)⊇g^{k+1}(A) であることと
k で等号が成立すれば m≧k で g^m(A)=g^{m+1}(A) となることを使う．

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 10:04:06.47

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 10:16:30.91

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 11:03:38.55

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313
145
53A3
6236

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 11:21:37.82

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 11:26:43.49

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313
145
53A3
6236

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 11:46:26.34

[S]
東大
弁護士
Bパート

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 12:05:24.38

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 12:15:29.26

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313
145
53A3
6236
EMPCB
EMJ

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 12:23:45.65

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除
左翼右翼

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 12:33:59.58

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除
左翼右翼

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 12:42:24.87

[A]
TS10
SBR
VFK10
TKK
VF1
LCCR
SINX
VF1M4
VF1L2
VF1H2
EMPC
MPE
4231
4213
3331
3313
145
53A3
6236
EMPCB
EMJ

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 12:51:18.02

[B]
ノート
牛乳
放送大学
水虫
やよいのゲップ
アラ右アラ左
掃除
左翼右翼

**１３２人目の素数さん** · 2011/08/02(火) 13:00:25.68