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相対性理論って理解するのいうほど難しくないよな2
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0003ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/02(木) 23:03:47.73ID:???
前スレ>913だ

前スレ>>988
> 加速系と言っている時点で兄の加速度運動を認めているんだよ
> それが特殊相対性理論の限界

兄が「弟の系 = 慣性系に対して」加速運動しているのは事実なので、認めるのは当たり前。一般相対論だろうが特殊だろうが何も変わらない。
兄基準の座標系を扱えないということの根拠にならない。

そして兄基準の系は特殊だろうが一般だろうが慣性系ではない。

前スレ>>997
> だから特殊相対性理論で説明できるならしてみればいい

前スレ>>961で
> ある座標系で現象が記述できているときに、別の座標系でその現象がどう記述されるかというのは純粋に数学の問題
> なので、慣性系で現象が記述できてるのに慣性系以外の座標系で記述できないなんてことはあり得ない。

と書いたとおり、

慣性系での兄、弟の世界線と固有時が求まっているのだから、兄基準のの座標系を定めて（リンドラー座標系やそれに類する座標系）、慣性系での結果
を座標変換するだけ。
0004ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 01:47:29.77ID:???
高校物理でよくみる問題をアレンジして考えれば良い
まずボールに時計をつける
そして同じく時計をもった兄がボールを鉛直投擲する
そして戻ってきたボールの時計と兄の時計を比較する
どちらが遅れているか特殊相対性理論で説明できるならすればいい
これが双子のパラドックスの兄の視点だ
0005ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 02:01:35.91ID:???
だから双子のパラドックスの説明など特殊相対論でいくらでもされてるっつーの。
特殊相対論では加速座標を扱えないと決めつけてる限りこいつには永久に理解できないだけの話
00063
垢版 |
2021/12/03(金) 02:13:43.95ID:???
リンドラー座標系は慣性系に対して一様加速する物体を基準とする座標系だ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BA%A7%E6%A8%99

これを兄の乗ったロケットが地球に帰還すべくUターン加速している状況に適用する。

弟基準の慣性系を (x, t)、兄基準の座標系を(X, T) とする。

　弟の (x,t) での位置は x = 0 で一定
　兄の (X, T) での位置は X = 0 で一定
　ロケットのUターン加速中、地球に対する速度が 0 となる時点を T = t = 0 とする
　Uターン加速の加速度を g (＞0)
　T = t = 0 において 地球は兄から距離 L 離れている ((x, t) での距離とするが (X, T) でも同じ）

　このとき (x, t) と(X, T) の変換は以下のようになる (光速 c = 1 とする)

　　 t = (X + 1/g)sinh(gT)
　　 x = (X + 1/g)cosh(gT) - 1/g - L

兄からみた弟の時間を計算するには、地球の位置 x = 0 での t, T の対応を計算すれば良い

　　
　　t / (x + 1/g + L) = sinh(gT) / cosh(gT) = tanh(gT)

　　x = 0 のとき
　　
t = (L + 1/g)・tanh(gT)

　　dt/dT = (gL + 1) / {cosh(gT)^2}

T = 0 のとき　cosh(gT) = 1 だから、T = 0近傍では弟の時間 t は兄の時間 t の (gL + 1) 倍の速度で進む
ことになる。

例として加速度 g = 1光年/年^2 (約 9.5m/s^2 で地球の重力加速度に近い）、L = 10光年 とすると gL + 1 = 11
となる。加速度g, 距離 L が大きいほど進みは早くなる。
0007ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 09:18:19.84ID:???
リンドラー座標系にあわせてロケットが飛ぶためには激しく加速せねばならず、兄は死亡してしまうので適用できない
00083
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2021/12/03(金) 09:30:36.03ID:???
いくらなんでもそんなでたらめな反論はあり得ないだろう。
>>6の計算例では加速度は9.5m/s^2でしかない。

もしかしてリンドラー座標系の解説図のとがったところをみてそんなことを言ってるのか
0010ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 09:59:56.05ID:???
兄からすればただの鉛直投擲という現実
しかし特殊相対性理論は兄が鉛直投擲されているという立場に立つしか出来ない
00113
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2021/12/03(金) 10:07:27.78ID:???
>>4
それが一様重力のもとでなら、お前が認めたとおり「一様重力」は適当な座標を取れば大域慣性系になる
その慣性系ではボールは静止していて兄が往復運動している。
慣性系なので特殊相対論で問題なく扱える。
その結果を元の座標系に変換すれば兄から見た弟の時間になる。

その変換の例は>>6の計算に相当する。リンドラー座標系はまさに一様な重力場を表す座標系だからね。

一様重力でないならそれはそもそも時空が歪んでるってことなのでそれこそ特殊相対論の範囲外だ。
0013ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 10:12:00.02ID:???
>>11
いやだからまさにそれが等価原理の導入なわけだ
それが特殊相対性理論の限界
兄が鉛直投擲されている立場でしか議論できない
0015ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 10:22:28.85ID:???
さて以上のように>>4の説明には等価原理を導入して兄の鉛直投擲に変更するしかない
ここが限界
勿論一般相対性理論ではこのような不平等はなくどの立場でも計算でき光格子時計を用いればこのスケールですら実験的検証も可能だろう
まさに等価
00163
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2021/12/03(金) 10:33:09.35ID:???
> いやだからまさにそれが等価原理の導入なわけだ

だから？

特殊相対論では重力は扱わないんだから兄基準の加速系を重力場と解釈しないってだけだよ。
それは兄基準の加速系が扱えないということを全く意味しない。

> それが特殊相対性理論の限界

特殊相対論に「重力は扱えない」って制限があるのは当たり前だが？
00173
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2021/12/03(金) 10:39:19.82ID:???
>>15
> さて以上のように>>4の説明には等価原理を導入して兄の鉛直投擲に変更するしかない

そりゃ「双子のパラドクスを重力の問題と解釈して解く」」ことは特殊相対論では無理だろ。特殊相対論は重力を扱わないんだから。

別にそんな解釈をしなくても解けるので全く問題ない。
0018ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 10:42:24.86ID:???
さてこのようにして>>4は特殊相対性理論に等価原理を持ち込んで立場を変える必要があることが認められた
これが特殊相対性理論の限界である
兄からすればただの鉛直投擲なのだがそれが出来ない
等価原理によって兄が鉛直投擲されているという立場にならないといけない
00193
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2021/12/03(金) 10:43:12.16ID:???
「重力の問題と解釈しての解以外認めないもん！」と駄々をこねてるだけ。
0020ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 10:49:48.95ID:???
等価原理を導入して重力消去をしないといけないこと自体がまさに特殊相対性理論の限界を示している
等価原理は特殊相対性理論の要請ではないのだから
双子のパラドックスは>>4を宇宙規模でした思考実験だが>>4なら現在の科学技術でも実際に検証できそうだ
00213
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2021/12/03(金) 10:59:14.15ID:???
一般相対論は特殊相対論の拡張なんだから特殊相対論に（一般に比して）限界があるのは当たり前

その限界があっても双子のパラドクスの兄視点を考えるのに支障はない。

等価原理を使えば兄基準の加速系を重力場と解釈することができるが、それは双子のパラドクスに必須ではない。
00223
垢版 |
2021/12/03(金) 11:01:13.61ID:???
そして「特殊相対論で非慣性系を扱おうとすると生じる矛盾」とやらは結局一切示されなかった。
0025ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 15:03:40.20ID:???
>等価原理を使えば兄基準の加速系を重力場と解釈することができる

これがすり替えなんだよな
>>11がやっているのは重力を等価原理によって消しているわけだ
>>4に対して特殊相対性理論ではない等価原理を使ってや
00273
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2021/12/03(金) 15:26:48.63ID:???
>>25
もともと双子のパラドクスの設定は

・弟は慣性系で静止している
・兄はその慣性系で見て往復運動する

この問題を

　一様な重力場のなかで兄が静止していて、弟（に相当するボール）を鉛直に投げて自由落下させる

問題に改変したのはお前が勝手にやってることだろ。

兄の往復運動のうちUターンの部分だけをとって、かつ一様加速に限定すれば兄基準の座標系を一様な重力場と見なせるから、その改変自体が
悪いとは言わないが、それは特殊相対論の範囲を逸脱してる。

何度も言うように特殊相対性理論は重力を扱えないんだから重力の問題に改変したら特殊相対性理論で扱えないのは当たり前。

だけど本来の双子のパラドックスを扱うのはなんの問題もない。

お前は「重力の問題として解けないかt切り認めない」と駄々をこねてるだけ。
0028ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 16:23:18.11ID:???
>>27
元の設定の双子のパラドックスは地球が兄の元を出て戻って来たんだよ
ただこれは思考実験であまりにも直感とかけ離れた規模なので身近なボール投げに置き換えただけ
双子のパラドックスの本質は地球のUターンの加速にあるのでその部分だけ取り出せばいい
等速加速減速に分かれていることは本質的ではない
地球が兄の元を発つ時から-gで減速していて戻ってきた時の時計を比べるだけ
0029ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 16:34:11.10ID:???
双子のパラドックスは左なんだが規模が大き過ぎて分かりにくいので右に直しただけ
定番の設定では等速期間を用意してるがそれはパラドックスの本質ではないので初めからこれでいい
0030ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 17:27:52.02ID:Ipbd+F3T
特殊相対論でも非慣性系で記述することは問題ない
ただ一般相対論だといかなる座標系でも方程式が同じであるが、
特殊ではこれは満たされない(平坦計量にあたるものを方程式に導入すれば可能だが)
0032ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 17:35:15.36ID:???
どの本にそれを双子のパラドックスだと説明しているものがあるというのか？
お前が勝手に言っているだけだ。
00333
垢版 |
2021/12/03(金) 17:44:03.01ID:???
>>30
> ただ一般相対論だといかなる座標系でも方程式が同じであるが、

これも>>28みたいに「一般相対論では慣性系と非慣性系の区別がない」とかいう出鱈目な理解してるやついるよね。
0034ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 18:03:01.19ID:???
>特殊相対論でも非慣性系で記述することは問題ない

これって、リンドラー座標系や回転座標系などは特殊相対論の範疇だという意味か？
0035ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 18:22:14.17ID:???
平坦な時空において特殊相対論で非慣性系を記述することを問題視するやつは、
平面に極座標が張られているのを見て、座標軸が曲がっているからユークリッド幾何の範疇外、
とかいうマヌケと同じだな。
0038ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 18:30:07.22ID:???
>>34
そう、計量がフラットなことが特殊相対論の必要十分条件なので
ただし、例えば回転系で半径がある値より大きくなると速度が光速を超える
ここでは見かけ上の特異点が現れて、座標系による限界が生じることに注意
これは一般相対論のブラックホール解でもよくあること
0041ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 19:11:02.65ID:???
>>31
双子のパラドックスだよ
地球が出ていくという立場を否定できないからね
特殊相対性理論は>>4を説明できないので等価原理を援用して重力を消して説明するしかないのだ（>>11）
00423
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2021/12/03(金) 19:15:50.02ID:???
>>41
完全に壊れてるなコイツ
0043ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 19:16:06.41ID:???
>>37
斬新も何も兄からすればそうなのだから仕方ない
地球という思考実験では規模がでか過ぎて異質に思えるが兄がボールの鉛直投擲を観測したときボールが動いてることがそれ程斬新か？
この時は寧ろ兄が鉛直投擲されているという立場のほうが斬新だろうな
結局それは日常的な直感とのズレでしかない
00453
垢版 |
2021/12/03(金) 19:20:42.15ID:???
>>43
> 斬新も何も兄からすればそうなのだから仕方ない

弟が慣性系で静止してて兄はその慣性系において往復運動する、が問題のそもそもの設定で、
その上で「兄からみれば弟のほうが往復する」ってだけのこと。

だから弟基準に戻せば慣性系になるのは当たり前。等価原理など全く不要。
0046ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 19:21:36.83ID:???
>>44
既に上で説明している
君が兄だの弟だのに拘る人なら話にならないので結構だが
物理では人は重要ではなく時計であればいいので
0047ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 19:28:20.61ID:???
>>45
兄からすれば地球の発射でしかないわけだが
そしてそれはUターンしてくるだけだ>>29のようにな
兄にとってはボールを投げて返ってきた時の時計のズレを調べるだけ
お前は等価原理でそれを説明したわけだ>>11
勿論等価原理による重力消去は正しい
これは一般相対性理論の入口だ
00493
垢版 |
2021/12/03(金) 19:28:45.11ID:???
>>46
時計だろうと人間だろうと同じだよ。
お前の設定は少なくとも一般に「双子のパラドクス」と言われるものではない。
00503
垢版 |
2021/12/03(金) 19:30:10.66ID:???
>>48
再会時の年齢を比較したいだけならそれで終わり。
兄、弟それぞれにとっての相手の時間経過を問題にするならそれだけでは不十分
00523
垢版 |
2021/12/03(金) 19:31:54.41ID:???
>>47
本当jに人の話を聞かないやつだな。

> 兄からすれば地球の発射でしかないわけだが

「兄から見れば地球が往復してる」を否定してるやつはいない。
0053ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 19:35:33.91ID:???
>>49
双子のパラドックスには兄（時計1）と弟（時計2）がいるんだよ
そして兄が弟の鉛直投擲を観測して時刻のズレを調べるだけ
地球ごと鉛直投擲されることは日常的な直感では異質だがそれは飽くまで感覚の話でしかない
00563
垢版 |
2021/12/03(金) 19:49:49.59ID:???
>>53
> >>49
> 双子のパラドックスには兄（時計1）と弟（時計2）がいるんだよ
> そして兄が弟の鉛直投擲を観測して時刻のズレを調べるだけ
> 地球ごと鉛直投擲されることは日常的な直感では異質だがそれは飽くまで感覚の話でしかない

それは何に対して反論してるわけ？

二つの時計があることを否定してるやつ居る？
兄から見た弟の時間が問題であることをだれか否定した？
0057ご冗談でしょう？名無しさん
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2021/12/03(金) 19:57:32.27ID:???
ソースを出せという要求には無視か。
どういう頭をすれば自分に双子のバラドックスの内容を決める権限があるなどと思えるのか。
0058ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:14:04.18ID:???
>>56
反論も何もそれが全てだよ
時計はただ時間を刻むだけなので戻ってきたときに見比べるだけだ
そして時計1,2のズレがどうなっているか
双子のパラドックスで言われる互いに遅れてるなんてことが起きないのはそれで分かること
0059ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:18:28.61ID:???
そしてそのモデルとして>>4を解けばいいだけのこと
解き方はお前のように等価原理を用いて重力消去してもいいし消去しない方法でもよい
もはや今の時代そこで得られた結果は地上実験ですら実証可能レベルの問題になる
00603
垢版 |
2021/12/03(金) 20:22:37.37ID:???
>>58
> 時計はただ時間を刻むだけなので戻ってきたときに見比べるだけだ

> 双子のパラドックスで言われる互いに遅れてるなんてことが起きないのはそれで分かること

戻ってきた時点での時計の指す時刻が座標系で変わることはないんだからそんなことははじめからわかりきったことだ。

途中経過を問わないなら等価原理も何も一切必要ない。
0061ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:28:25.33ID:???
双子のバラドックスで時計が互いに遅れると言われるのは、
両者が静止または等速運動をしているという前提があるからなのに、
その前提を否定してしまったら、言っていることが無意味だよな。
00633
垢版 |
2021/12/03(金) 20:41:20.85ID:???
慣性系 (x, t) での固有時τは

　dτ = √(1-v^2) dt

の積分で表されるよね。出発時から再会時までの弟、兄のそれぞれの世界線にそってこの積分をすれば
再会時の両者の固有時は求まる。再会時の時計の比較をするだけならそれで話は終わり。
どういう座標系を持ってこようが固有時は変わらないからね。

途中経過、つまり

弟の固有時がτ1のときに（弟基準での）兄の固有時
兄の固有時がτ1のときに（兄基準での）弟の固有時

を知りたければ兄弟の世界線の間に対応付けが必要になる。


　　
0064ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:45:22.13ID:???
離れた地点での時刻の比較は本質的な意味はないからあまり気にしない方が議論がスッキリする
最終的に比較できる時計の時刻は時空の同地点にあるもの同士だけだ
0066ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:53:06.20ID:???
>>60
理論とその実験的検証は別物だ
>>4を等価原理を用いて重力消去するか重力を直接扱うかは自由だ
どちらにしろその結果は光格子時計を用いてズレを観測して予言と一致することを確認すればよい
00673
垢版 |
2021/12/03(金) 20:53:35.58ID:???
>>64
そだねー
0068ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:55:04.88ID:???
>>64
そうだよね、一般相対論では座標系の取り方によって相手の時刻なんてどうにでもなるから途中で比較しても無意味と思う。
特殊相対論なら兄から見た弟の時刻も弟から見た兄の時刻も一意に決まるでしょうけど、本来それにあんまり意味はないかと。
0070ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 20:59:01.68ID:???
>>64
その通り
だからボールが戻ってきた時に時計を比較する必要がある
そうでなければ一方的な等速度運動だけを考えるだけ
ここでパラドックス的なことが生じてもそれは問題にならない
0073ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 21:04:07.07ID:???
ちなみに周期的宇宙を考えて等速運動で再会するケースも考えられる
一般相対性理論ではそういう境界条件の宇宙は許されるので
0074ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 22:39:26.84ID:???
>>73
FLRW計量を前提とするなら時間成分の係数は１だから特殊相対性理論と同様に
異なる場所でも互いに静止してたら同時を継続的に定義できるよ
0075ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/03(金) 23:47:23.49ID:pjIMKrX0
まぁ、物理学ってのは現象を知ることが先で、それを表す数式なんて二の次。　関係性を深く知りたいなら数式を学べばよろし。
現象を知った段階で、この世界が違って見えるはずだ。それで良い。
0077ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/04(土) 08:20:21.07ID:pto47cF5
>>76知ってるかの様に、カッコつけるじゃん。
数式は二の次だが、数式を導く過程は1の次くらいの所にあるな。君の持ってる知識で、e=mc^2の算出過程をしめしてくれ

こんなシンプルな式なんだから、きっと余裕だろ。
0080ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/11(土) 03:02:35.51ID:28CMYF4f
なあ教えてくれ
早く動くと質量が増え、光速度では質量が無限大になるんだよな
だから光より早い者は存在しない。
これであってるよな
だが光って質量無限大か
光浴びまくっても全然重くない。
せいぜい光粒子の質量しかない
ってことは光速度でも質量は変わらず、
亜光速は存在しうるんじゃないのか？
0082ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/11(土) 03:44:35.31ID:???
>>80
>早く動くと質量が増え、光速度では質量が無限大になるんだよな

これは前時代的な考え方
今は質量は不変と考える
0084ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/11(土) 12:50:36.44ID:???
現代版の特殊相対性理論では「静止質量が保存される」と表現する。

アインシュタインの時代では、ニュートン力学の ma=F が基本的と考えている
から彼はその形式で論文を書いた。

静止慣性系から観測して一定力で加速度が光速に近づくと減少するローレンツ変換
を質量の増加として物理解釈した。
その解釈では接線方向と法線方向の質量増加が異なるという不自然な表現になる。

物理学は数学と違って物理解釈が必要不可欠であり、物理解釈からその時代の概念が
理解できる。
0085ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/11(土) 13:33:04.37ID:???
現代物理学ではローレンツ変換が基本的な物理概念であり
逆にガリレイ・ニュートンの座標変換は特殊な極限となる。
0086ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/11(土) 14:55:13.87ID:28CMYF4f
>>82
なら亜光速も存在しうるよな
0088ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/11(土) 16:45:51.46ID:yGv3DbHD
Ｓ系とＳ´系の違いが最初理解できなかったけど、(東海道下り)新幹線をＳ系、通過駅をＳ´系と考えたら解るようになった凡人です
(「固有時間とは時計が静止している慣性系で測られる時間」という記述も、時計が止まってたら時間計れねえじゃんとか)

🚄東海道新幹線が大阪方面に向かって時速300km/hで走ってる時に新幹線から見て通過駅はx方向に300km/hで過ぎて行くんだなぁと
通過駅の時計は確かにＳ´系で静止してるなと
まあ時速300km/hなんて秒速80m/s程度だけども
0095ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/12(日) 17:04:07.55ID:???
物体から見た地球の位置。
最初は加速しながら後方に落ちて行ってるが、25秒過ぎたあたりから減速に転じてる。
http://softwareglass.x0.com/TheoryOfRelativity/AcceleratedMotion/tmp4-1.png

最終的にはほとんど動かなくなってくる。
このあたりが等加速度運動における事象の地平面（リンドラー地平面）
http://softwareglass.x0.com/TheoryOfRelativity/AcceleratedMotion/tmp4-2.png
0099ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2021/12/12(日) 18:47:33.84ID:???
いやいや特殊相対性理論で非慣性系は扱えないという人がいたからその話題だろ
こうやってグラフで視覚的に示してくれるのはありがたい
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