↓のような説明が書いてある本がないのはなぜでしょうか？
↓のような説明だと回転行列を使って説明できて便利だと思います。
普通は、ベクトル r と、ある座標系と、それを回転させた座標系を描いて、幾何学的に説明します。



2次元のある座標系で (x, y) と表される点は、座標系を θ だけ回転した座標系では、

X = cos(θ) * x + sin(θ) * y
Y = -sin(θ) * x + cos(θ) * y

である X, Y を用いて、 (X, Y) と表されます。

このことを説明するのに、新しい座標系から見たベクトル r の見え方は、
古い座標系から見た r を -θ だけ回転させた r' を古い座標系から見たときの見え方に等しい。

よって、ベクトル (x, y) を -θ だけ回転させたベクトルの成分と (X, Y) は等しい。