ゼーマン項だけのハミルトニアン H = -hS^z だとしたら
定義通り分配関数 Z = Tr(exp(-βH)) を計算するだけ
トレースなんて知らんというなら n 番目のエネルギー固有値を E_n として Z = Σ_n exp(-βE_n)
E_n の取りうる値は例えば E_0 = -hS, E_1 = -h(S-1), E_2 = -h(S-2), ..., E_(2S) = hS.

それと演算子のハットを省略することは普通にある