三角形obcの力の釣り合いを考えれば、bcに平行な方向の力の釣り合いを満足するし、bcに垂直な力の釣り合いも満足する。かな。

>「鉛直要素obの伸びは、水平要素oa,ocの収縮に等しく」→これは、上下にσで引っ張られ、左右に同じ力σで圧縮されるので、同じ変形量になるという理解で良いでしょうか？

よい。

δを微少量とすれば、δの定数倍を1次の微少量、δ^2の定数倍を2次の微少量、δ^3の定数倍を3次の微小量…という。

Ob=Oc=xとして、Obの微小な伸びをδ、Oa、Ocの微小な収縮をδとすると、応力を受けているときのab、bcの長さは、
√{(x+δ)^2+(x-δ)^2}=√{2x^2+2δ^2}≒(√2)x{1+(1/2)(δ/x)^2}
δが小さいときは2次の微少量(1/2)(δ/x)^2は無視して良いくらい小さいのだから無視すると、ab、bcの長さは(√2)x。
これは元の長さと同じだから、ab、bcの長さは応力によって変化していないと結論して良い。
以上がその本の言っていること。