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力学･解析力学part2

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0001ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/09/17(金) 13:24:20ID:???
ここは学部程度の力学・解析力学のスレです
キーワード
ニュートンの３法則、質点、運動量保存則、エネルギー保存則、角運動量保存則
慣性モーメント、変分原理、一般化座標、一般化運動量、ハミルトン-ヤコビ方程式
ラグランジアン、ハミルトニアン、正準変換、正準共役、不変性と保存則、母関数
ネーターの定理、ポアソン括弧式、シンプレクティック幾何学
0049ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/10/29(金) 20:23:12ID:/vt8Bogl
ブラックホールは電荷、ブラックホールの２連星は磁値になるんじゃなかろうか、しらんけど
0051ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/08(月) 20:41:07ID:???
地球を密度一様な球体と見なしたときに、
中心を通る風穴を空けてそこから物体を落下させ、
手元まで戻ってくるまでにかかる時間が
第一宇宙速度で地球を一周する時間と等しいですがこれは…
0053ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/10(水) 22:03:53ID:???
>>52
でも、人工衛星のほうは地球全体に引かれているけど
穴の物体のほうはいわば内側部分だけに引かれているから
両者の周期が一致するのはやっぱり面白い。

ああ、これは調和振動子の周期が振幅によらないからだね。
0055ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/16(火) 22:17:16ID:w9C4XALi
なぜラグランジュ形式以外にハミルトン形式が必要なのか？
0056ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/16(火) 22:46:35ID:???
自分も同じ疑問を持っていていろいろ探したら
ウイキで「シンプレクティック幾何学」という項目にヒットした。
自分(低)にとってハードルが高い。引用しとくけど

ハミルトン形式においてもっとも特徴的なことは、方程式が対称的であり、
かつ、一般化座標と一般化運動量の二つが独立に扱われることである。こ
の事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合が
よいことを意味する。なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性し
か扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間（=配位空間の余接バンドル）
上の対称性をも扱うからである。つまり、ハミルトン形式の方がより多くの
変換が許容される。
==引用終わり
0057ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/16(火) 22:51:05ID:w9C4XALi
>>56
ありがとう。
勉強になりました。
0059ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/17(水) 07:22:47ID:???
そのへんは
レベルの低い大学で物理スレよくに出てくる東大数学科(650)さんあたりが
解説してくれるとありがたい。
0063ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/18(木) 08:19:09ID:???
接空間とは
なんらかのベクトル関数を時間微分したヤツ
あるいはスカラー関数を偏微分して基底ベクトルで線形結合したヤツの
全体の集まり。
でいいかな？
0064ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/18(木) 14:13:46ID:???
つまり、何かしらのベクトルを微分したものの集まりを接空間というんですね。
物理で言えばベクトルというのは状態ベクトルなどのベクトルも扱ってもよいのですか？
0065ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/18(木) 17:30:47ID:???
というより微分作用素のなすベクトル空間が接空間。
多様体の入門書で基本的なことを抑えておくといいよ。
0067ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/11/19(金) 06:56:20ID:???
スマソ
なにぶん(低)な学校なもんで、
「解析力学と微分形式 (現代数学への入門)」 深谷賢治著で
勉強してみます。
0069上げてみる
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2010/12/11(土) 05:19:44ID:???
今の解析力学はシンプレクティック幾何学まで踏み込んでやるの？
0070ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/11(土) 18:09:16ID:nMkb1I2P
あそこまでいったら物理じゃない。
0072ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/20(月) 10:10:13ID:QzZEvhXT
セックスも？
0073定期メンテ
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2010/12/25(土) 07:43:56ID:???
「解析力学・量子論」須藤靖著という本買った。
その41pの下の方に
概要
「ニュートンの方程式からでも、エネルギー運動量角運動量の保存則は
導けるが、それを何回繰り返したところでも、それらの起源が時空間の
持つ対称性にある結果には到達できまい。ラグランジュ形式のおかげで
それに到達できる・・」
ちょっと夢を砕くような内容でした。ぜひお読みになってください。
0076ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/25(土) 21:57:14ID:???
ニュートンの方程式から保存則を導く場合単に時間にたいして一定の積分定数が出るって事しか示せない。

別に夢を砕くも何も無いと思う。
ニュートンの運動方程式はイメージングは素晴らしいと思うけど、その考えをいつまでも持っていてもなぁ…。ラグランジュ形式というのも偉大なものだとおじさんは思うぞ。
場の量子論とかまで勉強してても未だにラグランジアンとか出てくるあたり、ニュートンよりもっと深みがあって面白い内容を持ってるんじゃないかなって個人的には思う。
確かに初期段階ではニュートンの方程式だけでどこまでやれるか、とか気になるとは思うけど。
0078ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/25(土) 23:14:03ID:???
運動量保存則は作用反作用の法則の反映ですね。内部で相互作用する複数の
粒子系で孤立しているなら結局一個の粒子に見なせるわけで、それが等速
直線運動しているのと同じになります。等速直線運動をよく考えてみると
入れ物としての空間のあり様を規定していると思うのです。トンデモかも
しれません。
ラグランジュ形式はなんとなく数学のロピタルの定理にみたいに強力過ぎる
感じがします。
0079ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/26(日) 23:40:41ID:???
>>78
ロピタルの定理ってそんなに強いのか？
証明の仕方からすると、ロピタルの定理ってそこまで強くない気がする。
そしてほとんど使うことが無いというのもポイント。
ラグランジュ形式様はどんな（言いすぎ？）状態でもラグランジアンが書き下せればあとは形式算によって運動が分かるのが魅力。全然比較にならん。
0080ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/26(日) 23:54:02ID:???
私には「強力過ぎる」と言う価値判断が良く理解できない。
強力な定理があると言うのは普通、嬉しい事だと思うのだが。
0082ご冗談でしょう？名無しさん
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2010/12/26(日) 23:56:41ID:???
強力過ぎて胡散臭い、本当にそんなにいつでも通用するの？と言う疑いを持ってると言うならそれはそれで分かるけど。
008378
垢版 |
2010/12/27(月) 06:54:22ID:???
高校の時ロピタルの定理を使ったら減点された。

82さんに近い、つたない文章ですまんが
強力というのは
運動方程式の直角座標から極座標への変換も楽になる。
胡散臭いと感じるのはランダウの本では最初にラグランジァンありき から
はじめているが実はラグランジァンの形は方程式に合うように決めている。
これ見てラグランジュ形式がそんなにエラくはないと感じる。

エネルギー運動量保存則の起源が時空の並進対称性から来ていることを
ニュートンの三法則から導けないのかなと願っている。
0084定期あげ
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2011/01/12(水) 23:25:59ID:???
「解析力学・量子論」によると
第二法則は力と質量と加速度の関係を述べたものであり、
この式をよく"力の定義式"と主張する人がいるが不適切だとのこと
それだと第二法則の意味を失ってしまう。力は別に定義するとある。
この本の解説だと力はすでに分かっているものとして進めなければ
ならないのでは。
0086ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/01/14(金) 08:21:06ID:???
＞力は別に定義するとある
最後はどうしても定義できない語句がある。日常的に
既によく知られた概念では、無定義語句のひとつである。

ここでは運動状態を変える働きでいいと思う。あいまいになるけど
しかたない。
0091ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/01/28(金) 01:42:47ID:???
V(ｒ) = -k/|r|　で表わされる中心力の中での質点の運動について。

初期条件は、ｒ↑(t=0) と ｖ↑(t=0) で６成分ありますが、
対応する保存量は、エネルギーE、角運動量Ｌ↑ の４成分しか無いんでつか？
0092ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/01/28(金) 02:06:55ID:???
>>91
それは変ですねぇ。

実はもう一つの保存量があります。
これは Laplace-Runge-Lenz のベクトルと云って、
　Ａ = ｐ×Ｌ - mkｒ/|r|,
　Ｌ = ｒ×ｐ,
　ｐ = mｒ'　　　　{ ' は時間微分(d/dt)}
と定義されます。×はベクトルの外積です。
この式には中心力の強さを表わす定数mkが入っています。
また、明らかにＡはＬに垂直ですから、実質的には２成分です。
次に Ａ' = ０　を示しましょう。
〔補題1〕
　m|r||r|' = (m/2)(|r|^2)' = (m/2)(ｒ･ｒ)' = m(ｒ･ｒ') = (ｒ･ｐ)
〔補題2〕
　　m(ｒ/|r|)' = mｒ'/|r| - m|r|'/|r|^2 ｒ
　　　　　　 = ｐ/|r| - (ｒ･ｐ)/|r|^3 ｒ
　　　　　　 = {(ｒ･ｒ)ｐ - (ｒ･ｐ)ｒ}/|r|3
　　　　　　 = -ｒ×(ｒ×ｐ)/|r|^3
　　　　　　 = -ｒ×Ｌ/|r|^3,
これらより、
　Ａ' = (ｐ×Ｌ)' - mk(ｒ/|r|)'
　　　= (ｐ×Ｌ)' + kｒ×Ｌ/|r|^3
　　　= {ｐ' + kｒ/|r|^3}×Ｌ + ｐ×Ｌ'
　　　= {ｐ' + kｒ/|r|^3}×Ｌ + ｐ×(ｒ×ｐ')
よって ｐ' = -∇{V(ｒ)} = -kｒ/|r|^3　のとき Ａ' = ０　となり、Ａは保存しまつ。
0093ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/01/28(金) 02:14:38ID:???
>>91-92
それから何が分かるかって？

最近点、最遠点では |r|' =0, 補題１より (ｒ･ｐ) = 0,
　Ａ = ｐ×Ｌ - mkｒ/|r|
　　 = ｐ×(ｒ×ｐ) - mkｒ/|r|
　　 = |p|^2･ｒ - (ｐ･ｒ)ｐ - mkｒ/|r|
　　 = {|p|^2 - mk/|r|}ｒ
となり、Ａはｒに平行になる。
∴　Ａは最近点、最遠点の方を向いている。
∴　上記の中心ポテンシャル中では最近点、最遠点の方向は変わらない、
ってことでつね。
まあ、楕円軌道だから当然か････
0094ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/01/29(土) 20:16:33ID:0vBYb/NO
１）半球の微笑質量の出し方がいまいちわかりません

２）
　　　　　　（Ａ)━□　

長さ２Ｌ質量ｍの棒(右の□)が　水平で制しした状態から重力によって点Ａ（左端
まわりに回転し、角度θだけ回転したときの棒の先端の速度ｖ
を求めよで
Ａ周りの慣性モーメント７/3　ｍｌ＾２までもとめました
そのあとのＫ＋Ｕ＝０のＵの求め方とＵがなんなのかをおしえてくださいｍｍｍｍｍｍ
0096ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/01/29(土) 20:22:27ID:0vBYb/NO
>>95
すみません
微小質量ですｍｍ
0098ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/02/07(月) 00:36:40ID:???
現在力学を初めていますが、ニュートン関連で引っかかっています。

問：長さ150cmの真っすぐな棒があり、左端から30cmに質量4.0kgの物体、
　　左端から120cmに質量5.0kgの物体がある．
　　左端を回転可能な軸に付け、右端を手で支えて、棒を水平に保つ。
　　この時、手に加わる力が何Nか求めよ。ただし、重力加速度を10m/s^2とする。
　　また、回転軸に加わる力の大きさが何Nかも求めよ。

という問題です。どのように手を出して行けばいいのか分からないです。
ご教授願います。
0101ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/02(水) 03:51:33.99ID:LeerNHos
運動力学の質問なんだが、身体重心位置の推定方法の重心板を使って求める長所と短所を誰か答えてくれまいか。
0105ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/11(金) 00:19:43.23ID:1FdNEyvg
　日本における911史上最大のイベント、きくちゆみvs菊池誠教授の討論会！

「911事件公開討論会」公式ウェブサイト
http://911social.net/

自由落下速度で崩壊するWTC第7ビルの動画
http://www.youtube.com/watch?v=LD06SAf0p9A
0106ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/11(金) 14:44:18.75ID:???
ラグランジュ形式は実際に問題を解くのに有効なのはわかるけど、
ハミルトン形式って何がうれしいの？
解こうと思ったら結局二階の常微分に直すんでしょ。
教科書にもラグランジュの例題はあるけどハミルトンの例題のってないし。
0108ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/11(金) 20:01:18.41ID:???
位置と運動量が対等に扱える。正準方程式に対して位置と運動量の入れ替え
てに際してある種の対称的がある。ということは位置の変数とか運動量の変数
とかこだわる必要がない。方程式の形が変わらないようにする変換つまり
正準変換でいろいろ選べば保存則との結びつきが明瞭になる。
その他量子力学に応用できるなどメリットはある。
なおオレ三流大なので解説にはまゆつばもあるのでその点スマソ。
0109ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/12(土) 15:29:50.12ID:???
その通りだね、ラグランジュ形式では絶対に発見出来ない対称性が見つかる
あと、力学系の安定性の絡みでハミルトン形式の方が性質が良いみたいなことが山本義隆に書いてあった（そこは読んでないんだけどｗ）
0111ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/16(水) 18:59:39.45ID:A3APIzAI
形式をどう変えようと結局運動方程式を解いてるだけ。
0112ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/16(水) 19:06:49.40ID:???
むしろ解析的に解けない時に大雑把な解の振る舞いを調べるのに
都合がよかったりする＞ハミルトン形式
0113ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/17(木) 08:00:51.40ID:A4f/EU2G
関靖俊が被差別部落民だから起きたことだろ？
部落のこの男が教員をやったら、街が穢れるがなｗ

実父は被差別部落で、関靖俊の実母は朝鮮人！
府営住宅の穢多で、関靖俊は被差別部落で間違いなし！
関靖俊は被差別部落でありながら、在日朝鮮人の権利を主張している。
関靖俊に対し「被差別部落！被差別部落！被差別部落！」の大合唱が
絶えないが、事実そのものだろ。
被差別部落の関靖俊が下着泥棒を繰り返しているそうじゃないか。

実父は被差別部落で、関靖俊の実母は朝鮮人！
府営住宅の穢多で、関靖俊は被差別部落で間違いなし！
関靖俊は被差別部落でありながら、在日朝鮮人の権利を主張している。
関靖俊に対し「被差別部落！被差別部落！被差別部落！」の大合唱が
絶えないが、事実そのものだろ。
被差別部落の関靖俊が下着泥棒を繰り返しているそうじゃないか。

実父は被差別部落で、関靖俊の実母は朝鮮人！
府営住宅の穢多で、関靖俊は被差別部落で間違いなし！
関靖俊は被差別部落でありながら、在日朝鮮人の権利を主張している。
関靖俊に対し「被差別部落！被差別部落！被差別部落！」の大合唱が
絶えないが、事実そのものだろ。
被差別部落の関靖俊が下着泥棒を繰り返しているそうじゃないか。
vt54
0114ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/18(金) 02:40:26.86ID:jg+NXGmA
ハミルトン・ヤコビの方程式を使用して解こうとすると､楽な問題もいたずらに難しくしませんか？

存在意義がわからないのですが・・・
0117ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/20(日) 14:13:17.05ID:???
ニュートン力学では初期条件から運動の状態が決定される。
解析力学では始点と終点によって運動の状態が決定される。
そしてこの二つの考え方は等価である。素晴らしい！
0119ご冗談でしょう？名無しさん
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2011/03/20(日) 19:09:52.25ID:???
始点と終点を決めないとならない解析力学ってカスじゃね？
終点がわかってんなら計算する必要ねェじゃん。
0122ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/03/31(木) 17:34:23.64ID:t51op+3q
とりあえず、変分法が最初のステップですね
0123ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/03/31(木) 18:06:10.66ID:???
>>10
＞相互作用を必要とせずに定義可能な物理量ってのは存在しえないのかな？

少なくともそれは可観測量ではないのではないか？
何故なら、観測には必ず物理的相互作用が伴うだから。
0125ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/06(水) 20:44:41.45ID:iR9KusML
会社で材料力学を駆使しないといけないんだが
俺は数学苦手で今勉強しているが基礎中の基礎でつまづいてる・・・。
単純梁の計算の勉強にすらまだ入ってない。

ここのひと、教えてくれー

とりあえずは不静定問題がわからん！
0127ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/06(水) 21:31:27.63ID:iR9KusML
>>おすっ
0129ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/07(木) 14:59:51.33ID:???
接束上のラグランジュ力学に対して双対変換を行うと余接束上のハミルトン力学が得られる。
こう言うところが実に面白い。
解析力学をこのように幾何学と言う視点から眺めると、より深い洞察が得られる。
0134ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/11(月) 21:17:21.11ID:???
　　　　　　　　＼　　　　　　|l　　　 　 　 //　 　 　 ／
　　　　　　　　　 ＼　 　 　 ＿　　　　　//　　　 ／
　　　　　　　　　　　＼、-'´.:ｘミー-　、 ′　 ／
　　　　　　　　　　／/.:::/.::/　　｀ｰ-、l　　／
　　　　　　　　　/彡′/.::/‐-､　 　 |:::|　　　　“虚蹴跳”！！
　　　　　　　　 /ヘ/.:〃.:l＜ｏｭ　ｒ-､!:::|
.　　　　　　　　|{ (/.::::l:::::| u　　 （oｭ.|::::ﾄ、　　　　　―==ニ二
.　　　　 　 , -‐|ﾞﾄ!:::::::|:::::|　　 　 ﾉ　 !::::|::l
　　　　 ／..:::::ﾉﾘ ﾚ!::::|:::::|　≦=ュ　/.:::: /|　　　以前 兄上が
　　　 /.::::.:／ /　 .|::: !::N.　　￣　/.::::::/.ﾉ
　　　イ::／ |￣￣｀W::::|　､_　　 /l:::::::::|　　　　 見せた技！
　　　 ﾚ' ／|＼ :::::::　|:::|　 ./ ￣　 ＼N
　 , -‐ｸ´.:.:.|::::::＼::: :::ﾍ|ｰ┴≧　　　　　　 　 ＼、 ＼
／.:.:.:/ |:.:.:.:.＼::::::::::::::::::::::::::／　　|ｌ　　　　　　　＼　 .＼


.　　　　　　　　　　　　　/⌒ヽ＿　　　　　　 .落下直前に
　　　　　　　　　　　 r‐ｆ{.:.:.:.:.:bﾄ､ヽ　　 　 　 後足で前足を
　　　　　　　　　　　 ﾄ､! ト､_ノ | ∨}､　　　　 蹴ることにより
　　　　　　　　　　　/　| l　ﾘ　/　| 　|　
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　　　　　　　　　くｒ‐''´＿＞┬ ´`ー｀ヽ
　　　　　　　　　/ /´　＿_／!`ー‐-､三≡　 変 型 縮 地 ！！
　　　　　　　　　|/　 /´　　_⊥__　≡＝ﾉ
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0136ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/13(水) 18:16:33.60ID:bi2o1hTE
ランダウの力学の§２でラグランジアンには時間の完全微分項df(q,t)/dtの任意性があると
ありますがこの変数ｑはｑドットを含んじゃ駄目ですかい？
0138ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/13(水) 18:45:00.35ID:???
ありがとうございます。
qドットは最初(1)と最後(2)で変分が０でなくてもいいのですね。勘違いしてました。
0139136
垢版 |
2011/04/13(水) 23:06:44.76ID:bi2o1hTE
ひょっとするとこいつは位置エネルギーの基準点をどこにとってもいいことと関係しますか？
0143ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/16(土) 18:31:47.86ID:???
ランダウの§3で、空間と時間が一様かつ等方である基準系を「つねに見出すことができることがわかる」、とありますが、なんでわかるんですか？
0144ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/16(土) 18:50:02.69ID:0jKprsI1
§4のラグランジアンがv^2の関数になるのはなんでですか？
方向に依らないから速度の絶対値、まではわかるのですが2乗の理由がわからない。
0146ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/16(土) 23:19:45.40ID:???
>>143
それは経験的にってことだと思ったなあ
つまり力が働いてない物体(質点系)が等速直線運動し続けるような
系を選べばいいわけで...

>>144
|v|の関数ならv^2の関数でしょ
0147ご冗談でしょう？名無しさん
垢版 |
2011/04/17(日) 12:29:43.26ID:???
>>146
ありがとうございます。

経験則ですか。まあ空間と時間は一様等方ってのはあまり抵抗無いからいいか。

|v|からv^2は微分可能な関数が定義できるから問題ないのか。
こんな理解で大丈夫なのやらｗ
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