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モンティホール問題で思ったことがあるんだが聞いてくれ [無断転載禁止]©2ch.net
0001Nanashi_et_al.2017/07/02(日) 22:07:16.22
モンティホールと同じ感じのトランプの問題で、答えが1/4か10/49かで揉めた問題あるじゃん?
それで思ったことがあるんだけど聞いてくれ。

【問1】
計100個のボールが箱に入っていて、白が99個、黒が1個入っている。
Aくんは最初目をつぶって1つ取り出した。
残りの生徒が合計98個のボールを取り出したところ、偶然全て白だった。
このとき、Aくんのボールが白である確率はいくつか?
→答え1/2

【問1】
計100個のボールが箱に入っていて、白が99個、黒が1個入っている。
Aくんは最初目をつぶって1つ取り出した。
残りの生徒が合計98個の白のボールだけを、箱を見て取り出した。
このとき、Aくんのボールが白である確率はいくつか?
→答え99/100

っていうことでおけ?
0010男は黙ってFORTRAN2017/07/31(月) 18:45:36.54
98個が白だった事はA君にもわかってる
自分のと99個の残り1個の双方の確率が上がったと考えるのでは?
0011Nanashi_et_al.2017/08/01(火) 07:36:15.20
問1の答えは99/197でね?
0012Nanashi_et_al.2017/08/16(水) 04:29:16.43
>>1と自分で求めたい回答の定義が違っている可能性も考えてあえて2パターンの回答を記す

残りの生徒が98ヶのボールを取り出そうが出すまいが
A君が100個のボールの中から黒を取り出す確率は1/100

残りの生徒が98ヶの白いボールを取り出した結果を見た上で
A君が持っているボールが白である確率は1/2

残りの生徒が白いボールを選んだのが偶然であろうが故意であろうが確率は上記のどちらか
0013男は黙ってFORTRAN2017/08/16(水) 08:40:23.95
モンティホールはシミュレーションで証明されたとか聞くんだが、どんなアルゴリズムだったんだろう
納得いってない
0014Nanashi_et_al.2017/08/16(水) 16:02:59.37
>>13
ディスカバリーチャンネルでやってた番組「怪しい伝説」で
実際に何十回もモンティ・ホール問題を実行して
選択を変えた場合の正解率が間違いなく2/3に近くなることを確認してたな
0015Nanashi_et_al.2018/02/14(水) 01:25:38.53
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0016Nanashi_et_al.2018/03/31(土) 19:13:38.98
じゃあ、こう問うてみよう。

クイズの司会者と回答者がいる。
ABCの3つのドアがあり、その一つが正解であり他はハズレである。
司会者は正解のドアがどれかを知っている。
回答者にそのうちの一つを選んでもらう。それがAだったとしよう。
そこで司会者はAを「除外」して
「BとCのうちでハズレを一つだけ教えてあげよう」とハズレのドアを開けた。
そのハズレのドアはCだった。Cはここで消えた。残りのドアはAとBである。

さて、司会者による検定を通ったBのドアと検定すらされなかったAのドア、
どちらがより正解っぽい度合いが僅かでも高いと感じる?
深く考えないで人間の直感で答えて。
0018Nanashi_et_al.2018/04/04(水) 18:46:37.12
最初の段階で下のように3列3行の可能性がある。
[T]FF [F]TF [F]FT
T[F]F F[T]F F[F]T
TF[F] FT[F] FF[T]
Tが当たり、Fがハズレを意味する。
[]は回答者が最初に選択した扉を意味する。

その全ての可能性からハズレのFを1つ取り除く。
ただしこのとき、回答者が最初に選択した扉がハズレかどうか
そこの種明かしだけはしない。ここがいちばん重要。
そのため、これらの各要素から[F]を残してFだけを引き算する。
そうすると
[T]F [F]T [F]T
T[F] [T]F [F]T
T[F] T[F] F[T]
になる。

回答者が選択した扉
[T] [F] [F]
[F] [T] [F]
[F] [F] [T]
※[T]は3つ。

回答者が選択肢なかった扉
F T T
T F T
T T F
※Tは6つ。

後者のほうが当たりを意味するTの数が多いのは一目瞭然。
後者は回答者が最初に選択しなかった扉を意味するから
選択を変更して選択しなかったほうに乗り換えたほうが有利なことが分かる。

しかしこんなことをしなくてもこの文章題さえ回答者が理解すれば、
数学の教養ゼロで人びとは直感によって後者を選択するはず。
モンティホール問題は数学問題じゃなくて文系問題。
0019Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 03:28:59.97
[]が回答者が最初に選択した1のドア、
{}がモンティ氏が開けた3のドア。
Tが当たり、Fがハズレだとすると、

[T]F{F} [F]T{F} [F]F{T}

しかしこのいちばん右はTを開けてしまうことになるので
このケースはないことになる。よって、

[T]F{F} [F]T{F}

に絞られる。{F}を取り除くと

[T]F [F]T

になるが、1(左)から2(右)に乗り換えたほうが得か?
そんなことはないね。
0020Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 09:41:21.67
>>19
本当は18の議論が正しいことはわかっているのに,
問題の一部だけ取り出して混乱させる,
ゼノンのパラドックス的な議論だな。
ちょっと面白い。
0021Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 11:01:35.59
いやいや本当は>>19が正解。
マリリン・ヴォン・サヴァントさんが間違えて
数学者のほうが正しかった。
0022Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 13:46:01.09
>>21
エルデシュも19みたいに答えた後で,
間違いを認めたらしいよ。
0023Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 17:17:53.32
マリリン・サヴァント氏は大学の哲学科出身(中退)で
一方、ポール・エルデシュ氏はたくさんの天才を輩出している
ユダヤ系ハンガリー人の数学者(離散数学の業績が多い)で、
グラフ理論や集合論や確率論でも業績のある人物だよ。

そんな人物が哲学科中退の文系女子に解ける問題が解けない
なんてことが本当にあるの? そんなバカな。
0024Nanashi_et_al.2018/04/05(木) 17:49:44.69
>>23
エルデシュは,はじめ,
モンティ氏が必ずはずれのドアを選んで開けるんだ,
というのを知らされていなかったらしいよ。
0025Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 01:55:19.35
モンティホール問題をその出題文に基づいて整理してみる。

1. 1番2番3番の3つのドアがあり、
いずれか1つのドアの背後にはクルマ、他にはヤギ。

Cがクルマのドア、Gがヤギのドアだとすると
CGG GCG GGC
の3通りが考えられる。

2. 回答者が1番のドアを選択する。

それを[]で囲むと
[C]GG [G]CG [G]GC
となる。

3. ドアの背後に何があるか知っている司会者が3番のドアを開ける。
するとそこにヤギがいた。

司会者が開けたドアを{}で表すと
[C]G{G} [G]C{G} [G]G{C}
だけど、 [G]G{C}のケースはクルマのドアを開けてしまうことになるから
この可能性は消える。よって
[C]G{G} [G]C{G}に絞られるのでこれらから{G}を除去すると
[C]G [G]C
となる。

4. 司会者が回答者に訊く。「2番のドアに変更したいですか」
回答者は2番のドアを選ぶことでクルマを当てやすくなるだろうか。

[C] [G]
G C

Gを選ぶ可能性は五分五分に見える。どこで間違えた?
0026Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 01:57:19.78
ごめん。Cを選ぶ可能性だ。
0027Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 13:19:41.72
>>24
エルデシュ氏はサヴァント氏の出題記事を読まなかったのかなあ?
そこが最大の疑問だったので調べてみたけど、
エルデシュ氏のその読解が正しいと思えるんだよねえ。

サヴァント氏の出題文では、
1. 回答者が最初に選ぶのはNo.1のドア、
2. その後、司会者が開くのはNo.3のドア、
3. その後、司会者が回答者にNo.2のドアに変えたいかどうかと尋ねる。

こういう問題だからエルデシュ氏のような回答が出てもなんら不思議じゃない。
むしろエルデシュ氏が正しい。

サヴァント氏が正しいためには
1. 回答者が最初に3つの中の1つのいずれかのドアを選ぶ。
2. その後、司会者がヤギが背後にいる残りのどちらかのドアを開く。
3. その後、司会者が回答者に選ぶドアを変更したいかどうかと尋ねる。
という出題形式でなければならない。
0028Nanashi_et_al.2018/04/06(金) 19:20:40.99
モンティ・ホール問題はモンティ・ホール事件とでも呼べるもので、
ベイズの公式に頼らずとも、小学生低学年レベルの簡単な算数で解ける。
しかし、多くの博士号をとっている理系の人間が理解できなかった。
理系が文系に完敗した屈辱的事件だったんだよ。
0029Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:34:22.11
問1は、目隠しでとったのを
 白とすると、1/2
 黒とすると、0
 よって、(0+1/2)/2=1/4
ってことじゃない?
0030292018/04/10(火) 01:35:48.93
あー黒の確率じゃなく白の確率だったか
0031Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:40:15.36
一つ目の問題は

1つ目が黒だったら 1
1つ目が白だったら 1/2

(1+1/2)/ 2 = 3/4 ってことない? 
0032Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:46:18.47
下の問題は、最初に白・黒どちらが選ばれたとしても
白は最低99個あるわけだから白98個は常に選ばれるので
なにも影響あたえないよね。

最初の抽出だけが問題になるので99/100でしょうね。
0033Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 01:53:33.84
あ、>>31 まるきり間違ってるわ〜〜
0034Nanashi_et_al.2018/04/10(火) 02:01:46.93
ひとつめは、197/198 じゃないかな。
1つ目
黒だったら99/99=1
白だったら98/99
(1+98/99)/2=197/198
0035Nanashi_et_al.2018/06/10(日) 21:27:34.47
>>25
>回答者は2番のドアを選ぶことでクルマを当てやすくなるだろうか
やってみた事はないから何とも言えんが実際にはならんと思うけど・・・
0036Nanashi_et_al.2018/06/18(月) 01:13:51.00
三択を当てるモンティ・ホール問題は以下のように説明すればめちゃわかり易いよ。

A君が最初に扉を選択して当たる確率は1/3
つまり2/3の確率で外す
最初に外した場合は必ず残った方の扉が正解になるので、つまり最初に2/3の確率で間違った扉を選択した場合必ず正解の扉を選択できる。
従って扉を変えた方が正解になる確率が高い

2/3 > 1/3

なので。
0037Nanashi_et_al.2018/06/25(月) 04:54:58.88
選択を変えても変えなくても1/2で変わらないと考えた人の直感がなんであったか、
その1つを想定してみよう。

1は当たり
0は外れ
[]は回答者が選択するドア
()は司会者が開けるドア
以下は起こり得るケース

[1]0(0) [0]1(0) [0]0(1)
[0]1(0) [0]0(1) [1]0(0)
[0]0(1) [1]0(0) [0]1(0)

[1](0)0 [0](1)0 [0](0)1
[0](1)0 [0](0)1 [1](0)0
[0](0)1 [1](0)0 [0](1)0

18ケース中[1]を持つのは6ケース:6/18=1/3

この中から起こり得ないケースを消そう。
司会者が当たりである1のドアを開けることはないので
(1)を含むケースは起こり得ない。そのケースを取り除いてみよう。
残ったケースは次のとおり。

[1]0(0) [0]1(0)
[0]1(0) [1]0(0)
[1]0(0) [0]1(0)

[1](0)0 [0](0)1
[0](0)1 [1](0)0
[0](0)1 [1](0)0

12ケースに減った。
12ケース中[1]を持つのは6ケース:6/12=1/2

じゃあ、マリリンさんの提案どおり選択ドア[]を乗り換えてみよう。

1[0](0) 0[1](0)
0[1](0) 1[0](0)
1[0](0) 0[1](0)

1(0)[0] 0(0)[1]
0(0)[1] 1(0)[0]
0(0)[1] 1(0)[0]

12ケース中[1]を持つのは6ケース:6/12=1/2

どちらも1/2で変わらない、という結論が得られる。

マリリンさんの発想はすごくシンプル
100 010 001 (3/9 = 1/3)
00 10 01 (2/6 = 1/3)
0 1 1 (2/3)
0038Nanashi_et_al2018/06/26(火) 21:41:34.35
これってちょっと国語要素のある問題だね

>>1
下の問いはA君の取り出しが全て試行にカウントされるが、
上の問題はA君の取り出し後に残り98人全て白でないと試行にカウントされない。

上の問題でA君のボール取り出しを「敢えて」試行とするのなら
黒を出す確率は1/100 (最初に黒なら残り98人は必ず白になる)。
白を出す確率は(99/100)・(98/99)・(97/98)…(2/3)・(1/2)=1/100 (A君+98人=99人が白を出さないといけない)。
残りの98/100は98人の誰かが黒を取り出して失敗ってことになるのか。
失敗を除けば確率は1/2になる。

つまり上の問題は、残り98人が白であるうちでA君が白である確率はいくつか?と言い直せるのか。
焦ったり頭に血が上ってる状態だと正解する気がしないなぁ。
0039Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 15:48:02.31
そもそもマリリンさんの問題にも>>1さんの問題にも「試行が繰り返される」なんて一言も書かれていないのがポイント。
しかしそのシミュレーションではなぜか最初から「試行が繰り返される」ことが前提になっている。
0040Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 15:53:37.81
人生、何度でもやり直せるなら選択を悩まない。

仮に試行が繰り返せるとしても、マリリンさんの問題の場合、
車と山羊の順列がランダムに入れ替わることが暗黙の前提になっていない?

順列をゲームが繰り返されるたびに並べ替える人がいて、その人に癖があり、
1番目のドアの後ろに車を置く確率が高かった場合はどうなるの?
0041Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 15:53:38.15
人生、何度でもやり直せるなら選択を悩まない。

仮に試行が繰り返せるとしても、マリリンさんの問題の場合、
車と山羊の順列がランダムに入れ替わることが暗黙の前提になっていない?

順列をゲームが繰り返されるたびに並べ替える人がいて、その人に癖があり、
1番目のドアの後ろに車を置く確率が高かった場合はどうなるの?
0042Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 23:36:12.68
>>39
38だけど、モンティホール問題っぽいのは>>1の下の問題ってことなんだよね。
私は上の問題でちょっと悩んでしまったw。私の脳ミソはひねくれてるのかw。

>>1の下の問題をモンティホールっぽく修正するには、
黒ボールを景品の車として、目をつむったまま最初に選んだボールと箱に残った最後のボールとを交換するかどうか、ってことだよね。
この場合圧倒的に交換した方が良いねw。98個もハズレを捨ててくれると考えると何故だか分かり易いという不思議ww。

マリリンさんもすごいけど、このゲーム企画を発案した人が一番の策士だったりして。

>>40
>>37のケースの書き方だとちと分かり難い気もする。
18通りのケースは
[1](0)0 [1]0(0) 1[0](0) 1(0)[0] (1)[0]0 (1)0[0]
[0]1(0) 0[1](0) (0)[1]0 (0)1[0] [0](1)0 0(1)[0]
[0](0)1 (0)[0]1 (0)0[1] 0(0)[1] [0]0(1) 0[0](1)
と書き直せる。(各行の右2つは実際にはないが、1回目のドア選択での確率計算に使う)

解答者が癖を知らなければやはりドアは変えた方が良い(1行目のみを考える)。
番組を何度も見て癖を知っているのなら1番目のドアを選んだらいい。
癖を知っていても不安があるなら、最初は1番目以外のドアを選んで次の選択で1番目が選べるのなら1番目を選択する。
…と思うけど、数学的に何か落とし穴があるのかな…
0043Nanashi_et_al.2018/06/27(水) 23:48:36.44
>>39
38だけど訂正。モンティホール問題は、>>1の上の問題と下の問題どちらを選択するか、の方がしっくりくるのか。
0044Nanashi_et_al.2018/06/30(土) 21:14:01.99
白い飴玉2粒と黒い飴玉3粒があります。
○●●○●
あなたが目をつぶってこれらの飴玉を1粒選んだとき、それが白い飴玉である確率は2/5です。
最初に目をつぶって選んだ飴玉がたまたま黒い飴玉だったとしましょう。
残りの飴玉をあなたが再び目をつぶって1粒選んだとき、それが白い飴玉である確率は2/5よりも高いですか低いですか。
○●○●
0045Nanashi_et_al.2018/07/02(月) 11:31:58.44
最初の飴玉は元に戻すのかい?
0046Nanashi_et_al.2018/10/05(金) 16:16:31.04
>>37
>選択を変えても変えなくても1/2で変わらないと考えた人の直感がなんであったか、
>その1つを想定してみよう。

そんな難しく考えなくても、司会者が山羊を開けた時点でまだ挑戦者は山羊を開けられない
だから挑戦者の結果は「変えて当たり」か「変えずに当たり」のどちらかに必ずなる
2つのうちのどちらかに必ずなるから1/2じゃないか? というだけ
0047Nanashi_et_al.2019/06/15(土) 09:46:32.51
逆モンティ・ホール問題
扉が10個あり、その内当たりが9個、ハズレが1個
一つ選んだ後、司会者が選ばれなかった扉の中から当たりの1個を選び除外する
選び直すのが得か損か

最初は9/10で当たり90%、選び直すと8/9で当たり88.8%
この問題の場合当たりが多い中から選ぶので、選び直さない方が得と直感的に分かるような気がする
何故仕組みは同じなのに本家モンティ・ホール問題は誤認するんだろうか
0048Nanashi_et_al.2019/06/15(土) 19:37:58.56
>>47
本家はハズレの方を減らしてるから、変えた方が確率が上がる
逆問はアタリの方を減らしてるから、変えた方が確率が下がる
というだけだがw
0049ベイズ2019/06/22(土) 11:54:15.70
【問1】 答え1/2 【問2】答え99/100
で合っています。OK
0050Nanashi_et_al.2019/12/05(木) 00:55:31.07
>>28
算数なんか分からなくても

最初の段階でそれぞれのドアを左からA、B、Cとしたとき

パターン1 Aあたり Bはずれ Cはずれ
パターン2 Aはずれ Bあたり Cはずれ
パターン3 Aはずれ Bはずれ Cあたり

の必ずどれかになる
で、この場合、挑戦者は必ずAを選ぶと仮定する
すると

パターン1→司会者はBかCかどちらかを開ける
パターン2→司会者が開けれるのはCのみ
パターン3→司会者が開けれるのはBのみ

となる
挑戦者はAを選んでいるので変える場合、1だと選べるのはBかCの市貸家が開けなかった方、
2だとB、3だとCになる

これを踏まえた上で変えなかった場合

パターン1→変えなかったので当たり
パターン2→外れたけど変えていれば当たってた
パターン3→外れたけど変えてたら当たってた

ってなる
即ち、3つのパターンのうち、「変えなくて当たる」場合は1のみ
3パターンのうちの1つだから1/3
変えていれば当たってた(つまり、変えれば当たり)なのはパターン2と3どちらでも該当なので
3パターンのうちの2つだから2/3
0051Nanashi_et_al.2019/12/05(木) 00:56:42.39
>>50
スマソ
挑戦者はAを選んでいるので変える場合、1だと選べるのはBかCのうち司会者が開けなかった方、
2だとB、3だとCになる

だったスマソ
0052Nanashi_et_al.2019/12/31(火) 11:32:28.54
https://www.youtube.com/watch?v=Js_2UNM0pj8
モンティーホール問題は詭弁。この動画みたいに調べもせずに何処かのまとめサイトをドやっている奴がいるから騙される。
0053Nanashi_et_al.2020/01/04(土) 22:30:32.12
選択者は再選択の権利を与えられ、司会者は不正解の箱を一つ開け、選択者は変更しなかった場合
選択者は再選択の権利を与えられず、司会者は不正解の箱を一つ開けた場合

この二つは現象的には全く同じで、そこにある違いは選択者の意思だけだろう?
にも関わらず一個不正解を開けただけで確率にバラつきが生まれる。
これは現象的にはどういうことなん
0054Nanashi_et_al.2020/01/05(日) 03:04:04.04
>>53
@選択者は再選択の権利を与えられ、司会者は不正解の箱を一つ開け、選択者は変更しなかった場合
A選択者は再選択の権利を与えられず、司会者は不正解の箱を一つ開けた場合

両方とも1/3だからバラツキはない
詭弁も何もない
0055Nanashi_et_al.2021/10/23(土) 09:13:09.47
解答がわかってそれが正しいとわかったあとでもモヤモヤするのがこの問題の妙だな。
いちど納得しても、頭の中で「やっぱり1/2だろう」という声がして理解の邪魔をする。
0056Nanashi_et_al.2021/10/23(土) 09:13:56.92
俺は「二人の子供問題」の方が腑に落ちんかったわ。いまでも時々モヤモヤする。
0057Nanashi_et_al.2022/01/21(金) 11:59:36.38
モンティホール問題
最初に自分で何の情報もなく選択して、正解である確率は1/3
そのまま正解を維持すれば正解の確率は1/3、変えればゼロ
最初に正解でない確率は2/3
答えをランダムに変えて正解である確率は2/3×1/2で1/ 3
しかし、司会者は正解知っていて、間違ってる答えは開けてくれる、この場合、100%正解
2/3×1で正解の確率は2/3
確率は二倍になってる
確かに最初に正解だった場合は間違いを選ばされて悔しいが、そうなる確率よりも正解を知ってる司会者が正解に近い方に寄せてくれるからその波に乗らない手はない
これは最初は独立試行だったのが後から条件的確率を追加されて、衝突するから混乱するが正しい答えを知ってる者により確率上げられているのを利用しないと
これが扉が百枚あったら自分で最初に正解にたどりつく可能性は百分の一、ほぼ見込みない
それを98枚開けて確率を99倍にしてくれる
そちらを選ばないのはおかしい
0058Nanashi_et_al.2022/01/21(金) 12:07:50.53
二人の子供の問題
ある家庭に二人の子供がいる
生まれた順に
男男
男女
女男
女女
の四つの可能性が平等にある
あなたの家に男の子はいますか
います
女女は除外されるから
男男
男女
女男
の三パターン
二人とも男である確率は1/3

あなたの最初の子供は男の子ですか女の子ですか
男の子です
二人目が男か女かは平等
二人とも男である確率は1/2
0059Nanashi_et_al.2022/01/21(金) 12:34:16.01
子供が二人いる
最初の子供は男の子です
二人とも男である確率は1/2
うちには男の子がいます
二人とも男である確率は1/3

火曜日の男の子の問題
うちには火曜日生まれの男の子がいます
二人とも男である確率は13/27

男女の性別と生まれた曜日
一人目
男月火水木金土日
二人目
男月火水木金土日

一人目
男月火水木金土日
二人目
女月火水木金土日

一人目
女月火水木金土日
二人目
男月火水木金土日

一人目
女月火水木金土日
二人目
女月火水木金土日

二人とも男である確率
一人目が火曜日生まれの男の子
二人目が男なら月火水木金土日生まれ
二人目が火曜日生まれの男の子
一人目が月水木金土日生まれ
13パターン

一人だけ男である確率
一人目が火曜日生まれの男の子
二人目が女になり月火水木金土日生まれ
二人目が火曜日生まれの男の子
一人目が女になり月火水木金土日生まれ
14パターン
13/27
条件が重なり確率か狭まるほど最初の子供が男の二人とも男は1/2に近づく
条件が広がるほど1/3に近づく
火曜日生まれでない男の子がいますとかな
0060Nanashi_et_al.2022/01/21(金) 13:01:23.18
最初の子供は火曜日生まれの男の
子です
二人とも男の確率は1/ 2
うちには火曜日生まれの男の子がいます
二人とも男である確率は13/ 27
うちには火曜日以外に生まれた男の子がいます

一人目が火曜日以外に生まれた男の子
男二人の場合
一人目
男月水木金土日
二人目
男月火水木金土日
6×7=42パターン
二人目が火曜日以外に生まれた男の子
一人目
男火
二人目
男月水木金土日
1×6

男一人の場合
一人目が火曜日以外に生まれた男の子
男月水木金土日
女月火水木金土日
6×7=42
二人目が火曜日以外に生まれた男の子
女月火水木金土日
男月水木金土日
7×6=42

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1/3に近づく
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