(p+qi)^n の虚部を
Im[ (p+qi)^n ] = C[n,1] p^{n-1}q−C[n,3] p^{n-3}q^3 + C[n,5] p^{n-5} q^5−…
　= pq( C[n,1] p^{n-2} + …… + (−1)^{n/2−1} C[n,n-1] q^{n-2} )　（n：偶数）
　= q( C[n,1] p^{n-1} + …… + (−1)^{(n-1)/2} q^{n-1} ）　　　　　(n：奇数)
のように変形しよう。
共通因子を（　）の外に括り出すと、
（　）内の初項だけがqで割り切れないか、最終項だけがpで割り切れない。
どちらにしても 0 ではない。
∴　(p+qi)^n は実数でない。

上の式変形に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、
この余白はそれを書くには狭すぎる。
（と書く前に前スレが落ちてしまった。）