箱入り無数目を語る部屋19
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前スレ 箱入り無数目を語る部屋18
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数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
設定
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」 再録
(参考)
https://kotobank.jp/word/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0-43864
コトバンク
確率変数
日本大百科全書(ニッポニカ) 「確率変数」の意味・わかりやすい解説
［古屋 茂］
いろいろの値をとりうる変数Xがあって、それぞれの値をとる確率が決まっているときXを確率変数という。たとえば、さいころを投げたとき出る目の数をXと置けば、Xは1から6までの整数のどれかであり、どの値をとる確率も1/6であるからXは確率変数である。また宝くじを買ったとき、当せん金額をXとするとXは確率変数である。はずれた場合はXは0であり、当せんした場合は等級によってXの値は決まり、しかも、各場合の確率は決まっているからである。
確率変数Xのとりうる値がx1、x2、……であって、Xがxiである確率をpiとすればp1+p2+……=1である。このような確率変数を離散型という。これに対して、ある区間I（無限区間でもよい）のどの値もとりうるような確率変数を連続型という。詳しくいえば、区間Iで連続な関数f(x)が
f(x)≧0,∫I f(x)dx=1
を満たし、Iに含まれる任意の区間Jに対して、Xの値がJに属する確率が
∫I f(x)dx
で与えられるとき、Xを連続型の確率変数というのである。測度論的確率論では離散型および連続型を含む一般的な形で確率変数が定義される。この場合、確率変数Xは変数というよりむしろ関数というべきものである。すなわち、確率測度が与えられている標本空間で定義された可測関数のことを確率変数というのである。 >>43
>確率変数とは、標本 ω∈Ωに割り当てた値をとる変数のことである。
>値にはその名の通り R や Z の他、ベクトル値 R^d を割り当てることもある。
>「値」として、一般的には可測空間 (E,ε)とする。
>確率変数とは (F,ε)-可測関数 である。
・ベクトル値 R^d つまり、d次元ユークリッド空間ならば 1次元R^1の延長で測度が入ります
・ところが、無限次元ユークリッド空間ならば 1次元R^1の単純な延長では、測度が入りません
例えば、一辺aの立方体の体積は、a^3ですが
無限次元a^∞ だと、a>1 a^∞→∞、1>a>0 a^∞→0となります
なので、無限次元ユークリッド空間でなく、測度が入るヒルベルト空間などに限って扱うのが普通です
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、
自乗総和可能数列の空間 ℓ^2、
超関数からなるソボレフ空間 H^s、
正則関数の成すハーディ空間 H^2 などが挙げられる。
例
ルベーグ空間
詳細は「ルベーグ空間」を参照
ルベーグ空間は測度空間 (X, M, μ) （X は集合で、M は X の部分集合からなる完全加法族、μ は M 上の完全加法的測度）に付随する関数空間である。
L^2(X, μ) を、X 上の複素数値可測関数で、その絶対値の平方のルベーグ積分が有限となるようなもの全体の成す空間とする。 
