証明多くね

[0001 １３２人目の素数さん 2024/01/12(金) 16:44:26.45 ID:B7c0MiSM]

俺はもう疲れたよ証明に

[0002 １３２人目の素数さん 2024/01/12(金) 17:05:50.91 ID:catgh5nl]

>>1
885 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2023/12/31(日) 15:50:49.09 ID:xhhv+g7J [1/2]
m/n=log(π) m、nは互いに素な正の整数
↔ e^{m/n}=π ↔ e^m=π^n
e<π＜e^2 から e<n<2e
∴∃i=1,…,m-1　m=n+i
∴e^i=(π/e)^n<(1+(π-e)/e)^n
　　　<(1+(3.2-2.7)/(2.7))^n=(1+(32-27)/(27))^n=(1+1/(27/5))^n
　　　<(1+1/5)^n
　　　<(1+1/π)^π
　　　<lim_{x→+∞}(1+1/x)^x＝e
∴矛盾
∴log(π) は無理数

886 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2023/12/31(日) 15:58:44.87 ID:xhhv+g7J [2/2]
e<π＜e^2 から　不要

[0003 １３２人目の素数さん 2024/01/12(金) 20:08:11.22 ID:catgh5nl]

>>1
888 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2024/01/01(月) 15:20:00.11 ID:kD74UmIv [1/2]
>>887
[第１段]：log(π)が有理数であるとする。
A＝(π-e)/e とおく。4＞π＞3＞e＞2 だから、
e＜π＜e^2 から 1＜log(π)＜2 であって、
或る互いに素な両方共に正の整数m、nが存在して log(π)＝m/n だから、
1＜m/n＜2 から n＜m＜2n。
m、nはどちらも正の整数だから、
mに対して或る i＝1,…,m-1 が存在して m＝n+i。
また、π＝e^{m/n}。よって、π＝e^{(n+i)/n} とAの定義から
e^i＝(π/e)^n＝(1＋A)^n。

[第２段]:4e＝4Σ_{k=0,1,…,+∞}1/k!
　　　＞4(1+1+1/2!)
　　　＝4×5/2
　　　＝10、
また、3π＜3×3.2＝9.6、
よって、4e＞3π であって、π＞e＞1 から Aの定義に注意すれば 1/A＜1/3。

[第３段]：7/2＞π＞3＞e＞5/2 からAの定義に注意すれば A＜1/e＜1 だから、A＜1/A。
よって、(1＋A)^n＜(1＋1/A)^n であって e^i＜(1＋1/A)^n。