河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/05(火) 03:00:10.66

セミナーの準備のしかたについて
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/sem.htm

この記事は各所に貼られているが、ページ下部のQ&Aにもある通り、数学者であっても同意しない人は多いようだ

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/23(土) 10:10:10.36

>>745
>>手持ちの「4次元多様体 I&II 上正明・松本幸夫(著) 2022年02月版」を調べるべきだし
>その本にはノビコフの定理の証明はもちろん、ステートメントも書いてない
>要するに、そこはもう松本幸夫氏の「４次元のトポロジー」に書かれてる通りだから

ちがう！
・えーと>>739より再録
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_manifolds
Classification of manifolds

Dimension 4: exotic
Further information: 4-manifold
Four-dimensional manifolds are the most unusual: they are not geometrizable (as in lower dimensions), and surgery works topologically, but not differentiably.

Since topologically, 4-manifolds are classified by surgery, the differentiable classification question is phrased in terms of "differentiable structures": "which (topological) 4-manifolds admit a differentiable structure, and on those that do, how many differentiable structures are there?"

Four-manifolds often admit many unusual differentiable structures, most strikingly the uncountably infinitely many exotic differentiable structures on R4. Similarly, differentiable 4-manifolds is the only remaining open case of the generalized Poincaré conjecture.

Dimension 5 and more: surgery
Further information: surgery theory
In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.

The reason for dimension 5 is that the Whitney trick works in the middle dimension in dimension 5 and more: two Whitney disks generically don't intersect in dimension 5 and above,by general position (2+2<5).
In dimension 4, one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles, which works topologically but not differentiably; see Geometric topology: Dimension for details on dimension.
(引用終り)

・上記に書いてあることは、”In dimension 5 and above (and 4 dimensions topologically), manifolds are classified by surgery theory.”
　要するに、5次元以上では ”two Whitney disks”が交差（intersect）しない関係で、surgery theoryが使える
　4次元では、”one can resolve intersections of two Whitney disks via Casson handles”
　つまり、Whitney diskの代わりにCasson handleが使えるので、”topologically but not differentiably”で、5次元以上と同じことができると
・Casson handle https://en.wikipedia.org/wiki/Casson_handle
　を見てください

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/23(土) 10:10:31.86

つづき

・松本幸夫「４次元のトポロジー」1979年版第10章　４次元の罠の冒頭p155 >>645
「すべての有限表示群を分類することは不可能なことが知られている（ノビコフ）。
　したがって、すべての４次元多様体の分類も不可能なのである」
　との記載は、既に古いってことだ
　因みに、私の手元には2009年版だけど、付録1がCasson handleの話で
　フリードマンの4次元ポアンカレの噂が日本に伝えられたのは1981年の秋とある

まとめると、1979年版当時、Casson handleが 5次元以上でWhitney disk generically don't intersect
と同じ性質をもち、surgery theoryが使えるということを知らずに、松本幸夫氏は書いたんだね

この教訓は、古い本だけ見ていてはダメ！ってこと
新しい本の記述を確認すべし！

「4次元多様体 I&II 上正明・松本幸夫(著) 2022年02月版」
読めてないと思うけど、ちゃんと読んでみなよｗ
以上